Gravitacion universal 2013

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Gravitacion universal 2013

  1. 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MINERA Y METALURGICA TEMA: GRAVITACION UNIVERSAL UNIDAD: VIIDOCENTE: ING. EFRAIN CASTILLO ALEJOS 23 DE MARZO DEL 2013CURSO: Física I
  2. 2. Introducción• La mejor respuesta de la física a esta sencilla pregunta... ...es el resultado de 2400 años de reflexión y búsqueda!• Pero, ¿conocemos todos esa respuesta?... ...generalmente nuesta solución a la pregunta es el resultado de Ilustración (educación) + sentido común! “Buenos días. Bienvenidos al “Buenos días. Bienvenidos al fascinante mundo de la física” fascinante mundo de la física” 2
  3. 3. Un grave “deseo”• ¿por qué caen los cuerpos?• Intuición más simple: Algo los “atrae” hacia abajo! ... ¿pero qué es ese “algo”?• Aristoteles c. 330 a.c. – Cuerpos “desean” estar en el piso! – Universo: 4 elementos – Elementos ocupan lugar natural en el Universo – Cuerpo hecho de elementos tiende a su lugar natural – Cuerpos “graves” hechos de Tierra tienden a moverse hacia abajo! 3
  4. 4. Una atracción universal• ¿y la caída de los cuerpos?... – Cuerpo inicialmente en reposo... ... Caída debe ser producida por una “fuerza”: gravedad! – Características de esa fuerza: • Para producir el mismo movimiento en cuerpos de distinta masa... 4 (fuerza de gravedad) ~ (masa)
  5. 5. Una atracción universal• ¿Por qué todas las cosas que rodean la Tierra caen sobre ella y la Luna no? Newton habría descubierto la ley de gravitación Universal si William Tell no hubiera intervenido 5
  6. 6. Una atracción universal• La Luna SI cae sobre la Tierra como los demás cuerpos...• La Luna es atraída por la fuerza de gravedad de nuestro planeta...• Los planetas son atraídos por la gravedad que produce el Sol...• Todos los cuerpos en el Universo tienden a atrerse mutuamente... ... Los Cielos y la Tierra se rigen con las mismas leyes! 6
  7. 7. LA VELOCIDAD DE LA LUZLa velocidad de la luz es de 300.000 (km/s). A estavelocidad:• Se da la vuelta entera a la tierra en 0,02 (s).• Se viaja a la luna en 1,3(s).• Se llega al Sol en 8,3 (min).• Se llega a la estrella más cercana en 4,2 (años).Un año luz se denomina la distancia que recorre la luzen un año, es decir,1 año luz = 9,46 millones de millones de kilómetros(9,46· 1012 km). 7
  8. 8. LA VÍA LÁCTEA Es nuestra galaxia. Los romanos la llamaron "Camino de Leche". Es grande, espiral y puede tener unos 100.000 millones de estrellas, entre ellas, el Sol. 8
  9. 9. LA VÍA LÁCTEA• Tipo de Galaxia: espiral.• Cantidad de brazos: 2 centrales con ramificaciones• Luminosidad: 14.000 millones de luminosidades solares.• Masa total: 1 millón de millones de masas solares• Diámetro: 100.000 años luz.• Espesor del disco: 2.000 años luz.• Espesor del bulto central: 6.000 años luz.  Las estrellas del núcleo están más agrupadas que las de los brazos. A su alrededor hay una nube de hidrógeno, algunas estrellas y cúmulos estelares. 9
  10. 10. EL SISTEMA SOLAR• Está ubicado en uno de los brazos de la espiral de la vía láctea, a unos 30.000 años luz del centro y unos 20.000 del extremo. Cada 225 millones de años el Sistema Solar completa un giro alrededor del centro de la galaxia. Se mueve a unos 270 (km) por segundo. 10
  11. 11. MODELOS DEL SISTEMA SOLAR• GEOCÉNTRICO: La Tierra está inmóvil en el centro del universo y todos los astros giran en torno a ella.• HELIOCÉNTRICO: Todos los planetas giran en torno al Sol. 11
  12. 12. LOS PLANETAS SISTEMA SOLAREl sistema solar está formado por una estrella central, el sol, los cuerposque la acompañan y el espacio que queda entre ellos.Existen ocho planetas en el sistema solarAquí se presentan numerados según su cercanía al Sol1. Mercurio 2. Venus 3. Tierra4. Marte 5. Júpiter 6. Saturno7. Urano 8. NeptunoEl modelo del sistema solar es heliocéntrico, es decir, todos los planetas giran en torno al Sol. 12
  13. 13. LEYES DE KEPLER• 1ª LEY: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de sus focos. 13
  14. 14. LEYES DE KEPLER• 2ª LEY: El vector posición de cualquier planeta respecto del Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales. 14
  15. 15. LEYES DE KEPLER• 3ª LEY: El cuadrado del período (T) de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media (R) del planeta al Sol. Siendo k una constante, la misma para todos los planetas. T2 =κ R3 15
  16. 16. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL• La ley de gravitación universal establece que todos los cuerpos interactúan entre sí. G ⋅ M1 ⋅ M 2 F= 2 r  Nm 2  G = 6,67 ⋅ 10 −11    kg 2    16
  17. 17. Leyes de Kepler Primera: Los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos. Segunda: Una línea entre un planeta y el Sol barre áreas iguales de una elipse en tiempos iguales.Notas: no hay nada en el otro foco o enel centro. La Segunda Ley quiere decirque los planetas giran alrededor del Solmas rápido cuando están mas cerca deél. Estas leyes valen para cualquiercosa que esté orbitando alrededor decualquier cosa debido a la gravedad. 17
  18. 18. Segunda Ley de Kepler Animada 18
  19. 19. Leyes de KeplerTercera: El periodo orbital de un planeta es proporcional a su semieje mayorde acuerdo con la relación P2 ~ a3.La forma mas general de esta ley (esencial para determinar todas lasmasas en astronomía) es 3 a P ∝ 2 M centralPara los planetas del sistema solar (con el Sol como la masa central), si lasunidades del semieje mayor (a) están dadas en UA y el periodo (P) enaños, la constante de proporcionalidad es 1.Por ejemplo, si Jupiter está a 5 UA, ¿cuál es su periodo orbital? P 2 = 53 = 125; P = 125 = 11.2Kepler no entendió las bases físicas de estas leyes (el sospechaba quesurgian debidoa a que el Sol atraía a los planetas posiblemente a través deun magnetismo. 19
  20. 20. Leyes de Kepler 20
  21. 21. Leyes de Kepler 21
  22. 22. Isaac Newton 1642 - 1727 Newton: uno de los mas grandes científicos. Profesor, Teólogo, Alquimista, Warde of the Mint, Presidente de la Royal Society, miembro del Parlamento. Coinventor del cálculo. Descubridor de la ley de la Gravitación Universal y de las tres leyes de Newton del movimiento. Formuló la teoría Corpuscular de la luz y la ley de enfriamiento. Perosnalmente algo obnoxious, pobres relaciones con la mujeres, lost of odd stuff with the great stuff. Hizo la mayor parte de su trabajo antes de los 25 años. Trinity College, Cambridge 22
  23. 23. Las Tres Leyes de NewtonLey de la Inercia (Primera Ley): en ausencia de fuerzas (fuerza neta = 0) losobjetos se moverán a velocidad constante.Ley de Fuerza (Segunda Ley): una fuerza producirá que un objeto cambiesu velocidad (aceleración) directamente proporcional a la fuerza aplicada einversamente proporcional a la masa del objeto. Esta ley puede se puedeexpresar como F = m*a o bien, a = F/m. 23
  24. 24. Las Tres Leyes de NewtonUna fuerza mas grande produce una mayor aceleraciónUna masa mas grande tendrá una aceleración menor y viceversa 24
  25. 25. Las Tres Leyes de NewtonLey de la Reacción (Tercera Ley): a cualquier acción hay una reacción igualy en dirección opuesta, es decir, las fuerzas ocurren en pares iguales yopuestos. 25
  26. 26. Ley de Gravitación UniversalNewton, para completar su estudio del movimiento de los planetas, susleyes de movimiento con una descripción específica de la fuerza degravedadConociendo el comportamiento básico de los planetasa partir de las leyes de Kepler, Newton pudodeterminar una ley de fuerzas apropiada, la Ley de laGravitación Universal:F es la fuerza gravitacionalM y m son las masas de los dos objetosR es la separación entre los dos objetosG es la constante de gravitación universal 26
  27. 27. Ley de la GravitaciónLa gravedad es una fuerza atractiva, y de acuerdo con la Tercera Ley deNewton, las dos masas (cuerpos) sienten fuerzas iguales y opuestas.La gravedad es relativamente débil debido al valor tan pequeño de laconstante de la gravitación G, en unidades métricas, G = 6.7 x 10-11 Nm2/kg2Por lo tanto, se requieren masas grandes parapoder sentir una fuerza apreciable, p.ej. Lamasa de la Tierra es 6.0x1024 kg.A pesar de la masa grande de la Tierra, lafuerza gravitacional que sientes en lasuperficie de la Tierra, tú peso, es solamenteunos cuentos cientos de Newtons. 27
  28. 28. Gravitación 28
  29. 29. Explicación de las Leyes de KeplerNewton pudo explicar matemáticamente (usando su calculo) que las órbitasde los planetas son elipses y obedecen las leyes de Kepler. El afirmo queestos mismo aplica a todos los cuerpos celestes. En particular, pudo mostrarque el periodo y tamaño de una orbita están dados por: 4π 2 P2 = a3 G ( M Sol + M Planeta )Donde P es el periodo, a es el semieje mayor y G es la constantegravitacional.Esta ley, la Tercera Ley de Kepler, se puede usar para encontrar la masa decualquier cuerpo en el cual se pueda medir la distancia y el periodo delcuerpo orbitando (iniciando con el sistema Tierra-Luna). 29
  30. 30. Cálculo de la Masa de la TierraSabemos que el Sol está cerca de 400 veces mas lejos que la luna, y a laluna le toma un mes orbitar la Tierra. Entonces, su semieje mayor es cercade 1/400 UA y su periodo es cerca de 1/12 años. 3 1 a3 400 = 144 = 2.25 x10 −6 M∝ 2∝ 2 P 1 64 x106 12Ya que hemos usado UA y años, la masa está dada en masas solares. Asíque la Tierra es cerca de un millón de veces menos masiva que el Sol. Parapoder saber cuantos kilogramos tiene, debemos usar la forma de la Ley deKepler dada por Newton y poniendo todas unidades físicas [como P(sec), a(metros), G (unidades mks). 30
  31. 31. Movimiento OrbitalLa fuerza de gravedad siempre haceque las cosas caigan. La pregunta essi la trayectoria de la caída intersectacualquier superficie. La forma de laórbita depende de la velocidad que elcuerpo tenga en un punto dado. Velocidades bajas recorrerán distancias menores, mientras que velocidades grandes recorrerán distancias mayores. En estos casos se puede decir que las trayectorias son cerradas. Sí la velocidad es bastante grande (mayor o igual a la velocidad de escape), la orbita será una hipérbola en lugar de una elipse y el cuerpo no regresará. 31
  32. 32. Velocidad de Orbital y de Escape GM La velocidad de escape Vcir = R depende de la masa y del tamaño del cuerpo. Para la Tierra es cerca de 11 km/s. Cuando la velocidad de escape es la velocidad de la luz, el cuerpo central será un agujero negro. Es importante notar que ninguna de estas velocidades depende de la masa del cuerpo que está orbitando o escapando. 32
  33. 33. 1) Halle la fuerza de atracción entre la tierra y la luna De la ecuación de la fuerza de gravitación : mT mL F =G L2 sabemos que : mT = 5.98 *10 24 Kg mL = 7.34 *10 22 Kg   F = 1.985 *10 N 20 L = 3.84 *108 m G = 6.67 *1011 Nm / Kg 2  2) Dos esferas de hierro de masas de 2Kg y 3kg con radios de 2m y 3mrespectivamente, están en contacto, hallar la fuerza gravitatoria entre ambas La distancia entre los centros de las esferas es : 7m Reemplazando en la ecuación de la fuerza gravitatoria : tenemos : F = 8.167 *10-11 N
  34. 34. 3) De la figura halle la dirección y magnitud de la fuerza resultante en laesfera B. Hallemos 1ro la fuerza entre A y B : (3)(2) FAB = (6.67 *10 −11 ) 2 = 40.02 *10 −11 N 1 hallemos ahora la fuerza resultante entre B yC : (2)(1) FBC = (6.67 *10 −11 ) 2 = 1.48 *10 −11 N 3 Luego la fuerza resultante es 3.854 *10-10 y su sentido es hacia la izquierda
  35. 35. 4) De la figura, halle el vector de la fuerza resultante en la esfera A, donde “O”es el origen de coordenadas y el vector OO’, esta sobre el eje “x” positivo. Sol : (2)(2) FAB = (6.67 *10 −11 ) 2 = 2.964 *10 −13 N → FAB = FAB u AB = 2.964 *10 −13 ( 1 , 23 ) N ˆ 2 (30) (2)(1) FAC = (6.67 *10 −11 ) 2 = 0.833 *10 −13 N → FAC = FAC u AC = 0.833 *10 −13 (1,0) N ˆ (40) Para hallar la fuerza resultante recurrimos a la suma vectorial : FR = FAB + FAC FR = (2.315,1482 3 )10 −13 N
  36. 36. 5) De la figura, halle la masa de A, si el sistema esta en equilibrio.Sol :Hallemos la fuerza centrifuga : (2)(3) 2Fc = = 3.6 N 5Como el sistema está en equilibrio : (2)(m A )Fc = Fg ⇒ Fg = 3.6 N = (6.67 *10 −11 ) N 52∴ m A = 6.746 *1011 Kg
  37. 37. 6) Un hombre pesa 70Kgf suponiendo que el radio de la tierra se duplicara,¿Cuánto pesaría el hombre si la masa d la tierra permanece constante? Sea P1 el peso de la persona antes de la expansión, y P2 el peso despues de la expansión m p mT G P1 R 2 = 4 ∴ P = P 1 = 17.5 N = 2 P2 m p mT 4 G 4R 27) Se dispara una bala de cañón desde la superficie de la tierra. A quedistancia del centro de la tierra la bola se detiene. Sean: v = velocidad inicialR=radio terrestre; mb = masa de la bola; M = masa de la tierra Sabemos que la fuerza gravitatoria es conservativa. Por ley de conservación tenemos : Ei = EF → EPGi + EKi = EPGf + EKf ⇒ EPGi + EKi = EPGf  (1) / En (1) tenemos que : Mmb Mmb 1 G = + mb v 2 D R 2 M M v2 2GRM G =G + →D= D R 2 2GM − Rv 2
  38. 38. 8) Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia del centro de la tierra igual a 8 veces el radio terrestre (R). Halle la velocidad con la que colisiona en la superficie.Sabemos que la fuerza gravitatoria es conservativa. Luego, por ley de conservación de laenergía : Ei = E f → EKi + EPGi = EKf + EPGf → EPGi − EPGf = EKf  (1) /En (1) tenemos que : mT mm  1  1 m 7 1 −  = mm v → G T ( ) = v 2 2G R2  8  2 R 4⇒ v)3.31*10 2 m / s 7

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