Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Fase2 100402 grupo_9

5,308 views

Published on

Fase2 100402 grupo_9

Published in: Economy & Finance
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Fase2 100402 grupo_9

  1. 1. TRABAJO COLABORATIVO 2 PROBABILIDAD INTEGRANTES DILIA SOFIA ZULETA – 49735059 SONIA OCHOA PAREDES – 1082945462 ELVIA GENEZ PADILLA – 1064107320 GRUPO 100402-9 TUTOR OTTO EDGARDO OBANDO UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD MAYO 24 de 2015
  2. 2. INTRODUCCIÓN El desarrollo de habilidades estadísticas es indispensable en múltiples disciplinas, puesto que nos sirve como herramienta de trabajo, ya sea para realizar estudios de tipo cuantitativo o para lograr la sistematización de información referente a problemáticas sociales. En este segundo trabajo colaborativo hallaremos el planteamiento de 8 problemas de probabilidad los cuales resolveremos por medio de distintos métodos probabilísticos. Estudiaremos los conceptos de variable aleatoria, distribución discreta y continua, medidas de tendencia central, la distribución binomial y negativa, distribución hipergeométrica y geométrica, la distribución de Poisson, la Distribución normal estándar, entre otros. De acuerdo al problema planteado seleccionaremos el método de distribución que creamos adecuado y le daremos su respectiva solución.
  3. 3. OBJETIVOS  Identificar y comprender los conocimientos estudiados a lo largo de la segunda unidad académica del curso.  Comprender los principios y aplicaciones que tiene la probabilidad en los distintos campos del saber.  Contribuir al estudiante en el desarrollo de habilidades para el análisis de eventos cuantificables, mediante el uso sistemático de conceptos, fundamentos y métodos de la Probabilidad.  Proporcionar a los estudiantes criterios que les permitan comprender, seleccionar y aplicar técnicas probabilísticas durante el análisis de problemas específicos relacionados con su área de formación.
  4. 4. MAPA CONCEPTUAL VARIABLES ALEATORIAS Y DISCRETAS ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO:El valor esperado (también llamado media o esperanza matemática) de una Variable Aleatoria X es una medida de posición para la distribución de X, es el promedio ponderado de todos los valores posibles de la misma. E(x) = µ = E xf (x) VARIANZA:La varianza de una variable aleatoria es una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad de esta. Es un promedio ponderado de las de las desviaciones al cuadrado. Varianza = E ( x - µ )² f ( x)
  5. 5. ESTUDIO DE CASO Si usted fuera el jefe, ¿habría considerado la estatura como criterio en su selección del sucesor para su trabajo? Daniel Slegiman analizó en su columna de la revista “Fortuned” sus ideas acerca de la estatura como un factor en la decisión de DengXiaoping para elegir a HuYaobang como su sucesor en la presidencia del Partido Comunista Chino. Como afirma Slegiman, los hechos que rodean el caso despiertan sospechas al examinarlo a la luz de la estadística. Deng, según parece solo medía 154 cm de alto, una estatura baja incluso en China. Por consiguiente al escoger a HyYaobang, que también tenía 154 cm de estatura, motivo algunos gestos de desaprobación porque como afirma Sleigman “las probabilidades en contra de una decisión ajena a la estatura que dan lugar a un presidente tan bajo como Deng son aproximadamente de 40 a 1”. En otras palabras, si tuviéramos la distribución de frecuencias relativas de las estaturas de todos los varones chinos, solo 1 en 40 es decir 2,5% tendrían menos 154 cm de estatura o menos. Para calcular estas probabilidades Seligman advierte que no existe el equivalente chino del Servicio de Salud de países como Estados Unidos y por tanto, es difícil obtener las estadísticas de salud de la población actual china. Sin embargo, afirma que “en general se sostiene que la longitud de un niño al nacer representa el 28,6% de su estatura final” y que en la China la longitud media de un niño al nacer era de 48 cm. De esto Seligman deduce que la estatura promedio de los varones adultos chinos es: 48 * 100 / 28.6 = 167,8 cm. El periodista asume entonces que la distribución de las estaturas en China sigue una distribución normal “al igual que en países como estados Unidos” con una media de 167,8 cm y una desviación estándar de 6,8 cm. 1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm 2. Los resultados de la pregunta 1, ¿concuerdan con las probabilidades de Seligman? 3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman ¿Hay algún error básico en su razonamiento? 4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que DengXiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor. Desarrollo: 1. Por medio de las suposiciones de Seligman, calcule la probabilidad de que la estatura de un solo varón adulto chino escogido al azar sea menor o igual a 154 cm. Datos: µ = 167,8 cm ; σ = 6,8 cm ; x = 154 cm (valor a buscar) Utilizo la fórmula de la Distribución Normal:
  6. 6. = = -2,03 buscamos este valor en la tabla Entonces, Z = -2,03 = 0,4788 = 47,88% R/ta. La probabilidad que la estatura de un solo varón escogido al azar sea ≤ 154 cm es de ~ 47,88% 2. Los resultados de la pregunta 1, ¿concuerdan con las probabilidades de Seligman? No concuerdan, están totalmente desfasados. 2,5% ≠ 47,88% 3. Comente acerca de la validez de las suposiciones de Seligman ¿Hay algún error básico en su razonamiento? Si hay errores, Seligman dedujo la estatura promedio de los chinos sin contar con los datos estadísticos pertinentes, es decir tomó la estatura promedio de los estadounidenses. Con los datos estadísticos pertinentes, es decir la de los chinos, debió calcular la media sumando el producto de cada valor de x con su probabilidad correspondiente. 4. Con base en los resultados anteriores, argumente si considera o no que DengXiaping tomo en cuenta la estatura al elegir a su sucesor. Considero que Deng no tomó en cuenta la estatura al elegir su sucesor, de acuerdo al porcentaje de hombres (47,88%) de su estatura (154 cm) es bastante alta su ocurrencia, es decir, no es raro encontrarlos en cualquier evento.
  7. 7. DESARROLLODE LOS EJERCICIOS Unidad 2 Capítulo 4. 1. Un embarque de 8 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra al azar de 3 de los televisores. Si X es una variable aleatoria discreta que representa el número de unidades defectuosas que compra el hotel: a. Encuentre la función de probabilidad f(x) b. Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x) solución: la función de probabilidad F(x) es: f(x)=(2¦x)(6¦(3-x))/((8¦3) ) x 0 1 2 F(x) 5/14 15/28 3/28 Valor esperado: E(x)=∑_(i=0)^3〖(0∙5/14)+(1∙15/28)+(2∙3/28)¬〗 E(x)=3/4=0,75 Varianza(x)=∑_(i=0)^3〖(0^2∙5/14)+(1^2∙15/28)+(2^2∙3/28)¬〗-(3/4)^2 V(x)=45/112=0,401 Desviación estándar: S(x)=√(V(x) )=0,6338 2. Sea X una variable aleatoria con función densidad a. Determine el valor de a, para que la función sea efectivamente una función densidad de probabilidad. Lo primero es que a > 0, porque la función Lo segundo que debe cumplir Entonces
  8. 8. Por tanto la función de probabilidad queda de la forma b. La probabilidad 1<P<1.5 3. Una empresa ha medido el número de errores que cometen las secretarias recién contratadas a lo largo de los últimos tres años (X), encontrando que éstas cometen hasta cinco errores en una página de 20 líneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente función de probabilidad. Si se escoge una secretaria al azar, cual es la probabilidad de que cometa máximo 2 errores? Cuál es la probabilidad de que cometa exactamente 2 errores? X 0 1 2 3 4 5 F(x) 0.50 0.28 0.07 0.06 0.05 0.04 a) La probabilidad que cometa máximo 2 errores es:
  9. 9. f(0) + f(1) + f(2) = 0.50+0.28+0.07 = 0.85 b) La probabilidad de que cometa exactamente dos errores es: f(2) = 0.07 4. Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador: a. Encuentre la función de probabilidad f(x) La probabilidad de que aparezca una cara es 1/2, la probabilidad de que aparezca dos caras seguidas es (1/2)(1/2) = (1/4), la probabilidad de que aparezcan tres caras seguidas es (1/2)(1/2)(1/2) = 1/8, que es la misma probabilidad de que no aparezca una sola cara, por tanto la distribución de probabilidad es: b. Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x). El valor esperado esta definido por La varianza V(x)
  10. 10. La desviación estándar Sea X una variable aleatoria con función densidad c. Determine el valor de a, para que la función sea efectivamente una función densidad de probabilidad. Lo primero es que a > 0, porque la función Lo segundo que debe cumplir Entonces Por tanto la función de probabilidad queda de la forma
  11. 11. d. La probabilidad 1<P<1.5 5. Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado. a.- Determine la función de probabilidad de X. b.- ¿Cuál es el valor de P ( X ≤ 1) Probabilidad De X Intento 1 - tiene una probabilidad de que abra de 1/5 Intento 2 – probabilidad que la primera no abra 4/5 * probabilidad que la segunda abra 1/4 Intento 3 – probabilidad que la primera Bno abra 4/5 * probabilidad que la segunda no abra 3/4 * probabilidad que abra la tercera 1/3 Intento 4 – probabilidad que la primera no abra 4/5 * probabilidad que la segunda no abra 3/4 * probabilidad que abra la tercera no abra 2/3 * probabilidad que abra la cuarta 1/2 Intento5– probabilidad que la primera no abra 4/5 * probabilidad que la segunda no abra 3/4 * probabilidad que la tercera no abra 2/3 * probabilidad que no abra la cuarta 1/2 * 1 Es decir, si llamamos X al número de intentos tenemos que la función de probabilidad es Intento1 = 1/5 Intento2 = 4/5 *1/4 = 1/5 Intento3 = 4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5 Intento4 = 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5 Intento4 = 4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5
  12. 12. P(X=x) = 1/5 P(X=x) = Suma de 1 a x de P(X=x) = x/5 b.- ¿Cuál es el valor de P ( X ≤ 1) P(X<=1) = F(1) = 1/5 6. Suponga que un comerciante de joyería antigua está interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una pérdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. Cuál es la ganancia esperadadel comerciante? Solución: La variable X es 250, 100, 0, 150 La probabilidad es 0.22, 0.36, 0.28, 0.14 La ganancia esperada es de 70 7. Un piloto privado desea asegurar su avión por 50.000 dólares. La compañía de seguros estima que puede ocurrir una pérdida total con probabilidad de 0.002, una pérdida de 50% con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las otras pérdidas parciales, ¿que prima debe cargar cada año la compañía de seguros para obtener una utilidad media de US $500? Solución:
  13. 13. El valor de la prima que la compañía debe carga cada año es de 4464.28 Capítulo 5 1. Se sabe que el 75% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 6 ratones, encuentre la probabilidad de que: a.- ninguno contraiga la enfermedad b.- menos de 2 contraigan la enfermedad c.- más de 3 contraigan la enfermedad. Desarrollo: Utilizamos la Distribución Binomial: B(x; n; P) = nCx . Datos: P = 75% = 0.75, Q = 1-P = 1- 0.75 = 0.25 n = número de intentos = 6 X = la variable a buscar. a) Que ninguno contraiga la enfermedad: x = 0 Reemplazando los valores en la fórmula: B(0;6; 0.75) = 6C0 . = 6C01 . = 0.024% b) menos de 2 contraigan la enfermedad, x = 1 B(1;6; 0.75) = 6C1 . = 6C10.75 . = 0.075 . 0.00976563
  14. 14. = 0.00732422 = 0.7324% c) más de 3 contraigan la enfermedad, x = 4 B(4;6; 0.75) = 6C4 . = 6C4 (0.31640625) . (0.0625) = 0.019775391 = 1.977% Para x = 5 B(5;6; 0.75) = 6C5 . = 6C5 (0.237304688) . (0.25) = 0.059326172 = 5.93% 2. Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que 70% cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo disfrazan el problema real”. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión? Solución: Aplicamos la distribución binomial. x= 3, 4, 5 n=5 P=0.7 q=0.3 Utilizamos la formula: Reemplazamos: P x≥3=0.03087+0.36015+0.16807=0.83692 La probabilidad de que al menos 3 tengan esa opinión es de 83,6%
  15. 15. b. ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión? x= 0, 1, 2, 3 n=5 p=0.7 q=0.3 Utilizamos la formula: Reemplazamos: P x≤3=0.00243+0.02835+0.1323+0.3087=0.47178 La probabilidad de que máximo 3 tengan esa opinión es de 47,1%. c. De cuantas personas se esperaría que tuvieran esta opinión. ʯx = E(X) = np ʯx = np = 5 x 0,7 = 3,5 Se espera que 3.5 personas tengan esa opinión 3. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a dos menores si ella verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad legal para beber? Solución. Se utiliza una distribución hipergeométrica Número de éxitos de la población = 4 (k)
  16. 16. Total de la población = 9 (N) Muestra = 5 (n) x = 2 Utilizamos la formula: Reemplazamos: La probabilidad de que la mesera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a dos menores es de 47%. b. ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5 estudiantes del grupo de 9, no encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad legal para beber? Número de éxitos de la población = 4 (k) Total de la población = 9 (N) Muestra = 5 (n) x = 0 Utilizamos la formula: Reemplazamos:
  17. 17. La probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5 estudiantes del grupo de 9, no se encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad legal para beber es de 0,79%. 4. Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es de 0,8. Cuál es la probabilidad de que: a. La sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo Solución: Aplicamos la distribución binomial negativa Probabilidad de que se crea el rumor = 0.8 Probabilidad de que no se crea = 0.2 x= 6 (x,0.8 ,4) = (k-4, p -0.8) Respuesta: La probabilidad de que la sexta persona en escuchar el rumor, sea la cuarta en creerlo, es de 0.1638 b. La tercera persona en escuchar este rumor sea la segunda en creerlo Probabilidad de que se crea el rumor = 0.8 (p) Probabilidad de que no se crea = 0.2 (q) x= 3 (x, 0.8 ,2) = (k-2, p -0.8)
  18. 18. Respuesta: La probabilidad de que la sexta persona en escuchar el rumor, sea la cuarta en creerlo, es de 25,6%. 5. En el metro de la ciudad de Medellín, los trenes deben detenerse solo unos cuantos segundos en cada estación, pero por razones no explicadas, a menudo se detienen por intervalos de varios minutos. La probabilidad de que el metro se detenga en una estación más de tres minutos es de 0,20. a. Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez, en la cuarta estación desde que un usuario lo abordó. Probabilidad de que se detenga =0,20 Probabilidad de que no se detenga =0.80 La probabilidad de que se detenga en la cuarta estación 0.80 x 0.80 x 0.80 x 0.20 = 0,1024 Respuesta: 10,24% b. Halle la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estación desde que un usuario lo abordó. Probabilidad de que se detenga =0,20 Probabilidad de que no se detenga =0.80 La probabilidad de que se detenga antes de la segunda estación 0.80 x 0.20 = 0.16 La probabilidad de que se detenga antes de la tercera estación 0.80 x 0.80 x 0.20 = 0.128
  19. 19. La probabilidad de que se detenga antes de la cuarta estación 0.20 + 0.16 + 0.128 = 0,488 Respuesta: la probabilidad de que se detenga más de tres minutos por primera vez antes de la cuarta estación es de 48,8% 6. El propietario de una farmacia local sabe que en promedio, llegan a su farmacia 100 personas cada hora. a. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos nadie entre a la farmacia Solución: Utilizamos la distribución de Poisson λ=100 personas/hora 1 hora = 100 personas 60 minutos = 100 personas = 1,666666666666667 personas por minuto 3 minutos = 1,666666666666667 x 3 = 5 personas λ=5 Utilizamos la formula: P(x = x) = e^ (-λ) * λ^x / x! Reemplazamos: La probabilidad de que no llegue ningún cliente en 3 minutos es de 0.67%
  20. 20. b. Encuentre la probabilidad de que en un periodo dado de 3 minutos entren más de 5 personas a la farmacia. P(x>5) = 1-P(x<5) Utilizamos la formula: P(x = x) = e^ (-λ) * λ^x / x! Reemplazamos: P(x<5) = 0,616 1- 0,616 = 0,384 La probabilidad de que entren más de 5 clientes es de 38,4% 7. Una compañía fabricante utiliza un esquema de aceptación de producción de artículos antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se
  21. 21. preparan cajas de 25 artículos para su embarque y se prueba una muestra de 3 en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, toda la caja se regresa para verificar el 100%. Si no se encuentran defectuosos, la caja se embarca. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 defectuosos? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo 1 artículo defectuoso se regrese para su revisión? Sea x = número de artículos defectuosos de la muestra Si la caja contiene 3 artículos defectuosos, la distribución es: N = 25 N1 = 3 N2 = 22; P = 3/25 Q = 22/25 P(X=0) = ((NP¦Xi) (Nq¦(n-Xi)))/((N¦n) ) = = ((3¦0) (22¦(3-0)))/((25¦3) ) = 0.6696 Hay una probabilidad del 67% de que se embarque la caja La caja contiene solo un artículo defectuoso N = 25; P = 1/25 ; Q = 24/25 8. Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es del 1,7% a. Cual es la probabilidad de que se requieran 8 ratones? b. Cual es la probabilidad de que se requieran entre 4 y 6 ratones? 9. Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de inglés en cualquier intento que haga. a. Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el tercer intento?
  22. 22. b. Cuál es la probabilidad de que lo apruebe antes del tercer intento? 10.En promedio en cierto cruce ocurren dieciocho accidentes de transito al año. ¿Cuál es la probabilidad de que para cualquier mes dado en este cruce : a. ocurran exactamente 3 accidentes Suponiendo que la probabilidad es la misma para cada mes, el numero de accidentes por mes es = 18/12 = 3/2=1.5 b. Ocurran menos de 3 accidentes c. Ocurran por lo menos 3 accidentes Osea 11.Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comité de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de que: a) estén representadas todas las nacionalidades, b)estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana.
  23. 23. Solución: a) N = 12 estudiantes a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses c = 5 Italianos N-a-b-c = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 estudiante Canadiense en el comité seleccionado y = 1 estudiante Japonés en el comité seleccionado z = 1 estudiante Italiano en el comité seleccionado n-x-y-z = 1 estudiante Alemán en el comité seleccionado b) N = 7 estudiantes quitando a los Italianos a = 2 Canadienses b = 3 Japoneses N-a-b = 2 Alemanes n = 4 estudiantes seleccionados para formar comité x = 1 o 2 estudiantes Canadienses en el comité seleccionado y = 1 o 2 estudiantes Japoneses en el comité seleccionado n-x-y= 1 o 2 estudiantes Alemanes en el comité seleccionado p(estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana) 2. Un empleado viaja todos los días de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con una desviación estándar de 3,8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente a.- ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje le tome al menos media hora? b.- Si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45 am ¿Qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo?
  24. 24. c.- Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café? Datos: µ = 24 σ = 3.8 x = valor a buscar Utilizo la fórmula de la Distribución normal a) ¿Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora? (buscamos en la tabla) Entonces, P(X>30) = P(Z>1.58) = 0.0571 b) Si la oficina abre a las 9:00am y el sale diario de su casa a las 8:45 am ¿qué porcentaje de las veces llegara tarde al trabajo? Entonces, P(X>15) = P(Z>-2.37) = 0.9911, lo que quiere decir que el 99.11% llega tarde al trabajo. c) Si sale de su casa a las 8:35 am, Cual es la probabilidad de que se pierda el café? Entonces, P(X>25) = P(Z>0.26) = 0.3974 = 39.74% de que se pierda el café.
  25. 25. Capitulo 6 1. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un CI de al menos 95, ¿cuántos de estos estudiantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones? P(X < 95) = [(95 – 115)/12]= [-1.67] = 0.0478 Número de estudiantes rechazados = 600*0.0478 = 28.68 o 29 2. Un empleado viaja todos los días de su casa en las afueras a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos con una desviación estándar de 3,8 minutos. Si se supone que la distribución de los tiempos de viaje esta distribuida normalmente a. Cuál es la probabilidad de que un viaje le tome al menos media hora? La probabilidad de que el viaje tome al menos 30 minutos Usando la tabla de probabilidades Por tanto la probabilidad de que se demore al menos 30 minutos b. Si la oficina abre a las 9:00 am y el sale a diario de su casa a las 8:45 am ¿Qué porcentaje de las veces llegará tarde al trabajo? Es la probabilidad de demorarse hasta 15 minutos
  26. 26. La probabilidad de demorarse mas de 15 minutos es Y el porcentaje es igual a de las veces llega tarde. c. Si sale de su casa a las 8:35 am y el café se sirve en la oficina de 8:50 a 9:00 am ¿Cuál es la probabilidad de que se pierda el café? La probabilidad de tardar más de 15 minutos es la misma que la anterior y es Ahora calculemos la probabilidad de tardar menos de 25 minutos La probabilidad de llegar a tiempo al café es Por tanto la probabilidad de perder el café es 5. El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la distribución de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 34 años y una desviación típica de 6 años. De un total de 400 profesores hallar: a) ¿Cuántos profesores hay con edad menor o igual a 35 años? b) ¿Cuantos de 55 años o más? Solución: µ = 34 y o = 6 a. profesores con edad menor o igual de 35años
  27. 27. P(x € 35) = z2 = x — µ = o 35 — 34 6 1 = = 0.16 6 P(z € 0.16) = 0.5636 Los profesores con edad menor o igual a 35 años son de 400 * 0.5636 = 225.44 aproximadamente 225 profesores. b. profesores con 55 años o más. P(x X 55) = z2 = x — µ = o 55 — 34 6 21 = = 3.5 6
  28. 28. P(z X 3.5) = 1 — P(z € 3.5) = 1 — 0.999767 = 0.000233 Los profesores con 55 años o más es de 400 * 0.000233 = 0.0932 profesores 7.- Se ha determinado que para varones normales en una cierta población normalmente distribuida, la temperatura media es de 37 ºC y desviación estándar de 0,5ºC. Si se consideran 1000 de estas personas. ¿Cuantas se puede esperar que tengan una temperatura comprendida entre 37 ºC y 37,6ºC? Solución: µ = 37ºC y o = 0.5ºC N = 1000 x — µ 37 — 37 0 z1 = o = = = 0 0.5 0.5
  29. 29. x — µ 37.6 — 37 0.6 z2 = o = = = 1.2 0.5 0.5 P(0 € z € 1.2) = P(z € 1.2) — P(z € 0) = 0.8849 — 0.5000 = 0.3849 El total de personas que se puede esperar es de 1000 * 0.3849 = 384.9 aproximadamente 385 personas tendrán temperaturas entre 37ºC y 37.6ºC 8.- Un calentador de agua requiere por término medio 30 minutos para calentar 40 galones de agua hasta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 0,5 minutos. ¿Qué porcentaje de los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos? Solución: µ = 30 y o = 0.5 N = 40 x — µ 31 — 30 1 z1 = o = = = 2 0.5 0.5
  30. 30. P(z X 2) = 1 — P(z X 2) = 1 — 0.97725 = 0.0228 El porcentaje de los tiempos de calentamiento superiores a 31 minutos es de 40* 0.0228 = 0.912 * 100 = 91.2% 8. Suponiendo que las tallas de los adultos de un país A siguen una distribución normal con media 180 cm. y desviación típica 5 cm. y que las tallas de los adultos en un país B siguen una distribución también normal, pero con media 180 cm. y desviación típica 15 cm., contestar de manera justificada en cuál de los dos países es más probable encontrar adultos con talla superior a 195 cm. y donde es más probable encontrar adultos con talla comprendida entre 175 y 185 cm. Solución: a) A: µ = 180 cm y o = 5 cm B: µ = 180 cm y o = 15 cm zÆ = x — µ = o x — µ 195 — 180 15 = = 3 5 5 195 — 180 15 zB = o = = = 1 15 15 P(z Ç 3) = 1 — P(z Ç 3) = 1 — 0.998650 = 0.00135 P(z Ç 1) = 1 — P(z Ç 1) = 1 — 0.8416 = 0.1584 Es más probable encontrar adultos con talla superior a 195 cm en el país B ya que hay una probabilidad de 0.1584 con respecto al país A, que tiene una probabilidadde0.00135 b) país A: x — µ 175 — 180 5
  31. 31. z1 = o = = — = —1 5 5 x — µ 185 — 180 5 z2 = o = = = 1 5 5
  32. 32. P(—1 Ç z Ç 1) = P(z Ç 1) — (1 — P(z Ç 1)) = 0.8416 — (1 — 0.8416) = 0.8416 — 0.1584 = 0.6832 País B: x — µ 175 — 180 5 z1 = o = = — = —0.33 15 15 x — µ 185 — 180 5 z2 = o = = = 0.33 15 15
  33. 33. P(—0.33 Ç z Ç 0.33) = P(z Ç 0.33) — (1 — P(z Ç 0.33)) = 0.6293 — (1 — 0.6293) = 0.6293 — 0.3707 = 0.259 Es más probable encontrar adultos con talla entre 175 cm y 185 cm en el país A ya que hay una probabilidad de 0.6832 con respecto al país B, que tiene una probabilidadde0.259
  34. 34. CONCLUSIONES  Se logran identificar y comprender los conocimientos estudiados a lo largo de la segunda unidad académica del curso.  Se comprenden los principios y aplicaciones que tiene la probabilidad en los distintos campos disciplinares.  Se le proporciona el desarrollo de habilidades al estudiante para llevar a cabo el análisis de eventos cuantificables, mediante el uso sistemático de conceptos, fundamentos y métodos de la Probabilidad.  Se identifican, apropian y usan los distintos conceptos, fundamentos y métodos de la Probabilidad en ejercicios prácticos enmarcados en situaciones y fenómenos reales de acuerdo a la disciplina desarrollada.

×