REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR     INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO ...
COMPONENTES              RECTANGULARES            DE UNA FUERZA EN EL                  ESPACIO.Una fuerza F en el espacio ...
Fx = F cosθ x     Fy = F cosθ y      Fz = F cosθ z Los ángulos que F forma, respectivamente, con los ejes x, y, y z setien...
Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical   Fy y una componente horizontal Fh ; esta operación , se ...
• Una fuerza de F se puede descomponer en una  componente vertical      Una fuerza de F se puede descomponer      en una c...
• De esta forma, se obtiene las siguientes  expresiones para las componentes  escalares de Fx y Fz:• Fx= Fh cos Ф = F sen ...
• Aplicando el teorema el teorema de Pitágoras a  los triángulos OBA y OCD:• F²= (OA)² =(OB)²+(BA)²=F²y + F²h• F²= (OC)² =...
Problemas de vectores en el espacio.• 1.- Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45°, y  120° con los ejes x, y, y z re...
• Este último resultado es importante.  Siempre que una componente tenga un  ángulo obtuso, la componente tendrá un  signo...
• 2.- Una fuerza tiene las componentes Fx= 20 lb, Fy =  -30 lb, Fz = 60 lb. Determine la magnitud de la fuerza  resultante...
•   b) cos θx = Fx/F θx = 20 lb/70 lb = 0.2857.•   θx = cos-1 0.2857 = 73.4°.•   cos θy = Fy/F θy = - 30 lb/70 lb = -0.428...
• 3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y  sus componentes Fx = -1060 N, Fy= +2120 N, Fz =  +795 N. Calc...
• 4.- Determine la magnitud y dirección (Θx, Θy, Θz) de la  fuerza F= (260 N)i-(320 N)j+(800 N)k.•        ____________• F ...
• b) cos θx = Fx/F θx = 260 N/900 N =  0.2888. θx = cos-1 0.2888 = 73.2° .• cos θy = Fy/F θy = - 320 N/900 N =• -0.3555 θy...
•   5.- Determine la magnitud y dirección de la fuerza F, (cosenos    directores) (Θx, Θy, Θz) dada por la ecuación:•   F=...
• b) cos θx = Fx/F θx = 320 N/570 N =  0.5614. θx = cos-1 0.5614 = 55.8° .• cos θy = Fy/F θy = 400 N/570 N =• 0.7017 θy = ...
• 6.- El tirante de una torre, está anclado  por medio de un perno en A. La tensión  en dicho cable es de 2500 Newtons.  D...
•        ____________•   d = √dx² + dy² + dz²•        _______________________•   d = √(-40m)2 + (80 m)2 + (30 m)2•     ___...
•   Fx = dx F•         d•   Fx = - 40 m (2500 N)•        94.33 m•   Fx = - 0.4240 (2500) = -1060 N.•   Fy = dy F•         ...
• 7.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema  coordenado en la dirección dada por los ángulos Θy=55°  y Θz=45°. Sabie...
• Sustituyendo valores:• cos2 Θx = 1 - (cos2 55°+ cos2 45°)• cos2 Θx= 1 - (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711.• Este resultad...
• Una vez obtenido el valor del coseno de Θx  (0.4136) se procede a hallar el valor de la fuerza  resultante F, utilizando...
• Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante  F, ya se pueden hallar las otras dos  componentes de la fuerza Fy y F...
• Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la  siguiente ecuación:• Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sust...
• 8.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema  coordenado en la dirección, definida por los ángulos,  Θx=69.3° y Θz=57...
• Sustituyendo valores:• cos2 Θy = 1 - (cos2 69.3°+ cos2 57.9°)• cos2 Θy= 1 - (0.1249 + 0.2823)= 1-(0.4072)=  0.5928.• Est...
• Una vez obtenido el valor del coseno de Θy (0.7699)  se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F,  utilizando...
• Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F,  ya se pueden hallar las otras dos componentes de la  fuerza Fx y F...
• Finalmente se halla el valor del ángulo Θy, mediante la  siguiente ecuación:• Fy= Fcos Θy. Despejando cos Θy= Fy/F. Sust...
• 9. Una fuerza actúa en el origen de un sistema  coordenado en la dirección definida por los ángulos  Θx=70.9°,y Θy=144.9...
• Sustituyendo valores:• cos2 Θz = 1 - (cos2 70.9°+ cos2 144.9°)• cos2 Θz= 1 - (0.1070 + 0.6693)= 1-(0.7763)=  0.2237.• Es...
• Una vez obtenido el valor del coseno de Θz  (0.4729) se procede a hallar el valor de la fuerza  resultante F, utilizando...
• Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante  F, ya se pueden hallar las otras dos  componentes de la fuerza Fx y F...
• Finalmente se halla el valor del ángulo Θz, mediante la  siguiente ecuación:• Fz= Fcos Θz. Despejando cos Θz= Fz/F. Sust...
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componentes rectangulares de una fuerza en el espacio

  1. 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO “DR.LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA” Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio Integrantes : Rafael Martínez Eleazar Peña Eduardo Camacho
  2. 2. COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA EN EL ESPACIO.Una fuerza F en el espacio tridimensional sepuede descomponer en componentesrectangulares Fx , Fy y Fz. Denotado por:
  3. 3. Fx = F cosθ x Fy = F cosθ y Fz = F cosθ z Los ángulos que F forma, respectivamente, con los ejes x, y, y z setiene: θ x ,θ y y θ z
  4. 4. Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical Fy y una componente horizontal Fh ; esta operación , se lleva acabo en el plano OBAC siguiendolas reglas desarrolladas en la primera parte de este capitulo. *Las componentes escalares correspondientes son: Fy= F cos θy Fh= F sen θy *Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo largo de las ejes x y z , respectivamente.
  5. 5. • Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical
  6. 6. • De esta forma, se obtiene las siguientes expresiones para las componentes escalares de Fx y Fz:• Fx= Fh cos Ф = F sen θ y cos Φ• Fz= Fh sen Φ = F sen θ y sen Φ• La fuerza dada F se descompone en tres componentes vectoriales rectangulares :• Fx, Fy y Fz.
  7. 7. • Aplicando el teorema el teorema de Pitágoras a los triángulos OBA y OCD:• F²= (OA)² =(OB)²+(BA)²=F²y + F²h• F²= (OC)² =(OD)²+(DC)²=F²x + F²z• Eliminando Fh de estas dos escalares y resolviendo para F, se obtiene la siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares :• _______________• F=√ Fx² + Fy² + Fz²
  8. 8. Problemas de vectores en el espacio.• 1.- Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45°, y 120° con los ejes x, y, y z respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy, y Fz de la fuerza.• A) Fx = F cos θx = Fx = 500 N x cos 60°• Fx = 500 N x 0.5 = 250 N.• Fy = F cos θy = Fy = 500 N x cos 45°• Fy = 500 N x 0.7071 = 354 N.• Fz = F cos θz = Fz = 500 N x cos 120°• Fz = 500 N x -0.5 = -250 N.
  9. 9. • Este último resultado es importante. Siempre que una componente tenga un ángulo obtuso, la componente tendrá un signo negativo y viceversa.
  10. 10. • 2.- Una fuerza tiene las componentes Fx= 20 lb, Fy = -30 lb, Fz = 60 lb. Determine la magnitud de la fuerza resultante F, y los ángulos Θx, Θy y Θz.• _______________ F=√ Fx² + Fy² + Fz² ________________________F =√(20 lb)2 + (-30 lb)2 + (60 lb)2 _____________________________F =√400 lb + 900 lb + 3600 lb ________F = √4900 lb F = 70 lb.
  11. 11. • b) cos θx = Fx/F θx = 20 lb/70 lb = 0.2857.• θx = cos-1 0.2857 = 73.4°.• cos θy = Fy/F θy = - 30 lb/70 lb = -0.4285• θy = cos -1 -0.4285 = 115.4°.• cos θz = Fz/F θz = 60 lb/70 lb = 0.8571.• θz = cos-1 0.8571 = 31°.
  12. 12. • 3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus componentes Fx = -1060 N, Fy= +2120 N, Fz = +795 N. Calcular los ángulos de dicha fuerza, con respecto a los ejes x, y, y z (Θx, Θy, Θz).• Cos Θx = Fx/F =- 1060 N/2500 N = - 0.424• Θx = cos-1 - 0.424 = 115.1°.• Cos Θy = Fy/F = 2120 N/2500 N = 0.848.• Θy = cos-1 0.848 = 32°.• Cos Θz = Fz/F = 795 N/2500 N = 0.318• Θz = cos-1 0.318 = 71.5°.
  13. 13. • 4.- Determine la magnitud y dirección (Θx, Θy, Θz) de la fuerza F= (260 N)i-(320 N)j+(800 N)k.• ____________• F = √Fx² + Fy² + Fz²• ___________________________• F = √(260 N)2 + (-320 N)2 + (800 N)2• ____________________________• F= √67600 N + 102400 N + 640000 N• ________• F = √810000 N• F = 900 N.
  14. 14. • b) cos θx = Fx/F θx = 260 N/900 N = 0.2888. θx = cos-1 0.2888 = 73.2° .• cos θy = Fy/F θy = - 320 N/900 N =• -0.3555 θy = cos-1 – 0.3555 = 110.8°.• cos θz = Fz/F θz = 800 N/900 N = 0.8888• θz = cos-1 0.8888 = 27.3 °.
  15. 15. • 5.- Determine la magnitud y dirección de la fuerza F, (cosenos directores) (Θx, Θy, Θz) dada por la ecuación:• F= (320 N)i+(400 N)j-(250 N)k.• ____________• F = √Fx² + Fy² + Fz²• ___________________________• F = √(320 N)2 + (400 N)2 + (- 250 N)2• ____________________________• F= √102400 N + 160000 N + 62500 N• ________• F = √324900• F = 570 N.
  16. 16. • b) cos θx = Fx/F θx = 320 N/570 N = 0.5614. θx = cos-1 0.5614 = 55.8° .• cos θy = Fy/F θy = 400 N/570 N =• 0.7017 θy = cos-1 0.7017 = 45.4 °.• cos θz = Fz/F θz = -250 N/576 N =• - 0.4340. θz = cos-1 -0.4340 = 116 °.
  17. 17. • 6.- El tirante de una torre, está anclado por medio de un perno en A. La tensión en dicho cable es de 2500 Newtons. Determine las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que actúa sobre el perno, conociendo que dx = -40 m, dy = +80 m, dz = +30 m..• A. Fx=-1060 N, Fy= +2120 N, Fz= 795 N
  18. 18. • ____________• d = √dx² + dy² + dz²• _______________________• d = √(-40m)2 + (80 m)2 + (30 m)2• ____________________________________• d = √ 1600 m2 + 6400 m2 + 900 m2.• ________• d = √8900 m2.• d = 94.33 m
  19. 19. • Fx = dx F• d• Fx = - 40 m (2500 N)• 94.33 m• Fx = - 0.4240 (2500) = -1060 N.• Fy = dy F• d• Fy = 80 m (2500 N)• 94.33 m• Fy = 0.8480 (2500) = 2120 N.• Fz = dz F• d• Fy = 30 m (2500 N)• 94.33 m• Fy = 0.3180 (2500) = 795 N.
  20. 20. • 7.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección dada por los ángulos Θy=55° y Θz=45°. Sabiendo que la componente de la fuerza en x (Fx)= -500 lb, determine a) las otras componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de Θx.• Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θx.• cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando• cos2 Θx tenemos:• cos2 Θx= 1- (cos2 Θy + cos2Θz).
  21. 21. • Sustituyendo valores:• cos2 Θx = 1 - (cos2 55°+ cos2 45°)• cos2 Θx= 1 - (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711.• Este resultado es el resultado del coseno cuadrado de Θx, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θx:• ______• cos Θx= √0.1711 = 0.4136.
  22. 22. • Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0.4136) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fx, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación:• Fx = F cos Θx. despejando F tenemos:• F= Fx/cos Θx• Sustituyendo valores: F= 500 lb /0.4136 =• 1209 lb.
  23. 23. • Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fy y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fy= FcosΘy y Fz= Fcos Θz.• Sustituyendo valores:• Fy= 1209 N x cos 55° F y= 1209 N x 0.5735• Fy= +694 N• Fz= 1209 N x cos 45° F= 1209 N x 0.7071= +855 lb.
  24. 24. • Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la siguiente ecuación:• Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θx= -500 lb/1209 lb= cos Θx= -0.4135.• Θx= cos-1 -0.4135. Θx= 114.4°.• Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.• Recapitulando: las respuestas son:• Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4
  25. 25. • 8.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección, definida por los ángulos, Θx=69.3° y Θz=57.9°. Sabiendo que la componente y de la fuerza es de Fy = -174 lb, determine: a) el ángulo Θy, b) las componentes Fx y Fz de la fuerza y la magnitud de la fuerza F.• Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θy.• cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando• cos2 Θy tenemos:• cos2 Θy= 1- (cos2 Θx + cos2Θz).
  26. 26. • Sustituyendo valores:• cos2 Θy = 1 - (cos2 69.3°+ cos2 57.9°)• cos2 Θy= 1 - (0.1249 + 0.2823)= 1-(0.4072)= 0.5928.• Este resultado es el coseno cuadrado de Θy, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θx:• ______• cos Θx= √0.5928 = 0.7699.
  27. 27. • Una vez obtenido el valor del coseno de Θy (0.7699) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fy, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación:• Fy = F cos Θy. despejando F tenemos:• F= Fy/cos Θy• Sustituyendo valores: F= 174 lb /0.7699 =• 226 lb.
  28. 28. • Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fx y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fx= FcosΘx y Fz= Fcos Θz.• Sustituyendo valores:• Fx= 226 lb x cos 69.3 ° Fx= 226 lb x 0.3534• Fx= 79.9 lb• Fz= 226 lb x cos 57.9° Fz = 226 lb x 0.5313 =120.1 lb.
  29. 29. • Finalmente se halla el valor del ángulo Θy, mediante la siguiente ecuación:• Fy= Fcos Θy. Despejando cos Θy= Fy/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θy= -174 lb/226 lb= cos Θy=• -0.7699• Θy= cos-1 -0.7699. Θy= 140.3°.• Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.• Recapitulando: las respuestas son:• Fx= 76.9 lb, Fz= 120.1 lb, b) F= 226 lb, c) Θy= 140.3°
  30. 30. • 9. Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección definida por los ángulos Θx=70.9°,y Θy=144.9°. Sabiendo que la componente z de la fuerza es de Fz = -52 lb, determine: a) el ángulo Θz y b) las componentes restantes (Fx y Fy) y la magnitud de la fuerza F.• A. a) 118.2°, b)Fx=36 lb, Fy=-90 lb, F=110 lb• Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θz.• cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando• cos2 Θz tenemos:• cos2 Θz= 1- (cos2 Θx + cos2Θy).
  31. 31. • Sustituyendo valores:• cos2 Θz = 1 - (cos2 70.9°+ cos2 144.9°)• cos2 Θz= 1 - (0.1070 + 0.6693)= 1-(0.7763)= 0.2237.• Este resultado es el coseno cuadrado de Θz, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θz:• ______• cos Θz= √0.2237 = 0.4729.
  32. 32. • Una vez obtenido el valor del coseno de Θz (0.4729) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fz, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva, con la ecuación:• Fz = F cos Θz. despejando F tenemos:• F= Fz/cos Θy• Sustituyendo valores: F= 52 lb /0.4729 =• 110 lb.
  33. 33. • Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fx y Fy con las ecuaciones ya conocidas: Fx= FcosΘx y Fy= Fcos Θy.• Sustituyendo valores:• Fx= 110 lb x cos 70.9 ° Fx= 110 lb x 0.3272• Fx= 36 lb• Fy= 110 lb x cos 144.9° Fy = 110 lb x - 0.8181 = - 90 lb.
  34. 34. • Finalmente se halla el valor del ángulo Θz, mediante la siguiente ecuación:• Fz= Fcos Θz. Despejando cos Θz= Fz/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θz= - 52 lb/110 lb= cos Θz=• -0.4727• Θz= cos-1 -04727. Θz= 118.2°.• Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.• Recapitulando: las respuestas son:• Fx= 36 lb, Fy= - 90 lb, b) F= 110 lb, c) Θz= 118.2°

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