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Aplicación de Integrales Definidas

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Aplicación de Integrales Definidas

  1. 1. Longitud de Arco,Área de una superficie de revolución y Trabajo Mecánico. Aplicación de Integral Definida Prof. Emma Yendis Clase de: Lunes 02-05-2011
  2. 2. Longitud de ArcoLa longitud de un arco AB deuna curva es por definiciónel límite de la suma de laslongitudes de un conjunto decuerdas consecutivas A=P0,P1, P2....,P n-1, Pn=B, que unospuntos del arco, cuando elnúmero de puntos creceindefinidamente de forma talque la longitud de cadacuerda tiende a cero. Prof. Emma Yendis
  3. 3. Longitud de ArcoProf. Emma Yendis
  4. 4. Longitud de ArcoSi la gráfica de y=f(x) en el intervalo [a,b] es unacurva suave, longitud de arco de f entre a y b es:Análogamente, para una curva suave dada porx=g(y), la longitud de arco entre c y d es: Prof. Emma Yendis
  5. 5. Longitud de Arco• Encuentre la longitud del arco de a curva Se resuelve por método de en el intervalo Sustitución [1,4] Prof. Emma Yendis• Solución:
  6. 6. Longitud de Arco =-L Prof. Emma Yendis
  7. 7. Área de una Superficie de Revolución Aplicación de Integral Definida Prof. Emma Yendis Clase de: Miércoles 04-05-2011
  8. 8. Área de una superficie de revolución• La fórmula del área de una superficie se va a deducir de la fórmula para el área lateral de un tronco de cono (o cono truncado).• Véase en la imagen L es la Longitud del segmento, r1 es el radio del extremo izquierdo, y r2 su homólogo derecho. Al girar la región se genera un troco de cono, con área lateral : Prof. Emma Yendis Donde,
  9. 9. Área de una superficie de revoluciónEntonces, Prof. Emma Yendis
  10. 10. Área de una superficie de revoluciónEJEMPLO: Encuentre el área de superficie generado al girar lacurva alrededor del eje x, en el intervalo [1,2] Se recomienda simplificar la raíz primeramente: Prof. Emma Yendis
  11. 11. Área de una superficie de revolución• Luego sustituimos en la fórmula Se resuelve por sustitución Prof. Emma Yendis
  12. 12. Trabajo MecánicoAplicación de Integral Definida Prof. Emma Yendis Clase de: Lunes 09-05-2011
  13. 13. Trabajo Mecánico• El concepto de trabajo sirve a los científicos e ingenieros para conocer cuánta energía es necesaria en la ejecución de cierta tarea . Por ejemplo, es útil saber el trabajo realizado cuando una grúa eleva una viga de hierro, al comprimir un muelle, al lanzar un cohete o cuando un camión transporta una carga.• Se realiza un trabajo cuando una fuerza desplaza Prof. Emma Yendis un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante , tenemos la definición de trabajo.
  14. 14. Trabajo MecánicoDefinición de trabajo:Si un objeto es desplazado por una fuerza F constanteuna distancia D en al dirección de la fuerza, el trabajoW realizado por la fuerza se define como W=FD.Hay muchas clases de fuerzas: Centrífuga,electromagnética, gravitatoria, entre otras. Se puedepensaren la fuerza como algo que empuja o atrae.¿Pero que pasa si la fuerza no es constante sino variable? RECURRIMOS AL CÁLCULO INTEGRAL
  15. 15. Trabajo MecánicoSupongamos que un objeto se mueveen línea recta desde x=a hasta x=bbajo la acción de una fuerza F(x) quevaría de manera continua. Sea ∆ unapartición de [a,b] en n sub intervalosdeterminados por: y seaPara cada i escojamos un . Como Fes continua, podemos aproximar eltrabajo realizado en el desplazamiento Prof. Emma Yendisdel objeto a lo largo del i-ésimosubintervalo como:
  16. 16. Trabajo MecánicoDefinición de trabajo realizado por una fuerza variable:Si un objeto es desplazado en línea recta desde x=a hasta x=bpor la acción de una fuerza F(x) que varía de forma continua , eltrabajo W realizado se define como Prof. Emma Yendis Fuerza Distancia
  17. 17. Trabajo Mecánico• Ejemplo Aplicado a Resortes:De acuerdo con la ley de Hooke en física, lafuerza F(x) necesaria para mantener un resorteestirado (o comprimido) x unidades alargado (oacortado) de su longitud natural, esta dado por: F=k.xAquí, la constante k, la constante del resorte, es Prof. Emma Yendispositiva y depende del resorte.
  18. 18. Trabajo Mecánico• Encontrar el trabajo requerido para comprimir un resorte desde su longitud natural de 1 a una longitud de 75 pies, si la constante de fuerza es k = 16 lb / ft Prof. Emma Yendis
  19. 19. Trabajo MecánicoAplicación a Bombeo de Líquidos:Un depósito en forma de conocircular que tiene 10 pies de altura,se llena hasta unos 2 pies de alto,con aceite de oliva de densidad de57lb/ft3. ¿Cuánto trabajo senecesita para bombear el aceitehasta el borde del tanque? Prof. Emma YendisHallamos primeramenteF(y)=(densidad) lb . (volumen) ft3 ft3
  20. 20. Trabajo Mecánico Luego, la distancia a través del cual F(y) debe actuar para bombear el aceite a nivel del borde del cono es de unos(10 - y)ft, por lo que el trabajo realizado para bombera el líquido, es aproximadamente: Prof. Emma Yendis
  21. 21. Referencias Bibliográficas• Purcell y otros, L. Cálculo. 8va. Edición – Capítulo 6, pág 293-302• Larson, R. y otros. Cálculo y Geometría Analítica. Volumen 1, 6ta. Edición. – Capítulo 6, pág 492-508• Thomas, G. Calculus. Part One, Single Variable. 11th Edition. – Capítulo 6, pág 436-451

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  • LuisFelipeCorreaGonzalez

    Aug. 20, 2015
  • jalarconlavin

    Sep. 25, 2015
  • VanessaBaque

    Feb. 3, 2016
  • williamargueta184

    Feb. 11, 2016
  • AlexiOtero

    Feb. 19, 2016
  • martincondoriconcha

    Mar. 10, 2016
  • johnn_martin

    Apr. 15, 2016
  • vivianaperdomomedina

    May. 16, 2016
  • RosaCarranza5

    Jun. 4, 2016
  • yulanypat

    Jun. 24, 2016
  • victormoranc

    Feb. 7, 2017
  • mireNICOLAS

    Mar. 27, 2017
  • LuisSC11

    May. 30, 2017
  • paubloutp

    Jun. 22, 2017
  • FrankBlasMelendez

    Nov. 30, 2017
  • kenynjoelparicotoleo

    Dec. 9, 2017
  • JulioManuelBaquerizo

    Aug. 14, 2018
  • mirtosalvaje

    Jan. 22, 2019
  • edwinobregon2

    Jul. 7, 2019
  • JulinoDuranPonce

    Nov. 25, 2019

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