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Activados matemática-4

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material de trabajo 4 y 5 año

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Activados matemática-4

  1. 1. Gerente editorial Daniel Arroyo Jefa de contenidos editoriales Verónica Lombardo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Editora Yanina Sousa Editing Belén Boscaroli Autores Aperturas: Pablo Amster ¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti Roxana Abálsamo Adriana Berio Silvana Mastucci Nora Quirós Fernando De Rossi Corrector de estilo Gabriel Valeiras Coordinadora del área de Marcas y derechos Amorina Scalercio Jefe del departamento de Arte y diseño Lucas Frontera Schällibaum Diseñadoras de maqueta Patricia Cabezas Laura Porta Diagramación Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo Ilustrador Pablo Zerda Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Producción editorial Carlos Rodríguez Matemática 3. Fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. - San Isidro: Puerto de Palos, 2013. 256 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados) ISBN 978-987-547-529-8 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana CDD 510.712 © Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-529-8 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina. Gerente editorial Daniel Arroyo Jefa de contenidos editoriales Verónica Lombardo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Editora Yanina Sousa Editing Belén Boscaroli Autores Aperturas: Pablo Amster ¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti Roxana Abálsamo Adriana Berio Silvana Mastucci Nora Quirós Fernando De Rossi Corrector de estilo Gabriel Valeiras Coordinadora del área de Marcas y derechos Amorina Scalercio Jefe del departamento de Arte y diseño Lucas Frontera Schällibaum Diseñadoras de maqueta Patricia Cabezas Laura Porta Diagramación Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo Ilustrador Pablo Zerda Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Preprensa y Producción editorial Carlos Rodríguez Matemática 4 ¿Para qué sirve? / Adriana Beatriz Berio... [et.al.]. - 1a ed. - Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 256 p.: il.; 28x20 cm. - (Activados) ISBN 978-987-547-579-3 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Berio, Adriana Beatriz CDD 510.712 © Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-579-3 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en octubre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina. Gerente editorial Daniel Arroyo Jefa de contenidos editoriales Verónica Lombardo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Editora Yanina Sousa Editing Belén Boscaroli Autores Aperturas: Pablo Amster ¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti Roxana Abálsamo Adriana Berio Silvana Mastucci Nora Quirós Fernando De Rossi Corrector de estilo Gabriel Valeiras Coordinadora del área de Marcas y derechos Amorina Scalercio Jefe del departamento de Arte y diseño Lucas Frontera Schällibaum Diseñadoras de maqueta Patricia Cabezas Laura Porta Diagramación Alberto G. Scotti y Pablo Alarcón para Cerúleo Ilustrador Pablo Zerda Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Preprensa y Producción editorial Carlos Rodríguez Matemática 4: ¿para qué sirve?: versión para el docente / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. - Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 256 p.: il.; 28x20 cm. - (Activados) ISBN 978-987-547-582-3 1. Matemática. 2. Guía Docente. I. Abálsamo, Roxana CDD 371.1 © Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-582-3 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en octubre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.
  2. 2. Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de XXX actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula. Apertura: en esta sección, Pablo Amster, especialista en el área de la matemática, ofrece textos relacionados con la historia y evolución del pensamiento matemático. En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación. InfoActiva: presenta definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión. Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores. Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la Mira Foco Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 681 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección ¿Para que sirve? conecta la matemática con la vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula. Apertura: en esta sección, Pablo Amster, especialista en el área de la matemática, ofrece textos relacionados con la historia y evolución del pensamiento matemático. En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación. InfoActiva: presenta definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión. Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores. Conexión a ¿Para qué sirve?
  3. 3. Actividades: para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial. menteACTIVA: propone situaciones problemáticas con un mayor nivel de complejidad. Integración: incluye más actividades para resolver en el cuaderno. Autoevaluación: propone más actividades para que cada alumno pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo. Trabajos prácticos: incluyen más actividades para practicar los temas del capítulo. ¿Para qué sirve?: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de textos que conectan los contenidos de los capítulos con la vida cotidiana y otras disciplinas con el objetivo de responder a la pregunta inicial que se plantea. ¿Para qué sirve? Actividades: para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial. menteACTIVA: propone situaciones problemáticas con un mayor nivel de complejidad. Integración: incluye más actividades para resolver en el cuaderno. Autoevaluación: propone más actividades para que cada alumno pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo. ¿Para qué sirve?: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de textos que conectan los contenidos de los capítulos con la vida cotidiana y otras disciplinas con el objetivo de responder a la pregunta inicial que se plantea. ¿Para qué sirve? Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la comprensión de la teoría y revisar errores comunes.
  4. 4. Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9 1. Números reales. .................................. 10 2. Números racionales. ........................... 12 3. Operaciones con números racionales. 14 Integración .......................................... 18 4. Módulo de un número real. ............... 20 5. Ecuaciones. ......................................... 22 6. Inecuaciones. ...................................... 24 Integración .......................................... 26 Autoevaluación .................................... 28 Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29 7. Propiedades de la potenciación y la radicación. ...................................... 30 8. Números irracionales. ......................... 32 9. Radicales. Adición y sustracción. ....... 34 10. Multiplicación y división de radicales. .. 36 11. Operaciones combinadas. .................. 38 12. Racionalización de denominadores. ... 42 Integración .......................................... 46 13. Sucesiones. ......................................... 48 14. Sucesiones aritméticas. ...................... 50 15. Sucesiones geométricas. .................... 52 Integración .......................................... 54 Autoevaluación .................................... 56 Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57 16. Funciones. ........................................... 58 17. Análisis de funciones I. ...................... 60 18. Análisis de funciones II. ..................... 62 Integración .......................................... 66 19. Función lineal. .................................... 68 20. Distancia entre dos puntos. ............... 70 21. Ecuación de la recta. .......................... 74 22. Función módulo. ................................. 78 Integración .......................................... 80 Autoevaluación .................................... 82 Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83 23. Función cuadrática. ............................ 84 24. Raíces de una función cuadrática. Discriminante. ..................................... 86 25. Distintas expresiones de la función cuadrática. .......................................... 88 26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92 Integración .......................................... 96 27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98 28. La parábola como lugar geométrico. 102 29. Ecuación de la parábola. ................. 104 Integración ........................................ 106 Autoevaluación .................................. 108 Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109 30. Polinomios. Características. ............... 110 31. Suma y resta de polinomios. ............ 112 32. Multiplicación de polinomios. ........... 114 Integración ......................................... 118 33. División de polinomios. ................... 120 34. La regla de Ruffini. Teorema del resto. .......................................... 122 35. Raíces de un polinomio. .................. 124 36. Operaciones combinadas. ................ 126 Integración ........................................ 130 Autoevaluación .................................. 132 Índice generalÍndice general Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9 1. Números reales. .................................. 10 2. Números racionales. ........................... 12 3. Operaciones con números racionales. 14 Integración .......................................... 18 4. Módulo de un número real. ............... 20 5. Ecuaciones. ......................................... 22 6. Inecuaciones. ...................................... 24 Integración .......................................... 26 Autoevaluación .................................... 28 Capítulo 2: NÚMEROS IRRACIONALES ....... 29 7. Propiedades de la potenciación y la radicación. ...................................... 30 8. Números irracionales. ......................... 32 9. Radicales. Adición y sustracción. ....... 34 10. Multiplicación y división de radicales. .. 36 11. Operaciones combinadas. .................. 38 12. Racionalización de denominadores. ... 42 Integración .......................................... 46 13. Sucesiones. ......................................... 48 14. Sucesiones aritméticas. ...................... 50 15. Sucesiones geométricas. .................... 52 Integración .......................................... 54 Autoevaluación .................................... 56 Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 57 16. Funciones. ........................................... 58 17. Análisis de funciones I. ...................... 60 18. Análisis de funciones II. ..................... 62 Integración .......................................... 66 19. Función lineal. .................................... 68 20. Distancia entre dos puntos. ............... 70 21. Ecuación de la recta. .......................... 74 22. Función módulo. ................................. 78 Integración .......................................... 80 Autoevaluación .................................... 82 Capítulo 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA ............ 83 23. Función cuadrática. ............................ 84 24. Raíces de una función cuadrática. Discriminante. ..................................... 86 25. Distintas expresiones de la función cuadrática. .......................................... 88 26. Gráfico de una función cuadrática. .... 92 Integración .......................................... 96 27. Ecuaciones de segundo grado. .......... 98 28. La parábola como lugar geométrico. 102 29. Ecuación de la parábola. ................. 104 Integración ........................................ 106 Autoevaluación .................................. 108 Capítulo 5: POLINOMIOS ......................... 109 30. Polinomios. Características. ............... 110 31. Suma y resta de polinomios. ............ 112 32. Multiplicación de polinomios. ........... 114 Integración ......................................... 118 33. División de polinomios. ................... 120 34. La regla de Ruffini. Teorema del resto. .......................................... 122 35. Raíces de un polinomio. .................. 124 36. Operaciones combinadas. ................ 126 Integración ........................................ 130 Autoevaluación .................................. 132
  5. 5. Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ................................... 133 37. Factor común y factor común por grupos. ....................................... 134 38. Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto. .............. 136 39. Suma y resta de potencias de igual exponente. ............................... 138 40. Teorema de Gauss. ........................... 140 Integración ........................................ 142 41. Casos combinados de factoreo. ....... 144 42. Ecuaciones de grado mayor a dos. . 148 43. Estudio de funciones polinómicas. .. 150 Integración ........................................ 154 44. Expresiones algebraicas fraccionarias. ..................................... 156 45. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 158 46. Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 162 Integración ........................................ 166 Autoevaluación .................................. 168 Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169 47. Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico. ................................ 170 48. Resolución de sistemas de ecuaciones I. ..................................... 172 49. Resolución de sistemas de ecuaciones II. .................................... 176 50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ...... 178 Integración ........................................ 182 Autoevaluación .................................. 184 Capítulo 8: GEOMETRÍA Y FIGURAS PLANAS .............................. 185 51. Teorema de Thales. .......................... 186 52. Aplicaciones del teorema de Thales. 188 53. Semejanza de triángulos. ................. 192 Integración ........................................ 196 54. Trigonometría. .................................. 198 55. Cálculo de razones trigonométricas. 200 56. Resolución de triángulos rectángulos. 202 57. Teoremas del seno y del coseno. .... 204 58. Resolución de triángulos oblicuángulos. ............................................. 206 Integración ........................................ 210 Autoevaluación .................................. 212 Capítulo 9: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ..................................... 213 59. Combinatoria. ................................... 214 60. Binomio de Newton. Triángulo de Pascal. ......................................... 218 61. Probabilidad. .................................... 220 62. Probabilidad condicional. ................. 222 Integración ........................................ 224 Autoevaluación .................................. 226 Control de resultados ............................... 227 ¿Para qué sirve?¿Para qué sirve? Capítulo 6: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS ................................... 133 37. Factor común y factor común por grupos. ....................................... 134 38. Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto. .............. 136 39. Suma y resta de potencias de igual exponente. ............................... 138 40. Teorema de Gauss. ........................... 140 Integración ........................................ 142 41. Casos combinados de factoreo. ....... 144 42. Ecuaciones de grado mayor a dos. .... 148 43. Estudio de funciones polinómicas. ..... 150 Integración ........................................ 154 44. Expresiones algebraicas fraccionarias. ..................................... 156 45. Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 158 46. Ecuaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. ................. 162 Integración ........................................ 166 Autoevaluación .................................. 168 Capítulo 7: SISTEMAS DE ECUACIONES ... 169 47. Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico. ................................ 170 48. Resolución de sistemas de ecuaciones I. ..................................... 172 49. Resolución de sistemas de ecuaciones II. .................................... 176 50. Sistemas de ecuaciones mixtos. ...... 178 Integración ........................................ 182 Autoevaluación .................................. 184 Capítulo 8: SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA ...................................... 185 51. Teorema de Thales. .......................... 186 52. Aplicaciones del teorema de Thales. ... 188 53. Semejanza de triángulos. ................. 192 Integración ........................................ 196 54. Trigonometría. .................................. 198 55. Cálculo de razones trigonométricas. .... 200 56. Resolución de triángulos rectángulos. ....................................... 202 57. Teoremas del seno y del coseno. .... 204 58. Resolución de triángulos oblicuángulos. ............................................. 206 Integración ........................................ 210 Autoevaluación .................................. 212 Capítulo 9: COMBINATORIA Y PROBABILIDAD ......................................... 213 59. Combinatoria. ................................... 214 60. Binomio de Newton. Triángulo de Pascal. ......................................... 218 61. Probabilidad. .................................... 220 62. Probabilidad condicional. ................. 222 Integración ........................................ 224 Autoevaluación .................................. 226 Control de resultados ............................... 227
  6. 6. Números reales Contenidos 1. Números reales. 2. Números racionales. 3. Operaciones con números racionales. 4. Módulo de un número real. 5. Ecuaciones. 6. Inecuaciones. capítulo 1 Los números racionales aparecen en los primeros textos matemáticos de la historia. Se encuentran presentes en las tablillas babilónicas y en el célebre papiro egipcio de Ahmes, escrito hacia 1650 a. C. Allí se detallan las opera- ciones con fracciones, que los egipcios escribían como sumas de fracciones de numerador igual a 1; estos desarrollos no son únicos. Es un hecho nota- ble que los números racionales se puedan representar siempre de esa forma, y más notable aún que lo supieran ya los antiguos egipcios. Por ejemplo, el 1 también se puede pensar como 1__ 2 + 1__ 3 + 1__ 6. En aquellos tiempos, la notación era muy diferente a la actual. La barra de fracción, que separa el numerador del denominador, fue introducida recién en el siglo XIII por Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Por su parte, las fracciones decimales tuvieron que esperar hasta el siglo XVI, cuando el belga Simon Stevin ideó la forma de calcular empleando décimas, centésimas, etc., aunque todavía faltaba para llegar a la notación actual: en su sistema un número como 37654______ 1000 se escribía 37(0)6(1)5(2)4(3). 1. Lean atentamente y resuelvan. a. ¿Por qué son tan importantes los números racionales? b. Representen las siguientes fracciones utilizando el método egipcio. 5__ 4 3__ 5 4__ 9 a. Respuesta abierta. b. 5__ 4 = 1__ 2 + 1__ 3 + 1__ 4 + 1__ 6 3__ 5 = 1__ 2 + 1___ 10 = 1__ 3 + 1__ 5 + 1___ 15 4__ 9 = 1__ 3 + 1__ 9
  7. 7. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Números reales Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos núme- ros enteros. Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; una y otra designan exactamente al mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un número finito de cifras decimales, o es periódica. 34___ 9 = 3,777... = 3,7 – 13___ 4 = –3,25 17___ 6 = 2,8333... 2,83 Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre dos números enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas. Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales. __ 5 = 2,236067... 3 __ 6 = 1,817120... 4 ___ 21 = 2,140695... Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación. 2,246810... –0,12223242... 5,1122334455... 14,0123456... El conjunto de los números reales ( ) está formado por los números racionales ( ) y los irracionales ( ). Los números reales se grafican sobre una recta denominada recta real. A un punto de la misma se le asigna el 0, se elige un segmento unidad y se ubican los números restantes. A cada número real le corresponde un punto de la recta y viceversa. –1 – 1__ 2 0 1__ 8 1 Intervalos reales Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real. Algebraicamente se designa un intervalo por sus extremos encerrados entre paréntesis o corchetes: paréntesis, si los extremos no están incluidos (intervalo abierto); corchetes, si se incluyen los extremos (intervalo cerrado). A = x ∈ ∧ –3 ≤ x ≤ 1 = [–3;1] E = x ∈ ∧ x ≥ 3,5 = [3,5;+∞) –3 1 [ ] 3,5 [ B = x ∈ 4 < x < 7 = (4;7) F = x ∈ ∧ x > –6 = (–6;+∞) 4 7 ( ) –6 ( C = x ∈ –5 ≤ x < 0 = [–5;0) G = x ∈ ∧ x ≤ 1 = (–∞;1] –5 0 [ ) 1 ] D = x ∈ –4 < x ≤ –1 = (–4;–1] H = x ∈ ∧ x < – 1__ 2 = (–∞;– 1__ 2 ) –4 –1 ( ] ) – 1__ 2 INFOACTIVA ¿Para qué sirve? PÁGINA 2
  8. 8. Test de comprensión 1 ACTIVIDADES Números reales Test de comprensión 1. Coloquen una X donde corresponda. Número Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales –4 1__ 3 __ 5 __ 9 1,34 2. Representen cada uno de los siguientes intervalos en la recta numérica. a. (–2;3) c. [1__ 3;1__ 2 ] b. (–5; __ 5 ] d. [–3 ___ 27; 3 ___ 27 ) 3. Escriban el intervalo real correspondiente en los siguientes casos. a. x ∈ ∧ x ≥ –3 = d. x ∈ ∧ –3,5 < x < 0 = b. x ∈ ∧ –1 ≤ x < 7 = e. x ∈ ∧ –1,2 < x ≤ 1,2 = c. x ∈ ∧ x ≠ 3 = f. x ∈ ∧ x ≤ –2 ∧ x > 1 = 4. Expresen de tres formas distintas los intervalos que se indican a continuación. a. Todos los números reales mayores o iguales que –3 y menores que 2. b. Todos los números reales mayores o iguales que –5. c. Todos los números menores que –3 o mayores o iguales que 2. d. Todos los números reales mayores que –2 y menores o iguales que –1. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Todo número que tiene infinitas cifras decimales ¿es irracional? b. ¿Cuál es la diferencia entre (2;3) y [2;3]? Test de comprensión 11 a. No, los números periódicos son racionales. b. El primer intervalo no incluye los extremos y el segundo, sí. X X X X X X X X X X X X X [–3;+∞) (–3,5;0) [–1;7) (–1,2;1,2] (–∞;3) ∪ (3;+∞) (–∞;–2] ∪ (1;+∞) x ∈ ∧ –3 ≤ x < 2 = [–3;2) x ∈ ∧ x ≥ –5 = [–5;+∞) x ∈ ∧ x < –3 ∨ x ≥ 2 = (–∞;–3) ∪ [2;+∞) x ∈ ∧ –2 < x ≤ –1 = (–2;–1] ( ) –2 3 ( ] –5 __ 5 [ ] 1__ 3 1__ 2 [ ) – 3 ___ 27 3 ___ 27 [ ) –3 2 [ –5 ( ] –2 –1 ) [ –3 2
  9. 9. 12 111098765432 Números racionales Al efectuar la división no exacta de dos números enteros, puede suceder que: el resto de la división sea cero; en ese caso el cociente es una expresión decimal con un número finito de cifras decimales (expresiones decimales finitas). 5__ 2 = 5 : 2 = 2,5 9___ 12 = 9 : 12 = 0,75 –12___ 10 = –12 : 10 = –1,2 el resto nunca se anule; necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras deci- males del cociente, determinando el período (expresiones decimales periódicas). 2__ 3 = 2 : 3 = 0,6 –10___ 11 = –10 : 11 = –0,90 16___ 15 = 16 : 15 = 1,06 Para transformar una expresión decimal periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma el número decimal, sin la coma, menos la parte no periódica y en el denominador, tantos 9 como cifras decimales periódicas tenga la expresión, seguidos de tantos ceros como cifras decimales no periódicas contenga. 3,2 = 32 – 3______ 9 = 29___ 9 3,15 = 315 – 3_______ 99 = 312____ 99 = 104____ 33 –15,83 = –1583 – 158___________ 90 = –1425_____ 90 = – 95___ 6 Aproximación Cuando se trabaja con números que tienen muchas o infinitas cifras decimales, se realizan aproxi- maciones cometiendo un pequeño error que es aceptado por razones de orden práctico. Para calcular el promedio final de las calificaciones de un alumno en una asignatura determinada, se suman las notas obtenidas en los tres trimestres y se las divide por 3. Los promedios finales se aproximan por redondeo a dos decimales. Asignatura 1.° trimestre 2.° trimestre 3.° trimestre Promedio final Lengua 5 8 7 6,67 Historia 7 7 8 7,33 Para aproximar por redondeo se considera la cifra siguiente a la última que se va a dejar; si es mayor o igual que 5, se suma uno a dicha última cifra y si es menor, se deja igual. 5 + 8 + 7________ 3 = 20___ 3 = 6,6666... ≅ 6,67 (ε < 0,01) 7 + 7 + 8________ 3 = 22___ 3 = 7,3333... ≅ 7,33 (ε < 0,01) Otra manera de aproximar es por truncamiento, que consiste en eliminar directamente las cifras que no desean considerarse. __ 5 = 2,236067... ≅ 2,23 (ε < 0,01) e = 2,7182818... ≅ 2,7182 (ε < 0,0001) Error El valor más probable es el promedio de los valores obtenidos. _ x = x1 + x2 + ... + xn______________ n Se denomina error absoluto (εa ) al módulo de la diferencia entre el valor de cada medición (xi ) y el valor más probable (xx). εa = |xi – _ x| El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor más probable. εr = εa___ x El error porcentual es el error relativo multiplicado por 100. ε% = εr . 100 INFOACTIVA 1 ¿Para qué sirve? PÁGINA 3
  10. 10. 13 Test de comprensión 5. Completen para obtener números racionales periódicos. Escriban la expresión decimal correspondiente. a. 12_____ = b. _____ 7 = c. 2_____ = d. _____ 3 = 6. Rodeen con color las expresiones equivalentes en cada caso. a. 233____ 100 2,33 2,3 0,233 2,033 b. 1__ 9 1,11 0,1 0,1 1,11 c. 2__ 5 4___ 10 4 0,4 2,5 7. Escriban como fracción irreducible los siguientes números. a. 3,2 = c. 1,24 = e. 1,15 = g. 5,36 = b. 0,3 = d. 1,6 = f. 0,09 = h. 4,26 = 8. Completen las siguientes tablas. a. 23,1456 b. __ 8 Error Truncamiento Redondeo Error Truncamiento Redondeo ε < 0,1 ε < 0,1 ε < 0,01 ε < 0,01 ε < 0,001 ε < 0,001 9. Calculen el error porcentual de cada una de las siguientes aproximaciones por redondeo. a. __ 5, ε < 0,001 b. 15___ 7 , ε < 0,01 10. Lean atentamente y respondan. Pablo tiene que repartir con sus tres socios los $3000 de la ganancia de la semana. Para calcular cuánto dinero le corresponde a cada uno, realiza las siguientes operaciones. 1__ 3 = 0,333… 0,33 . $3 000 = $990 cada uno. ¿Es correcto esto? ¿Por qué? 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Siempre es importante trabajar con la expresión decimal exacta de un número? b. ¿La expresión 3,2 es equivalente a 3__ 2? 2 ACTIVIDADES Números racionales. Operaciones. a. Depende del contexto que se esté trabajando. b. No, es equivalente a 29___ 9 . 12 5 6 3 Hay infinitas posibilidades. 16 31 52 59 5 25 45 11 3 5 1 64 10 3 11 15 23,1 23,1 2,8 2,8 23,14 23,15 2,82 2,83 23,145 23,146 2,828 2,828 0,003 0,1333 No, le corresponden $1 000 a cada uno, porque al haber trabajado con la expresión decimal periódica truncada, no se repartió el dinero en su totalidad.
  11. 11. 14 Operaciones con números racionales Una operación donde aparecen expresiones decimales periódicas conviene resolverla en forma frac- cionaria, respetando la jerarquía de las operaciones y sus propiedades. 15___ 4 . 0,26 + 5–1 – _____ 0,25 = 1. Se escriben como fracción las expresiones decimales. 15___ 4 . 24___ 90 + 1__ 5 – ____ 25____ 100 = 2. Se simplifica cuando sea posible. 15___ 4 . 4___ 15 + 1__ 5 – 5___ 10 = 3. Se resuelven las potencias y raíces. 1 + 1__ 5 – 1__ 2 = 7___ 10 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego, las sumas y restas. Si aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se deben resolver primero las operaciones que estos encierran. 0,08 . [(1__ 2 ) 4 . 3 __ 8 + ___ 25___ 64 ]– 0,26 = 8___ 90 . ( 1___ 16 . 2 + 5__ 8 )– 24___ 90 = 4___ 45 . (1__ 8 + 5__ 8 )– 4___ 15 = 4___ 45 . 3__ 4 – 4___ 15 = = 1___ 15 – 4___ 15 = –1__ 5 Si el cálculo está expresado como fracción, se deben resolver el numerador y el denominador por separado y luego, obtener el cociente correspondiente. 0,03 . 5_______ 0,1 + 3 _______ 0,5 – 3__ 8________ 2–3 = 3____ 100 . 5 ________ 1__ 9 + 3 _______ 5___ 10 – 3__ 8________ (1__ 2) 3 (2__ 5 + 0,3 . 9__ 2 ): 0,6 _____________________ 0,21 + 1 – (5__ 2 ) 2 = (2__ 5 + 3__ 9 . 9__ 2 ): 2__ 3____________________ 21____ 100 + 1 – (5__ 2 ) 2 = 3___ 20____ 1__ 9 + 3 __ 1__ 8____ 1__ 8 = (2__ 5 + 3__ 2 ): 2__ 3_______________ 121____ 100 – (5__ 2 ) 2 = 3___ 20 : 1__ 9 + 1__ 2 : 1__ 8 = 19___ 10 : 2__ 3_______ 11___ 10 – 25___ 4 = 27___ 20 + 4 = 57___ 20_____ –103____ 20 = 107____ 20 = 57___ 20 . (– 20____ 103 ) =– 57____ 103 INFOACTIVA 12111098765432
  12. 12. 15 Test de comprensión 3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales 11. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a. 3__ 5 . 15 – 1,2 . (–0,5 ) = f. (0,54 . 3__ 7 ). 1__ 7 – (0,24 + 3__ 5 + 0,26) = b. 5__ 3 : 15___ 9 + 0,3 : 0,5 = g. (0,18 + 0,21): (0,2 + 0,05) + 0,3 = c. (0,583 – 0,3 : 1__ 2 ). 1,2 = h. (0,35 : 0,15 + 1__ 4 ). (0,002 : 0,007 + 1) = d. (3 – 1__ 5 : 0,7). (15___ 4 . 0,2) = i. –(0,4 . 11__ 8 + 2) + (0,2 + 1,1). 3,5 = e. –(3__ 5 + 0,09 : 0,03 ) – 0,5 : 0,125 = j. [2 . 0,2 + (–10 + 3,75) : 3__ 2 ]: 0,3 = 12. Resuelvan. a. 0,2 2 = e. ____ 2,7 = b. 2,3 –3 = f. ___ 0,4 = c. 0,3 2 = g. ______ 0,009 = d. 1,6 3 = h. 3 ______ 0,064 = 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Al resolver una operación, ¿por qué conviene escribir las expresiones decimales periódicas como fracción? b. Las expresiones decimales periódicas, ¿cumplen con las propiedades de los números naturales? a. Porque así se tienen en cuenta todos sus decimales. b. Sí, cumplen con las mismas propiedades. 29___ 3 – 97___ 90 8__ 5 16___ 9 – 1___ 50 93___ 28 95___ 42 37___ 18 – 38___ 5 – 113___ 10 4___ 81 5__ 3 27____ 343 2__ 3 9____ 100 1___ 10 125____ 27 2__ 5
  13. 13. 16 3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales 13. Escriban el cálculo combinado que responde a cada pregunta y resuelvan. a. ¿Cuál es la mitad de la quinta parte de veinte? b. ¿Cuál es el inverso del triple de 0,3? c. ¿Cuál es el triple de 0,2 aumentado en 0,1? d. ¿Cuál es el doble de 0,07 disminuido en 1__ 2? 14. Encuentren el error en la resolución de los siguientes cálculos, si es que lo hay. Luego, resuél- vanlos correctamente. a. –0,3 2 + (0,5 + 0,3) . 5 = b. _________ 2,5 + 0,2 . ____________ 2 . 0,7 + 0,22 + 0,03 = –(1__ 3 ) 2 + 0,8 . 5 = ______ 23___ 9 + 2__ 9 . ______ 7__ 5 + 1___ 25 + 3___ 90 = – 1__ 9 + 4 = 37___ 9 1,6 . 6__ 5 + 3___ 90 = 61___ 30 15. Resuelvan. a. ________________ 0,04 . 10__ 8 – 0,015 __________________ 0,2 = c. 5 _______________ 0,24 + 3__ 5 + 0,15 ________________________ 0,027 = b. 0,2 + 1, 1________ 0,6 + 0,4 . 3,5_______ 0,3 = d. 3 ________________________ (0,7 + 0,3)5 . (2,7 : 10) . 0,1–1 _________________________ (2,9 : 7)3 = 20 . 1__ 5 : 2 = 2 (1__ 3 . 3) –1 = 1 3 . 0,2 + 0,1 = 7__ 9 2 . 0,07 – 1__ 2 = – 31___ 90 En el segundo término, se toma 0,3 como 0,3 al resolver la sustracción. El cálculo está resuelto correctamente. 9___ 10 6 20___ 3 343____ 90
  14. 14. 17 16. Marquen las opciones correctas. a. (0,6 . 3 ___ 125____ 8 + 0,1): 1,75 = 32___ 35 8__ 7 14___ 5 b. (1,6 + 0,1)2 : 8__ 9 = 113___ 36 32___ 9 3,6125 c. 10___ 9 + 0,2 ________ 1__ 3 + 0,3 2 = 5__ 3 37___ 9 4__ 3 d. ________ 0,20 . 11__ 5 – (0,3 – 1)0 = 0 –0,33 – 1__ 3 e. (0,35 + 1__ 9 ) : 0,05 + 3__ 2 = – 99___ 10 99___ 10 9___ 10 17. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. a. 3 _________ 2 – 1,992 + 7__ 3 – (0,45 . ___ 121 + 0,3) = e. 0,6 2 + 0,05 . [(3 ___ 1____ 125 ) 2 . 5__ 9 + 0,3] –1 = b. [2,02 – (0,2 – 0,17 + 1,3 – 2)]: 3 ______ 0,008 = f. 0, 18 . 1,1_________ (3__ 2 + 2,5) 2 + 0,1 = c. ______ 1___ 81 + (0,2 – 1,03): 0,01 = g. _____________________ (0,6 + 0,32 + 1__ 6) : 0,02 _______________________ 0,23 + 53___ 30 = d. _________ 1,4 + 0,04 + _________________ (1,5 – 1,2) : (1 – 1__ 3 ) – (0,03_____ 0,5 ) –1 = h. _______ 0,04 . 1__ 4 . [0,9 – (0,03 + 0, 1)] __________________________ (3 _____________ 0,14 – 1__ 2 . 0,03 ) –1 = 3 ACTIVIDADES Operaciones con números racionales X X X X X – 14___ 5 173____ 288 40___ 3 9___ 80 – 218____ 3 7__ 2 – 113___ 10 77_____ 1 800
  15. 15. 18 INTEGRACIÓN 18. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas. Todo número... a. ... natural es un número entero. b. ... entero es un número natural. c. ... real es un número natural. d. ... irracional es un número real. e. ... irracional es un número racional. 19. Hallen el valor de x en cada caso e indiquen a qué conjunto numérico pertenece la solución. a. c. Perímetro = x 2,3 cm 1__ 3 cm 7 cm 5 cm x b. d. Área = x 4 cm x 3 cm __ 2 cm 5 cm 20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según pertenece (∈) o no (∉) al intervalo. a. 2 ∈ (2;5] b. 2 ∈ [2;5] c. 5 ∉ (2;5] d. 5 ∉ (2;5) e. 0 ∈ (–5;–1) f. –3 ∈ [–3;2] 21. Representen los siguientes intervalos en la recta numérica. a. x ∈ ∧ –3 < x < 5 b. x ∈ x ≤ –1 ∧ x > 1__ 5 c. x ∈ ∧ 1__ 3 < x ≤ 7__ 2 d. x ∈ ∧ x ≥ 5 22. Respondan. a. ¿Cuántos números naturales, incluido el cero, se encuentran en el intervalo (–2;4]? ¿Y núme- ros enteros? b. ¿Cuántos números reales se encuentran en el intervalo [–2;–1]? 23. Escriban el intervalo indicado en cada caso. Luego, represéntenlo en la recta numérica. a. Todos los números reales mayores o iguales que 5. b. Todos los números reales mayores que 3 y menores o iguales que 8. c. Todos los números reales menores o iguales que 3 ___ 34. d. Todos los números reales mayores que – 1__ 2 y menores que 3. e. Todos los números reales mayores o iguales que – 7__ 5 y menores o iguales que 0 f. Todos los números reales mayores que 0. 24. Representen de dos maneras distintas los siguientes intervalos. a. [2;3) b. (–∞; –5] ∪ (7; +∞) c. [–2; +∞) d. (–∞;–1] ∪ [2;+∞) 25. Escriban los intervalos representados en cada recta. a. 3 5 ) [ b. –3 5 ( ) c. 1 ( d. –2 3 [ ) e. –4 2 ] [ f. –8 –1 ( ] V F F V F P = 79___ 15 , , . x = ___ 74 cm, y . x = 5 cm, , , , . A = 5 . __ 2, y . F V V F F V Solución a cargo del alumno. 5 números naturales. 6 números enteros. Hay infinitos números reales. [5;+∞) (3;8] (–∞; 3 ___ 34] (– 1__ 2 ;3) [– 7__ 5 ; 0] (0;+∞) x ∈ ∧ –2 ≤ x < 3 x ∈ ∧ x ≤ –5 ∨ x > 7 x ∈ ∧ x ≥ –2 x ∈ ∧ x ≤ –1 ∨ x ≥ 2 Recta numérica a cargo del alumno. (–∞;3) ∪ [5;+∞) (–3; 5) (1; +∞) [–2; 3) (–∞;–4] ∪ [2;+∞) (–8; –1]
  16. 16. 19 1*2*3 CONTENIDOS 26. Escriban la expresión decimal de cada una de las siguientes fracciones. Clasifíquenlas. a. 3__ 2 = e. 1__ 9 = b. 7___ 28 = f. 5__ 9 = c. 1___ 15 = g. 12___ 5 = d. 3___ 16 = h. 15___ 9 = 27. Completen el siguiente cuadro realizando una aproximación por truncamiento. Número 1,345 __ 6 2__ 3 3 __ 7 ε < 0,1 ε < 0,01 ε < 0,001 ε < 0,0001 28. Completen el siguiente cuadro realizando una aproximación por redondeo. Número 2,345 __ 7 2__ 9 3 __ 3 ε < 0,1 ε < 0,01 ε < 0,001 ε < 0,0001 29. Calculen el error porcentual de cada una de las siguientes aproximaciones por redondeo con ε < 0,01. a. 113___ 9 c. __ 7 e. __ 2 b. __ 5 d. 5__ 7 f. 4__ 7 30. Aproximen por redondeo a los milésimos el número 25___ 14 e indiquen los errores. a. εa b. εr c. ε% 31. Lean atentamente, escriban el cálculo en cada caso y resuelvan. a. El doble de la tercera parte de 15, aumenta- do en la raíz cuadrada del doble de 9__ 8. b. La diferencia entre un cuarto de 16___ 9 y las tres quintas partes de 25. c. La raíz cuadrada de la suma entre un quinto de cinco y el producto de 36___ 5 y 10___ 9 . d. El cociente entre el cuadrado de la diferen- cia entre un tercio y tres quintos, y cinco medios elevado a menos uno. e. La raíz cúbica de la diferencia entre uno y siete octavos, disminuida en el doble de la raíz cuadrada de 2,7. f. La diferencia entre el cociente de la raíz cua- drada de 81___ 16 y la raíz cuarta de 81___ 16, y el doble de cinco cuartos. 32. Resuelvan las siguientes operaciones combi- nadas. a. –3 . 3,2 + (1__ 5 – 1__ 3 ) = b. (9__ 7 . 0,25 – 5__ 7 ). ___ 121 = c. (0,6 + 0,02 – 1___ 20 . 2,2): 1,4 = d. 0,4 . 3,3 + 0,2 + 0,3 2 + 0,2 = e. (0,2 + 0,5). 1,51 –1 + 1__ 3 + 0,7 : 1,5 = f. [11 – (0,5 : 0,1 + 3,3 + 0,2)]2 = g. [– 5__ 3 . (0,5 – 0,2 + 1___ 10 . 3,3 : 1,6) + 1] – 0,7 = h. (–0,3 + 2 . 0,5) – (0,09 + 0,2). 1___ 29 + 0,1 = i. [0,5 : 5,9 : (0,7 – 0,3) + 1]: (– 1__ 2 ) = j. ________________ (6,19 – 5,29) . 0,1___________________ 0,07 – 0,13 . 9 + 1 = k. [(1__ 4) 2 . 4 ___ 16 + 5__ 8].0,08 ____________________ 0,26 = l. –0,2 + (1,3 – 0,3) :(– 1__ 6)_____________________ 1,3 :0,83 – 0,2 . 9__ 5 = 1 capítulo 1,5 E.D.F. 0,1 E.D.P. 0,25 E.D.F. 0,5, E.D.P. 0,06, E.D.P. 2,4 E.D.F. 0,1875, E.D.F. 1,6, E.D.P. 0,03538 0,1606 0,2979 0,1758 0,6 0,25 25___ 14 ≅ 1,786 a. |1,786 – 25___ 14| b. εr = |1,786 – 25___ 14|__________ 25___ 14 c. ε% = |1,786 – 25___ 14|__________ 25___ 14 . 100 23___ 2 – 131___ 9 3 8___ 45 – 17___ 6 –1 – 49___ 5 – 30___ 7 2__ 5 17___ 9 4__ 3 9 – 11___ 18 0,8 – 29___ 12 – 27___ 11 1__ 4 –5 1,3 2,4 0,6 1,9 1,34 2,44 0,66 1,91 1,345 2,449 0,666 1,912 1,3455 2,4494 0,6666 1,9129 2,3 2,6 0,2 1,4 2,35 2,65 0,22 1,44 2,346 2,646 0,222 1,442 1,3456 2,6458 0,2222 1,4422
  17. 17. 20 Módulo de un número real El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real. Para todo número real x, su módulo se expresa: |x|. ∀x ∈ : |x| = { x si x ≥ 0 –x si x < 0 |3| = 3 |–5| = –(–5) –5 0 3 |–5| = 5 |3| = 3 Propiedades del módulo |x| ≥ 0 |2__ 3|= 2__ 3 |0| = 0 |–15,7| = 15,7 |x| = |–x| |4,03| = |–4,03| |247| = |–247| = –(–4,03) = 4,03 = –(–247) = 247 |x + y| ≤ |x| + |y| |3,2 + 5| ≤ |3,2| + |5| |8,9 + (–6)| ≤ |8,9| + |–6| |8,2| ≤ 3,2 + 5 |2,9| ≤ 8,9 + 6 8,2 ≤ 8,2 2,9 ≤ 14,6 |x . y| = |x| . |y| |4 . (–3)| = |4| . |–3| |–2,4 . 1,95| = |–2,4| . |1,95| |–12| = 4 . 3 |–4,68| = 2,4 . 1,95 12 = 12 4,68 = 4,68 Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales. –a 0 a ()( ) x < –a –a < x < a x > a |x| > a ∧ a > 0 ⇒ x > a ∨ x < –a ⇒ x ∈ (–∞;–a) ∪ (a;+∞) –a 0 a () |x| > a |x| > 8 ∧ 8 > 0 ⇒ x > 8 ∨ x < –8 |x| ≥ 4,1 ∧ 4,1 > 0 ⇒ x ≥ 4,1 ∨ x ≤ –4,1 ⇒ x ∈ (–∞;–8) ∪ (8;+∞) ⇒ x ∈ (–∞;–4,1] ∪ [4,1;+∞) |x| < a ∧ a > 0 ⇒ –a < x < a ⇒ x ∈ (–a;a) –a 0 a ( ) |x| < a |x| < 3 ∧ 3 > 0 ⇒ –3 < x < 3 |x| ≤ 2__ 5 ∧ 2__ 5 > 0 ⇒ –2__ 5 ≤ x ≤ 2__ 5 ⇒ x ∈ (–3;3) ⇒ x ∈ [–2__ 5 ;2__ 5 ] INFOACTIVA 131211109876543
  18. 18. 21 Test de comprensión 33. Calculen los siguientes módulos. a. |–3| = d. |–a| = g. |3 . (–2)| = b. |–20| = e. |3 – 5| = h. |–12 : 6| = c. |a| = f. |5 + 7| = i. |3 . (–5) – 8| = 34. Completen con <, > o =, según corresponda. a. |–45| |45| c. |a + 3| |a| + |3| e. |x| . |–2| |x| . (–2) b. –3 |3| d. |–2 + 5| |–2| + |5| f. |5 . (–3)| |5| . |–3| 35. Escriban el conjunto solución. a. |x| = 3 c. |x| 2 e. |x| > 2,3 b. |x| = –5 d. |x| 3 f. |x| < 0,1 36. Resuelvan los siguientes cálculos. a. |–3 + 1__ 3 | : 0,6 + 3 _______ |–0,125| = c. 3 ______ 0,008 – |–2,3 + 2,5|___________________ | ____ 0,64 – 3| = b. |–3 + 0,2| – |– __ 1__ 4 | – 1 – 0,2______ 0,2 = d. |1,5 – 1,2 – 3|_____________ 0,6 = 37. Representen sobre la recta numérica los conjuntos de números que se indican a continuación. a. |x| = 3__ 5 e. x < 0 ∧ |x| > 7 b. |x| ≥ a f. |x| < 4 ∧ x > 9 c. |x| ≤ 4 ∧ x ≥ 4 g. |x| > 2 ∨ x = 0 d. |x| > 2 ∧ x < 3 h. |x| < 6 ∨ x = 2 4 ACTIVIDADES Módulo de un número real 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Dos números opuestos ¿tienen el mismo módulo? b. ¿Cuál es el signo del valor del módulo del cociente entre un número positivo y otro negativo? a. Sí, porque ambos se ubican a la misma distancia del cero en la recta numérica. b. El resultado es positivo. 3 a, si a > 0 6 20 2 2 a, si a > 0 12 23 = < > < < = S = {–3;3} [–2;2] (–∞;– 7__ 3) ∪ (7__ 3 ;+∞) Absurdo. (–∞;–3] ∪ [3;+∞) (– 1__ 9 ;1__ 9) 9__ 2 0 – 13___ 10 4 x x –7 –a a ø 4 –2 0 2 –2 0 2 3 –6 6 ] [ ) ( ( )) ( ) )
  19. 19. 22 Ecuaciones Una identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de la/s variable/s. h + h = 2h m + n = n + m cn + dn = (c + d) . n 3,5x + 2 – x + 0,4 = –0,6x + 1,3 Una ecuación es una igualdad que se verifica para uno, algunos o ningún valor de la/s variable/s. x + 3 = 0 8 – 2x = 0 x + 5 = x – 2 a + 2b + c = 0 9 + x = 4 – 2x2 – 8 Resolver una ecuación es encontrar, si existen, el o los valores de las variables que verifican la igualdad planteada. Dichos valores determinan el conjunto solución de la ecuación. Una ecuación de primer grado o lineal es aquella cuya forma general es: ax + b = 0, siendo a y b números reales y a ≠ 0. –6 . (x – 1__ 3 )= (–4__ 5 x + 2): 1__ 2 3x – 2 + 2 . (1__ 3 x + 1__ 4 )= x – 4__ 3 . (x – 4) –6x + 2 = –8__ 5 x + 4 3x – 2 + 2__ 3 x + 1__ 2 = x – 4__ 3 x + 4 –6x + 8__ 5 x = 4 – 2 11___ 3 x – 3__ 2 = –1__ 3 x + 4 –22___ 5 x = 2 4x = 11___ 2 x = – 5___ 11 x = 11___ 8 Ecuaciones con módulo Para resolver ecuaciones lineales en las que aparecen módulos que incluyen la incógnita, se deben tener presentes tanto la definición de este concepto como sus propiedades. |x + 5| = 8 Se elimina el módulo, aplicando la definición. x + 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ –5 ∨ x + 5 < 0 ⇒ x < –5 x + 5 = 8 ⇒ x = 3 ∨ –x – 5 = 8 ⇒ x = –10 –5 0 3 [ –10 –5 0 ) Solución = {–10; 3} 2 . |2 – 3x| + 5 = x + 9 Se elimina el módulo, aplicando la definición. 2 – 3x ≥ 0 ⇒ x ≤ 2__ 3 ∨ 2 – 3x < 0 ⇒ x > 2__ 3 2 . (2 – 3x) + 5 = x + 9 ∨ 2 . (–2 + 3x) + 5 = x + 9 4 – 6x + 5 = x + 9 –4 + 6x + 5 = x + 9 –7x = 0 5x = 8 x = 0 x = 8__ 5 0 2__ 3 1 ] 0 2__ 3 1 8__ 5 ( Solución = {0; 8} INFOACTIVA 1413121110987654
  20. 20. 23 Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿La solución de la ecuación –3x = 15 es x = 18? b. ¿Es cierto que en |x – 5| = –2 el valor de x es igual a 3? 38. Marquen las opciones correctas. a. ¿Cuáles ecuaciones tienen infinitas soluciones? 7a + 2a = 9a 7a + 2a = 9 7 + 2a = 9a 7 + 2a = 9 b. ¿Cuáles ecuaciones tienen solución única? 8 – |x| = |x| b . 1__ 2 = b + 0,6 2a – b = –b + 2a |a| + 2 = 5 c. ¿Cuáles ecuaciones no tienen solución? x + 5 = 1,7 – x x – 0,2 = x + 1__ 5 –x + 3__ 7 = 2x + 1 2 . (x – 4) = x – 4 39. Resuelvan las siguientes ecuaciones. a. 5__ 3 x + 8,2 = 10 – 5__ 6 x d. 2,4 . (– 5__ 11 + 3x) = 1,5 . (– 3__ 7 x + 1) b. 2,6 + 5,2 = –x + 7__ 8 x e. x – (2x + 0,32) – 3x = 1__ 9 + 9x c. 1,8 + 0,3x – 1__ 3 = –0,7x f. –0,4 . (2,8 – 0,4) + 7___ 15 x = (0,3x – 0,3_________ –15 ). (–13) 40. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulos. a. |x + 5| = 2,5 c. 0,25 . |–3x + 4| = 7__ 4x b. |2x – 1| = 0,5 d. 2 . |1__ 2x – 0,25| = 2x – 3__ 4 41. Planteen las ecuaciones y resuelvan. a. El quíntuplo del módulo del siguiente del tercio de un número es igual a dos. b. La cuarta parte de la suma entre un número y su anterior es igual al siguiente de su triple. 5 ACTIVIDADES Ecuaciones a. No, es –5. b. No, porque el módulo de un número real es siempre positivo. X X X x = 18___ 25 x = 1__ 3 x = – 944____ 15 – 1___ 30 x = – 7__ 5 x = 10___ 3 x = –2,5; x = –7,5 x = 2__ 5 x = 7__ 9 ; x = 2__ 9 x = 5___ 12 5 . |1__ 3 x + 1| = 2; x = – 9__ 5 ; x = – 21___ 5 1__ 4 . (x + x – 1) = 3x + 1; x = – 1__ 2
  21. 21. 24 Inecuaciones Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones. Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el con- junto solución es un intervalo real o el conjunto vacío. Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o se multiplique a ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad. –5x > 7 –2__ 5 x ≤ –4 –2x < 9 –3__ 4 x ≥ –2 –5x : (–5) < 7 : (–5) –2__ 5 x : (–2__ 5 )≥ –4 : (–2__ 5 ) –2x : (–2) > 9 : (–2) –3__ 4 x : (–3__ 4 ) ≤ –2 : (–3__ 4 ) x < –7__ 5 x ≥ 10 x > –9__ 2 x ≤ 8__ 3 S = (–∞;–7__ 5 ) S = [10;+∞) S = (–9__ 2 ;+∞) S = (–∞;8__ 3 ] Inecuaciones con módulo |3x – 5| < 4 Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición. 3x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5__ 3 ∨ 3x – 5 < 0 ⇒ x < 5__ 3 3x – 5 < 4 ⇒ x < 3 ∨ –3x + 5 < 4 ⇒ x > 1__ 3 x ≥ 5__ 3 ∧ x < 3 ⇒ 5__ 3 ≤ x < 3 x < 5__ 3 ∧ x > 1__ 3 ⇒ 1__ 3 < x < 5__ 3 0 1 5__ 3 2 3 [ ) [5__ 3 ;3) 0 1_ 3 1 5__ 3 2 3 ( ) (1__ 3 ;5__ 3 ) La solución es la unión de los intervalos: S = (1__ 3 ;5__ 3 )∪ [5__ 3 ;3)= (1__ 3 ;3) 0 1_ 3 1 2 3 ( ) 4 . |x + 3| – 1 > 1 – x Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición. x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ –3 ∨ x + 3 < 0 ⇒ x < –3 4 . (x + 3) – 1 > 1 – x ∨ 4 . (–x – 3) – 1 > 1 – x 4x + 12 – 1 > 1 – x –4x – 12 – 1 > 1 – x 5x > –10 ⇒ x > –2 –3x > 14 ⇒ x < –14___ 3 x ≥ –3 ∧ x > –2 ⇒ x > –2 x < –3 ∧ x > –14___ 3 ⇒ x < –14___ 3 –6 –5 –4 –3 –2 –1 [ ( ( –2;+∞) –6 –5 – 14__ 3 –4 –3 –2 –1 ) ) (–∞;–14___ 3 ) La solución es la unión de los intervalos: S = (–∞;–14___ 3 )∪ (–2;+∞) –6 –5 – 14__ 3 –4 –3 –2 –1 ) ( INFOACTIVA 15141312111098765
  22. 22. 25 Test de comprensión 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que la solución de la inecuación –5x ≤ 20 es x ≥ –4? b. ¿La inecuación |x – 3| < 4 tiene como solución todos valores que se encuentran entre –1 ≤ x ≤ 7? 42. Marquen las opciones correctas. a. La solución de – x__ 5 . (–4) ≤ –20 es: (–∞;–25) (–∞;–25] (–25;+∞) [–25;+∞) b. La solución de |4x – 2| < 4 es: [1__ 2;3__ 2 ) (– 1__ 2;1__ 2 ) (– 1__ 2;3__ 2 ) (– 1__ 2;3__ 2 ] c. La solución de 2 . |x – 6| > 4 es: [4;8] (8;+∞) (–∞;4) (–∞;4) ∪ (8;+∞) 43. Resuelvan las siguientes inecuaciones y escriban el conjunto solución. a. 0,6x – 1__ 9 ≥ – 5___ 18 d. –0,3 . (1__ 3 x – 5___ 12 ) ≤ 0,3x b. 7__ 6 x – 3,2 < 9__ 2x e. 4,1x + 8,4_________ 2x ≤ 0,9 c. 1__ 2 x + 5,07 – x > 5,57 f. –3x_____ x – 1 < 2,8 44. Resuelvan las siguientes inecuaciones con módulo y escriban el conjunto solución. a. 6 . |x – 2| ≤ 8x c. 4 . (x + 1) < |x – 3| + 4x b. |–5| . |2x – 3| ≥ 10 d. 3 . |4x – 1| > 10x 45. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El módulo del anterior del triple de un número es menor que el módulo de menos cinco. b. La tercera parte del siguiente de un número es mayor que la suma entre dicho número y su doble. 6 ACTIVIDADES Inecuaciones a. Sí, al pasar el –5 dividiendo cambia el sentido de la desigualdad. b. No, no se deben considerar los extremos. X X X S = [– 1__ 4 ;+∞) S = [15___ 52 ;+∞) S = (– 29___ 30 ;+∞) S = [–4;0) S = (–∞;–1) S = (–∞;26___ 53)∪ (1;+∞) S = [6__ 7 ;+∞) S = (–∞;–1) ∪ (7;+∞) S = (–∞;1__ 2] ∪ [5__ 2 ;+∞) S = (–∞; 3___ 22) ∪ (3__ 2 ;+∞) |3x – 1| < |–5|; S = (– 4__ 3 ;2) 1__ 3 . (x + 1) ≥ x + 2x; S = (–∞;1__ 8)
  23. 23. 26 INTEGRACIÓN 46. Calculen los siguientes módulos. a. |–15| = e. |–3 . 20| = b. |–29| = f. |10 : (–2)| = c. |45| = g. |2 + 4 . 3| = d. |–1 – 5| = h. |12 : (–6) + 1| = 47. Respondan. La distancia de un número a cero es 5. ¿Cuáles son los números que cumplen con esa condición? 48. Escriban el conjunto de valores que verifican las siguientes igualdades. a. |x| = 23 c. |x| = 0 b. |x| = –4 d. |x| = 7 49. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. La tercera parte de la diferencia entre el doble de un número y su mitad es igual al doble del cuadrado de tres. ¿Cuál es ese número? b. El anterior de la mitad de un número es igual al doble del mismo. ¿Cuál es dicho número? c. La suma de dos números consecutivos es igual al triple del siguiente de dicho número. ¿Cuáles son esos números? d. La diferencia entre el triple de un número y su quinta parte, es igual al doble de seis quintos. 50. Resuelvan las ecuaciones. a. 0,7 . (x + 1) = 0,2 + 0,7 b. –2x + 3_______ 3 + x__ 6 = 2x c. 5__ 2 x + 0,3 = 3x + 1______ 2 + 0,2x____ 4 d. 7 – 8x______ 6 + 2x – 2______ 3 = –10x + 1________ 3 e. 2,1 x + 1__ 4 x – 3 . (1__ 9 x – 1__ 6 ) = 6–2 x 51. Escriban en lenguaje coloquial. a. 2 . (0,5 + x) = x + 1 b. 1__ 4 . (1__ 3x – 1) = 5x – 2 c. |x + 5| : 2 = |–16| d. 3 . 1__ 2 = 3 . |2x – 1__ 2 | 52. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo. a. |x| + 5 = 12 e. |x + 4| = 2 b. |x| + 4 = 12 f. 1__ 3 . |x + 1| = 2 c. –2 . |x| + 1 = –11 g. 3 . |x – 3| + 1 = 7 d. 0,2 – |x| = 0 h. –2 . |x –1| – 3 = –15 53. Escriban el conjunto representado como ecuación o inecuación con módulo. a. –3 3 b. –5 5 [ ] c. –1 1 ) ( 54. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El módulo de la diferencia entre un número y cinco es siete. ¿Cuál es dicho número? b. El doble del módulo de la suma de un núme- ro y cuatro es doce. ¿Cuál es dicho número? c. La tercera parte del módulo de la suma entre un número y uno es uno. ¿Cuál es dicho número? d. El triple del módulo de la suma entre siete y un número es nueve. ¿Cuál es dicho número? 55. Calculen todos los números que verifican las siguientes igualdades. a. |x| + 4 = 5 d. 5__ 3 + 0,2 – |x| = 1 b. 2__ 3 . |x| – 2 = 3 e. |x + 4| = 3 c. 5__ 2 – |x| = 4 f. 2 + 3 . |x + 1| = 5__ 2 56. Unan cada ecuación con su conjunto solución. a. |x – 4| = 2 {0;8} b. |2x – 4| = 2 {2;6} c. 2 . |x – 4| = 2 {3;5} d. |x – 4| : 2 = 2 {1;3} 15 60 29 5 45 14 6 1 –5 y 5 S = {–23; 23} S = {0} Absurdo. S = {–7; 7} Solución a cargo del alumno. x = 13___ 70 x = 2__ 5 x = 3___ 17 x = – 1___ 16 x = – 1__ 4 Solución a cargo del alumno. S = {–7;7} S = {–6;–2} S = {–8;8} S = {–7;5} S = {–6;6} S = {1;5} S = {– 1__ 5 ;1__ 5} S = {–5;7} |x| = 3 |x| ≤ 5 |x| > 1 a. –2;12 b. –10;2 c. –4;2 d. –10;–4 S = {–1;1} S = {– 8__ 9 ;– 8__ 9} S = {– 15___ 2 ; 15___ 2 } S = {–7;–1} S = ∅ S = {– 7__ 6 ;– 5__ 6}
  24. 24. 27 4*5*6 CONTENIDOS 57. Escriban el conjunto solución de las siguien- tes inecuaciones. a. |x| > 3 d. |x – 2| < 4 b. |x| ≤ __ 7 e. 2 . |x – 3| ≥ 8 c. |x + 1| > 2 f. 1__ 3 . |x + 4| ≤ 2 58. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. a. Una ecuación es una igualdad que se verifica para todos los valores de la variable. b. Toda ecuación lineal es de la forma ax + b = 0. c. En la ecuación |2x – 7| = –3, el valor de x es 2. d. El conjunto solución de una inecuación siem- pre es un intervalo real. e. Cuando se multiplican ambos miembros de una desigualdad por un número negativo, la desigualdad no cambia su sentido. 59. Escriban la expresión con módulo que corresponde a cada representación. a. –3 3 ) ( b. 0 1__ 3 [ ) c. –2 2 4 d. –a a [ ] 60. Escriban en lenguaje simbólico y obtengan el conjunto solución. a. La quinta parte del anterior de un número es mayor o igual que el doble de dicho número. b. El siguiente del triple de un número es menor que dicho número aumentado en dos novenos. c. El doble del módulo de la tercera parte de un número disminuido en nueve es menor que siete. 61. Unan cada inecuación con su conjunto solución. a. 2 . (x – 1)3 < 16 x > 2 b. –2 . (x – 1)3 > 16 x < 3 c. [2 . (x + 1)]3 > 8 x > 0 d. [–2 . (x + 1)]3 < –8 x > –1 62. Marquen las opciones correctas. a. El doble del módulo del siguiente de un número es menor que su triple. 2 . |x + 1| < 3x |2x + 1| < 3x |2 . (x + 1)| < 3x |2x| + 1 < 3x b. El módulo del anterior de la mitad de un número es mayor que su doble. |1__ 2 .(x – 1)| ≥ 2x 1__ 2 .|x – 1| ≥ 2x |1__ 2 x – 1| ≥ 2x |1__ 2 .x| – 1 ≥ 2x 63. Resuelvan las inecuaciones con módulo. a. 5 + |3x – 4| ≤ 12 – 4x b. 3 – (2x – 8) + 5 > |–x – 4| . |–3| c. 2 . (2x – 6) < |3x – 7| + 3 d. 4 . |2x + 5| + 3 ≥ 1__ 2 . (4x + 6) e. 6 + |2x + 3| – 4x > 5x + 1 f. |7x – 4| + 8 ≤ 2 . (x – 6) + 10 g. 2x + |2x + 3| ≥ –3 . (x + 2) h. 7 . |x + 2| – 10 < 3x + 2 i. 3 . |–x + 3| + 2x ≤ –2x + 7 j. |1__ 3x – 5| + 8 ≤ 2__ 3x + 10 64. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál es el conjunto solución de… a. … 1___ 12 . |–5x + 2,6| > 0,16? ( 2___ 15;+∞) (–∞; 2___ 15 ) ∪ (14___ 15;+∞) (–∞;14___ 15 ) ( 2___ 15;14___ 15 ) b. … 2x + 2 – 5 .(x – 3) ≤ x –8? [25___ 4 ;+∞) (–∞;25___ 4 ) (25___ 5 ;+∞) (–∞;25___ 4 ] 1 capítulo Solución a cargo del alumno. F V F F F |x| > 3 |x| < 1__ 3 ∧ x 0 |x| = 2 ∨ x > 4 |x| ≤ a a. 1__ 5 .(x – 1) ≥ 2x; S = (–∞;– 1__ 9] b. 3x + 1 < x + 0,2; S = (–∞;– 7___ 18) c. 2 .|1__ 3 x – 9| < 7; S = (16,5;37,5) X X S = (–∞;11__ 7 ] S = (–28; 4__ 5) S = (–∞;8) S = S = (–∞;8__ 7) S = ∅ S = [– 9__ 7 ;+∞) S = (–2,6;–0,5) S = (–∞;–2] S = [–3;+∞) X X
  25. 25. AUTOEVALUACIÓN 28 1 capítulo Marquen las opciones correctas 65. ¿Cuál es el intervalo que corresponde en cada caso? a. x ∈ ∧ –2 < x < 2 (–∞;–2) ∪ (2;+∞) (–2;2) {–2;2} Ninguna de las anteriores. b. x ∈ ∧ x < –3 ∨ x > 5 (–∞;–3) ∪ (5;+∞) [–3;5) (–∞;–3] ∪ [5;+∞) Ninguna de las anteriores. c. x ∈ ∧ x = –4 ∨ x > 3 (–4;3) {–4;3} (–4;+∞) Ninguna de las anteriores. 66. ¿Cuál es el error porcentual de ___ 15 por redondeo con ε < 0,001? a. 0,000429 b. 0,429 c. 0,000000429 67. ¿Cuál es el resultado de cada cálculo? a. 1_________ 3 __ 8 . ____ 100 . 0,20 ________________ (0,25 – 0,30) . 2,1 21___ 2 – 2___ 21 2___ 21 b. 3 . |x| + 2 = 5 {–1;1} (–1;1) [–1;1] c. 5 + 2 . |x + 1| = 15 {4} {–6;4} {–6} 68. ¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada problema? a. La mitad del siguiente de un número es igual a su doble, aumentado en la tercera parte de 30. ¿Cuál es el número? 1__ 2 .2x + 1 = 2x + 1__ 3 .30 1__ 2 x + 1 = 2x + 3 . 30 1__ 2 .(x + 1) = 2x + 1__ 3 .30 b. El anterior de la tercera parte de un número es igual a la raíz cuadrada del producto entre dieci- séis y el cuadrado del desconocido. 1__ 3 . (x – 1) = ____ 16x2 1__ 3 . x – 1 = ____ 16x2 1__ 3 x – 12 = ___ 16 x2 69. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación? |–2| .|1__ 2 x – 0,3| 1,3 a. (–∞;2] b. [–0,6;+∞) c. [–0,6;2] d. (–∞;2] ∪ [–0,6;+∞) X X X X X X X X x = – 19___ 3 X S = ∅ X
  26. 26. Números irracionales Contenidos 7. Propiedades de la potenciación y la radicación. 8. Números irracionales. 9. Radicales. Adición y sustracción. 10. Multiplicación y división de radicales. 11. Operaciones combinadas. 12. Racionalización de denominadores. 13. Sucesiones. 14. Sucesiones aritméticas. 15. Sucesiones geométricas. capítulo 2 En la historia matemática hay una leyenda que ha atravesado los siglos: la del descubrimiento de los irracionales por parte de los pitagóricos. Se cuenta que Pitágoras, el célebre filósofo de la antigua Grecia, tenía la idea de que todo en el universo está basado en los números. Y los números eran, para él, enteros o fracciones de enteros. Sin embargo, uno de sus discípulos encontró una magnitud que no podía escribirse como fracción de enteros: esto era terrible, pues conmovía toda una visión del mundo. Y la magnitud en cuestión no era otra que la diagonal del cuadrado, cuyo cálculo procede de un teorema que lleva jus- tamente el nombre de Pitágoras, aunque era conocido mil años antes por los babilonios. Si el lado del cuadrado mide 1, el cuadrado de su diagonal tiene que valer 12 + 12 = 2; de esta forma, la diagonal mide la raíz cuadrada de 2. Se cuenta que los pitagóricos, avergonzados, no quisieron revelar a nadie el secreto de su hallazgo; otra leyenda va más allá y afirma que a quien dio a cono- cer tal secreto lo arrojaron por la borda de un navío. No se cree que esto sea cierto aunque, de alguna forma, deja entrever que los pitagóricos se vieron un tanto “desbordados” por los acontecimientos. 1. Lean atentamente y resuelvan. a. ¿Cómo se diferencian los números racionales de los irracionales? b. Además de __ 2, ¿qué otros números irracionales conocen? a. Porque los números irracionales no se pueden escribir como fracción de enteros. b. Por ejemplo, los más “famosos” son π, la constante e y el número de oro (φ).
  27. 27. 6 30 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Propiedades de la potenciación y la radicación Propiedades de la potenciación Potencia de exponente cero. a0 = 1 ⇔ a ≠ 0 Potencia de exponente negativo. a–n = 1__ an ⇔ a ≠ 0 Potencia de otra potencia. (an )m = an . m Producto de potencias de igual base. an . am = an + m Cociente de potencias de igual base. an ___ am = an – m ⇔ a ≠ 0 Distributividad respecto de la multiplicación. (a . b)n = an . bn Distributividad respecto de la división. (a__ b ) n = an __ bn ⇔ b ≠ 0 Propiedades de la radicación La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: n __ ap = a p__ n __ 6 = 6 1__ 2 3 __ 5 = 5 1__ 3 4 __ x3 = x 3__ 4 3 __ 1__ x7 = x–7__ 3 Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación. Raíz de raíz. n ___ m __ a = (a 1__ m ) 1__ n = a 1____ n.m = m.n __ a Distributividad respecto de la multiplicación. n _____ a . b = (a . b) 1__ n = a 1__ n . b 1__ n = n __ a . n __ b Distributividad respecto de la división. n __ a__ b = (a__ b ) 1__ n = a 1__ n ___ b 1__ n = n __ a____ n __ b ⇔ b ≠ 0 Simplificación de índices. n ___ am = a m__ n = a m:r___ n:r = n:r ___ am:r ⇔ r ≠ 0 ∧ a > 0 6 ___ 53 = 3 __ 5 4 ___ 64 = 4 ___ 26 = ___ 23 10 ___ 81 = 10 ___ 34 = 5 ___ 32 Eliminación del radical. n __ an = a ⇔ n es impar ∨ n __ an = |a| ⇔ n es par ___ 49 = ___ 72 = |7| = 7 4 ___ 81 = 4 ___ 34 = |3| = 3 5 ___ 32 = 5 ___ 25 = 2 3 ___ –8 = 3 _____ (–2)3 = –2 Amplificación de índices. n ___ am = a m__ n = a m.p____ n.p = n.p ____ am.p ⇔ p ≠ 0 ∧ a > 0 __ 3 = 2.2 ____ 31.2 = 4 ___ 32 = 4 __ 9 5 __ 4 = 5.3 ____ 22.3 = 15 ___ 26 = 15 ___ 64 6 __ x3 = 6.4 ___ x3.4 = 24 ___ x12 INFOACTIVA
  28. 28. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que (3__ 4 ) – 2 = (– 4__ 3 ) 2 ? b. ¿Es correcto decir que 3 __ a3 = |a|? Test de comprensión 7 ACTIVIDADES Propiedades de la potenciación y la radicación 1. Marquen las respuestas correctas. a. (ab)–5 : (ab)2 . a = a–2 b–3 a–6 b–7 a–7 b–7 a–8 b–7 b. ____ a4 b5 . ____ a2 b = a6 b6 a4 b3 a3 b3 ab2 c. __ a . __ b .a 3__ 2 : b4 = a2 b – 7__ 2 a2 b 7__ 2 a2 b – 9__ 2 a2 b 9__ 2 d. __ a . 3 __ b . _____ a . b . a–4 = a–3 b 5__ 6 a5 b 5__ 6 a–3 b – 1__ 6 a5 b – 1__ 6 2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. a. 3–2 = 1__ 9 d. 2 . 20 : 2–3 = 23 g. (2a)5 = 2a5 b. (72 )–3 = 76 e. 3 _____ 5 = 6 __ 5 h. 3 ___ 25 = 5 2__ 3 c. 4–3 : 4–5 = 4–8 f. 5 __ 95 = |9| i. (2__ 5 )– 3__ 2 = (– 5__ 2 ) 3__ 2 3. Expresen como una única potencia aplicando las propiedades. a. 2–5 . 2 : 2–4 = d. (ab)3 . (ab)–2 = g. __ 6 . __ 63 . __ 66 = b. [(–3)3 : (–3)–3 ]–2 = e. __ 5 . 3 __ 52 . 6 __ 55 = h. ___ ab : ____ a2 b = c. (5 . 4)2 : (52 . 4)3 = f. _______ 64 . __ 2 = i. (a–1 b)5 . ___ ab = 4. Identifiquen el error y resuelvan correctamente. (24 : 2 . 26 )–3 = (210 )–3 = 27 5. Resuelvan expresando con un índice común. a. 3 __ 5 . __ 3_______ 6 ______ 9 . 125 = b. 4 __ 2 . 8 ___ 81_______ 8 _____ 1296 = c. 5 __ 3 . __ 2_______ 10 __ 3 . __ 3 = d. 3 __ 3 . __ 2_______ 12 __ 3 . 4 __ 2 = 31 a. No, la base de la segunda expresión debe ser positiva. b. No, esto ocurre si el índice y el exponente son pares. X X X X V F F F V V F V F 20 ab 65 (–3)–12 52 a – 1__ 2 5–4 4–1 22 a – 9__ 2 b 11__ 2 (29 )–3 = (2)–27 6 __ 3__ 5 8 __ 1__ 4 10 ___ 25 __ 34 12 _____ 33 . 23
  29. 29. 7 32 171615141312111088 Números irracionales Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas. Como ya se vio, las raíces no exactas de números racionales son números irracionales. Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, siempre que esta tenga solución real. Representación en la recta numérica Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real. Para representar ese punto sobre la recta numérica, si el irracional es de la forma __ a, se debe recurrir al teorema de Pitágoras: A2 = B2 + C2 B c A Representación de __ 2. Se determina sobre la recta un triángulo rectán- gulo isósceles cuyos catetos midan 1. El valor de la hipotenusa es: ______ 12 + 12 = __ 2 __ 2 0 1 __ 2 2 Representación de __ 3. Se determina sobre la recta un triángulo rectán- gulo cuyos catetos midan 1 y __ 2, respectivamente. El valor de la hipotenusa es: _______ ( __ 2 )2 +12 = __ 3 0 1 __ 2 __ 3 2 __ 2 __ 3 Representación de __ 5. Se determina sobre la recta un triángulo rectán- gulo cuyos catetos midan 1 y 2, respectivamente. El valor de la hipotenusa es: ______ 12 + 22 = __ 5 0 1 2 __ 5 3 __ 5 De este modo se puede representar cualquier raíz cuadrada de un número natural, siempre que se elijan convenientemente los catetos del triángulo rectángulo. INFOACTIVA
  30. 30. 33 Test de comprensión 6. Marquen las opciones correctas. a. Los números que son irracionales. – __ 3 – __ 4 π ___ –2 b. Las operaciones cuyos resultados son números irracionales. __ 2 . ___ 18 __ 5 + 1 – __ 2 + __ 3 – __ 9 + 1__ 2 7. Representen los números √ __ 6; √ __ 8; – √ __ 2 en la recta numérica. 8. Representen en la recta numérica los siguientes números, usando una escala de 1 cm. a. __ 3___ 2 d. – __ 2 + 2 b. __ 5 – 1 e. __ 2 + __ 3 c. –2 . __ 3 f. –2 . __ 5 + __ 2 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide __ 6, si uno de los catetos mide 1 cm, ¿cuánto debe medir el otro cateto? b. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 1 cm y 4 cm, ¿la medida de la hipotenusa corres- ponde a un número racional o irracional? 8 ACTIVIDADES Números irracionales a. El otro cateto debe medir __ 5 cm. b. Racional, se representa _____ 9 cm = 3 cm. X X X X X Solución a cargo del alumno. –4 –3 –2 –1 0 1 __ 2 2 3 4 5 – __ 2 __ 6 __ 6 __ 8 __ 8 __ 2
  31. 31. 8 34 Radicales. Adición y sustracción Extracción de factores de un radical Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es mayor o a lo sumo igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la poten- ciación y radicación. 3 _____ 16x8 = 3 ______ 24 x6 x2 = 3 ________ 23 .2x6 x2 = 3 ___ 23 . 3 __ 2 . 3 __ x6 . 3 __ x2 = 2. 3 __ 2 .x2 . 3 __ x2 = 2x2 . 3 √ ____ 2x2 _______ 63x6 yz5 = __________ 32 .7x6 yz4 z = ___ 32 . __ 7 . __ x6 . __ y . __ z4 . __ z = 3. __ 7 .x3 . __ y .z2 . __ z = 3x3 z2 . √ ____ 7yz 4 ______ 729____ 625 m5 = 4 _____ 36 ___ 54 m5 = 4 ___ 34 . 4 ___ 32 _________ 4 ___ 54 . 4 ___ m4 . 4 __ m = 3__ 5 m . 4 √ ___ 9m _____ 343a2 ______ b3 = _____ 73 .a2 _____ b3 = ___ 72 . __ 7 . __ a2 ______________ b2 . __ b = 7. __ 7 .a_______ b. __ b = 7a___ b . √ __ 7__ b Radicales semejantes Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando. Términos con radicales semejantes: – 5 __ 3 y 5 __ 3; –2 . 3 __ 2 y 4 . 3 __ 2; 3 . 4 __ x3 y –8 . 4 __ x3 . Términos con radicales no semejantes: – 3 __ 7 y __ 7; 5 . __ 3 y 7 . __ 2; –4 . 4 __ 3 y 9 . 3 __ 4. Adición y sustracción de radicales Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes. 6. __ 3 + 4. __ 3 – __ 3 = (6 + 4 – 1). __ 3 = 9 . √ __ 3 5. __ 6 – 9. __ 2 + 3. __ 6 + 4. __ 2 = (5 + 3). __ 6 + (–9 + 4) . __ 2 = 8 . √ __ 6 – 5 . √ __ 2 Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de llevarlos a su mínima expresión. 3. __ 3 – 5. ____ 243 + 7. ___ 27 – 8. ___ 75 = 3. __ 3 – 5. ___ 34 . __ 3 + 7. ___ 32 . __ 3 – 8. ___ 52 . __ 3 = 3. __ 3 – 45. __ 3 + 21. __ 3 – 40. __ 3 = (3 – 45 + 21 – 40). __ 3 = –61 . √ __ 3 4. __ 2 – 6. 4 ___ 49 – 8. __ 8 + ___ 63 = 4. __ 2 – 6. 4 ___ 72 – 8. ___ 22 . __ 2 + ___ 32 . __ 7 = 4. __ 2 – 6. __ 7 – 8.2. __ 2 + 3. __ 7 = 4. __ 2 – 6. __ 7 – 16 __ 2 + 3. __ 7 = (4 – 16). __ 2 + (–6 + 3). __ 7 = –12 . √ __ 2 – 3 . √ __ 7 INFOACTIVA 1817161514131211109
  32. 32. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que 3 __ 28 = 4 . 3 __ 4? ¿Por qué? b. ¿Por qué __ 3 y 3 __ 3 no son semejantes? 35 Test de comprensión 9 ACTIVIDADES Radicales. Adición y sustracción 9. Extraigan los factores del radical. a. ___ 32 = f. _____ 27c5 ____ 343 = b. 3 _____ 0,125 = g. 4 _________ 81a4 b8 c12 _________ 2 401c4 = c. ____ 64a3 = h. 5 ________ 32a6 b8 _______ 729b3 c3 = d. 3 ________ 2 401b5 c = i. _________ 128a5 b9 c10 __________ 9bc11 = e. 4 _______ 234a3 b7 = j. 3 _________ 512a2 b3 c4 _________ 125d5 = 10. Marquen las opciones correctas. ¿Cuáles de los siguientes radicales son semejantes a 3 __ 2? a. 3 ___ –2 b. 5 . 3 ___ 64 c. –2 . 3 ____ 128 d. 3 . 6 __ 22 11. Resuelvan las siguientes sumas y restas. a. –3 . __ 5 – 7 . __ 5 + 2 . __ 5 = b. 2 . __ 2 + 5 . __ 2 – __ 2 = c. – __ 3 + __ 3 – 5 . __ 3 = d. 2 . __ b – 3 . __ a – 2 . __ b – __ a = e. 5. __ a – 6. __ b – __ b = 12. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas. a. __ 5 + __ 8 – ___ 32 = d. –3 . __ 1__ 2 – 5 . ___ 1___ 32 + __ 1__ 8 = b. 3 . __ 7 – 3 . ___ 28 + ___ 63 = e. ___ 54 + ___ 12 – __ 6 = c. –4 . ___ 1___ 27 + __ 1__ 3 – 2 . ____ 1____ 243 = f. ___ 20 + 3 . __ 8 – 5 . __ 5 = a. Sí, al aplicar propiedades se obtiene 3 __ 28 = 3 ________ 23 . 23 . 22 = 3 __ 23 . 3 __ 23 . 3 __ 22 = 4 . 3 __ 22 = 4 . 3 __ 4. b. Porque para que sean semejantes el índice y el radicando deben ser iguales. 4 . __ 2 3__ 7 c2 . ___ 3c___ 7 0,5 3__ 7 ab2 c2 8a . __ a 2__ 3 ab . 5 ___ a___ 3c3 7b3 . 3 ____ 7b2 c 23 a2 b4 . ___ 2a___ c 3b . 4 _____ 3a3 b3 8bc____ 5d . 3 ___ a2 c___ d2 X X –8 . __ 5 6 . __ 2 –5 . __ 3 –4 . __ a 5 . __ a – 7 . __ b __ 5 – 2 . __ 2 – 15___ 4 . __ 1__ 2 0 2 . __ 6 + 2 . __ 3 – 5__ 9 . __ 1__ 3 –3 . __ 5 + 6 . __ 2
  33. 33. 9 36 Multiplicación y división de radicales Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice. La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades. Propiedad distributiva de la multiplicación y división respecto de la suma y resta. a . (b ± c) = (b ± c) . a = ab ± ac (b ± c) : a = b : a ± c : a __ 3 .( __ 3 + ___ 27 ) = __ 3 . __ 3 + __ 3 . ___ 27 = __ 9 + ___ 81 = 3 + 9 = 12 ( ____ 125 – ___ 20 ) : __ 5 = ____ 125 : __ 5 – ___ 20 : __ 5 = ___ 25 – __ 4 = 5 – 2 = 3 Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (a + b) . (a – b) = a2 – b2 ( __ 2 – __ 3 )2 = ( __ 2 )2 – 2. __ 2 . __ 3 + ( __ 3 )2 = 2 – 2. __ 6 + 3 = 5 – 2. __ 6 ( ___ 10 + __ 7 ).( ___ 10 – __ 7 ) = ( ___ 10 )2 – ( __ 7 )2 = 10 – 7 = 3 Multiplicación y división de radicales de distinto índice Para que los índices de dos o más radicales sean iguales, se debe calcular el mcm de los índices de los radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice. 4 __ a2 y 6 __ x mcm(4;6) = 12, ambos radicales deben tener índice 12. 4 __ a2 = 4.3 ___ a2.3 = 12 __ a6 y 6 __ x = 6.2 ___ x1.2 = 12 __ x2 Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, se los debe reducir a mínimo común índice y luego aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multiplica- ción y división. n _ a . n __ b . n _ c ..... n __ d = n _________ a . b . c ..... d ∧ n _ a___ n __ b = n __ a__ b con b ≠ 0 __ 5 . 3 __ 5 = 2.3 ____ 51.3 . 3.2 ____ 51.2 = 6 ___ 53 . 6 ___ 52 = 6 _____ 53 .52 = 6 ___ 55 3 __ a2 . 4 __ a3 = 3.4 ___ a2.4 . 4.3 ____ a3.3 = 12 __ a8 . 12 __ a9 = 12 _____ a8 .a9 = 12 ___ a17 = 12 ______ a12 .a5 = a. 12 __ a5 4 ___ 73 ____ 6 ___ 75 = 4 .3 ____ 73 .3 _______ 6 . 2 ____ 75 .2 = 12 ___ 79 ______ 12 ___ 710 = 12 ____ 79 ___ 710 = 12 __ 1__ 7 4 __ b3 ____ 5 __ b2 = 4 .5 ____ b3 .5 _______ 5 . 4 ____ b2 .4 = 20 ___ b15 _____ 20 __ b8 = 20 ___ b15 ___ b8 = 20 __ b7 INFOACTIVA 19181716151413121110
  34. 34. 37 Test de comprensión 13. Resuelvan las siguientes operaciones. a. __ 3 . ( __ 5 + 2 . __ 5 ) = d. ( __ 5 + ___ 27 ). ( __ 5 – ___ 27 ) = b. __ 2 . ( ___ 32 – ____ 128 ) = e. ( __ 7 + __ 8 ): __ 3 = c. ( __ 7 – __ 3 )2 = f. ( ____ a5 b – ___ ab3 ): __ a = 14. Reduzcan a un índice común. a. __ 33 y 4 __ 3 c. 3 __ a2 y 5 __ b4 b. 3 __ 52 y __ 5 d. 7 ____ a2 b3 y ___ 5c 15. Reduzcan a un índice común y resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones. a. ___ 2x . 3 ___ 2x2 = d. 3 ___ 4y2 : 4 ____ 8x y = b. __ x . 4 ___ 3x2 . 8 __ x = e. ___ 5x : 5 __ x4 = c. 5 ___ xy . 4 ____ x3 y2 = f. 3 ______ 27x2 y3 : 9 ____ 3y2 x = 10 ACTIVIDADES Multiplicación y división de radicales 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que ( __ 2 – __ 3 )2 = ( __ 2 )2 – ( __ 3 )2 ? b. ¿Es correcto decir que __ 2 . 3 __ 5_______ 6 __ 7 es lo mismo que 6 ____ 2 .5____ 7 ? a. No, la primera expresión resuelta da 5 – 2 . __ 6 y la segunda –1. b. No, porque si bien 6 es el índice común, no fue aplicada correctamente la propiedad en el radicando. 3 . ___ 15 –22 –8 __ 7__ 3 + 2 . __ 2__ 3 10 – 2 . ___ 21 (a2 – b) . __ b 4 __ 36 y 4 __ 3 15 ___ a10 y 15 ___ b12 6 __ 54 y 6 __ 53 14 ____ a4 b6 y 14 ____ 57 c7 x . 6 ____ 25 x 12 ___ y5 ___ 2x3 x . 8 ___ 9x 10 ___ 55 __ x3 20 _____ x19 y14 9 ______ 38 y7 x5
  35. 35. 1010 38 Operaciones combinadas Para resolver un cálculo combinando con radicales, se deben seguir estos pasos, teniendo en cuen- ta la jerarquía de las operaciones y sus propiedades. __ 2 . __ 2 . __ 8 + (5. __ 6 – 7. __ 8 ). __ 3 =_______ 2 . 2 . 8 + 5. __ 6 . __ 3 – 7. __ 8 . __ 3 =___ 32 + 5. ___ 18 – 7. ___ 24 =___ 25 + 5. _____ 2.32 – 7. _____ 3.23 =___ 24 . __ 2 + 5. __ 2 . ___ 32 – 7. __ 3 . ___ 22 . __ 2 = 22 . __ 2 + 5.3. __ 2 – 7.2. __ 3 . __ 2 = 4. __ 2 + 15. __ 2 – 14. __ 6 = 19. __ 2 – 14. __ 6 = 1. Se separa en términos. 2. Se resuelve cada término respetando la jerarquía de las operaciones. 3. Se escriben los radicales en su mínima expre- sión. 4. Se resuelven las sumas y restas entre los radicales semejantes. __ 3 . 3 __ 9_______ 4 __ 3 – _______ 3 . ___ 27 . 3 __ 9 + ( __ 5 – __ 3)2 = __ 3 . 3 ___ 32 ________ 4 __ 3 – __ 3 . 4 ___ 33 . 3 ___ 32 + ( __ 5 – __ 3).( __ 5 – __ 3) = 2.6 ____ 31.6 . 3.4 ____ 32.4 ____________ 4.3 ____ 31.3 – 2.6 ____ 31.6 . 4.3 ____ 33.3 . 3.4 ____ 32.4 + ( __ 5)2 – 2. __ 5 . __ 3 + ( __ 3)2 = 12 ______ 36 . 38 ______ 33 – 12 _________ 36 . 39 . 38 + 5 – 2. ____ 5 . 3 + 3 = 12 ____ 314 ___ 33 – 12 ___ 323 – 2. ___ 15 + 8 = 12 ___ 311 – 3. 12 ___ 311 – 2. ___ 15 + 8 = –2 . 12 √ ___ 311 – 2 . √ ___ 15 + 8 Si en el cálculo aparecen letras, o números y letras, se procede de la misma forma. 3 _______ 3 __ x2 . __ x________ __ x . 6 __ x5 + 3 ___ 9x : 6 ___ 3x = 3 ____________ 3 .2 ___ x2 .2 . 2 .3 ___ x1 .3 ______________ 2 .3 ___ x1 .3 . 6 __ x5 + 3.2 ______ 32.2 .x2 : 6 ___ 3x = 3 ______ 6 _____ x4 .x3 ________ 6 _____ x3 .x5 + 6 _________ 34 .x2 : (3x) = 18 __ x7 ____ 6 __ x8 + 6 ____________ (34 : 3).(x2 : x) = 18 __ x7 ______ 6 _____ x6 .x2 + 6 ____ 33 .x = 1__ x . 18 __ x7 _______ 6 . 3 ____ x2 . 3 + 6 ____ 33 .x = 1__ x . 18 __ x7 __ x6 + 6 ____ 33 .x = 1__ x . 18 √ __ x + 6 √ ____ 33 .x 20191817161514131211 INFOACTIVA Para repasar las operaciones con radicales pueden volver a las páginas 34 y 36.
  36. 36. 39 Test de comprensión 16. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a. ( ____ 448 + ____ 125 ). __ 7 = i. __ 3 . (4 . 3 __ 75 + 5 . __ 33 ) = b. __ 3 . ( ____ 176 – ___ 27 ) = j. ____ 175 + ( __ 2 + 3 . 3 __ 2 ). __ 2 = c. (3 ____ 297 + 3 ___ 56 ). 3 __ 7 = k. ( __ 6 – 5 . __ 3 ). __ 3 + ___ 50 = d. 4 __ 6 . ( 4 ___ 32 – 4 ____ 243) = l. __ 2 . __ 8 – (7 . __ 5 – 2 . __ 3 ): (4 . __ 3 ) = e. ( ___ 18 – ___ 48 ): __ 5 = m. __ 3 . ( __ 5 – 2 . __ 3) + (5 . __ 3 + __ 5) . __ 5 = f. (3 . ____ 128 – 5 . ____ 512 ): __ 23 = n. __ 8 . ( ____ 242 – ___ 27 ) – ___ 24 = g. (5 . 3 ____ 297 – 2 . 3 ____ 189 ): (3 . 3 __ 2 ) = ñ. – ___ 103 : __ 23 + __ 2 . ( ___ 10 + 5 . 3 __ 7 ) = h. (–5 . 4 ____ 486 + 2 . 4 ___ 96 ): (1__ 2 . 4 __ 3 ) = o. – __ 2 . __ 3 : __ 3 + ( __ 6 – 2 . ___ 21 ): __ 3 = 11 ACTIVIDADES Operaciones combinadas 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es correcto decir que __ 2 + __ 2 . __ 5 = 2 . ___ 10? b. El cálculo _______ 3 . ___ 27 , ¿puede expresarse como (3 + 3 3__ 2 ) 1__ 2 ? a. No, para resolver se debe tener en cuenta la jerarquía de las operaciones. b. No, es 3 5__ 4 o 4 __ 35 . 56 + 5 . ___ 35 28 . 6 _____ 33 . 74 + 45 4 . ___ 33 – 9 2 + 5 . __ 7 + 3 . 6 __ 25 3 . 3 ___ 77 + 2 . 3 ___ 49 8 . __ 2 – 15 2 . 4 ___ 12 – 3 . 4 ___ 18 9__ 2 – 7__ 4 . __ 5__ 3 3 . __ 2__ 5 + 4 . __ 3__ 5 6 . ___ 15 – 1 – 28 44 – 8 . __ 6 5 . 3 ___ 11__ 2 – 2 . 3 __ 7__ 2 –3 . __ 5 + 5 . 6 ____ 392 – 22 . 4 __ 2 –2 . __ 7
  37. 37. 40 11 ACTIVIDADES Operaciones combinadas 17. Expresen en lenguaje simbólico y luego resuelvan. a. El cuadrado de la suma entre la raíz cuadrada de quince y la raíz cuarta de cincuenta. b. El cociente entre la diferencia de la raíz cuadrada de ocho y el triple de la raíz cuadrada de cuatro, y la raíz cuadrada de dos. c. El producto entre la suma del doble de la raíz cúbica de cinco y tres y su diferencia. d. El cuadrado del producto entre la suma de la raíz cuadrada de siete y la raíz cuadrada de veintiuno, y la raíz cuadrada de tres. e. El cubo de la diferencia entre el producto de la raíz cuadrada de tres y la raíz cuadrada de dos, y el triple de la raíz cuadrada de seis. 18. Hallen el perímetro y el área de las figuras sombreadas. a. b. __ 3 + 2 __ 2 3. __ 5 ( ___ 15 + 4 ___ 50 )2 = 15 + 10 . 4 ___ 18 + 5 . __ 2 ( __ 8 – 3 . __ 4 ): __ 2 = 2 – 3 . __ 2 (2 . 3 __ 5 + 3). (2 . 3 __ 5 – 3) = 4 . 3 ___ 25 – 9 [( __ 7 + ___ 21 ). __ 3 ]2 = 84 + 42 . __ 3 ( __ 3 . __ 2 – 3 . __ 6 )3 = –48 . __ 6 Perímetro = 4 . ( __ 2 + __ 3 ); Superficie = 5 + 4 . __ 3 Perímetro = 15 + 3 . __ 5; Superficie = 45___ 2
  38. 38. 41 19. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a. ___ 72 – ___ 98 + ______ 2 . ___ 32 – __ 2 . 4 ____ 128_________ 3 ___ 64 = e. 1 + __ 3_______ 6 + (1 + __ 3 )2 – ____ 675___________ 3 . ___ 12 = b. (3 – __ 7 )2 + ____ 343 . 3 _____ 2 401____________ 6 _____ 2 401 – __ 7 . ( __ 7 – 2) = f. __ 2 . 3 ____ –27 + __ 25 . __________ 8 – __ 2 – ___ 75__________ 5 . ___ 27 – 4 . 4 __ 23 = c. (2 + 5 . __ 3 ). (1 – __ 3 )– ___ 27 . __ 3________ 4 __ 9 + ( __ 3 + __ 7 )2 = g. 1__ 3 . ___ 9___ 25 + __ 2_________ 2 – __ 3 . 1__________ 2 + __ 3 – __ 8 . ___ 16 = d. ( __ 2 – __ 6 )2 – ( __ 6 + __ 2 )2 + ____ 162 . ___ 24______________ 324 = h. ( ___ 10 – __ 2 ). ( __ 5 + __ 2 ) – ( __ 2 – __ 5 )2 – 5 . __ 6_____ 3 = 20. Relacionen una expresión de la primera columna con la correspondiente de la segunda. a. ( _____ a – 1 + 1)2 = a – 2 b. ( _____ a – 1 – 1)2 = a + 2 – 2 . _____ a + 1 c. ( _____ a + 1 + 1)2 = a d. ( _____ a + 1 – 1)2 = a + 2 . _____ a – 1 e. ( _____ a – 1 – 1). ( _____ a – 1 + 1) = a + 2 + 2 . _____ a + 1 f. ( _____ a + 1 – 1). ( _____ a + 1 + 1) = a – 2 . _____ a – 1 11 ACTIVIDADES Operaciones combinadas ¿Cuál es el resultado de ___________ 3 . ______ 3 . __ 3 ? menteACTIVA – __ 2 + 2 . 4 __ 23 – 4 __ 2 25___ 6 – 1__ 3 . __ 3 9 – 4 . __ 7 + 49 . 6 __ 7 –3 . __ 2 – 1__ 3 . __ 5 2 . ___ 21 – 3 1__ 5 – 9 . __ 2 –6 . __ 3 2 . __ 5 + ___ 10 –9 8 __ 37 o 3 7__ 8
  39. 39. 11 42 Racionalización de denominadores Racionalizar el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto, siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales, se debe hallar una fracción equivalente a la dada con denominador racional. Primer caso: en el denominador hay un único radical con índice igual a 2. Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe amplificar por la misma raíz que tiene el denominador. 1_____ 5 1_____ 5 = 1_____ 5 . __ 5_____ 5 = __ 5_______ 52 = √ __ 5___ 5 Segundo caso: en el denominador hay un único radical con índice mayor que 2. Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe amplificar por una raíz que tenga el mismo índi- ce que la raíz del denominador, cuyo radicando tenga los mismos factores, pero con exponente igual a la diferencia entre el índice y el exponente dado. 3____ 5 ___ 22 3____ 5 ___ 22 = 3____ 5 ___ 22 . 5 ___ 23 ____ 5 ___ 23 = 3.5 ___ 23 ______ 5 _____ 22 .23 = 3. 5 __ 8_____ 5 ___ 25 = 3. 5 √ __ 8______ 2 4_____ 4 ____ a3 b2 4______ 4 ____ a3 b2 = 4_____ 4 ____ a3 b2 . 4 ___ ab2 _____ 4 ___ ab2 = 4. 4 ___ ab2 ________ 4 _______ a3 b2 ab2 = 4. 4 ___ ab2 _______ 4 ____ a4 b4 = 4. 4 √ ___ ab2 ______ ab Tercer caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2. Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos por su diferencia. (a + b) . (a – b) = a2 – b2 7__________ 3 – __ 5 = 7__________ 3 – __ 5 . __ 3 + __ 5__________ 3 + __ 5 __ 3 – 1______ 5 – __ 6 = __ 3 – 1_______ 5 – __ 6 . 5 + __ 6_______ 5 + __ 6 = 7.( __ 3 + __ 5 )__________________ ( __ 3 – __ 5 ).( __ 3 + __ 5 ) = ( __ 3 – 1).(5 + __ 6 )_______________ (5 – __ 6 ).(5 + __ 6 ) = 7 . ( __ 3 + __ 5 )____________ ( __ 3 )2 – ( __ 5 )2 = 5 . __ 3 + __ 3 . __ 6 – 5 – __ 6______________________ 52 – ( __ 6 )2 = 7 . ( __ 3 + __ 5 )____________ 3 – 5 = 5. __ 3 + ___ 18 – 5 – __ 6__________________ 25 – 6 = 7.( __ 3 + __ 5 )___________ –2 = 5 . __ 3 + 3 . __ 2 – 5 – __ 6____________________ 19 = – 7__ 2 . ( __ 3 + __ 5 ) = 5___ 19 . √ __ 3 + 3___ 19 . √ __ 2 – 5___ 19 – 1___ 19 . √ __ 6 = – 7__ 2 . √ __ 3 – 7__ 2 . √ __ 5 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 INFOACTIVA
  40. 40. 43 12ACTIVIDADES Racionalización de denominadores 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es correcto decir que la expresión ___ x–1 (con x > 0) debe racionalizarse? b. ¿Cómo se racionaliza la expresión 1__________ 2 – __ 5 ? Test de comprensión 21. Marquen las opciones correctas. ¿En cuáles de las siguientes expresiones no se racionaliza el denominador? a. ( __ 2 )–1 b. ( 1_____ 2 ) –1 c. x__________ x d. 1_______ 16 22. Unan con flechas cada expresión con la racionalización correspondiente. a. 3____ 6 __ 45 = 3__ 2 . 3 __ 2 b. 3______ 23 = 3__ 4 . 3 __ 2 c. 3___ 3 __ 4 = 3__ 4 . __ 2 23. Racionalicen las siguientes expresiones. a. 1_____ 7 = g. 1____ 3 __ 54 = b. – 5_____ 3 = h. 8 . __ 2______ 4 __ 2 = c. 12x_______ 2x = i. – 2___________ 3 = d. 3a_______ 3a = j. 7 + __ 3_______ 7 . __ 3 = e. 5b______ 7 . ___ 3b = k. 7________ 3 . 6 ____ 72 a3 = f. 9___ 3 __ 2 = l. __ 5______ 5 ____ 81b4 = a. Sí, porque es 1_____ x . b. Se debe multiplicar el numerador y el denominador por __ 2 + __ 5. X X __ 7___ 7 3 ___ 25____ 25 – 5 . __ 3_____ 3 8 . 4 __ 2 6 . ___ 2x – 2__ 3 . 4 ___ 27 ___ 3a __ 3___ 3 + 1__ 7 5___ 21 . ___ 3b 6 ____ 74 a3 _____ 3a 9__ 2 . 3 __ 4 10 ________ 28 125 b2 __________ 3b
  41. 41. 44 24. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál de las siguientes expresiones racionaliza a... a. ... __ 3_____ 5 ? __ 3_____ 3 __ 3_____ 5 __ 5_____ 3 __ 5_____ 5 b. ... 1_________ 2 + 1 ? 1_________ 2 – 1 __ 2 – 1________ 2 – 1 1________ 2 + 1 __ 2 + 1________ 2 + 1 c. ... __ 3__________ 2 + __ 7 ? __ 2 – __ 7___________ 2 – __ 7 __ 2 + __ 7___________ 2 – __ 7 1__________ 2 – __ 7 1__________ 2 + __ 7 25. Relacionen cada cálculo con su resultado. a. __ 5 + 5_________ 5 + 2 = 15 – 7 . __ 5 b. __ 5 – 5_________ 5 + 2 = –5 – 3 . __ 5 c. __ 5 + 5_________ 5 – 2 = 3 . __ 5 – 5 d. __ 5 – 5_________ 5 – 2 = 15 + 7 . __ 5 26. Racionalicen las siguientes expresiones. a. 1_________ 2 + 3 = e. 10 – __ 5________ 5 + __ 5 = b. –7_______ 5 – __ 3 = f. –3___________ 11 – __ 7 = c. __ 2_________ 2 – 5 = g. __ 3 – __ 8____________ 12 – __ 2 = d. –5___________ 10 – __ 3 = h. 8 . __ 3_________ 5 + 2 . __ 3 = 12ACTIVIDADES Racionalización de denominadores X X X 3 – __ 2 11__ 4 – 3__ 4 . __ 5 – 35___ 22 – 7___ 22 . __ 3 – 3__ 4 . __ 11 – 3__ 4 . __ 7 – 2___ 23 – 5___ 23 . __ 2 1__ 5 – 3___ 10 . __ 6 – 5__ 7 . ___ 10 – 5__ 7 . __ 3 – 48___ 13 + 40___ 13 . __ 6
  42. 42. 45 27. Racionalicen las siguientes operaciones. a. 2 + __ 3_________ 3 – 1 = h. –2___________ 5 – ___ 2y = b. 7 + 2 . __ 3_________ 2 . __ 2 – 1 = i. 1________ 3 ________ 8 – 1 = c. 5 . __ 2__________ 3 . __ 3 + __ 2 = j. __________ 6 + __ 2___________________ 6 – __ 2 = d. __ 2 + ___ 16___________ 2 – ___ 16 = k. __________ 7 + __ 2___________________ 7 – __ 2 = e. __ 3 – 1____________ 2 . ___ 27 – __ 2 = l. a – 1_____________ a3 + a = f. __ 11___________ 2 . __ 11 – ___ 13 = m. 1 – __ a________ a – 1 = g. _______ 5 + __ 5_______________ 5 – __ 5 = n. 1_________________ a2 + 2 – 5 = 12ACTIVIDADES Racionalización de denominadores 3__ 2 . __ 3 + 5__ 2 –2 . __ 5 – 2 . ___ 2y______________ 5 – 2y 2 . __ 2 + 4__ 7 . __ 6 + 2__ 7 . __ 3 + 1 3 __________ 49 __ 8 + 49___________ 7 3__ 5 . __ 6 – 2__ 5 __ 6___ 2 + __ 2___ 2 – 9__ 7 – 4__ 7 . __ 2 ___ 10 + ___ 35_________ 5 18 – __ 2 – 6 . __ 3 + __ 6___________________ 106 (a – 1) . ______ a3 + a______________ a3 + a 22 + ____ 143__________ 31 –1 __ 5___ 2 + 1__ 2 ______ a2 + 2 + 5__________ a2 – 23
  43. 43. 46 INTEGRACIÓN 28. Escriban la mínima expresión aplicando las propiedades. a. (5–2 : 5–5 )2 : 57 = e. __ 7 . ___ 14 . __ 23 = b. (82 )7 : (83 : 87 )–1 = f. 5 ____ c2 d3 . ____ c8 d2 = c. (a3 )4 : (a–2 . a–5 )–2 = g. 7 ___ a14 ___ a21 : ___ a4 __ a8 = d. (b__ c ) 4 . (b__ c2 ) –1 = h. ___ 15 . 3 __ 5________ 6 ______ 1___ 33 .5–1 = 29. Marquen las opciones correctas. ¿A cuál de las siguientes expresiones equiva- le (ab) 2__ 3 ? 3 ___ ab2 3 _____ (ab)2 ___ ab3 _____ (ab)3 30. Indiquen V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas. a. b 5__ 3 = 5 __ b3 b. a . a . b = 2ab c. __ a__ b = __ a : __ b d. (b . b3 )3 = b9 e. __ a2 = |a| f. b5 . b2 = b10 31. Representen en la recta numérica. a. – __ 7 + 2 d. 2 . __ 5 – 3 . __ 3 b. __ 6 – 1 e. __ 11 c. 3 + __ 2 f. – __ 11 + 2 32. Piensen y resuelvan. Para representar __ 2 en la recta numérica, se comienza por 2 catetos cuyas medidas son 1. Para representar __ 3, por dos catetos que miden 1 y __ 2; y para representar __ 5, por dos catetos que son 1 y 2. ¿Cuáles son las medidas de los catetos que debe- rían considerar para representar __ 11; ___ 37; ___ 56? 33. Extraigan los factores fuera del radical. a. ____ 512 = f. 3 ______ 16x2 y5 = b. 3 _____ 2 187 = g. 3 ______ 27x3 z4 ______ 256y5 = c. 4 _______ 3 125a5 = h. 5 _____ 4__ 5 . x8 y___ xy6 = d. 5 ____ x7 y9 = i. _____ 2__ 9 . a___ a12 = e. ____ a3 b4 ____ c5 d = j. 4 ________ 243a10 b2 ________ 3a2 b10 = 34. Calculen el perímetro de cada figura. a. 2 . __ 2 __ 3 b. 2 . __ 3 ___ 27 __ 3 35. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas. a. – ___ 45 + ___ 20 – 7 . __ 5 = b. ___ 48 – 5 . ___ 12 + ___ 27 = c. – ___ 54 + ___ 24 – 3 . ____ 2 . 3 = d. – ____ 169 – ___ 99 + ____ 275 = e. ___ 52 – 2 . ___ 117 + ____ 578 = f. – 3 ___ 56 – ____ 175 + ___ 112 = g. 3 ___ 88 – 3 __ 11 + 3 __ 8 = h. ___ 98 – ___ 112 – ___ 28 = i. 3 ___ 16___ 54 + 3 ____ 250 – 1__ 2 . 3 __ 2 = j. – ___ 54 – ___ 24 + 3__ 2 . __ 6 = 36. Sabiendo que A = √ __ 3 + 5 y B = 2 . √ __ 3 – 1. a. A + B = d. 3A – 5B = b. 2A – B = e. –4A – B = c. –A + B = f. –2A + 3B = 5–1 28 810 c2 d a–2 a b3 __ c2 15 X F F V F V F Solución a cargo del alumno. __ 11, 1 y ___ 10 ___ 37, 1 y 6 ___ 56, 1 y ___ 55 24 . __ 2 2y . 3 ______ 2x2 . y2 32 . 3 __ 3 3xz____ 4y . 3 ____ z___ 4y2 5a . 4 ___ 5a x__ y . 5 _____ 4__ 5 . x2 xy . 5 _____ x2 . y4 1___ 3a5 . __ 2__ a ab2 ___ c2 . ___ a___ cd 3a2 ___ b2 2 . __ 5 + 2 . __ 2 6 . __ 3 + __ 6 –8 . __ 5 –3 . __ 3 –4 . __ 6 –13 + 2 . __ 11 –4 . ___ 13 + 17 . __ 2 –2 . 3 __ 7 – __ 7 3 __ 11 + 2 7 . __ 2 – 6 . __ 7 2__ 3 + 9__ 2 . 3 __ 2 – 7__ 2 . __ 6 3 . __ 3 + 4 –7 . __ 3 + 20 11 –6 . __ 3 – 19 __ 3 – 6 –13 + 4 . __ 3
  44. 44. 47 7*8*9*10*11*12 CONTENIDOS 37. Calculen el área de cada figura. a. __ 3 __ 2 + 1 b. __ 6 38. Resuelvan los siguientes cuadrados. a. ( __ 5 – __ 8 )2 = d. ( ___ 21 – 7 . __ 7 )2 = b. ( __ 2 + 4 __ 5 )2 = e. (2 . __ 3 + 5 . ___ 15 )2 = c. ( ___ 12 – 3 ___ 15 )2 = f. (4 . 3 __ 5 + 3 . 3 __ 2 )2 = 39. Resuelvan teniendo en cuenta que A = √ __ 3 + 2, B = √ __ 3 + 5, C = 5 – √ __ 3 y D = 2 – √ __ 3. a. (B – A) . C c. C . D + B : A e. (D – C) : A + B2 b. (B + C) : D d. (B . C) – D2 f. (A + B) : D – C 40. Resuelvan expresando como índice común. a. __ x . __ y________ xz = d. 6 ____ x5 y9 : 3 _____ x5 y2 z3 = b. ___ xy . 3 __ y2 ________ 6 ____ x5 y9 = e. __ x5 . 4 __ x_________ x7 = c. 4 _____ (xyz)2 . 5 ___ xyz = f. __ x . 3 __ x______ 4 __ x7 = 41. Resuelvan las siguientes operaciones. a. 3 ___ ab . 3 ____ 2ab . 3 ___ ab2 = b. __ a3 . ___ ab2 . _____ a3 b2 c = c. ______ a2 b5 c3 . _____ ab2 c4 : ___ ab = d. 4 ____ a4 c5 . ______ a2 b7 c4 : 5 _____ a3 bc2 = e. ______ a3 b5 c6 . 4 ____ a7 b9 _____________ 4 ____ abc = f. _____ ab3 c4 . ______ a2 b7 c5 _____________ 4 ___ a2 b . ___ b5 c = g. __ a . __ b . __ c . 3 __ a_____________ 3 __ b . 4 __ c . __ c3 = 42. Racionalicen las siguientes expresiones. a. – 14_____ 7 = j. 7_____ 4 ___ 2x2 = b. 18_______ 50 = k. x2 . __ y______ 4 _____ 45xy = c. 2 . __ 3________ 6 = l. 4 ___ ab_________ 8 _______ 9a3 b7 c2 = d. 3 __ 5_____ 5 = m. 5________ 4 – ___ 10 = e. – 7_______ 27 = n. a__________ a – 6a = f. 9______ 8 . __ 6 = o. __ 5_________ 3 . __ 7 + __ 5 = g. 6____ 3 ___ 24 = p. __ 5 – __ 6__________ 6 – __ 5 = h. 7___ 5 __ 4 = q. – 2 . __ 2__________________ 5 + __ 7 = i. – 5____ 6 __ x4 = r. – 4x2 + x________ 4 __ x + ___ 2x = 43. Unan cada expresión con su resultado. a. __ 2 + 7_________ 2 + 3 = 19___ 7 + 4__ 7 . __ 2 b. __ 2 + 7_________ 2 – 3 = 19___ 7 – 4__ 7 . __ 2 c. __ 2 – 7_________ 2 + 3 = – 23___ 7 – 10___ 7 . __ 2 d. __ 2 – 7_________ 2 – 3 = – 23___ 7 + 10___ 7 . __ 2 44. Marquen las opciones correctas. ¿Cuál de las siguientes expresiones racionaliza a ( __ 5 – __ 11 )–1 ? a. __ 5 – __ 11___________ 5 – __ 11 c. __ 5 + __ 11___________ 5 + __ 11 b. __ 5 – __ 11___________ 5 + __ 11 d. __ 5 + __ 11___________ 5 – __ 11 45. Traduzcan al lenguaje simbólico y racionali- cen las expresiones obtenidas. a. El cociente entre la raíz cúbica de tres y la suma de la raíz cuadrada de trece y tres. b. La razón entre el cuadrado de la raíz cuarta de dos y la raíz cuadrada de sesenta y tres. c. El cociente entre la diferencia de la raíz cuadra- da de ciento sesenta y la raíz cuadrada de dos- cientos cincuenta, y la raíz cuadrada de cinco. d. El inverso de la suma entre el triple de la raíz cuadrada de 7 y la raíz cuadrada de 54. 2 capítulo __ 6 + __ 3_______ 2 3 Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno. ab . 3 ___ 2b a3 b2 . ___ ac ab3 c3 . __ c ab3 c2 . 20 ______ a8 b6 c17 a3 b4 c2 . 4 ____ b2 c3 ab2 c4 . 4 __ b c–1 . 12 _______ a10 b2 c–3 –2 . __ 7 7 . 4 ___ 8x2 _______ 2x 9__ 5 . __ 2 x___ 15 . 4 ________ 32 . 53 x3 y __ 2 8 ________ 36 a7 b3 c6 _________ 3abc 6 __ 5 10___ 3 + 5__ 6 . ___ 10 – 7__ 9 . __ 3 __ a + 6a________ 1 – 36a 3___ 16 . __ 6 3 . ___ 35 – 5__________ 58 3 __ 9 –1 7__ 2 . 5 __ 8 –2 . _________ 7 – __ 5 – 5 . 6 __ x2 _____ x ( ___ 2x – 4 __ x ) . ( __ x + 2x) X a. 3 __ 3___________ 13 + 3 b. 4 __ 22 _______ 63 c. ____ 160 – ____ 250_____________ 5 d. (3 . __ 7 + ___ 54 )–1
  45. 45. 12 48 Sucesiones Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro. N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; ... } El conjunto de los números naturales es una sucesión de infinitos elementos. Se denomina término a cada uno de los elementos de la sucesión. 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... ; n2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 an En algunas sucesiones se puede encontrar un término general an (término enésimo) que es la fór- mula de un término cualquiera en función del lugar que ocupa. En la sucesión 1; 4; 9; 16; 25; 36; ..., el término general de la sucesión es an = n2 . Si se conoce el término general, se puede hallar la sucesión o cualquier término de la misma, reem- plazando en forma consecutiva los números naturales en el valor n del término general. Si el término general de una sucesión es an =1__ n, entonces la sucesión será: 1; 1__ 2 ; 1__ 3 ; 1__ 4 ; 1__ 5 ; 1__ 6 ; ...; 1__ n Por lo tanto, una sucesión es una función que le asigna a todo número natural un número real. f: → Sucesiones aritméticas Se denomina sucesión aritmética a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene suman- do al anterior un número constante r llamado razón aritmética. 6; 12; 18; 24; 30; ... Sucesión aritmética con r = 6. 6 + 6 12 + 6 18 + 6 24 + 6 Para que una sucesión sea aritmética, debe verificarse que: a2 – a1 = a3 – a2 = ... = an – an – 1 = r Sucesiones geométricas Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene multi- plicando el anterior por un número constante q llamado razón geométrica. 2; –4; 8; –16; 32; ... Sucesión geométrica con q = –2. 2 . (–2) –4 . (–2) 8 . (–2) –16 . (–2) Para que una sucesión sea geométrica, debe verificarse que: a2__ a1 = a3__ a2 = ... = an____ an – 1 = q ⇔ q ≠ 0 INFOACTIVA 22212019181716151413 ¿Para qué sirve? PÁGINA 4
  46. 46. 49 Test de comprensión 46. Escriban los cinco primeros términos de cada una de las sucesiones, a partir del término general. a. an = 3n + 2 c. an = 2__ 3 n + 1 b. an = 2 . (n – 1) d. an = 2n2 – 1 47. Escriban los siguientes tres términos en cada sucesión. a. 5; 7; 9; 11; c. 8; 13; 21; 34; b. 300; 150; 75; 75___ 2 ; d. 2; 2. 3 __ 3; 2 . 3 __ 9; 6; 48. Rodeen con color el término general de cada sucesión. a. –1; 1; 3; 5… 2n – 3 n + 1 3n – 2 b. – 1__ 3; 1__ 3; 1; 5__ 3… 2__ 3 n + 1 – 1__ 3 n 2__ 3 n – 1 49. Indiquen si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas y calculen la razón. a. 7; 9; 11; 13; 15; ... e. 7; – 7__ 2; 7__ 4; – 7__ 8; 7___ 16; ... b. 8; –24; 72; –216; 648; ... f. 1__ 2; – 5__ 2; – 11__ 2 ; – 17___ 2 ; – 23___ 2 ; ... c. 8; 3; –2; –7; –12; ... g. 6; –6; 6; –6; ... d. __ 2; 2; 2 . __ 2; 4; 4 . __ 2; ... h. 9; 6; 3; 0; –3; –6; ... 50. Propongan un ejemplo del término general de acuerdo con el tipo de sucesión indicada y escri- ban los tres primeros términos en cada caso. a. Sucesión aritmética. b. Sucesión geométrica. 13 ACTIVIDADES Sucesiones 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En una sucesión aritmética, ¿cada término es mayor que el anterior? b. En una sucesión geométrica, el cociente entre un término y su anterior ¿es siempre el mismo? a. No siempre. Si la razón es un número negativo, el anterior será mayor. b. Sí, es la condición de sucesión geométrica. 5; 8; 11; 14; 17; ... 5__ 3 ; 7__ 3 ; 3; 11__ 3 ; 13___ 3 ; ... 0; 2; 4; 6; 8; ... 1; 7; 17; 31; 49; ... 13; 15; 17; ... 55; 89; 144; ... 75___ 4 ; 75___ 8 ; 75___ 16 ; ... 6 . 3 __ 3; 6 . 3 __ 9; 18; ... Aritmética, razón 2. Geométrica, razón – 1__ 2 . Geométrica, razón –3. Aritmética, razón –3. Aritmética, razón –5. Geométrica, razón –1. Geométrica, razón __ 2. Aritmética, razón –3. La solución no es única, por ejemplo n + 4. Los tres primeros términos son 5; 6; 7. La solución no es única, por ejemplo n . (–3). Los tres primeros términos son –5; –10; –15.
  47. 47. 13 50 Sucesiones aritméticas En una sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante r. a1 = a1 + 0r a2 = a1 + 1r a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = a1 + r + r + r = a1 + 3r an = an – 1 + r = a1 + r + r + ... + r = a1 + (n – 1) . r n – 1 veces Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo dos términos conse- cutivos, se deben seguir estos pasos. Calculen a6 en una sucesión en la cual a1 = –2 y a2 = 7. r = a2 – a1 ⇒ r = 7 – (–2) ⇒ r = 7 + 2 ⇒ r = 9 1. Se halla la razón. a6 = a1 + (6 – 1) . r ⇒ a6 = –2 + (6 – 1) . 9 ⇒ a6 = –2 + 5 . 9 ⇒ a6 = 43 2. Se calcula el término. La razón es igual a la diferencia entre dos términos consecutivos: r = ak – ak – 1 ∧ k ∈ N – {1} Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo otro término y la razón, se deben seguir estos pasos. Calculen a4 si a10 = 35 y r = 8. Se considera a a4 como primer término (a4 → a1 ) y a a10 , por lo tanto, como séptimo (a10 → a7 ). an = a1 + (n –1) . r ⇒ a7 = a1 + (7 –1) . r ⇒ 35 = a1 + 6 . 8 ⇒ a1 = 35 – 48 ⇒ a1 = –13 →a4 =–13 Para calcular el número de términos de una sucesión aritmética, se deben seguir estos pasos. Calculen el número de términos de la sucesión aritmática, sabiendo que a1 = 8; a2 = 20; …; an = 140. r = a2 – a1 ⇒ r = 20 – 8 ⇒ r = 12 an = a1 + (n – 1) . r ⇒ 140 = 8 + (n – 1) . 12 ⇒ 132 = (n – 1) . 12 ⇒ 11 = n – 1 ⇒ n = 12 Suma de los términos de una sucesión aritmética La suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética se obtiene de la siguiente manera. a1 a2 a3 ... an–2 an–1 an a1 + 2r + an – 2r = a1 + an a1 + r + an – r = a1 + an a1 + an Para calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética se deben conocer el primer tér- mino, el último y la cantidad de términos. Calculen la suma de todos los números pares comprendidos entre 42 y 120, inclusive. 120 = 42 + 2 . (n – 1) ⇒ 78 = 2 . (n – 1) ⇒ 39 = n – 1 ⇒ n = 40 Sn = (42 + 120) . 40___ 2 ⇒ Sn = 162 . 20 ⇒ Sn = 3 240 INFOACTIVA 23222120191817161514 El término general an es: an = a1 + (n – 1) . r La suma de los n primeros términos es: Sn = (a1 + an ) . n___________ 2

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