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2. el teorema fundamental del cálculo

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2. el teorema fundamental del cálculo

  1. 1. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOINTRODUCCION:El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función sonoperaciones inversas.Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Esteteorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo.1.1 MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS DEFINICION DE AMORFA: Sin forma determinada. (del griego, prefijo a, negación, y la palabra morfo, forma; literalmente, sin forma.) Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulas de otras figuras.EJEMPLOS DE FIGURAS AMORFAS:1.2 NOTACION SUMATORIA (NOTACION SIGMA) En nuestro desarrollo de la integral definida se empleara sumas de muchos números. Para expresar dichas sumas en forma compacta, es conveniente usar la notación de suma, (notación sumatoria o notación sigma). DEFINICION: El sumatorio o la sumatoria es un operando matemático que permite representar sumas de muchos sumandos.CALCULO INTEGRAL Página 1
  2. 2. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOEl nombre de esta notación se denomina de la letra griega: (Sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S de"suma"). La notación sigma : La ecuación anterior se lee la "suma de desde hasta ."DOND Indica una suma.E: K es el índice de la suma o variable de la sumatoria. Los números 1 y n indican sus valores extremos. NOTA: Se puede utilizar cualquier variable como índice de suma; “i,j y k” EJEMPLOS CON LA NOTACION SIGMA.1.2.3.4.5.6.7.CALCULO INTEGRAL Página 2
  3. 3. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA REALIZAR EN CLASE Calcule la siguientes Series:1.2.3.4. Exprese cada suma en notación sigma:1.2. PROPIEDADES DE LAS SUMAS: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.CALCULO INTEGRAL Página 3
  4. 4. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Evaluacion de una suma aplicando las propiedades.SOLUCION: , factor constante fuera de la suma. (3) Escribir como dos sumas. (1) Aplicar propiedades. (4 y 7) Simplificar Simplificar PARA REALIZAR EN CLASE 1. 2. 3. 4. 5.1.3 SUMAS DE RIEMANN En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. SUMA DE RIEMANN : Sea f una funcion definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea ∆ una particion de [a,b] dada por:CALCULO INTEGRAL Página 4
  5. 5. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO =es algún numero en para DOND i=1,2,…..,n. E: = es el ancho del i-esimo subintervalo.METODOS: Hay cuatro métodos comunes para computar una suma de Riemann: Izquierdo Derecho Medio Trapezoidal.APROXIMACION CON LA SUMA DE RIEMANNEl área por debajo de una curva puede ser aproximada con la suma de Riemann: =es algún numero en paraDOND i=1,2,…..,n.E: = es el ancho del i-esimo subintervalo. Dada con , encontrar la suma de riemann para la función f en para lapartición. Dada:SOLUCION:CALCULO INTEGRAL Página 5
  6. 6. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA REALIZAR EN CLASEDada , encontrar la suma de riemann para la función f en para la partición. Dada:1.4. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDASi “F” se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite:Entonces “f “es integrable en [a,b] y el limite se denota por: NOTA: -Una integral definida es un número, en tanto que una integral indefinida es una familia de funciones. DONDE:El ancho del subintervalo mas grande de la partición ∆es la norma de la partición y se denota por medio de .ParticionordinariaParticion generalHALLAR LA INTEGRAL DEFINIDA:La solución f(x)=2x es integrable en el intervalo [-2,1]SOLUCION:CALCULO INTEGRAL Página 6
  7. 7. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOCALCULO INTEGRAL Página 7
  8. 8. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARA REALIZAR EN CLASE: Hallar la integral indefinida.1. 2.LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN:Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b], entonces el área de la región acotada por la grafica de f del“eje x” y las rectas verticales x=a y x=b está dada por : Área: Escribir la integral: Ejemplo de áreas de figuras geométricas comunes. Dibujar la region correspondiente a cada integral definida. Evaluar después cada integral utilizando unaformula geométrica.a. b. c. Rectangulo Trapezoide semicirculoCALCULO INTEGRAL Página 8
  9. 9. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO1.5. TEOREMA DE EXISTENCIA Y 1.6. PROPIEDADES Definicion de dos integrales definidas especiales: 1. Si f esta definida en x=a, entonces se define: 2. Si f es integrable en [a,b], entonces se define: 3. Propiedades aditiva de intervalos: Si f es integrable en los tres intervalos cerrados determinados por “a,b y c.” 4. Propiedades de las integrales definidas: si f y g son integrables en [a,b] y k es una constante entonces las funciones “k” y “f” y “f±g” son integrables en [a,b]: , Utilizando los siguientes valores:SOLUCION:CALCULO INTEGRAL Página 9
  10. 10. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO1.7. FUNCION PRIMITIVA (ANTIDERIVADAS)Suponer que se decide encontrar una función f cuya derivada es :EJEMPLO: Definicion de una antiderivada o primitivaSe dice que una función f es una antiderivada oprimitiva de f, en un intervalo I si: Ejemplo:Son todas antiderivadas de: es una antiderivada de “f.” ecuacion diferencial derivada antiderivadaDiferenciales: PARTES DE UNA INTEGRAL La antiderivada o primitiva de f con respecto a “x”.CALCULO INTEGRAL Página 10
  11. 11. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Donde:f(x)=integrandodx=variable de integraciónC=constante de integración F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo. La integral indefinida es sinónimo de antiderivada.REGLAS BASICAS DE INTEGRACION: Integral reescribir integrar Simplificar original1.8. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.Se ha visto ya dos de las principales ramas del cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El teorema fueenunciado por Newton y Leibniz.De manera informal, el teorema establece que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, asicomo la división y la multiplicación.El teorema fundamental del calculo establece que los procesos de limite (utilizandos para definir la derivada y laintegral definida). El teorema fundamental del calculoSi una funcion f es continua en el intervalo cerrado y Fes una antiderivada de f en el intervalo cerrado,entonces:1.9. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.REPASO: INTEGRACION Y ANTIDERIVADAA lo largo de esta unidad, se ha estado utilizando es signo de integral para denotar una antiderivada o primitiva y unaintegral definida. Antiderivada:CALCULO INTEGRAL Página 11
  12. 12. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Integración definida: CALCULOS:1.10. INTEGRALES IMPROPIASEs la concideracion de un intervalo infinito de integración.Si f es continua para toda “x” x≥a, entonces:Si f es continua para toda “x” x≤b, entonces:Si f es continua para todos los valores de x, entonces:EJEMPLO:CALCULO INTEGRAL Página 12
  13. 13. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOAsignatura, Objetivo general, Titulo de la unidad, Contenido d la unidad, Competencia especifica a desarrollar yact d aprendizajeCALCULO INTEGRAL Página 13

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