1. Números Complexos
“O Espírito Divino expressou-se sublimemente nesta maravilha da análise, neste
portento do mundo das ideias, este anfíbio entre o ser e o não ser, que chamamos de
raiz imaginária da unidade negativa”.
Leibniz
1. Breve Histórico
Os números complexos aparecem no século XVI motivados pelas resoluções
de equações de terceiro e quarto graus. Em 1545, o matemático italiano Girolamo
Cardano (1501 – 1576) publica seu famoso livro Ars Magna, no qual trata da resolução
da equação de terceiro grau do tipo x 3 ax b 0 . O problema: “Qual é a medida x,
comum a aresta de cubo e a altura de um paralelepípedo com base 15 unidades de
área, sabendo que a diferença entre seus volumes é de 4 unidades?” corresponderia a
x 3 15 x 4 , e, aplicando-se uma fórmula deduzida por ele, apareceria a solução 4,
obtida na expressão 3 2 121 3 2 121 ! Cardano se perguntava como um
número real poderia se originar de uma expressão que continha raízes quadradas de
números negativos se estas não existiam. O mais curioso é que era possível operar com
esses números “esquisitos”, mesmo que não tivessem sentido, pois matematicamente os
problemas davam certo.
Mais tarde, um matemático Rafael Bombelli (1526 – 1572) estudou o trabalho
de Cardano e verificou que realmente esses números “funcionavam”. Sua representação
sofreu variações no decorrer do tempo, até que foram escritos na forma de produto por
1 , como, por exemplo,
121 11 1 . No século XVIII, Euler introduz o
símbolo i para representar a raiz quadrada de 1 . Assim, 121 passa a ser expressa
por 11i . Finalmente, a representação geométrica dos números complexos elaborada pelo
matemático, astrônomo e filosofo alemão Gauss (1777 – 1855), no final do século
XVIII, tornou-se mais significativo seu estudo e aplicabilidade.
2. O Conjunto dos Números Complexos (ℂ)
O conjunto ℂ é um conjunto cujos elementos — os números complexos —
devem ser tais que possam ser somados e multiplicados e nos quais seja possível a
extração de raiz quadrada de um número negativo. Logicamente, os números reais
precisam ser elementos desse conjunto ℂ, e as operações de adição e multiplicação
feitas sobre os números reais no conjunto ℂ devem ser as mesmas já conhecidas.
Existem muitas maneiras de definir o conjunto dos números complexos, mas a
notação preferida para definir os seus elementos é a forma algébrica.
3. A Forma Algébrica
2. Todo número complexo z pode ser escrito uma maneira única na forma
z a bi , onde a e b são números reais ( a é a parte real e b é a parte imaginária do
número complexo z ) e i é a unidade imaginária, tal que i 2 1 . Usa-se a notação
Rez a e Im z b .
Se o número complexo z possui a unidade imaginária (ou seja, b 0 ) ele é
chamado imaginário. Ademais, se b 0 temos que z é real; e se a 0 e b 0 temos
que z é imaginário puro.
Observe que, se a bi c di , concluímos pela unicidade da forma algébrica
que a c e b d , isto é, se dois complexos são iguais então as suas partes reais e
imaginárias são iguais.
Ainda usando a forma algébrica, podemos operar com complexos de maneira
análoga à que operamos com reais, com cuidado de tomar i 2 1 . Por exemplo,
a) 2 3i 3 4i 2 3 3 4i 1 7i
b)
c)
1 i 3 2i 1 3 1 2i 2 i
1 2i 2 3i 1 2 3i 2i 2 3i 2 3i 4i 6i 2 2 i 6 1 8 i
4. O Conjugado de um número complexo
Dado um número complexo z a bi , se z 0 existe um único complexo
tal que
1
z
1
1
na forma algébrica.
z 1 . Vamos determinar o complexo
z
z
Para isto, convém definir o conjugado de um número complexo z a bi
como o número complexo z a bi .
Exemplos:
a) z 2 3i z 2 3i
c) z 5i z 5i
b) z 3 4i z 3 4i
d) z 2 z 2
Agora, conhecido o conjugado do número complexo z a bi , para
1
determinamos o complexo
na forma algébrica, basta multiplicar numerador e
z
denominador por z , que é diferente de zero, uma vez que z 0 . Assim:
z
a bi
a bi
a
b
z
1
2
2
2
i 2
2
2
2
z z z a bi a bi a b
a b
a b
a b2
Logo:
1
a
b
z
2
2
i 2
2
2
z a b
a b
a b2
Dessa maneira, dados dois números complexos z1 e z 2 z 2 0 definimos o
1
z1
z z
como sendo o produto z1 , que é dado por 1 2 .
z
z2
z2 z2
2
Exemplo: Sendo z1 3 2i e z 2 1 5i , teremos
quociente
3. z1 3 2i 3 2i 1 5i 3 10 2i 15i 13 13i 1 1
i
z 2 1 5i 1 5i 1 5i
1 25
26
2 2
Propriedades do Conjugado
Sendo z a bi e w c di números complexos, temos:
P1 z z
P 2 z z 2a
P3 z z 2bi
P 4 z z z
P5 z z a 2 b 2
P6 z w z w
P7 z w z w
5. As Potências Naturais de i
Consideremos as potências do tipo i n , onde n é natural. Vejamos alguns
exemplos:
i0 1
i4 i2 i2 1
i1 i
i5 i 4 i i
i 2 1
i 6 i 4 i 2 1
i 3 i 2 i i
i 7 i 4 i 3 i
Começamos então a perceber que, à medida que n cresce, os resultados de i n
vão-se repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos valores da sequência:
1, i , 1 , i
sendo, pois, de 4 unidades o período de repetição; isto nos sugere que, para calcular o
valor de i n , basta elevar i ao resto da divisão euclidiana de n por 4.
De fato, se dividindo n por 4 encontramos quociente q e resto, isto é,
n 4q r , com r 0, 1, 2, 3 . Então:
i n i 4qr i 4q i r i 4
q
i r 1 i r i r
q
e, portanto:
in ir
Atividades de Sala
01. Dados os números complexos z1 1 3i e z 2 2 i , calcule:
a) z1 z 2
b) z1 z 2
c) z1 2 z 2 2
d)
z1
z2
4. 02. Determine o valor de x para que o número complexo:
a) z 3 1 2 x i seja um número real.
b) z 8 x 2 x 3i seja um número imaginário puro.
03. Calcule o valor de:
a) i 49
b) i 223457
c) 3i 15 i 16
d) 1 i i 2 i 3 2011
e) 1 i 2
f) 1 i 25
04. Determine o número complexo z tal que 2 z 1 z i .
05. Resolva em ℂ a equação x 2 4 x 5 0 .
06. Determine os números reais x e y para que x yi 1 3i 13 i .
07. Qual o valor de m para que o produto 2 mi 3 i seja um número imaginário
puro?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 10
08. Sendo n um número inteiro, quais os possíveis valores de i n i n ?
Atividades Propostas
01. Dados os números complexos z1 1 2i , z 2 1 3i e z 3 2 2i , calcule:
a) z1 z 2
b) z1 z 2 z 3
c) z1 z 2 z 3
2
d) z1 z 2 z 3
2
2
e) z 2 z 3 z1
2
02. Determine o número complexo z tal que 3z 4i z 6i 20 .
5. 3 z w 1 i
03. Sendo z e w números complexos, resolva o sistema
.
5 z 2w 1 3i
04. Determine o valor do número real x, para que o número complexo:
a) x 2 4 x 3 x 2i seja um número imaginário puro.
b) x x 2 7 x 12 i seja um número real.
05. (FUVEST – SP) Seja o número complexo z m 2i 2 i , em que m . Para
um determinado valor de m , o número z pode ser um imaginário puro igual a:
a) 4i
b) i
c) 2i
d) 3i
e) 5i
06. Calculando o valor da expressão
i i 2 i 5 i 6 i 41 i 42
obtemos:
i 3 i 4 i 7 i 8 i 43 i 44
a) 1
b) 1
c) i 1
d) i 1
e) 1 i
07. Simplificando
2 i 101 2 i 50
2 i 100 i 249
temos:
a) 1
b) 2 i
c) 2 i
d) 5
e) 5
08. (UECE) Se i é a unidade imaginária, a expressão complexa
7 3i 3 5i
é igual
1 i
1 i
a:
a) 1 6i
b) 1 i
c) 4 i
d) 1 4i
09. (CEFET) O valor de x, para que o quociente
xi
seja um número real é:
1 2i
6. a) 2
1
b)
2
c) 2
1
d)
2
10. Resolva em ℂ as seguintes equações:
a) x 2 6 x 10 0
b) x 2 2ix 5 0
c) 2 x 2 6 x 5 0 .
11. (ITA) O número natural n tal que 2i n 1 i 2 n 16i , em que i é a unidade
imaginária do conjunto dos números complexos, vale:
a) n 5
b) n 3
c) n 7
d) n 4
e) não existe n nestas condições.
12. (UFC) Determine o valor do número real a de modo que a expressão
1 2i
a i 2 seja um número real.
2 a i
13. Se x e y são números reais positivos tais que x 3i 1 yi 6i , então x y é
igual a:
a) 10
b) 12
c) 8
d) 9
e) 6
i, se x
14. Se a função f x
em que i é a unidade imaginária, então o valor
1, se x
de f f i 4 p , p é igual a:
a) 0
b) – 1
c) 1
d) i
e) i
7. 15. (ITA) Se z cos t i , em que 0 t 2 , então podemos afirmar que w
1 z
é
1 z
dado por:
a) i cot g
t
2
t
2
c) i cot gt
b) i tg
d) i tgt
e) n.d.a.
16. Se S100 é a soma dos cem primeiros termos da P.A. de primeiro termo 99 i e a
razão 1 i , então
S100
é igual a:
99 10i
a) 100i
b) 50
c) 1
d) 100
e) i
17. (Ufscar – SP) Sejam i a unidade imaginária e a n o n-ésimo termo de uma
progressão geométrica com
a1
i
a)
b)
c)
d)
e)
i i i
9i ou 9i
9 i ou 9 i
9 i ou 9 i
8 i ou 8 i
7 i ou 7 i
a2
a3
an
é igual a:
a 2 2 a1 . Se
a1
é um número ímpar, então