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ejercicios resuelto de estadística l

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ejercicios resuelto de estadística l

  1. 1. TRABAJO DE ESTADISTICA Variables aleatorias y probabilidades TALLER NUMERO 12 POR: CARLOS ANDRES HERRERA NAVARRO. UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
  2. 2. 3. Dada la distribución normal estándar, encuentre el valor de k tal que a) P (Z < k) = 0.0427 Φ (k) = 0.0427 k = -1.72 b) P (Z>k) = 0.2946 Φ (k) = 1- 0.2946 = 0.7054 k = 0.54 c) P (-0.93<Z<k) = 0.7235 Φ (k) = 0.7235 + Φ (-0.9) = 0.8997 k = 1.28 4. Dada la dis tribución normal con me dia μ = 30 y de s viación estándar σ = 6, e ncuentre: a) El área de la curva normal a la derecha de x=17 μ = 30 σ = 6 x =17 z = [x-μ/σ] z = [17-30/6] = -2.16 P (Z ≥ 17) = 1 – p (Z ≤ 17-30/6) P (Z ≥ 17) = 1 – p (Z ≤ - 2.16) P (Z ≥ 17) = 1 – 0.0154 P (Z ≥ 17) = 0.9846 b) El área de la curva normal a la izquierda de x=22 X = 22 P (X≤22) = P (Z ≤ 22-30/6) P (X≤22) = P (Z≤-1.33) P (X≤22) = 0.0918 c) El área de la curva normal entre x=32 y x=41 P (32≤ X ≤ 41) = P (32-30/6 ≤ X ≤ 41-30/6) P (32 ≤ X ≤ 41) = P (0.33 ≤ Z ≤ 1.83) P (32 ≤ X ≤ 41) = P (Z≤ 0.33) – P (Z≤ 1.83) P (32 ≤ X ≤ 41) = 09664-0.6293 P (32 ≤ X ≤ 41) = 0.3371
  3. 3. d) El valor de x que tiene 80% del área de la curva normal a la izquierda P (X ≤ K) = 0.8 Z = [x-μ/σ] Z = 0.8 0.8 = (X – 30/ 6) (0.8) (6) + 30 = X 35.04 = X e) los dos valores de x que tiene 75% central del área normal de la curva normal X = 0.75 P (0.7486) Z = 0.67 - 0.67 0.67 X1 X2 (X - 30 / 6) X = (0.67) + 30 = 34.02 X = (- 0.67) + 30 = 25.98
  4. 4. 1 0. El diámetro interior del anillo de un pistón ya terminado se distribuye normalmente con una media de 10 centímetros y una desviación estándar de 0.03 centímetros. a) ¿Qué proporción de anillos tendrán diámetros interiores que excedan 10.075 centímetros? μ = 10 σ = 0.03 z = (x- μ/ σ) p (x˃10.075) = 1-p(z<10.075-10/0.03) = 1- (z<2.50) = 1-0.9938 = 0.0062 b) ¿Cuál es la probabilidad de que el anillo de un pistón tenga un diámetro interior entre 9.97 y 10.03 centímetros? P (9.97<z<10.03) = p (9.97-10/0.03<Z<10.03-10/0.03) = = P (Z˃ -1) – P (Z< 1) =P (Z<1) – P (Z˃ -1) = 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 c) ¿por debajo de que valor del diámetro interior caerá el 15% de los anillos del pistón? P(X<x) = 0.15 X = diámetro Z = - 1.04 z = (x- μ/ σ) - 1.04 = X-10/0.03 X= 10 – 0.03 (- 1.04) = 9.969
  5. 5. 4-53. La resistencia a la compresión de muestras de cemento puede modelarse mediante una distribución normal con una media de 6000 kilogramos por centímetro cuadrado y una desviación estándar de 100 kilogramo por centímetro cuadrado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la compresión de una muestra sea menor que 6250 kg/cm2 z = (x- μ/ σ) μ = 6000 k σ = 100 k P(X<6250) = z = (x – 6000/100) z = (6250 -6000/100) z = (250/100) z = (2.5) = 0.9938 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la compresión de una muestra este entre 5800 y 5900 kg/cm2? P (5800< Z< 5900) P (5800-6000/100<Z<5900-6000/100) = P (- 200/100<Z< -100/100) = P (- 2<Z< -1) = P (Z< -1) – P (Z< - 2) = 0.1587 – 0.0228 = 0.13905 c) ¿Cuál es la resistencia a la compresión que excede 95% de las muestras? P (X > x) = 0.95 P (x – 6000/100) = 0.95 P [z > (x-6000)/100)] = 0.95 Z = 1.65 P (x>1.65) = 0.950529 Por tanto [(x-6000)/100] = 1.65 X = - 1.65 + 6000 x = 5835
  6. 6. 4-55. una herramienta utilizada en la fabricación de semiconductores tiene una distribución normal con media 0.5 micrómetros y desviación estándar 0.05. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ancho de la herramienta sea mayor que 0.62 micrómetros? μ = 0.5 σ = 0.05 P (X > 0.62) = 1 - P (Z < 0.62- 0.5/0.05) = 1 - p (Z < 2.4) = 1- 0.9918 = 0.0082 b) ¿Cuál es la probabilidad de que ancho de la herramienta se encuentre entre 0.47 y 0.63 micrómetros? z = (x- μ/ σ<X<x- μ/ σ) P (0.47 ≤ Z ≤ 0.63) = P (0.47-0.5/0.05 < Z < 0.63-0.5/0.05) = P (- 0.6 ≤ Z≤2.6) = P (Z<2.6) – P (Z > -0.6) = 0.9953 – 0.2743 = 0.721 c) ¿Cuál es el valor del ancho de la herramienta para el cual el 90 % las herramientas tienen un ancho mayor? P (X > x) = 0.9 = p(x – 0.5/0.05) = 0.9 P [z > (x-0.5)/0.05)]= 0.9 Z = 1. 65 P (x>1.65) = 0.950529 Por tanto [(x-6000)/100] = 1.65 X = - 1.65 + 6000 X = 5835

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