Geometría intrínseca (4)

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Geometría intrínseca (4)

  1. 1. Cap´ ıtulo 4Geometr´ intr´ ıa ınseca. Todos los elementos b´sicos de la geometr´ de superficies en R3 tienen la propiedad a ıade ser invariantes por movimientos r´ıgidos del espacio, es decir, si S es una superficie yφ : R3 → R3 es un movimiento r´ ıgido, entonces las geometr´ de S y de φ(S) coinciden. ıasImaginemos la situaci´n al rev´s: o e Si S1 , S2 son dos superficies en R3 y φ : S1 → S2 es una aplicaci´n, ¿qu´ tenemos o e que imponerle para que φ se extienda a un movimiento r´ ıgido de R3 ?Veremos que el Teorema de Bonnet (1867) nos da la respuesta: φ debe conservar la longitudde las curvas en ambas superficies y sus segundas formas fundamentales. Para entendermejor esto, pensemos que las superficies est´n hechas de un material flexible pero inex- atensible. De esta forma, toda deformaci´n de una superficie conservar´ las longitudes de o ıacurvas. Pero ¿podemos deformar una superficie de manera que tambi´n se conserven las ecurvaturas de todas sus secciones normales? La respuesta es no, a menos que la deforma-ci´n consista en simplemente mover la superficie por movimientos r´ o ıgidos en R3 . As´ que la clase de transformaciones que conservan las longitudes de curvas y las ısegundas formas fundamentales coincide con la clase de los movimientos r´ ıgidos de R3 .Si ahora s´lo pedimos que se conserven las longitudes de curvas, ¿crece mucho la clases ode transformaciones con esta propiedad? En lenguaje actual, una aplicaci´n diferenciable oφ : S1 → S2 con la propiedad de conservar las longitudes de curvas es una isometr´ local, ıaes decir, para todo punto p ∈ S1 , dφp es una isometr´ vectorial entre los planos tangentes ıaTp S1 y Tφ(p) S2 , ambos dotados de las m´tricas eucl´ e ıdeas dadas por las primeras formasfundamentales: dφp (v), dφp (w) = v, w , ∀p ∈ S1 , v, w ∈ Tp S1 .Este mismo concepto, en los tiempos de Gauss, se expresaba diciendo que S1 es desarro-llable sobre S2 , en el mismo sentido que los top´grafos trazan un mapa y que un cilindro o omedio cono menos su v´rtice pueden desarrollarse sobre un plano. Volviendo al ejemplo de e 73
  2. 2. 74 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA.los mapas, ya en tiempos de Euler se sab´ que es imposible trazar un mapa sin introducir ıadistorsiones en las medidas de las longitudes. Tambi´n se sabe que la esfera tiene curvatura epositiva, mientras que el plano la tiene id´nticamente nula. As´ que una cuesti´n natural e ı oes: ¿Hasta qu´ punto las isometrias locales conservan parte de la geometr´ de las e ıa superficies?La respuesta la dar´ el Teorema Egregium de Gauss (1827): la curvatura de Gauss K atambi´n se conserva. Es decir, K no s´lo es invariante por la clase de los movimientos e or´ ıgidos de R 3 , sino por una clase mucho m´s grande, la de las isometr´ a ıas locales entresuperficies. Para probar esto, veremos c´mo K puede calcularse sin usar la aplicaci´n de o oGauss, y en este sentido usamos el t´rmino “geometr´ intr´ e ıa ınseca”: K no depende de c´moopongamos la superficie dentro del espacio R o 3 , s´lo depender´ de las longitudes de curvas a(o equivalentemente, de la primera forma fundamental). Veremos un tercer resultado fundamental relacionado con los dos anteriores: es impo-sible deformar una esfera preservando las longitudes de las curvas (teorema de rigidez dela esfera, probado por Liebmann en 1838). De hecho, este resultado de rigidez puede ex-tenderse a superficies compactas con curvatura positiva (llamadas ovaloides, Cohn-Vossen1927). Terminaremos el cap´ ıtulo estudiando los objetos fundamentales de la geometr´ intr´ ıa ınse-ca: las geod´sicas, curvas en una superficie que juegan el papel de las rectas de la geometr´ e ıaEucl´ıdea. Estas geod´sicas son el punto de partida del estudio de la geometr´ intr´ e ıa ınsecaen abstracto, y pueden generalizarse a “superficies abstractas” (es decir, sin tener queestar embebidas en R3 e incluso a “superficies de dimensi´n arbitraria”, llamadas varie- odades, s´lo requiriendo que en cada punto de las mismas tengamos una m´trica eucl´ o e ıdeadefinida sobre el espacio tangente, que cambia suavemente de punto a punto. Este es elpunto de partida de la Geometr´ Riemanniana, que no veremos en esta asignatura pero ıaque podr´ cursarse como materia optativa. a4.1. Isometr´ ıas. Sea φ : R3 → R3 un movimiento r´ ıgido, esto es φ(p) = Ap + b donde A ∈ O(3) es unamatriz ortogonal y b ∈ R 3 un vector. Si S ⊂ R3 es una superficie, entonces S = φ(S)tambi´n es una superficie de R3 , y la restricci´n F = φ|S : S → S cumple: e o 1. F es un difeomorfismo. 2. La diferencial de F en cualquier punto p ∈ S es una isometr´ vectorial: ıa dFp (v), dFp (w) = v, w , ∀v, w ∈ Tp S.
  3. 3. 4.1. ISOMETR´ IAS. 75 3. F conserva (salvo el signo) las aplicaciones de Gauss, es decir si N : S → S2 es una aplicaci´n de Gauss para S, entonces N = A ◦ N ◦ F −1 es una aplicaci´n de Gauss o o para S. Derivando, dNF (p) ◦ A = A ◦ dNp para cada p ∈ S, lo que implica que F conserva las segundas formas fundamentales asociadas a N y N : Para cada p ∈ S, σF (p) (dFp (v), dFp (w)) = σp (v, w), ∀v, w ∈ Tp S. En particular, las curvaturas de Gauss y media se conservan tambi´n: K ◦ F = K, e H ◦ F = H.Definici´n 4.1.1 Una aplicaci´n diferenciable F : S → S entre dos superficies se llama o oisometr´ local si su diferencial en cada punto de S es una isometr´ vectorial (es decir, 2 ıa ıase cumple). Si adem´s F es un difeomorfismo, diremos que F es una isometr´ y en tal a ıa,caso, S y S se dicen superficies isom´tricas e 1. Por tanto, la restricci´n de un movimiento r´ o ıgido φ a una superficie S ⊂ R3 es unaisometr´ entre S y φ(S). Este caso particular de isometr´ se llaman congruencias. ıa ıas Como una isometr´ vectorial entre dos planos vectoriales es un isomorfismo, deducimos ıaque toda isometr´ local es un difeomorfismo local. La composici´n de isometr´ locales ıa o ıases una isometr´ local. La inversa de una isometr´ es una isometr´ y el conjunto de ıa ıa ıa,isometr´ de una superficie en s´ misma es un grupo con la composici´n. Por el teorema ıas ı ode la funci´n inversa, si F : S → S es una isometr´ local, dado p ∈ S existen entornos o ıaabiertos U de p en S y p en S tales que F (U ) = U y F |U : U → U es una isometr´ ıa. Por ejemplo, Sea Π = {(x, y, z) | z = 0} y C = {(x, y, z) | x2 + y 2 = 1}. Entonces, laaplicaci´n F : Π → C dada por F (x, y, 0) = (cosx, sinx, y) es una isometr´ local, y si la o ıarestringimos a la banda abierta S = {(x, y, z) ∈ Π | 0 < x < 2π} entonces F |S : S → S esuna isometr´ sobre el abierto C − ({(1, 0)} × R). ıaProposici´n 4.1.1 Sean S, S dos superficies y X, X : U → R3 parametrizaciones respec- otivas de S y S definidas en el mismo abierto U de R2 . Si los coeficientes de la primeraforma fundamental de S respecto a X coinciden con los de S respecto a X, entoncesX ◦ X −1 : X(U ) → X(U ) es una isometr´ ıa.Demostraci´n. F := X ◦ X −1 : X(U ) → X(U ) es un difeomorfismo, as´ que s´lo queda o ı oprobar que dado p ∈ X(U ), dFp es una isometr´ de espacios vectoriales. Esto equivale a ıaque dFp (v) 2 = v 2 , para cualquier v ∈ Tp S. Fijemos v ∈ Tp S. Sea q el unico punto de ´U tal que X(q) = p, y sea w = (a, b) ∈ R2 el unico vector tal que dX (w) = v. Vimos en la ´ q 1 “Ser isom´trica a” es una relaci´n de equivalencia en el conjunto de las superficies de R3 . Por ello, e osiempre que S sea isom´trica a S, tambi´n S ser´ isom´trica a S. Esto nos permite decir simplemente que e e a eambas superficies son isom´tricas, sin explicitar el orden. e
  4. 4. 76 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA.demostraci´n del Lema 2.4.1 que las coordenadas de v respecto a la base {Xx (q), Xy (q)} oson (a, b) (aqu´ (x, y) son las coordenadas en U ⊂ R2 ). Por tanto, ı 2 2 v = dXq (v) = a2 E(q) + 2abF (q) + b2 G(q),donde E, F, G son los coeficientes de la primera forma fundamental de S respecto a X. Por otro lado, dFp (v) = d(X ◦ X −1 )p (v) = dXq (w) tiene coordenadas (a, b) respecto ala base {Xx (q), Xy (q)} de TX(q) S = TF (p) S, luego 2 dFp (v) = a2 E(q) + 2abF (q) + b2 G(q),donde E, F , G son los coeficientes de la primera forma fundamental de S respecto a X.Como por hip´tesis tenemos E = E, F = F , G = G deducimos que F es una isometr´ 2 o ıa.Veamos una aplicaci´n de la proposici´n anterior. Consideremos la parametrizaci´n o o o X(θ, z) = (cos θ cosh z, sin θ cosh z, z)de la catenoide, definida en U = (0, 2π)×R. Los coeficientes de la segunda forma fundamen-tal son E(θ, z) = cosh2 z = G(θ, z), F (θ, z) = 0. Ahora consideremos la parametrizaci´noX(x, y) = (y cos x, y sin x, x), (x, y) ∈ (0, 2π) × R del helicoide. Haciendo el cambio depar´metros x = θ, y = sinh z (definido en U ), obtenemos a X(θ, z) = (cos θ sinh z, sin θ sinh z, θ).Los coeficientes de la primera forma fundamental del helicoide respecto a X son E(θ, z) =cosh2 z = G(θ, z), F (θ, z) = 0. Por tanto, la catenoide y el helicoide son localmenteisom´tricos (no son isom´tricos porque la catenoide es topol´gicamente un anillo y el e e ohelicoide es topol´gicamente un plano). o El siguiente resultado caracteriza a las isometr´ locales e interpreta geom´tricamente ıas elas mismas.Proposici´n 4.1.2 Sea F : S → S una aplicaci´n diferenciable entre dos superficies. o oEntonces, F es una isometr´ local si y s´lo si F conserva la longitud de las curvas, es ıa odecir: Para toda curva diferenciable α : I ⊂ R → S y todo subintervalo [a, b] ⊂ I, se tieneL(F ◦ α)b = L(α)b . a aDemostraci´n. Sea α : I → S una curva diferenciable y [a, b] ⊂ I. Entonces, o b L(F ◦ α)b = a (F ◦ α) (t) dt. a
  5. 5. 4.1. ISOMETR´ IAS. 77Si F es una isometr´ local, entonces (F ◦ α) (t) = dFα(t) (α (t)) = α (t) de donde ıaL(F ◦α)ab = L(α)b . Rec´ ıprocamente, sea p ∈ S y v ∈ Tp S. Si v = 0, la igualdad dFp (v) = a v se da trivialmente. Supongamos v = 0 y tomemos una curva diferenciable α : (−ε, ε) →S con α(0) = p, α (0) = v. Por continuidad de α podemos suponer que α es regular.Entonces, dado t ∈ (0, ε), t t (F ◦ α) (s) ds = L(F ◦ α)t = L(α)t = 0 0 α (s) ds, 0 0luego derivando en t y aplicando el teorema fundamental del c´lculo, (F ◦ α) (t) a = α (t) . Evaluando en t = 0 obtenemos dFp (v) = v . 2 Nuestro pr´ximo objetivo es probar el Teorema de Bonnet. Para ello necesitamos dos oresultados previos. El primero de ellos s´lo se usar´ para n = 3, pero lo enunciamos en o ageneral ya que la demostraci´n es la misma en este caso. oLema 4.1.1 Sea φ : O → O un difeomorfismo entre abiertos de Rn , tal que dφx ∈ O(n)para cada x ∈ O y O se supone conexo. Entonces, φ es la restricci´n a O de un movimiento o ıgido de Rn .r´Demostraci´n. Por hip´tesis dφx (u), dφx (v) = u, v para cualesquiera x ∈ O, u, v ∈ Rn . o oTomando como u, v los vectores de la base usual, deducimos ∂φ ∂φ , = δij en O. ∂xi ∂xjDerivando y aplicando la igualdad de Schwarz, ∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ , =− , =− , = , ∂xi ∂xj ∂xk ∂xi ∂xk ∂xj ∂xk ∂xi ∂xj ∂xk ∂xj ∂xi ∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ ∂2φ ∂φ = , =− , =− , , ∂xj ∂xk ∂xi ∂xj ∂xi ∂xk ∂xi ∂xj ∂xkde donde ∂2φ ∂φ , =0 en O, ∀i, j, k = 1, . . . , n. ∂xi ∂xj ∂xk ∂φFijando i, j y usando que { ∂xk | 1 ≤ k ≤ n} es una base ortonormal de Rn en cada puntode O, deducimos que ∂2φ = 0 en O, ∀i, j = 1, . . . , n. ∂xi ∂xjIntegrando dos veces (o desarrollando en serie) y usando que O es conexo, llegamos a queφ es la restricci´n a O de una aplicaci´n af´ φ(p) = Ap + b, donde A ∈ Mn (R) y b ∈ Rn . o o ın,Por tanto, dφp = A luego A ∈ O(n) y φ es la restricci´n a O de un movimiento r´ o ıgido. 2
  6. 6. 78 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA.Lema 4.1.2 (Existencia de entornos tubulares) Sea p0 un punto en una superficieS ⊂ R3 . Entonces, existe un entorno abierto orientable V de p0 en S y un n´mero δ > 0 utal que el conjunto T (V, δ) = {p + tNp | p ∈ V, |t| < δ},(donde N : V → S2 es una aplicaci´n de Gauss) cumple o 1. T (V, δ) es un abierto de R3 . 2. La aplicaci´n E : V × (−δ, δ) → T (V, δ) definida por E(p, t) = p + tNp es un difeo- o morfismo.En estas condiciones, a T (V, δ) se le llama entorno tubular de V de radio δ.Demostraci´n. Como el resultado es local, podemos suponer que S es orientable y que oN: S → S 2 es una aplicaci´n de Gauss para S. La aplicaci´n E : S × R → R3 dada por o oE(p, t) = p + tNp es diferenciable (en el sentido de que lo es fijando cada una de susvariables por separado). En estas condiciones, se puede calcular la diferencial de E en(p, t) ∈ S × R en analog´ a las derivadas parciales, actuando sobre (v, 0), (0, 1) ∈ Tp S × R, ıasin m´s que derivar la composici´n de E con curvas que representen a esos vectores: a o d d dE(p,t) (v, 0) = E(α(s), t) = α(s) + tNα(s) = v + tdNp (v), ds s=0 ds s=0 d d dE(p,t) (0, 1) = E(p, t + s) = (p + (t + s)Np ) = Np . ds s=0 ds s=0donde α : (−ε, ε) → S es una curva diferenciable tal que α(0) = p, α (0) = v. As´ dE(p,0) ı,es un isomorfismo de espacios vectoriales. El Teorema de la Funci´n Inversa (que tambi´n o ees v´lido en esta situaci´n) nos da la existencia de un entorno V de p en S y un δ > 0 a otales que E|V ×(−δ,δ) : V × (−δ, δ) → E(V × (−δ, δ)) = T (V, δ) es un difeomorfismo. 2 Sabemos que ciertos abiertos del plano Π = {(x, y, z) | z = 0} y del cilindro C ={(x, y, z) | x2 + y 2 = 1} son isom´tricos. Esta isometr´ no puede ser la restricci´n de un e ıa omovimiento r´ ıgido (porque un movimiento r´ ıgido lleva planos en planos), luego existenisometr´ entre superficies que no conservan sus segundas formas fundamentales. Como ıasadelantamos, el que una isometr´ entre superficies conserve las segundas formas funda- ıamentales es algo muy restrictivo:Teorema 4.1.1 (Bonnet) Sean S, S ⊂ R3 dos superficies orientables, con S conexa. SiF : S → S es una isometr´ local que conserva las segundas formas fundamentales de S y ıa ıgido de R3 , es decir, S y S sonS , entonces F es la restricci´n a S de un movimiento r´ ocongruentes.
  7. 7. 4.1. ISOMETR´ IAS. 79Demostraci´n. Por hip´tesis, existen aplicaciones de Gauss N, N en S, S respectivamente, o ocon segundas formas fundamentales asociadas σ, σ , tales que σF (p) (dFp (v), dFp (w)) =σp (v, w) para cualesquiera p ∈ S, v, w ∈ Tp S. Fijemos un punto p0 ∈ S. Como F es unaisometr´ local, el Teorema de la Funci´n inversa asegura que existen entornos abiertos V ıa ode p0 en S y V de F (p0 ) en S tales que F (V ) = V y F |V : V → V es una isometr´ ıa.Aplicando el Lema 4.1.2, podemos tomar V, V suficientemente peque˜os como para que n T (V, δ) = {p + tNp | p ∈ V, |t| < δ}, T (V , δ) = {p + tNp | p ∈ V , |t| < δ}sean entornos tubulares de V, V respectivamente de cierto radio com´n δ > 0. Ahora udefinimos la aplicaci´n φ : T (V, δ) → T (V , δ), o(4.1) φ(p + tNp ) = F (p) + tNF (p) , ∀p + tNp ∈ T (V, δ).Queremos aplicarle a φ el Lema 4.1.1, para concluir que φ es la restricci´n a T (V, δ) de oun movimiento r´ ıgido de R 3 . Para ello, debemos probar que φ es un difeomorfismo y quedφx ∈ O(3) para cada x ∈ T (V, δ). Por definici´n de entorno tubular, T (V, δ) y T (V , δ) son abiertos de R3 y las aplica- ociones E : V × (−δ, δ) → T (V, δ), E(p, t) = p + tNp , E : V × (−δ, δ) → T (V , δ), E (p , t) = p + tNp ,son difeomorfismos. Adem´s, (4.1) se traduce en que φ ◦ E = E ◦ (F × 1R ), luego φ aes un difeomorfismo. Dado x = E(p, t) ∈ T (V, δ), la regla de la cadena nos dice quedφx ◦ dE(p,t) = dE(F (p),t) ◦ (dFp × 1R ). Evaluando en (v, 0), (0, 1) ∈ Tp S × R, obtenemosrespectivamente(4.2) dφx (v + tdNp (v)) = dFp (v) + tdNF (p) (dFp (v)),(4.3) dφx (Np ) = NF (p) .Por otro lado, como F conserva las segundas formas fundamentales, dNF (p) (dFp (v)), dFp (w) = −σF (p) (dFp (v), dFp (w)) = −σp (v, w) = dNp (v), wpara cualesquiera v, w ∈ Tp S. Como F es una isometr´ local, el miembro de la derecha ıade la ultima expresi´n es dFp (dNp (v)), dFp (w) . Variando v, w ∈ Tp S obtenemos ´ o(4.4) dNF (p) ◦ dFp = dFp ◦ dNp .Sustituyendo (4.4) en (4.2) queda dφx (v + tdNp (v)) = dFp (v) + tdFp (dNp (v)) = dFp (v + tdNp (v)), ∀v ∈ Tp S.
  8. 8. 80 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA.Usando que v ∈ Tp S → v + tdNp (v) = dE(p,t) (v, 0) es un isomorfismo de espacios vecto-riales, queda(4.5) dφx (w) = dFp (w), ∀w ∈ Tp S.Como F es una isometr´ local de S en S , (4.5) nos dice que la restricci´n de dφx al plano ıa oTp S es una isometr´ vectorial en el plano TF (p) S . Por otro lado, (4.3) nos dice que la ıarestricci´n de dφx al subespacio ortogonal de Tp S en R3 es una isometr´ vectorial sobre o ıael subespacio ortogonal del plano TF (p) S . Por tanto, dφx es una isometr´ vectorial para ıacada x ∈ T (V, δ). Aplicando el Lema 4.1.1, existe un movimiento r´ ıgido φ = φp0 : R3 → R3 tal queφ|T (V,δ) = φ. En particular, φ|V = F |V . Ahora un argumento de conexi´n de S nos oasegura que los movimientos r´ıgidos φ p0 no dependen del punto p ∈ S, lo que termina la 0demostraci´n. o 2Corolario 4.1.11. Sean Π, Π ⊂ R3 dos planos afines y F : U → Π una isometr´ local, donde U es un ıa ıgido de R3 . abierto conexo de Π. Entonces, F es la restricci´n de un movimiento r´ o2. Sean S, S ⊂ R3 dos esferas del mismo radio. y F : U → Π una isometr´ local, donde ıa U es un abierto conexo de S. Entonces, F es la restricci´n de un movimiento r´ o ıgido de R 3.Demostraci´n. Por el teorema de Bonnet, en ambos casos basta comprobar que F con- oserva las segundas formas fundamentales. En el caso 1 esto es trivial porque ambas soncero. En el caso 2, la umbilicidad de las esferas hace que la segunda forma fundamentalsea proporcional a la primera, con factor de proporcionalidad el inverso del radio de laesfera. Como ambas esferas tienen el mismo radio, F tambi´n conserva las segundas formas efundamentales en este segundo caso. 24.2. El teorema egregium de Gauss. Sea S ⊂ R3 una superficie y X : U ⊂ R2 → R3 una parametrizaci´n de S. Consideramos o Xu ×Xv 3 . Siguiendo la idea que se us´ con lasla base B = Xu , Xv , N ◦ X = Xu ×Xv de R oecuaciones de Frenet para curvas, a continuaci´n estudiaremos la variaci´n de esta base o orespecto de los par´metros u, v de la carta. N´tese que dado v ∈ R3 , tenemos v = aXu + a o
  9. 9. 4.2. EL TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS. 81bXv +c(N ◦X), donde a, b, c ∈ R y v, N ◦X = c. Si tomamos v como Xuu (resp. Xuv , Xvv ,el coeficiente c correspondiente es e (resp. f, g), ver (3.7). As´ ı, Xuu = Γ1 Xu + Γ2 Xv + e(N ◦ X),   11 11 Xuv = Γ1 Xu + Γ2 Xv + f (N ◦ X),   12 12   Xvu = Γ1 Xu + Γ2 Xv + f (N ◦ X),  (4.6) 21 21   Xvv = Γ1 Xu + Γ2 Xv + g(N ◦ X), 22 22  (N ◦ X)u = a11 Xu + a12 Xv ,    (N ◦ X)v = a21 Xu + a22 Xv , donde Γk , aij son funciones diferenciables en el abierto U ⊂ R2 . A las funciones Γk se ij ijles llama los s´ ımbolos de Christoffel de la parametrizaci´n. Como Xuv = Xvu , deducimos oque los s´ımbolos de Christoffel Γk son sim´tricos en i, j, y podemos eliminar la tercera ij eecuaci´n de (4.6). Veamos que los s´ o ımbolos de Christoffel pueden obtenerse derivando loscoeficientes de la primera forma fundamental: 1 1 2 Eu = Xu u = Xuu , Xu = Γ1 E + Γ2 F, 11 11 2 2 1 Fu − Ev = ( Xu , Xv )u − Xu , Xuv = Xuu , Xv = Γ1 F + Γ2 G, 11 11 2que podemos ver como sistema de dos ecuaciones lineales en las inc´gnitas Γ1 , Γ2 . Re- o 11 11solvemos el sistema: 1 2 GEu − F Fu + 1 F Ev EFv − 1 EEv − 2 F Eu 1 Γ1 = 11 2 , Γ2 = 11 2 . EG − F 2 EG − F 2De forma an´loga pero usando las ecuaciones 2,3,4 en (4.6) se obtienen expresiones que aprueban que Los s´ ımbolos de Christoffel se obtienen a partir de los coeficientes de la primera forma fundamental y sus primeras derivadas parciales.Volvamos a (4.6). Derivando respecto a v en la primera ecuaci´n y respecto a u en la osegunda: Xuuv = (Γ1 )v Xu + Γ1 Xuv + (Γ2 )v Xv + Γ2 Xvv + ev (N ◦ X) + e(N ◦ X)v , 11 11 11 11 Xuvu = (Γ1 )u Xu + Γ1 Xuu + (Γ2 )u Xv + Γ2 Xuv + fu (N ◦ X) + f (N ◦ X)u . 12 12 12 12Como Xuuv = Xuvu , podemos igualar los miembros de la derecha en las dos ultimas ´ecuaciones. Son dos combinaciones lineales de vectores donde aparecen Xu , Xv , N ◦ X queforman base. Eliminamos el resto de vectores sustituyendo (4.6): (Γ1 )v Xu + Γ1 Γ1 Xu + Γ2 Xv + f (N ◦ X) 11 11 12 12
  10. 10. 82 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA. +(Γ2 )v Xv + Γ2 Γ1 Xu + Γ2 Xv + g(N ◦ X) 11 11 22 22 +ev (N ◦ X) + e (a21 Xu + a22 Xv ) = (Γ1 )u Xu + Γ1 Γ1 Xu + Γ2 Xv + e(N ◦ X) 12 12 11 11 +(Γ2 )u Xv + Γ2 Γ1 Xu + Γ2 Xv + f (N ◦ X) 12 12 12 12 +fu (N ◦ X) + f (a11 Xu + a12 Xv ) .Ahora s´ podemos identificar coeficientes: Para Xu , ı (Γ1 )v + Γ1 Γ1 + Γ2 Γ1 + ea21 = (Γ1 )u + Γ1 Γ1 + Γ2 Γ1 + f a11 , 11 11 12 11 22 12 12 11 12 12para Xv , 2(4.7) Γ1 Γ2 + (Γ2 )v + Γ2 Γ2 + ea22 = Γ1 Γ2 + (Γ2 )u + Γ2 11 12 11 11 22 12 11 12 12 + f a12 ,y para N ◦ X, Γ1 f + Γ2 g + ev = Γ1 e + Γ2 f + fu . 11 11 12 12S´lo usaremos (4.7) en lo que sigue. Primero calculamos aij en funci´n de los coeficientes o ode la primera y segunda forma fundamental: −e = − N ◦ X, Xuu = (N ◦ X)u , Xu = a11 E + a12 Fy an´logamente, −f = a11 F + a12 G. Resolviendo este sistema de dos ecuaciones lineales acon inc´gnitas a11 , a12 se obtienen o f F − eG F e − Ef a11 = , a12 = . EG − F 2 EG − F 2Razonando an´logamente con la ultima ecuaci´n de (4.6) deducimos que a ´ o gF − f G F f − Eg a21 = , a22 = . EG − F 2 EG − F 2Ahora sustitu´ ımos en (4.7) y pasamos todos los s´ ımbolos de Christoffel a un lado: eg − f 2 (Γ2 )v − (Γ2 )u + Γ1 Γ2 + Γ2 Γ2 − Γ1 Γ2 − (Γ2 )2 = E 11 12 11 12 11 22 12 11 12 = E · (K ◦ X), EG − F 2donde K es la curvatura de Gauss de S. Esto nos da una expresi´n la curvatura de Gauss oque s´lo depende de los s´ o ımbolos de Christoffel, sus primeras derivadas y E. Por lo obtenidoantes, K podr´ expresarse unicamente en t´rminos de los coeficientes de la primera forma a ´ efundamental y sus derivadas parciales hasta el orden 2. A partir de aqu´ es trivial probar ıel siguiente resultado:
  11. 11. 4.3. TEOREMA DE RIGIDEZ DE LA ESFERA. 83Teorema 4.2.1 (Teorema Egregium de Gauss) Sea F : S → S una isometr´ local ıaentre dos superficies de R 3 , con curvaturas de Gauss K, K . Entonces K ◦ F = K, estoes: las isometr´ locales conservan la curvatura de Gauss. ıas Una consecuencia directa del Teorema Egregium de Gauss es que un abierto de esferano puede ser isom´trico a un abierto del plano, es decir, no podemos trazar mapas sin edistorsionar las distancias, por peque˜a que sea la porci´n de tierra a representar. n oCorolario 4.2.1 Sean S, S ⊂ R3 dos esferas y F : U → S una isometr´ local, donde U ıa ıgido de R3 .es un abierto conexo de S. Entonces, F es la restricci´n de un movimiento r´ oEn particular S, S tienen el mismo radio.Demostraci´n. Por el Corolario 4.1.1, basta probar que ambas esferas tienen el mismo oradio. Esto se deduce del Teorema Egregium de Gauss, ya que la curvatura de una esferaes el inverso del cuadrado del radio. 24.3. Teorema de rigidez de la esfera. Hemos visto dos resultados de rigidez (Corolarios 4.1.1 y 4.2.1) donde se ve´ la im- ıaposibilidad de llevar una esfera en otra conservando las longitudes de curvas, ni siquieralocalmente. En esta secci´n extenderemos este resultado al caso en que la segunda super- oficie es arbitraria. A cambio, el resultado deber´ ser global en vez de local. aTeorema 4.3.1 (Rigidez de las esferas) Sea F : S2 (r) → S una isometr´ local entre ıauna esfera de radio r > 0 y una superficie conexa S. Entonces, F es la restricci´n de un omovimiento r´ıgido de R3 (en particular, S es otra esfera de radio r).Demostraci´n. Por el Corolario 4.2.1, basta probar que S es una esfera. Como F es conti- onua y S2 (r) compacta, su imagen F (S2 (r)) es un cerrado de S. Como F es un difeomorfismolocal, es una aplicaci´n abierta luego F (S2 (r)) es un abierto de S. Como S es conexa, debe oser F (S 2 (r)) = S luego S es compacta. Por otro lado, el Teorema Egregium de Gaussasegura que la curvatura de Gauss de S es constante. En estas condiciones, el Teorema deHilbert-Liebmann nos dice que S es una esfera. 2 La rigidez de las esferas significa que la geometr´ global de una esfera est´ comple- ıa atamente determinada por la de su primera forma fundamental. Esta propiedad de rigidezno es exclusiva de las esferas: tambi´n la tienen las superficies compactas con curvatura epositiva (ovaloides), pero la demostraci´n es mucho m´s complicada (ver por ejemplo las o ap´gs. 214–219 del libro de Montiel y Ros, Curves and Surfaces, Graduate texts in aMathematics 69, AMS-RSME 2005). Sin embargo, existen superficies compactas que no
  12. 12. 84 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA. Figura 4.1: Dos superficies isom´tricas pero no congruentes. eson r´ ıgidas, incluso de revoluci´n: en la Figura 4.1 se muestran dos superficies isom´tricas, o edonde la isometr´ local fija un abierto no trivial de las superficies (luego no puede ser la ıarestricci´n de un movimiento r´ o ıgido).4.4. Geod´sicas. e Seguimos estudiando propiedades intr´ ınsecas de las superficies, en el sentido de que seconserven por isometr´ (locales). El primer ejemplo de cantidad conservada por este tipo ıasde aplicaciones ha sido la curvatura de Gauss. Es l´gico pensar que si las isometr´ locales o ıasconservan la longitud de las curvas, entonces deber´ conservarse las curvas de longitud ıanm´ınima uniendo dos puntos (caso de que existan), una clara generalizaci´n de lo que ocurre oen el plano con las rectas. Cuando una curva en una superficie tenga esta propiedad deminimizaci´n de longitudes de curvas uniendo sus mismos extremos, se la llamar´ geod´sica o a eminimizante. Es claro el inter´s de determinar las geod´sicas minimizantes sobre la Tierra, e epor ejemplo para trazar cartas de navegaci´n a´reas. Desde luego, para calcular las curvas o eque minimizan la longitud entre sus extremos, primero deben minimizar la longitud deentre curvas pr´ximas con los mismos extremos. Esto nos lleva de forma natural al concepto ode variaci´n propia de una curva dada. oDefinici´n 4.4.1 Sea α : [a, b] → S una curva diferenciable sobre una superficie S ⊂ R3 . oUna variaci´n de α es una aplicaci´n diferenciable F : [a, b] × (−ε, ε) → S tal que F0 (t) := o oF (t, 0) = α(t) para cada t ∈ [a, b], ver Figura 4.2. Las curvas longitudinales de la variaci´n son Fs : [a, b] → S, Fs (t) = F (t, s), ∀s ∈ o(−ε, ε). As´ la curva central de la variaci´n es F0 = α. Las curvas transversales de F son ı, oFt : (−ε, ε) → S, Ft (s) = F (t, s), ∀t ∈ [a, b]. La variaci´n se dice propia en a si Fs (0) = a o
  13. 13. ´4.4. GEODESICAS. 85 Figura 4.2: Variaci´n de una curva α en una superficie. o∀s ∈ (−ε, ε), y se dice propia si es propia en a y en b simult´neamente (es decir, fija los aextremos de α). El campo variacional de F es la aplicaci´n diferenciable V : [a, b] → R3 dada por o ∂F V (t) = (t, 0), t ∈ [a, b]. ∂sClaramente, V (t) ∈ Tγ(t) S, ∀t ∈ [a, b]. Esto es, V es un campo tangente a S.Si la variaci´n es propia, su campo variacional se anular´ en los extremos. A continuaci´n o a overemos una especie de rec´ ıproco de la construcci´n anterior: los campos tangentes a lo olargo de una curva pueden ser integrados, y si se anulan en los extremos de la curva, lavariaci´n que lo integra puede elegirse propia. oProposici´n 4.4.1 Sea α : [a, b] → S una curva diferenciable sobre una superficie S ⊂ R3 oy V : [a, b] → R3 una aplicaci´n diferenciable tal que V (t) ∈ Tα(t) S para cada t ∈ [a, b]. oEntonces, existe ε > 0 y una variaci´n F : [a, b]×(−ε, ε) → S de α cuyo campo variacional oes V . Adem´s, si V (a) = V (b) = 0, la variaci´n F puede elegirse propia. a oDemostraci´n. Dado t ∈ [a, b], el Lema 4.1.2 nos permite tomar un entorno abierto orien- otable Vt de α(t) en S y un n´mero δt > 0 tal que u T (Vt , δt ) = {p + tNp | p ∈ Vt , |t| < δt }es un entorno tubular de Vt de radio δt . Moviendo t en [a, b] y usando la compacidad deα([a, b]), podemos tomar δt := δ > 0 independiente de t y encontramos un abierto Wde S conteniendo a α([a, b]) tal que T (W, δ) es un entorno tubular de W de radio δ. Enparticular: 1. T (W, δ) es un abierto de R3 que contiene al compacto α([a, b]).
  14. 14. 86 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA. 2. La aplicaci´n E : W × (−δ, δ) → T (W, δ) dada por E(p, t) = p + tNp es un difeo- o morfismo. Llamemos π = π1 ◦ E −1 : T (W, δ) → W , π(E(p, t)) = p, donde π1 es la proyecci´n sobre el primer factor. Claramente, π es diferenciable. oLa primera condici´n anterior implica que existe ε > 0 tal que si p ∈ R3 cumple odist(p, α([a, b])) < ε , entonces p ∈ T (W, δ). Llamemos ε M := m´x{ V (t) : t ∈ [a, b]}, a ε= . (1 + M )Dado (t, s) ∈ [a, b] × (−ε, ε), se tiene dist(α(t) + sV (t), α([a, b])) ≤ dist(α(t) + sV (t), α(t)) = sV (t) < εM < εluego α(t) + sV (t) ∈ T (W, δ). Ahora podemos definir F : [a, b] × (−ε, ε) → S mediante F (t, s) = π (α(t) + sV (t)) ,que es claramente diferenciable. Es f´cil ver que F es una variaci´n de α, cuyo campo a ovariacional viene dado por ∂F d d(4.8) (t, 0) = (dF )(t,0) (0, 1) = F (t, s) = π (α(t) + sV (t) ) = dπα(t) (V (t)). ∂s ds 0 ds 0Ahora calculamos la diferencial de π. Dado (p, t) ∈ W × (−δ, δ) y v ∈ Tp S,v = (dπ1 )(p,t) (v, 0) = d (π ◦ E)(p,t) (v, 0) = dπp+tNp dE(p,t) (v, 0) = dπp+tNp (v + tdNp (v)) ,luego tomando t = 0 tenemos dπp (v) = v, ∀p ∈ W y v ∈ Tp S. Sustituyendo en (4.8), ∂F d (t, 0) = (dF )(t,0) (0, 1) = F (t, s) = V (t), ∂s ds 0luego el campo variacional de F es V . Por ultimo, es inmediato comprobar que cuando ´V (a) = V (b) = 0, la variaci´n F as´ definida es propia. o ı 2Definici´n 4.4.2 Sea F : [a, b] × (−ε, ε) → S una variaci´n de una curva diferenciable o oα : [a, b] → S sobre una superficie S ⊂ R3 . Se define la funci´n longitud de la variaci´n F o ocomo LF : (−ε, ε) → R, b ∂F LF (s) = L(Fs ) = longitud(Fs ) = (t, s) dt. a ∂t
  15. 15. ´4.4. GEODESICAS. 87Es claro que para la definici´n anterior no necesitamos que la curva Fs sea regular, ya que la olongitud es invariante frente a reparametrizaciones. Pero para poder derivar el integrandoanterior respecto a s necesitamos que s ∈ (−ε, ε) → ∂F (t, s) sea diferenciable en s ∂tpara cada t ∈ [a, b]. Como F es diferenciable, lo anterior se tendr´ por composici´n si a o ∂Faseguramos que ∂t (t, s) no tiene ceros en [a, b], ∀s ∈ (−ε, ε). Una forma de conseguir estoes suponer que α es una curva regular, es decir ∂F (t, 0) = α (t) = 0 para cada t ∈ [a, b]. ∂tPor compacidad de [a, b] y continuidad de ∂F (t, s), podemos tomar ε > 0 suficientemente ∂tpeque˜o como para que ∂F (t, s) no tenga ceros en [a, b] × (−ε, ε). En estas condiciones, n ∂tun resultado de derivaci´n de integrales de funciones reales de variable real dependientes ode un par´metro nos asegura que LF = LF (s) es derivable en s ∈ (−ε, ε) y su derivada se acalcula integrando la derivada del integrando anterior, es decir: b b ∂ 2 F ∂F ∂ ∂f ∂t∂s , ∂t(4.9) LF (s) = (t, s) dt = ∂F (t, s) dt. a ∂s ∂t a ∂tSi suponemos que α est´ p.p.a., entonces a b ∂ 2 F ∂F(4.10) LF (0) = , (t, 0) dt. a ∂t∂s ∂tTeorema 4.4.1 (Primera f´rmula de variaci´n de la longitud) Sea α : [a, b] → S o ouna curva diferenciable con valores en una superficie S ⊂ R3 . Sea F : [a, b] × (−ε, ε) → Suna variaci´n diferenciable de α con campo variacional V . Entonces, o b(4.11) LF (0) = − V (t), α (t) dt + V (b), α (b) − V (a), α (a) . aDemostraci´n. Usando (4.10) y el Teorema fundamental del C´lculo, o a b b ∂ ∂F ∂F ∂F ∂ 2 F LF (0) = , (t, 0) dt − , (t, 0) dt a ∂t ∂s ∂t a ∂s ∂t2 b ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂ 2 F = , (b, 0) − , (a, 0) − , (t, 0) dt ∂s ∂t ∂s ∂t a ∂s ∂t2 b = V (b), α (b) − V (a), α (a) − V (t), α (t) dt. a 2 Gracias a la primera f´rmula de variaci´n de la longitud podemos caracterizar los pun- o otos cr´ ıticos de la longitud para variaciones propias. Antes introducimos algo de notaci´n: oDado p ∈ S y v ∈ R3 , podemos descomponer v de forma unica como ´ v = v T + v, Np Np ,donde Np es un vector unitario perpendicular a Tp S.
  16. 16. 88 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA.Corolario 4.4.1 Sea γ : [a, b] → S una curva regular en una superficie. Son equivalentes: 1. Para toda variaci´n propia F de γ, la funci´n longitud LF de F cumple LF (0) = 0. o o 2. La componente tangencial (γ )T de la aceleraci´n γ de γ es colineal con γ , es decir o (γ )T × γ = 0 en [a, b].Demostraci´n. Primero veamos que la condici´n (γ )T × γ = 0 es invariante frente a o o ˙ ˙reparametrizaciones: si β(s) = γ(h(s)) es una reparametrizaci´n de γ, entonces β = hγ (h) oyβ ˙ ¨ ¨ ˙ ¨ ˙ ¨ = hγ (h) + (h)2 γ (h), luego (β)T = h(γ (h))T + (h)2 (γ (h))T = hγ (h) + (h)2 (γ (h))T ¨y ¨ ˙ ¨ ˙ ˙ ˙ (β)T × β = hγ (h) + (h)2 (γ (h))T × hγ (h) = (h)3 ((γ )T × γ )(h),lo que implica que la condici´n 2 es invariante frente a reparametrizaciones. Tambi´n la o econdici´n 1 lo es, claramente. As´ en lo que sigue supondremos que α est´ p.p.a., luego o ı, aα es ortogonal a α . Esto nos dice que (γ )T × γ = 0 si y s´lo si (γ )T = 0 (de hecho, es oinmediato probar que si γ est´ parametrizada proporcionalmente al arco, esta equivalencia ase mantiene). Supongamos primero que γ est´ p.p.a. y (γ )T = 0 en [a, b]. Entonces, dada una avariaci´n propia F de γ, la primera variaci´n de la longitud nos dice que o o b b LF (0) = − V (t), γ (t) dt = − V (t), [γ (t)]T dt = 0. a aRec´ıprocamente, supongamos que 1 se da. Tomemos una funci´n derivable h : [a, b] → R oque se anule en a y b y que sea estrictamente positiva en (a, b). Definimos V : [a, b] → R3mediante V (t) = h(t)[γ (t)]T . La Proposici´n 4.4.1 asegura que existe una variaci´n propia o oF de γ con campo variacional V . Llamemos LF a la funci´n longitud de F . La primera of´rmula de variaci´n de la longitud y la hip´tesis 1 implican o o o b b 0 = LF (0) = − h (γ )T , γ dt = − h (γ )T 2 dt. a aComo el integrando anterior es no negativo en (a, b) y su integral es cero, deducimosque h (γ )T 2 = 0 en [a, b]. Como h > 0 en (a, b), debe ser (γ )T = 0 en (a, b), y porcontinuidad tambi´n en [a, b]. e 2Definici´n 4.4.3 Sea S ⊂ R3 una superficie. Una curva diferenciable γ : [a, b] → S se odice geod´sica si su aceleraci´n γ (t) es perpendicular a S: e o γ (t) ⊥ Tγ(t) S, ∀t ∈ [a, b].
  17. 17. ´4.4. GEODESICAS. 89Toda geod´sica est´ parametrizada proporcionalmente al arco, ya que e a d 2 γ (t) = 2 γ (t), γ (t) = 0. dtEn particular: 1. Las unicas reparametrizaciones de una geod´sica que siguen siendo geod´sicas son ´ e e aquellas donde el cambio de par´metro es af´ h(t) = at + b con a = 0. Esto nos a ın, dice que la propiedad de que una curva sea geod´sica no s´lo depende de su traza, e o sino de c´mo se recorre ´sta. Desde luego, las curvas constantes son geod´sicas, pero o e e ´stas no son interesantes. e 2. Si γ es una geod´sica de S, entonces (γ )T = 0, luego por el Corolario 4.4.1, γ e es punto cr´ ıtico de la funci´n longitud para toda variaci´n propia de γ (pero no o o necesariamente un m´ ınimo). Rec´ ıprocamente, si γ : [a, b] → S es una curva regu- lar parametrizada proporcionalmente al arco y γ es un punto cr´ ıtico del funcional longitud para toda variaci´n propia de γ, entonces el Corolario 4.4.1 asegura que o (γ )T × γ = 0 en [a, b]. Como γ est´ parametrizada proporcionalmente al arco, a entonces (γ )T = 0 en [a, b], es decir, γ es una geod´sica. En resumen: e Una curva parametrizada proporcionalmente al arco γ : [a, b] → S es una geod´sica si y s´lo si es un punto cr´ e o ıtico del funcional longitud para toda variaci´n propia de γ. oIncluso antes de ver ejemplos, mostraremos que el concepto de geod´sica es natural para eestudiar Geometr´ intr´ ıa ınseca de superficies.Proposici´n 4.4.2 Sea F : S → S una isometr´ local entre dos superficies y γ : [a, b] → S o ıauna curva diferenciable en S. Entonces, γ es una geod´sica de S si y s´lo si F ◦ γ es una e ogeod´sica de S. eDemostraci´n. De la definici´n de geod´sica se deduce que este concepto es puramente o o elocal, y por tanto nos podemos restringir al caso de que F sea una isometr´ Entonces F y ıa.su inversa conservan longitudes y variaciones propias, luego conservan los puntos cr´ ıticosde las correspondientes funciones longitud. Como tambi´n conservan la propiedad de que euna curva est´ parametrizada proporcionalmente al arco, la proposici´n est´ probada. 2 e o aVeamos algunos ejemplos de geod´sicas. e 1. Dados p, v ∈ R2 , la curva γ : R → R2 dada por γ(t) = p + tv es una geod´sica.e Adem´s, γ(0) = p, γ (0) = v. Rec´ a ıprocamente, en R 2 (o en cualquier plano af´ ın) no hay m´s geod´sicas que ´stas. a e e
  18. 18. 90 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA. Figura 4.3: Geod´sicas en un cilindro. e 2. Dados p ∈ S2 = S2 (1) y v ∈ Tp S2 = p ⊥, v = 0, la curva γ : R → S2 dada por v γ(t) = cos( v t)p + sin( v t) v es la geod´sica que pasa por p en t = 0 con velocidad v. La traza de γ es un c´ e ırculo m´ximo de S a 2. 3. Dado un punto p = (x, y, z) en el cilindro C = {x2 + y 2 = 1}, el vector v = (−ay, ax, b) es tangente a C en p, para cualquier (a, b) ∈ R2 − {(0, 0)}. La curva γ : R → C dada por γ(t) = (x cos(at) − y sin(at), y cos(at) + x sin(at), bt + z) es la geod´sica que pasa por p en t = 0 con velocidad v. La traza de γ es una e circunferencia horizontal si b = 0, una recta vertical si a = 0 y una h´lice circular si e ab = 0,ver Figura 4.3.En los dos ultimos ejemplos hemos dicho que γ es la geod´sica y no una geod´sica que ´ e epasa por p en t = 0 con velocidad v. Esto exige que no haya m´s de una con estas acondiciones iniciales, lo que ser´ cierto en general (Teorema 4.4.2). no obstante, no es adif´ probar directamente que ´stas son las unicas geod´sicas, sin usar este resultado ıcil e ´ egeneral (Ejercicios 3 y 4).Teorema 4.4.2 (Existencia y unicidad de geod´sicas) Sea p0 un punto en una su- eperficie S ⊂ R 3 y v ∈ T S. Entonces, existe ε = ε(p , v) ∈ (0, ∞] y una unica geod´sica ´ e p0 0maximal γ(·) = γ(·, p0 , v) : (−ε, ε) → S tal que γ(0) = p0 y γ (0) = v.
  19. 19. ´4.4. GEODESICAS. 91Demostraci´n. Sean V un entorno abierto orientable de p0 en S y δ > 0 tales que T (V, δ) = o{p + sNp | p ∈ V, |s| < δ} es un entorno tubular de V , siendo N : V → S2 una aplicaci´n de oGauss (todo ello dado por el Lema 4.1.2). As´ T (V, δ) es un abierto de R3 y la aplicaci´n ı, oE : V × (−δ, δ) → T (V, δ) dada por E(p, s) = p + sNp es un difeomorfismo. Consideremosla aplicaci´n diferenciable π = π1 ◦ E −1 : T (V, δ) → V , π(p + sNp ) = p, donde π1 es la oproyecci´n sobre el primer factor. o Sea G : T (V, δ) × R3 → R3 la aplicaci´n diferenciable dada por o G(x, y) = − y, d(N ◦ π)x (y) (N ◦ π)(x),y G : T (V, δ) × R3 → R3 × R3 dada por G(x, y) = (y, G(x, y)),tambi´n diferenciable. Ahora se considera el sistema de ODE de primer orden e(4.12) (x (t), y (t)) = G(x(t), y(t)) = (y(t), G(x(t), y(t)) ,que es equivalente a(4.13) x (t) = G(x(t), x (t)).Aplicando a (4.12) resultados de existencia y unicidad y de dependencia diferenciable desoluciones de un sistema de ODE en funci´n de las condiciones iniciales, conclu´ o ımos que 1. Dada una condici´n inicial (a, b) ∈ T (V, δ) × R3 , existe ε = ε(a, b) ∈ (0, ∞] y existe o una aplicaci´n ga,b : (−ε, ε) → T (V, δ) × R3 tal que o ga,b (t) = G(ga,b (t)) ∀t ∈ (−ε, ε), ( ) ga,b (0) = (a, b). 2. ga,b es maximal, en el sentido de que no puede definirse como soluci´n del problema o de valores iniciales ( ) en un intervalo sim´trico mayor. e 3. ga,b depende diferenciablemente de a, b, en el sentido de que el conjunto D = {(t, a, b) | T (V, δ) × R × R3 | |t| < ε(a, b)} es abierto (de R7 ) y la aplicaci´n Γ : D → T (V, δ) × R3 dada por o Γ(t, a, b) = ga,b (t) es diferenciable.
  20. 20. 92 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA.Volvamos a las condiciones iniciales p0 ∈ S, v ∈ Tp0 S del enunciado. Como (p0 , v) ∈T (V, δ) × R3 , tenemos un ε = ε(p0 , v) > 0 y una soluci´n g = gp0 ,v : (−ε, ε) → T (V, δ) × R3 ode ( ). Si denotamos por g(t) = (x(t), y(t)), entonces x : (−ε, ε) → T (V, δ) es diferenciabley cumple (4.13) junto con x(0) = p0 , x (0) = y(0) = v. Veamos que t → x(t) es la geod´sica ebuscada. Primero veamos que t → x(t) est´ valuada en S. Usando el difeomorfismo E asociado aal entorno tubular, tendremos(4.14) x(t) = p(t) + s(t)Np(t) = E(p(t), s(t)),para ciertas aplicaciones diferenciables t → p(t) ∈ V y t → s(t) ∈ (−δ, δ). Entonces,p0 = x(0) implica que p(0) = p0 y s(0) = 0. Adem´s, derivando en (4.14) obtenemos a x (t) = p (t) + s (t)Np(t) + s(t)dNp(t) (p (t)),de donde(4.15) s (t) = x (t), Np(t) ,en particular s (0) = v, Np0 = 0. Derivando en (4.15), s (t) = x (t), Np(t) + x (t), dNp(t) (p (t)) (4.13) = G(x(t), x (t)), Np(t) + x (t), dNp(t) (p (t)) = − x (t), d(N ◦ π)x(t) (x (t)) + x (t), dNp(t) (p (t)) = 0para todo t, luego s es una funci´n af´ Como s(0) = s (0) = 0, deducimos que s(t) = 0 o ın.y as´ x(t) = p(t) ∈ S para todo t ∈ (−ε, ε). Para ver que t → x(t) es una geod´sica, ı, ecalculamos T [x (t)]T = G(x(t), x (t)) = 0,Luego t → x(t) es una geod´sica. Rec´ e ıprocamente, si γ(t) es una geod´sica con γ(0) = p y eγ (0) = v, entonces por definici´n γ (t) es perpendicular a S en γ(t), es decir o γ (t) = λ(t)Nγ(t) ,para cierta funci´n λ = λ(t) que viene dada por o λ = γ , Nγ = − γ , dNγ (γ ) .As´ ı, γ = − γ , dNγ (γ )Nγ = − γ , d(N ◦ π)γ (γ ) (N ◦ π)(γ) = G(γ, γ ),es decir, t → γ(t) es una soluci´n de (4.13). Esto nos dice que las geod´sicas de S son o eexactamente las soluciones de (4.13) cuyas condiciones iniciales son un punto de S y unvector tangente a S en ese punto. Ahora el teorema se deduce de las propiedades 1,2,3anteriores. 2
  21. 21. ´4.5. COORDENADAS GEODESICAS POLARES Y ENTORNOS NORMALES. 93Lema 4.4.1 (Lema de homogeneidad) Con la notaci´n del Teorema 4.4.2, se tiene o 1que para cada λ > 0, ε(p, λv) = λ ε(p, v) y 1 1 γ(t, p, λv) = γ(λt, p, v), ∀t ∈ − ε(p, v), ε(p, v) . λ λDemostraci´n. Se deduce directamente de que al reparametrizar proporcionalmente al oarco una geod´sica volvemos a obtener una geod´sica, y de la unicidad de las geod´sicas e e ea partir de sus condiciones iniciales. 24.5. Coordenadas geod´sicas polares y entornos normales. e El siguiente resultado es consecuencia directa de la dependencia diferenciable de lasgeod´sicas en t´rminos de sus condiciones iniciales. e eTeorema 4.5.1 Dado un punto p en una superficie S ⊂ R3 , existen ε, δ > 0 tales que siB(0, δ) ⊂ Tp S es la bola de centro el origen y radio δ, entonces la aplicaci´n F : (−ε, ε) × oB(0, δ) → S dada por F (t, v) = γ(t, p, v)es diferenciable (estamos usando la notaci´n del Teorema 4.4.2). oDel Lema de homogeneidad se deduce f´cilmente que existe2 ε1 > 0 tal que si v ∈ Tp S atiene v < ε1 entonces ε(p, v) > 1 luego tiene sentido definir expp (v) := γ(1, p, v).A esta aplicaci´n expp : B(p, ε1 ) → S la llamaremos la exponencial en el punto p. Por la odependencia diferenciable de las geod´sicas respecto a sus condiciones iniciales (es decir, eel Teorema 4.4.2), la aplicaci´n exponencial es diferenciable donde est´ definida. Adem´s, o e asu diferencial en 0 ∈ Tp S est´ dada por a d d d (d expp )0 (v) = expp (tv) = γ(1, p, tv) = γ(t, p, v) = v, ∀v ∈ Tp S, dt t=0 dt t=0 dt t=0(hemos tomado t > 0 en la l´ ınea anterior), luego d(expp )0 = 1Tp S . Por el Teorema de laFunci´n inversa, existe un entorno abierto U ⊂ B(0, ε1 ) de 0 tal que o expp : U → V = expp0 (U ) 2 ε1 puede definirse as´ elegimos λ ∈ (0, ε) y definimos ε1 = λδ, donde ε, δ > 0 vienen dados por el ı:Teorema 4.5.1.
  22. 22. 94 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA.es un difeomorfismo. Al abierto V ⊂ S se le llema entorno normal de p. Con la notaci´n anterior, si δ1 > 0 cumple B(0, δ1 ) ⊂ U , entonces a B(p, δ1 ) := oexpp (B(0, δ1 )) ⊂ S lo llamaremos bola geod´sica de centro p y radio δ1 . Observemos que eexpp : B(0, δ1 ) → B(p, δ1 ) es un difeomorfismo. Dado r ∈ 0 < t < δ, a la imagen difeom´rfi- oca S 1 (p, r) por exp de S1 (0, r) = {v ∈ T S | v = r} se le llama el c´ ırculo geod´sico de e p pcentro p y radio r. Adem´s dado v ∈ B(0, δ1 ), la geod´sica a e t → expp (tv)est´ definida al menos en [−1, 1], tiene su traza contenida en B(p, δ1 ), y une p (para t = 0) acon expp (v) (para t = 1). Por eso, a t ∈ [0, 1] → expp (v) se le llama geod´sica radial en p. e Veamos algunos ejemplos. 1. El plano R2 . Como las geod´sicas de R2 son las rectas afines parametrizadas proporcionalmente e al arco, tenemos γ(t, p, v) = p + tv para cualesquiera p, v ∈ R2 y t ∈ R. As´ para ı, cada p ∈ R2 la exponencial expp est´ definida en todo R2 y vale a expp (v) = γ(1, p, v) = p + v, ∀v ∈ R2 . Como expp es la traslaci´n de vector p en R2 , que es un difeomorfismo de R2 en o s´ mismo, conclu´ ı ımos que el mayor entorno normal de cualquier punto de R2 es todo el plano, y que las bolas geod´sicas existen para cualquier valor del radio y coinciden e con las bolas m´tricas de R2 para la distancia usual. e 2. La esfera S2 = S2 (1). v Ten´ ıamos γ(t, p, 0) = p y γ(t, p, v) = cos( v t)p + sen( v t) v si v = 0. Como estas geod´sicas est´n definidas para todo t ∈ R, tenemos que dado p ∈ S2 la exponencial e a expp est´ definida en todo el plano tangente Tp S1 = p ⊥ , y a v expp (v) = cos v p + sen v , ∀∀v ⊥ p. v Para ver cu´l es el mayor entorno normal de p en S2 , empezamos estudiando los a ıticos de expp , que son los vectores v ∈ p ⊥ tales que ker(d expp )v = 0. puntos cr´ Como (d expp )0 es la identidad, podemos suponer v = 0. Dado w ∈ Tv (Tp S2 ) = Tp S2 , d d v + tw (d expp )v (w) = expp (v + tw) = cos v + tw p + sen v + tw dt 0 dt 0 v + tw v, w v, w sen v sen v =− sen v p + cos v − v+ w. v v 2 v v
  23. 23. 4.6. LEMA DE GAUSS Y TEOREMA DE MINDING. 95 Como p ⊥ v y p ⊥ w, obtenemos ⊥ v, w sen v = 0 (∗), ker(d expp )v = w∈ p v,w sen v . v cos v − v v + sen v w = 0 (∗∗) Supongamos que w ∈ ker(d expp )v − {0}. Entonces, (∗) implica v, w = 0 ´ bien o sen v = 0. En el primer caso, (∗∗) implica sen v = 0, luego esta ultima ecuaci´n ´ o es cierta en cualquier caso, y por tanto v = kπ, k ∈ N, y de nuevo (∗∗) nos dice que v, w = 0. Por tanto, ker(d expp )v ⊆ {w ∈ Tp S2 (1) | v, w = 0}. De hecho, la expresi´n general de (d expp )w obtenida arriba nos dice que se la la igualdad en o la inclusi´n anterior. Tambi´n deducimos que expp es un difeomorfismo local en o e B(0, π) = {v ∈ Tp S2 | v < π}. Cuando aplicamos expp a esta bola del plano tangente, estamos recorriendo las geod´sicas radiales en S2 (1) que parten de p hasta e llegar al punto ant´ıpoda −p, pero sin tomar este valor. Es geom´tricamente claro e que estos medios c´ırculos m´ximos no se cortan, de donde conclu´ a ımos que expp es inyectiva en B(0, π). Por tanto, El mayor entorno normal de p ∈ S2 (1) es B(p, π) = expp (B(0, π)) = S2 (1) − {−p}.4.6. Lema de Gauss y Teorema de Minding.Lema 4.6.1 (Lema de Gauss) Sea p un punto en una superficie S ⊂ R3 y v ∈ Tp S talque la exponencial expp est´ definida en v. Entonces: a (dexpp )v (v), (dexpp )v (w) = v, w , ∀w ∈ T pS.En particular, las geod´sicas radiales partiendo de p son ortogonales a los c´ e ırculos geod´si- ecos centrados en p.Demostraci´n. Si v = 0, la f´rmula es evidente. Supongamos entonces que v = 0. Como o ola f´rmula es lineal en w, basta probarla en los casos w v y w ⊥ v. Supongamos primero oque w = λv, λ ∈ R. Entonces, 2 2 (d expp )v (v), (d expp )v (w) = λ (d expp )v (v) = λ γ (1, p, v) 2 2 = λ γ (0, p, v) =λ v = gp (v, w).Ahora supongamos gp (v, w) = 0. Por tanto, podemos ver w como vector tangente al ırculo S1 ( v ) ⊂ Tp S en el punto v ∈ S1 ( v ). As´ existe una curva diferenciable v =c´ ı,v(s) : (−ε, ε) → S1 ( v ) tal que v(0) = v, v(0) = w. Como la exponencial expp est´ definida ˙ a
  24. 24. 96 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA.en v, y su dominio de definici´n en un abierto de Tp S, podemos elegir ε > 0 suficientemente o ε εpeque˜o como para que v(−ε, ε[) est´ contenido en el dominio3 de expp . Como v([− 2 , 2 ]) n ees un compacto contenido en el dominio de expp , existe δ > 0 tal que tv(s) tambi´n e ε εcae en dicho dominio ∀(t, s) ∈ (−δ, 1 + δ) × (− 2 , 2 ). As´ tiene sentido expp (tv(s)) para ı,todo (t, s) ∈ (−δ, 1 + δ) × (−ε, ε) luego podemos considerar la aplicaci´n diferenciable o ε εf : (−δ, 1 + δ) × (− 2 , 2 ) → S dada por f (t, s) = expp (tv(s)).Notemos que ∂f (t, s) = du u=0 expp ((t + u)v(s)) = ∂t d d du u=0 γ(t + u, p, v(s)) = γ (t, p, v(s))por el Lema de Homogeneidad. Por tanto, T ∂2f (t, s) = γ (t, p, v(s))T = 0. ∂t2Adem´s, a 2 ∂f 2 2 (t, s) = γ (t, p, v(s)) = v(s) ∂tque es constante, luego T ∂ ∂f ∂f ∂ 2 f ∂f ∂f ∂ 2 f ∂2f ∂f ∂f ∂ 2 f , = , + , = , + , ∂t ∂t ∂s ∂t2 ∂s ∂t ∂t∂s ∂t2 ∂s ∂t ∂t∂s 2 ∂f ∂ 2 f 1 ∂ ∂f = , = = 0. ∂t ∂t∂s 2 ∂s ∂tComo lo anterior es cierto ∀t, s, tenemos que para s arbitrario, ∂f , ∂f no depende de t. ∂t ∂sSi vemos que ∂f , ∂f (0, s) = 0 para s arbitrario, entonces tendremos ∂t ∂s ∂f ∂f(4.16) , =0 ∂t ∂spara cualesquiera t y s. Evaluando (4.16) en t = 1 y s = 0 tendremos (d expp )v (v), (d expp )v (w) = 0, 3 Tal y como hemos definido nosotros expp , su dominio es una bola de Tp S luego este paso es innecesario:v(s) puede tomarse como una parametrizaci´n del c´ o ırculo S1 ( v ); pero hay textos que no definen exppsobre una bola de Tp S sino sobre su dominio maximal de definici´n, que sigue siendo abierto de Tp S por oel Teorema 4.4.2.
  25. 25. 4.6. LEMA DE GAUSS Y TEOREMA DE MINDING. 97que es lo que quedaba para deducir el lema de Gauss. As´ que todo se reduce a probar que ı ∂f ∂f ∂t , ∂s (0, s) = 0. Esto se deduce de que ∂f d (0, s) = expp (0 · v(s + λ)) = 0. ∂s dλ λ=0 2La existencia de entornos normales junto con el lema de Gauss nos permite demostrar algu-nos resultados interesantes. El primero nos prueba que las geod´sicas localmente minimizan ela longitud. Diremos que una curva α : [a, b] → S valuada en una superficie S ⊂ R3 esdiferenciable a trozos si α es continua en [a, b] y existen a = t0 < t1 < . . . < tk = b tales queα|[ti−1 ,ti ] es diferenciable, para cada i = 1, . . . , k. En particular, existen α (a+ ) ∈ Tα(a) S,α (b− ) ∈ Tα(b) S y α (t− ), α (t+ ) ∈ Tα(ti ) S, ∀i = 1, . . . , k − 1, aunque no tiene porqu´ darse i i e + +α (ti ) = α (ti ). Cuando esta igualdad no sea cierta, diremos que ti es un v´rtice de α. eTeorema 4.6.1 Sea B(p, r) una bola geod´sica de radio r > 0 centrada en un punto p de euna superficie S ⊂ R 3 . Dado q ∈ B(p, r), sea v el unico vector de B(0, r) ⊂ T S tal que ´ pexpp v = q. Llamemos γ(t) = γ(t, p, v) = expp (tv), 1 ≤ t ≤ 1. Entonces: 1. L(γ)1 = v . 0 2. Si α : [0, 1] → S es una curva diferenciable a trozos con α(0) = p, α(1) = q, entonces L(γ)1 ≤ L(α)1 , con igualdad si y s´lo si α es una reparametrizaci´n no decreciente 0 0 o o de γ.Demostraci´n. 1 es claro. Veamos 2 discutiendo dos casos sobre la curva α. o Caso I: Supongamos α([0, 1]) ⊂ B(p, r).Sea β = exp−1 ◦α, curva diferenciable a trozos en B(0, r) con la misma partici´n de v´rtices p o eque α y con β(0) = 0, β(1) = v. Entonces existe t ∈ (0, 1] tal que β(t) = 0 y β(t) = 0 paratodo t ∈ (t, 1]. En (t, 1]∗ = (t, 1] − {v´rtices de α}, podemos descomponer e β β β = β, + β⊥, β βdonde β ⊥ es ortogonal a β. Por tanto en (t, 1]∗ se tiene β β α = (d expp )β (β ) = β , (d expp )β + (d expp )β (β ⊥ ) β βy 2 β β α 2 = β, 2 (d expp )β + (d expp )β (β ⊥ ) 2 β β
  26. 26. 98 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA. β β +2 β , (d expp )β , (d expp )β (β ⊥ ) . β βComo α = exp ◦β, podemos usar el Lema de Gauss en los sumandos primero y tercero.Como β ⊥ β ⊥ , el tercer sumando se anula. As´ obtenemos ı β (A) β α 2 = β, 2 + (d expp )β (β ⊥ ) 2 ≥ β, 2 . β βY de aqu´ ı, (B) 1 1 (C) 1 β β L(α)1 ≥ L(α)t = 0 1 α dt ≥ β, dt ≥ β, dt t t β t β 1 (∗) = ( β ) dt = β(1) − β(t) = v = L(γ)1 , 0 tdonde (A),(B),(C) se usar´n al discutir la igualdad, y (∗) se obtiene aplicando la regla de aBarrow en cada componente de (t, 1]∗ . Si se da la igualdad, entonces se dar´ la igualdad en a(A),(B),(C) anteriores. De (A) se deduce que β ⊥ = 0 o equivalentemente, β = β , β β β β βen (t, 1]∗ . Esto implica β = 0 en (t, 1]∗ , luego para cada componente I de (t, 1]∗ existe βcI ∈ S1 (1) ⊂ Tp S tal que β = cI en I. De la igualdad en (B) se tiene α ≡ p en [0, t]. βPor ultimo, la igualdad en (C) implica 0 ≤ β , ´ β = β , cI en I, luego β|I recorre deforma no decreciente en norma un segmento dentro de la semirrecta R+ cI . Como β es βuna curva continua en (t, 1]∗ , todos los cI deben ser el mismo. Como β(t) = 0 y β(1) = v,tenemos que β|(t,1] recorre el segmento 0, v ⊂ Tp S de forma no decreciente en norma.Ahora s´lo hay que componer con expp para obtener lo que busc´bamos. o a Caso II: Supongamos α([0, 1]) ⊂ B(p, r).Tomemos t ∈ (0, 1] tal que α(t) ∈ B(p, r) en [0, t), α(t) ∈ ∂B(p, r) (esta frontera estopol´gica, no tiene porqu´ ser una esfera geod´sica). Tomemos una sucesi´n {tk }k ⊂ [0, t) o e e oconvergiendo a t. Aplicando el caso I a α|[0,tk ] tenemos L(α)tk ≥ vk , donde vk es el unico 0 ´ t = l´ tkvector de B(0, r) ⊂ Tp S con expp vk = α(tk ). Por tanto, L(α)0 ımk L(α)0 ≥ l´ k vk . ımVeamos que vk → r: Podemos suponer tras pasar a una parcial que { vk }k tiene l´ ımitel ≤ r. Si l < r, entonces una parcial de vk converger´ a un vector v∞ ∈ B(0, r), luego aexpp v∞ = l´ k expp (vk ) = l´ k α(tk ) = α(t), de donde α(t) ∈ B(p, r), contradicci´n. As´ ım ım o ı,l = r luego L(α)0 1 ≥ L(α)t ≥ l = r > v = L(γ)1 y hemos terminado (la igualdad no 0 0puede darse en este caso II). 2 La segunda consecuencia que daremos del lema de Gauss ser´ la construcci´n de pa- a orametrizaciones con buenas propiedades en toda superficie. Esta ser´ la herramienta fun- adamental para probar el Teorema de Minding.
  27. 27. 4.6. LEMA DE GAUSS Y TEOREMA DE MINDING. 99Proposici´n 4.6.1 (Coordenadas polares geod´sicas) Sea B(p, r) una bola geod´si- o e eca de radio r > 0 centrada en un punto p de una superficie S ⊂ R 3 . Sea {e , e } una base 1 2ortonormal de Tp S. Entonces, la aplicaci´n X : (0, r) × (0, 2π) → S dada por o X(t, θ) = expp (t cos θe1 + t sin θe2 )es una parametrizaci´n de S alrededor de p y cumple: o 1. E = Xt 2 = 1, F = Xt , Xθ = 0, y por tanto la primera forma fundamental est´ determinada por la funci´n G = Xθ 2 . a o √ √ 2. ( G)tt + (K ◦ X) G = 0, donde K es la curvatura de Gauss de X. √ √ ım G(t, θ) = 0 y l´ ( G)t (t, θ) = 1, para todo θ ∈ (0, 2π). 3. l´ ım t→0 t→0Demostraci´n. Notemos que para θ ∈ (0, 2π) fijo, γ(t) := X(t, θ) es la geod´sica radial o een p con velocidad inicial γ (0) = cos θe1 + sin θe2 = eiθ . As´ E = Xt 2 = γ (t) 2 = ı, γ (0) 2 = 1. Por otro lado, d(4.17) Xθ (t, θ) = expp (teiθ ) = (d expp )teiθ iteiθ , dθ(4.18) Xt (t, θ) = (d expp )teiθ eiθ ,luego el Lema de Gauss nos dice que F (t, θ) = Xt , Xθ (t, θ) = eiθ , iteiθ = 0,lo que prueba el apartado 1. En cuanto al apartado 2, recordemos de (3.8) que K vienedada por la ecuaci´n o eg − f 2 eg − f 2 K ◦X = = , EG − F 2 Xθ 2donde e, f, g son los coeficientes de la segunda forma fundamental σ de S respecto a laparametrizaci´n X. Calculamos estos coeficientes: oe = σ(Xt , Xt ) = − (N ◦ X)t , Xt = N ◦ X, Xtt , f = N ◦ X, Xtθ , g = N ◦ X, Xθθ , Xt ×Xθdonde N = Xt ×Xθ es una aplicaci´n de Gauss de S. Por otro lado, o √ Xtθ , Xθ ( G)t = ( Xθ )t = , Xθ Xtθ ,Xθ√ ( Xtθ , Xθ )t Xθ − Xtθ , Xθ Xθ −3 2 2( G)tt = 2 = Xθ ( Xtθ , Xθ )t Xθ − Xtθ , Xθ Xθ
  28. 28. 100 CAP´ ITULO 4. GEOMETR´ INTR´ IA INSECA.Luego √ √ √ ( G)tt + (K ◦ X) G = G−3/2 ( Xtθ , Xθ )t G − Xtθ , Xθ 2 + (eg − f 2 ) G(4.19) = G−3/2 ( Xtθ , Xθ )t G − Xtθ , Xθ 2 + (eg − f 2 )G2Derivando en Xt 2 = 1 respecto a θ obtenemos Xtθ , Xt = 0 luego Xtθ no tiene compo-nente en la direcci´n de Xt al expresarlo en combinaci´n lineal de la base {Xt , Xθ , N } de o oR3 . Por tanto, Xtθ = µXθ + f N,donde µ = Xtθ , Xθ /G, diferenciable. Por otro lado, como t → X(t, θ) es geod´sica de S, eentonces Xtt va en la direcci´n de N y por tanto, Xtt = Xtt , N N = eN . As´ o ı, Xttθ , Xθ = (eN )θ , Xθ = eθ N + eNθ , Xθ = e Nθ , Xθ = −e N, Xθθ = −eg,luego 2 2(4.20) ( Xtθ , Xθ )t = Xttθ , Xθ + Xtθ = −eg + µXθ + f N = −eg + µ2 G + f 2 .Sustituyendo esto en el corchete de (4.19) tenemos( Xtθ , Xθ )t G− Xtθ , Xθ 2 +(eg−f 2 )G2 = (−egG+µ2 G2 +f 2 G)−(µG)2 +(eg−f 2 )G2 = 0,lo que prueba el apartado 2. Por ultimo, (4.17) implica ´ l´ Xθ (t, θ) = l´ (d expp )teiθ iteiθ = (d expp )0 (0) = 0, ım ım t→0 t→0 √luego l´ t→0 ım G(t, θ) = l´ t→0 Xθ (t, θ) = 0, y ım √ Xtθ , Xθ Xθ(4.21) ( G)t = ( Xθ )t = = Xtθ , . Xθ XθPero (4.18) nos da(4.22) l´ Xtθ (t, θ) = l´ Xt (t, θ) ım ım = l´ (d expp )teiθ (eiθ ) ım = eiθ = ieiθ . t→0 t→0 θ t 

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