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SERIES INFINITAS Prof. Emma Yendis                     1
SERIES INFINITAS  Conocimientos Previos Necesarios                                              Prof. Emma YendisSuma y Pr...
SERIES INFINITAS• Si Un es una sucesión y Sn= u1+ u2+ u3+…+ un  entonces Sn es una sucesión de sumas  parciales denominada...
SERIES INFINITAS• Suma de una serie infinita: Considere queDenota una serie infinita dada, para la cualSn es la sucesión d...
SERIES INFINITAS• Serie Armónica: Es una serie infinita de la  siguiente forma:• Teorema: La Serie Armónica es divergente....
SERIES INFINITAS• La serie geométrica es una serie infinita en la  que cada término se obtiene multiplicando el  término a...
SERIES INFINITAS• EJEMPLOS:a) La serie geométrica:                                   Prof. Emma Yendis                    ...
SERIES INFINITASb) La serie geométrica:c) La serie geométrica:                                   Prof. Emma Yendis        ...
SERIES INFINITAS         Criterios de ConvergenciaI. Criterio del término general para la     Divergencia:Si la Sucesión  ...
SERIES INFINITAS             Criterios de Convergencia        (b) Para la serie:Se puede aplicar regla de L’HopitalComo la...
SERIES INFINITAS         Criterios de ConvergenciaII. Criterio de la integral: Condiciones para     aplicar el criterio. L...
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SERIES INFINITAS             Criterios de ConvergenciaEjemplos:(b)Determine si la serie        es convergente odivergente ...
SERIES INFINITAS        Criterios de ConvergenciaIII. Criterio de la Razón o Cociente: Sea    una     serie con términos p...
SERIES INFINITAS         Criterios de ConvergenciaEjemplos: Investigue la convergencia de lassiguientes series aplicando c...
SERIES INFINITAS      Criterios de Convergencia(b)                                       Prof. Emma Yendis                ...
SERIES INFINITAS      Tabla Resumen de Criterios de Convergencia                                                        Pr...
SERIES INFINITAS       Tabla Resumen de Criterios de Convergencia                                                         ...
BIBLIOGRAFÍA• Larson, R. y otros. Cálculo y Geometría Analítica.  Volumen I. 6ta. Edición.   – Capítulo 8, Pág. 633-673• L...
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Series infinitas

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Series infinitas

  1. 1. SERIES INFINITAS Prof. Emma Yendis 1
  2. 2. SERIES INFINITAS Conocimientos Previos Necesarios Prof. Emma YendisSuma y Producto de Fracciones, Métodos deIntegración, Integración Impropia y Cálculode Límites en el Infinito. 2
  3. 3. SERIES INFINITAS• Si Un es una sucesión y Sn= u1+ u2+ u3+…+ un entonces Sn es una sucesión de sumas parciales denominadas series infinitas.• Y se denota por:• Los números Prof. Emma Yendis son los términos de la serie infinita. 3
  4. 4. SERIES INFINITAS• Suma de una serie infinita: Considere queDenota una serie infinita dada, para la cualSn es la sucesión de sumas parciales. Siexiste y es igual a S, la serie es convergente y Ses la suma. De lo contrario, la serie diverge y notiene suma. Prof. Emma Yendis 4
  5. 5. SERIES INFINITAS• Serie Armónica: Es una serie infinita de la siguiente forma:• Teorema: La Serie Armónica es divergente.• Serie Geométrica: Prof. Emma Yendis 5
  6. 6. SERIES INFINITAS• La serie geométrica es una serie infinita en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante. Donde a es un número y r es la constante o razón de la serie.• Teorema: La serie geométrica converge a la suma si |r|< 1, y diverge si |r|< 1 o Prof. Emma Yendis |r|= 1 6
  7. 7. SERIES INFINITAS• EJEMPLOS:a) La serie geométrica: Prof. Emma Yendis 7
  8. 8. SERIES INFINITASb) La serie geométrica:c) La serie geométrica: Prof. Emma Yendis 8
  9. 9. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaI. Criterio del término general para la Divergencia:Si la Sucesión no converge a 0, la seriees divergente. Ejemplos: (a) Para la serie: Prof. Emma Yendis 9
  10. 10. SERIES INFINITAS Criterios de Convergencia (b) Para la serie:Se puede aplicar regla de L’HopitalComo la sucesión no converge a 0, entonces, la Prof. Emma Yendisserie diverge.NOTA: En los casos en los que el límite converge a cero, no quiere decir que lasucesión converge, simplemente el criterio no se aplica en esos casos y hay que usarotro criterio. 10
  11. 11. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaII. Criterio de la integral: Condiciones para aplicar el criterio. La función sucesión debe ser:i. Continua.ii. Decreciente.iii. De valores positivos. Prof. Emma YendisEntonces, la serie será convergente si existe , pero si es igual adiverge. 11
  12. 12. SERIES INFINITAS Criterios de Convergencia Ejemplos: (a)Determine si la serie es convergente o divergente aplicando criterio de la integral: (*) 0 0 Prof. Emma Yendis(*) Esta integral se halla por método de integración por partes, y ha sido desarrollada en 12clase anteriormente, revise sus apuntes.
  13. 13. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaEjemplos:(b)Determine si la serie es convergente odivergente aplicando criterio de la integral: (*) Prof. Emma Yendis(*) Esta integral se halla usando método de sustitución, donde u=Ln(x) ydu=1/x dx 13
  14. 14. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaIII. Criterio de la Razón o Cociente: Sea una serie con términos positivos y suponga que . Entonces:a) La serie converge si p<1.b) La serie diverge si p>1 o infinito.c) El criterio no es concluyente si p=1. Prof. Emma Yendis 14
  15. 15. SERIES INFINITAS Criterios de ConvergenciaEjemplos: Investigue la convergencia de lassiguientes series aplicando criterio de la razón:(a) Prof. Emma Yendis 15
  16. 16. SERIES INFINITAS Criterios de Convergencia(b) Prof. Emma Yendis 16
  17. 17. SERIES INFINITAS Tabla Resumen de Criterios de Convergencia Prof. Emma YendisFuente: Larson y otros. 17
  18. 18. SERIES INFINITAS Tabla Resumen de Criterios de Convergencia Prof. Emma YendisFuente: Larson y otros. 18
  19. 19. BIBLIOGRAFÍA• Larson, R. y otros. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen I. 6ta. Edición. – Capítulo 8, Pág. 633-673• Leithold, L. El Cálculo. 7ma. Edición. −Capítulo 8, Pág. 659-696• Thomas, G. Cálculo, Varias Variables. Undécima Prof. Emma YendisEdición. −Capítulo 11, Pág. 761-792 19

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