Teoria De Las Hileras

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Teoria De Las Hileras

  1. 1. TEORIA DE LAS HILERAS 1. INTRODUCCIÓN Existe un juego llamado “Dominó”. El juego consiste en colocar una secuencia de fichas siguiendo un órden. Cada jugador coloca una ficha en su turno dependiendo de los valores que se encuentran en los extremos de la hilera que se va formando. Así, si en un extremo se encuentra la ficha (1, 5) con el extremo (5) libre y en el otro extremo se encuentra la ficha (0,6) con el extremo (6) libre, el siguiente jugador podra colocar una ficha que comience por cinco (5) o por (6), como se vé en la figura 1. FIGURA 1 El juego tiene la particularidad de poseer fichas cuyos extremos o caras tienen el mismo valor numérico. En la figura 1, se observa que la ficha central es (4,4). Estas fichas usualmente se ubican cruzadas tocando ambas caras de las fichas contigüas a lado y lado. con Fichas contigüas continuando con la dirección de la hilera respecto a las fichas de la hilera. Las demás fichas deben ubicarse de manera consecutiva a la última ficha, continuando la hilera u ortogonalmente (formando un ángulo recto), cambiándole la dirección a la hilera. Las hileras serpentean generando caprichosas formas. Fichas ubicadas ortogonalmente, cambiando la dirección de la hilera. El dominó es fuente de innumerables juegos y propuestas tanto pedagógicas como de desarrollo de la creatividad por su simplicidad estructural. Para el presente trabajo se ha diseñado una propuesta metodológica para enseñar al niño a verbalizar la imagen, adquirir la habilidad de reconocer patrones y estructuras; representar imágenes a partir de cadenas verbales y comprender los procesos de construcción de algunas figuras a partir de un conjunto de unidades base. 2. LAS HILERAS DE DOMINÓS 2.1 BREVE PRÓLOGO Todo el mundo ha hecho fila alguna vez en su vida, por ejemplo para pagar las compras en una caja de un supermercado, retirar dinero de un cajero automático, pagar los servicios públicos en un banco autorizado. El común denominador es que hay un primer elemento y un último elemento: una cabeza y una cola. Entre el primer y último elementos puede haber ninguno o muchos. Esto es que puede haber una única persona haciendo fila ante una ventanilla para ser atendido, esto significa que esa persona es el primero y último de la fila a la vez. Puede haber dos personas, en cuyo caso una será primera y la otra la última. Si la fila posee tres elementos o más significa que tiene elementos intermedios únicos; es decir que no puede haber dos terceros o cinco elementos en el séptimo lugar. Tampoco puede suceder que un elemento ocupe simultáneamente dos posiciones distintas en la fila. Esto da carácter único a la filas; así se entendería como fila a un agrupamiento consecutivo de elementos en el que se encuentra un primer y último elemento y los elementos intermedios poseen una única posición en la fila. Puesto que en la vida cotidiana ocurren cosas que transgreden estos conceptos, por ejemplo en una fila para atender el pago de un servicio y que se atiende por fichas numeradas es posible que un mismo individuo posea dos turnos para ser atendido. Puede ocurrir, como ocurre en los bancos, que hayan dos o más filas que finalmente son atendidas por un único servidor por lo que las filas terminan siendo trenzadas en la cabeza. Ocurre también el efecto cremallera: dos filas se van fusionando alternadamente para formar una tercera fila: por ejemplo en las evacuaciones de los teatros cuando hay una única puerta de salida. Todos estos casos los consideramos como
  2. 2. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 2 ______________________________________________________________________________________________ situaciones aberrantes de las filas y no las denominaremos filas, de acuerdo con nuestra definición enunciada en el párrafo anterior sino que las llamaremos simplemente colas. Tenemos entonces que existe una diferencia sustantiva entre filas y colas: incluso algunas colas no necesitan “enfilarse” como es el caso de lugares donde la atención se va realizando de acuerdo como vayan llegando los clientes y éstos se encuentran sentados en una sala de espera. En el presente trabajo se ha redefinido la noción de fila arriba enunciada utilizándola con fichas del dominó, de tal modo que en lugar de decir una fila de fichas de dominó diremos una hilera. Como se vió en el primer apartado, las filas de dominó pueden tener elementos al través o cruzados respecto a la fila. En las hileras consideraremos que esto no es posible; de hecho descartaremos las fichas pares para evitar estos insucesos. Luego en las hileras debe pensarse que sólo pueden tenerse dominós con numeros distintos en cada una de sus caras, por tanto el contacto entre dos fichas sólo puede hacerse a través de una sola de sus caras. 2.2 DefinIción: Una hilera de fichas de dominó es aquella en la que se presenta una secuencia de ellas en contacto únicamente por una de sus caras en las que coincidan los valores numéricos correspondientes. La secuencia admite que dos fichas sean ortogonales (formen un ángulo recto), pero no admite que dos fichas estén unidas doblemente por sus caras, pues no coincidirían sus valores. Una clásica hilera es como la siguinete: FIGURA 4 Se observa que en la secuencia cada par de fichas se contactan únicamente por una de sus caras, independiente sin son consecutivas u ortoganales. En la figura 4 se puede ver que las fichas (5,1) y (1,4) son ortogonales (parte central) , mientras que las fichas (4,3) y (3,5) son consecutivas linealmente (abajo a la derecha). Las fichas que son consecutivas linealmente para abreviar se dicen lineales. Una hilera lineal es aquella en la que no hay ningún par de fichas ortogonales. Las hileras de dominós que poseen fichas ortogonales pueden generar muchos quebraderos de cabeza. Analizaremos algunos porque son de interés para nuestro trabajo posterior. Por ejemplo, la hilera de la figura 5: Conviene, entonces establecer una regla de vecindad: dos fichas de dominó son vecinas en una hilera si están en contacto lineal u ortogonal; no son vecinas aquellas que están en contacto todo el cuerpo lateral de la ficha, salvo que estén en contacto con una tercera de la son vecinas dos a dos. Por ejemplo: FIGURA 5 La hilera de la figura de la izquerda presenta un conjunto de fichas que pareciera romper la secuencia (un nudo). La secuencia correcta es: [(0,2),(2,5),(5,1),(1,4),(4,3)]. La forma de montículo en la que se encuentran las dos fichas verticales una junto a la otra dan la impresión que fueran contigüas, pero no lo son. FIGURA 6 Esto da buena cuenta de la cantidad de problemas curiosos en los que podríamos incurrir. Veamos una situación más: Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.
  3. 3. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 3 ______________________________________________________________________________________________ En la figura de la derecha es prácticamente imposible establecer si existe una única secuencia correcta o dos. En el “nudo de unos” de la parte central todas las fichas pueden ser vecinas FIGURA 7 La Hilera de la figura 8 crea una “involuta” en la secuencia central, dado que hay lo que podríamos llamar una situación recurrente. La secuencia [ ... (5,6),(6,1),(1,3),(3,6)] pareciera querer continuar nuevamente con la ficha (6,1) de abajo y luego nuevamente con (1,3) y (3,6) generandose FIGURA 8 una situación cíclica. Nótese el efecto visual en el centro en que pareciera tenerse repetida la ficha (1,3). Pareciera, entonces que trabajar con hileras de fichas de dominó trae muchos inconvenientes; pero precisamente de eso se trata, de sacarle partido a éste tipo de dificultades pára establecer procedimientos para elaborar gráficas. La riqueza visual que ofrecen las hileras está aunada a la riqueza estructural de las reglas que convengamos para establecer la vecindad de dos dominós para que a través de éste criterio podamos verbalizar imágenes. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Considere las fichas de dominó del recuadro izquierdo. Establezca un diseño de hilera de fichas de dominó utilizando como mínimo 4 fichas. FIGURA 2. Considere las fichas del recuadro izquierdo. Construya dos diseños de hileras de dominós utilizando todas las fichas. Tome como primer elemento de los diseños la ficha del recuadro derecho. 3. Considere las fichas del recuadro izquierdo. Construya dos diseños de hileras de dominós utilizando todas las fichas. Tome como último elemento de los diseños la ficha del recuadro derecho. Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.
  4. 4. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 4 ______________________________________________________________________________________________ 4. Considere las fichas del recuadro izquierdo. Construya dos diseños de hileras de dominós utilizando todas las fichas. Tome como: a) tercer elemento en la hilera la ficha del recuadro derecho. b) quinto elemento en la hilera la ficha del recuadro derecho. 5. Considere las fichas del recuadro izquierdo. Construya dos diseños de hileras de dominós utilizando todas las las fichas- Tome como: a) segundo elemento en la hilera la ficha del recuadro derecho. b) séptimo elemento en la hilera la ficha del recuadro derecho. 6. Establezca la secuencia numérica de las siguientes hileras de fichas de dominó: Escriba aquí la secuencia numérica de la hilera de dominós: [ (1,5), Escriba aquí la secuencia numérica de la hilera de dominós: [ (1,5), 7. Señale la secuencia correcta en las siguientes hileras Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.
  5. 5. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 5 ______________________________________________________________________________________________ a) [ (1,5), (5,3), (3,6), (6,4),(4,2), (2,1), (1,3) ] b) [ (1,5), (5,3), (3,6), (6,4),(4,2), (2,1), (1,3) ] c) [ (6,3), (5,6), (6,4), (4,2),(2,1), (1,3), (5,4) ] d) [ (3,6), (6,5), (5,2), (2,4),(4,1), (1,5), (5,4) ] e) [ (3,6), (5,6), (5,2), (2,4),(4,2), (2,5), (5,4) ] 8. Construya un diseño de hilera para cada una de las secuencias numéricas: a) [ (1,5), (5,3), (3,6), (6,4),(4,2), (2,1), (1,3) ] (ubique aquí el diseño) b) [ (3,6), (6,5), (5,2), (2,4),(4,1), (1,5), (5,4) ] (ubique aquí el diseño) 9. Diga si los siguientes diseños son equivalentes. Justifique su respuesta. a) b) Justificación: Justificación: PROBLEMAS 1. Qué alteraría el hecho que considerásemos las fichas pares? 2. Puede un diseño de fichas de dominó tener más de una secuencia numérica? 3. Puede una secuencia numérica tener más un diseño de fichas de dominó? 4. Por qué debe considerarse que la secuencia [ (1,5), (5,4), (4,3) ] sea equivalente a, por ejemplo, la secuencia [ (5,1), (5,4), (4,3) ] ? 2.3 ESTRUCTURA DE LAS HILERAS 2.3.1 ESTRUCTURA DE LOS DOMINÓS Un dominó es una figura compuesta de dos cuadrados unidad. Para el presente trabajo consideraremos que el dominó vertical y el dominó horizontal son dos entidades distintas. Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.
  6. 6. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 6 ______________________________________________________________________________________________ FIGURA 9 En la figura 9 se observa cómo se obtuvieron los dos dominós a partir de una unidad base, llamada cuadrado unidad. Los dominós poseen dos dimensiones: altura y base. Como los dominós son en sí rectángulos, se sabe que éstos poseen altura y base, en consecuencia los dominós heredan éstas propiedades. En la base el dominó posee sólo un lado del cuadrado unidad mientras que en su altura posee dos segmentos unidad consecutivos. FIGURA 9 FIGURA 10 Las hileras se construyen entonces a partir de éstos dos dominós siguiendo una regla de formación y asociación. 2.3.2 REGLA DE FORMACIÓN DE LAS HILERAS Los dominós se pueden asociar para formar hileras sin bifurcación siguiendo uno de los dos siguientes criterios: a) estableciendo una secuencia lineal. Dos dominós se pueden asociar linealmente, uniendo únicamente las caras de su base. FIGURA 11 FIGURA 12 b) estableciendo una secuencia ortogonal Dos dominós se pueden asociar ortogonalmente, uniendo únicamente una de las caras de la altura de un dominó con la cara base del otro dominó. FIGURA 13 Respecto a las secuencias ortogonales se observa que existen varias posibilidades: Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.
  7. 7. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 7 ______________________________________________________________________________________________ FIGURA 14 FIGURA 15 FIGURA 16 FIGURA 17 FIGURA 18 FIGURA 19 FIGURA 20 FIGURA 21 Cada una de las hileras ortogonales de la figura 14 a la 21 son distintas entre sí y todas ellas válidas. Las siguientes, por el contrario son asociaciones no válidas: FIGURA 22 FIGURA 23 FIGURA 24 FIGURA 25 2.3.3 Definición: Dos dominós se dicen vecinos, en una hilera, si están en contacto según una de las reglas de formación (a) secuencia lineal o (b) secuencia ortogonal. Un dominó posee estrictamente un vecino por cada cuadrado unidad, por tanto puede tener a lo más dos vecinos, salvo el primer y último elemento de la hilera que poseen solamente un vecino. Esta definición nos permite fortalecer las dos restricciones arriba enunciadas: la primera relativa a las bifurcaciones, al no poder tener sino un vecino como máximo en cada cuadrado unidad se evita que rompa la secuencia. Y la segunda relativa a precisar quien es vecino o no a pesar de poder estar en contacto por efecto, por ejemplo, que una misma hilera forme un bucle y se devuelva hacia sí misma y entre en contacto con dominós que se encontraban en la hilera con anterioridad. También evita, por supuesto las autointersecciones (tema a profundizar un poco más) y que la hilera se cierre sobre sí misma al realizar un bucle y coincidir el primer elemento con el último. 2.3.4 Definición: Dos dominós se dicen vecinos relativos o que están juntos (v.g. uno al lado del otro), en una hilera, si sin estar en contacto según una de las reglas de formación (a) secuencia lineal o (b) secuencia ortogonal, una o dos de sus caras entran en contacto aparente. Las siguientes hileras ilustran la definición de contacto aparente: FIGURA 26 FIGURA 27 FIGURA 28 Como se observa las hileras poseen necesariamente un primer elemento y un último elemento, independientemente de si entran en contacto el primero con el último dominó. De las hileras de las figuras 27 y 28 se sigue que es conveniente determinar cuál es el primer elemento y cuál el último. Al primer elemento de una hilera lo llamaremos “cabeza” y al último “cola”. La cabeza será pues, el primer elemento de la hilera. La cabeza es única de acuerdo con la definición de vecindad mientras que cada elemento asociado en una hilera ocupa en su momento la cola. Esto es que cada dominó asociado a la hilera se convierte en la cola. Establecer la cabeza de una hilera puede ser un asunto sencillo si la hilera no tiene convoluciones o rizos que le pongan en contacto aparente consigo misma; pero puede ser complicado en una hilera que posea rizos y además el primer y último elemento no Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.
  8. 8. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 8 ______________________________________________________________________________________________ se distingan por estar en contacto aparente como es el caso de las figuras 27 y 28. La cabeza puede ser cualquier elemento de siempre y cuando garantice que a partir de él se puede establecer una secuencia bien formada de toda la hilera. Veamos dos ejemplos, que nos ilustren las dos situaciones (en línea punteada se considerará el siguiente elemento a aparecer en la secuencia): Ejemplo1: consideremos la hilera: Es claro que para establecer Al establecer la secuencia de la hilera a partir de la cabeza, la cabeza de la hilera, basta tenemos: tomar el dominó vertical de la parte izquierda, pues es una entidad que no tiene sino un vecino: FIGURA 30 FIGURA 31 FIGURA 32 FIGURA 29 FIGURA 33 FIGURA 34 FIGURA 35 FIGURA 36 Las figuras 35 y 36 nos muestran cómo se presenta la vecindad aparente y cuál es el último elemento de la hilera, es decir la cola. Ejemplo2: consideremos la hilera: Desarrollo de la secuencia de construcción de la hilera: FIGURA 38 FIGURA 39 FIGURA 40 FIGURA 37 FIGURA 41 FIGURA 42 FIGURA 43 Establecer el primer elemento no es tan evidente en la hilera de la figura 37. Después de una breve observación se toma un dominó horizontal que se encuentra en la parte media de la figura. Sin embargo existen varios candidatos: FIGURA 44 FIGURA 45 FIGURA 46 FIGURA 47 En particular, en ésta hilera por tener carácter cíclico (el primer elemento es vecino aparente del último elemento), cualquier dominó de la hilera puede ser la cabeza. Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.
  9. 9. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 9 ______________________________________________________________________________________________ Dado que la intención del presente trabajo es enseñar a los niños a verbalizar imágenes, se hace necesario poder representar las hileras mediante una cadena de letras, que a su vez nos permitirá reconstruir o construir hileras a partir de palabras. 2.3.5 Nomenclatura Nomenclamos por la letra a al dominó horizontal y por la letra b al dominó vertical, de tal modo que una hilera puede ser representada por una secuencia de letras a y b, que denominamos la cadena asociada. FIGURA 29 FIGURA 30 Y la hilera queda representada por la cadena asociada: pues, FIGURA 31 FIGURA 32 Nótese que una hilera tiene asociada una única cadena, no así lo contrario. Una cadena o palabra puede representar muchas hileras distintas. La cadena representa cualquiera de todas las siguientes hileras entre otras: FIGURA 33 FIGURA 34 FIGURA 35 FIGURA 36 EJERCICIOS RESUELTOS (Falta elaborar los e-book) EJERCICIOS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 2.3.6 DIRECCIONALIDAD DE LAS HILERAS Y LOS DOMINÓS Las hileras como tal (como conjunto) no tienen una orientación o direccción específica y por tanto pueden formar figuras bastante caprichosas y raras. Sin embargo podemos asociar una dirección y una orientación ( ver cómo actúan los peces: la cola del pez da la orientación y la cabeza la dirección) considerando que la cabeza o primer elemento establece una dirección y que la cola o último elemento establece la orientación. Esto es que si uno recorriera la hilera de atrás para Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.
  10. 10. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 10 ______________________________________________________________________________________________ adelante cada dominó que alguna vez fue último elemento al asociarse según una de las reglas de formación, conservó o cambió la orientación de la hilera. Si la hilera tiene un único elemento, por supuesto, tanto la dirección como la orientación coinciden. (Si pensaramos que las hileras se movieran como lo hacen las serpientes, por supuesto avanzaría según la dirección del primer elemento, aunque se retorcieran atrás para avanzar). [ Pregunta: exactamente cuál es la diferencia entre orientación y dirección?] 2.3.7 Definición: Vector director. EJERCICIOS RESUELTOS (Falta elaborar los e-book) EJERCICIOS PROPUESTOS PROBLEMAS PROPUESTOS 10. LAS HILERAS DE DOMINÓS Y EL LENGUAJE LOGO Ya está revisado. Transcribirlo. 11. VALOR PEDAGOGICO DE LAS HILERAS El valor pedagógico de las hileras es que nos permite promover y fortalecer las operaciones mentales de reversibilidad en los niños; la capacidad de representación e imaginación. Poder representar una hilera mediante una palabra asociada promueve tanto la capacidad asociativa propia de los niños, la significación e induce a la abstracción. La reversibilidad en las hileras presenta una estructura “A es a B” en un sentido y en el sentido contrario “B es A como a A1, a A2, ..., a An”, lo que da mayor libertad al niño al comenzar a utilizar operaciones mentales de reversibilidad; lo que es positivo dado que el estadio mental a esa edad es el concreto. Durante el desarrollo del trabajo se observó una tendencia inicial en los niños a realizar cadenas en forma estrictamente lineal, descedente y a derecha, al pedirseles que elaboraran una hilera para una cadena dada. La linealidad a derecha se observó cuando al comenzar a elaborar una hilera colocaban la segunda ficha siempre a la derecha (en el caso de los dominós horizontales) o hacia la derecha (en el caso de los dominós verticales), posteriormente cuando se les pidió ubicaran la cabeza y la cola de una serie de ejercicios de hileras, señalaban la cabeza de la ficha que estaba más a la izquierda o la de arriba. El máximo de dominós utilizados fue doce, pero se observó que presentaban dificultades en hileras con más de siete dominós. Presentaban cansancio o astío (casi fastidio) cuando debían construir una hilera demasido larga (más de nueve letras en la cadena). Al final de los ejercicios propuestos, en los talleres finales se observó que los niños ya elaboraban hileras utilizando distintas ortogonalidades, las hileras realizaban serpentinas en distintas direcciones y por tanto cada vez eran más complejas de analizar. Las hileras inducen al análisis en cuanto que debe verificarse inicialmente que los contactos se realizaron de acuerdo con una de las opciones de la regla de formación, que se mantiene una secuencia sin incurrir en bifurcaciones ni en autointersecciones. De otro motiva a encontrar no una sino varias soluciones, lo que en grupo motiva a comparar los Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.
  11. 11. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo Página 11 ______________________________________________________________________________________________ resultados y por tanto a realizar una análisis de cada una de las hileras obtenidas por cada niño del grupo. Genera seguridad personal porque al descubrir que su respuesta a pesar de ser distinta a la los demás, es correcta por cuanto se siguieron las reglas. Induce al niño a trabajar con reglas y por tanto a seguir procedimientos. 12. COMPLEJIDAD COGNITIVA La complejidad cognitiva, en las hileras se evidencia de la siguiente manera: 1. Capacidad de construcción de imágenes (Hileras) a partir de reglas (regla de formación de las hileras). 2. Construcción de objetos complejos a partir de unidades base simples (obtener hileras bien formadas a partir de las entidades DH (dominó horizontal) y DV (dominó vertical). 3. Comprensión de la construcción del objeto (hilera bien formada) por comprensión de la regla de formación del objeto (regla de asociación con restricciones de bifurcación y autointersección). 4. Capacidad de representar simbólicamente un objeto (asociación de una cadena a una hilera y viceversa) 5. Manejo de especificaciones (verificar que el objeto formado cumple con las condiciones y restricciones) 6. Capacidad de deconstruir un objeto o Identificar en el objeto (la Hilera) los componentes básicos (señalar cuáles son los dominós DH y DV) o Simbolizar el objeto (Escribir la palabra asociada a la hilera) o o verificar que la palabra asociada a una hilera corresponde efectivamente a la hilera en cuestión 7. Ruptura de la linealidad descendente (utilización de la ortogonalidad múltiple) 8. Identificación de módulos y periodicidad (una secuencia de letras en una cadena que se repite varias veces, un módulo de ortogonalidad repetido periódicamente, identificación de cadenas capicúas, ...) 9. Predictibilidad y prospección basada en reglas (anticipar de acuerdo con las reglas qué dominó debe aparecer o continuar en una secuencia) 10. Capacidad de análisis o Verificación de cumplimiento de las reglas o Comparar si Maestría en Pedagogía de la Tecnología, 2007. Complejidad Cognitiva en la adquisicion y desarrollo del razonamiento espacial con Logo.

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