Torre de Hanoi: jogando com a Matemática

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Neste artigo mostramos muitas situações matemáticas que podem ser utilizadas em sala de aula.

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Torre de Hanoi: jogando com a Matemática

  1. 1. Torre de Hanoi:jogando com a Matemática Rufino, Elzimar de O. ∗ 18 de maio de 2011 Resumo As idéias principais deste artigo foram escritas em abril de 2006. Nosso objetivo aqui é mostrar como o jogo Torre de Hanoi pode ser utilizado como ferramenta valiosa em algumas situações do Ensino da Matemática, como por exemplo no estudo de exponenciais, funções exponenciais, loga- rítimos, progressão geométrica, função maior inteiro, indução matemática, etc. 1 Um pouco de história O jogo tem origem em um mito indiano segundo o qual o centro do mundo encontra-se sob a cúpula de um templo situado em Benares, na Índia. Neste centro haveria uma placa de latão onde estariam fixados três pinos de dia- mente. Ao criar o mundo o deus Brahma teria colocado em um desses pinos sessenta e quatro discos de ouro, apoiados um sobre o outro de diâmetros decrescentes, estando o maior junto à placa e o menor no topo da pilha. Esta seria a Torre do Brahma. Segundo as leis imutáveis criadas por ele, os sacer- dotes teriam sido incubidos de transferir a pilha de discos para um dos out- ros pinos, trabalhando desde então, dia e noite sem sessar. Segundo o mito a vida decorrerá durante a realização de tal tarefa de transferência e, antes que os sacerdotes consigam levar a cabo a missão que receberam, o templo transformar-se-á em pó e o mundo desaparecerá, com um estrondo de trovão. No mundo ocidental o jogo foi inventado, a partir do mito pelo Matemático francês Edouard Lucas (4 de abril de 1842- 3 de outubro de 1891). A figura abaixo mostra uma Torre de Hanoi confeccionada em madeira. ∗ Professor do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Licenciadoem Matemática-UFRR, Especialista em Matemática-UFRR e Mestre em Matemática-UFAM. 1
  2. 2. Figura 1: Torre de Hanoi2 O objetivo e as regrasO objetivo principal do jogo é transladar a Torre de um pino para um dosoutros dois. As regras são simples: deve-se movimentar um disco de cadavez, sendo que um disco qualquer nunca pode sobrepor outro de diâmetromenor. Deve-se fazer a translação com um número mínimo de movimentos.3 Algumas idéias sugestivasO professor dispondo de várias Torres apresenta o jogo aos seus alunosinstigando-os a jogar começando com poucos discos e fazer anotações donúmero de movimentos em uma tabela. Após jogarem bastante, provavel-mente determinarão a tabela abaixo: número de discos número de movimentos 1 1 2 3 3 7 4 15 5 31 Tabela 1: Número de discos e número de movimentos. A partir daí muitas idéias podem surgir dependendo da criatividade ecuriosidade dos participantes. Por exemplo, olhando a segunda coluna databela acima como uma sequência pode-se perceber certa propriedade ouuma lei de formação. Surgem então as seguintes perguntas: 1- Que característica pode-se perceber na sequência (de cima para baixo)formada pelos elementos da segunda coluna na tabela 1? 2
  3. 3. Uma resposta esperada : cada elemento é o dobro do anterior maisuma unidade. 2- Como podemos representar essa propriedade matematicamente? 3- Que propriedade ou relação existe entre o número de discos e o re-spectivo número de movimentos? 4- Dada uma quantidade de discos, como garantir que o número demovimentos dado na tabela 1 é o número mínimo de movimentos? Vamos dar atenção agora à pergunta 2. Como expressar matemática-mente a frase:cada elemento da sequência é o dobro do anterior maisuma unidade. Surge a necessidade de se utilizar uma notação matemáticapara cada termo, ou seja, para o primeiro, segundo, e assim por diante. Depois de verificadas as idéias dos alunos e os prós e contras, o professorpode sugerir a notação utilizada na tabela abaixo. termo notação primeiro a1 segundo a2 = 2a1 + 1 terceiro a3 = 2a2 + 1 quarto a4 = 2a3 + 1 quinto a5 = 2a4 + 1 De um modo geral, dado um número natural n temos an = 2an−1 + 1.É claro que esta propriedade está apenas sendo conjecturada e a rigor teriade ser demonstrada.4 O número mínimo de movimentosManipulando os dados da primeira tabela , pode-se fazê-los perceber umafunção que determina o número mínimo de movimentos ao se jogar comuma Torre com n discos. Vamos enunciar esse resultado e demonstrá-loformalmente. Porém, antes vamos ver dois lemas. Lema 1-Para qualquer n, o jogo tem solução. Prova: (Indução Matemática) Para n=1, obviamente o jogo tem solução.Suponha que o jogo tenha solução para n = k discos, vamos mostrar quepossui solução para n = (k + 1) discos. Em uma Torre com n = (k + 1)discos, a hipótese de indução nos diz que podemos transladar os k primeirosdiscos para um dos dois pinos livres. Após feito isso, o (k + 1)−ésimo 3
  4. 4. disco pode ser então transladado para o pino que ainda está livre. Usandonovamente a hipótese de indução podemos transladar os primeiros k discospara cima do (k + 1)−ésimo disco e então o jogo estará solucionado. Lema 2-Acrescentando um disco ao jogo com uma Torre de n discos onúmero de movimentos duplica mais uma unidade. Prova: É uma consequência do procedimento descrito na prova do Lema1. Teorema- O número mínimo de movimentos ao se jogar com uma Torrede n discos é dada pela função f : N → N tal que f (n) = 2n − 1 Prova: Seja f : N → N a função que determina a solução mínima paraum jogo com n discos garantida pelos Lemas 1 e 2. Pelo Lema 2, devemoster f (n + 1) = 2f (n) + 1 (1) ou ainda f (n) = 2f (n − 1) + 1 (2) Na equação (2) substituindo-se , n por n − 1, n − 2, n − 3, ..., 1, obtemosf (n − 1) = 2f (n − 2) + 1, f (n − 2) = 2f (n − 3) + 1, , ..., f (1) = 1. Consequentemente, por sucessivas substituições (recorrência), resultaque f (n) = 2[2f (n − 2) + 1] + 1 = 22 f (n − 2) + 1 + 2 = 22 [2f (n − 3) + 1] + 1 + 2 = 23 f (n − 3) + 1 + 2 + 22 . . . = 2n−1 f (1) + 1 + 2 + 22 + ... + 2n−2 1 · 2n−1 − 1 = 2n−1 + 2−1 n−1 = 2 − 1. 4
  5. 5. a1 q n −1 Note que utilizamos a fórmula Sn = q−1 da soma dos n termos deuma Progressão Geométrica. Vamos obter a expressão f (n) = 2n − 1 do número mínimo de movi-mentos utiliando um outro olhar. Começaremos com uma Proposição- O número mínimo de movimentos realizados pelo discomenor d1 em um jogo com n discos é dado pela expressão gn (1) = 2n−1 . (3) Prova: (Indução matemática) Para n = 1 a proposição é válida vistoque, gn (1) = 1 = 21−1 . Suponhamos que a proposição seja válida para n = k, e vamos mostrarque continua válida para n = k + 1. Devemos mostrar então a seguinteimplicação: gk (1) = 2k−1 ⇒ gk+1 (1) = 2(k+1)−1 = 2k . Veja que podemos transferir a Torre com k + 1 discos em três etapasbásicas: Etapa 1- Transferimos a Torre com k discos. Etapa 2- Transferimos a o disco dk+1 para o pino livre. Etapa 3- Transferimos a Torre com k discos para onde está o disco dk+1 . Assim, pela hipótese de indução, na etapa 1, o número mínimo de movi-mentos do disco d1 é gk (1) = 2k−1 . Usando novamente a hipótese de in-dução,o disco d1 se movimentará novamente na etapa 3, no mínimo, 2k−1vezes. Portanto, ao transferirmos a Torre com k + 1 discos teremos movi-mentado o disco d1 não menos que 2·2k−1 vezes, ou seja, gk+1 = 2·2k−1 =2k como queríamos mostrar. Corolário- O número mínimo de movimentos realizados pelo disco diem uma Torre com n discos é dado pela fórmula gn (i) = 2n−i . Prova- Observe que em um jogo com n discos, ao se transferir os i − 1primeiros discos não se movimenta o disco di . Só apartir daí o disco di iráse movimentar e imediatamente após cada um de seus movimentos os i − 1primeiros discos irão sobrepô-lo (consequência da regra do jogo). Sendoassim, para efeito de contagem, o disco di pode ser considerado o disco d1em uma Torre com n − (i − 1) movimentos. Então devemos ter gn (i) = gn−(i−1) (1) = 2n−(i−1)−1 = 2i−1 . 5
  6. 6. Por exemplo, jogando com uma Torre com 7 discos, a quantidade mín-ima de movimentos realizados pelo d3 será g7 (3) = 27−3 = 24 = 16. O interessante é que (gn (n), gn (n − 1), ..., gn (2), gn (1))é uma progressão geométrica de razão q = 2. Isso significa que um discode certo diâmetro movimenta-se o dobro de vezes que um disco de diâmetroimediatamente maior. De acordo com o que vimos acima podemos obter a expresão f (n) quedetermina o número mínimo de movimentos em um jogo com n discossomando-se o número mínimo de movimentos de cada disco.Então n 1 · (2n − 1) gn (i) = = 2n − 1 = f (n). 2−1 i=1 Corolário( do Corolário anterior)-Acrescentando um disco jogo, a quan-tidade mínima de movimentos do disco di duplica. Prova: gn+1 (i) = 2n+1−i = 2 · 2n−i = 2gn (i).5 Explorando o tempoUma idéia interessante é fazer uma estimativa do tempo gasto para o términodo jogo. Suponha que um jogador gaste um segundo para cada movimento.O tempo gasto obviamente será f (n) segundos. Na mesma situação acima suponha que um jogador dispunha de 50 min-utos. Ele poderá transferir uma Torre com no máximo quantos discos? Se os alunos observarem que 50 minutos equivalem a 3000 segundos,tentarão (creio eu!) encontrar o maior valor de n tal que 2n − 1 = 3000 ou2n − 1 esteja o mai próximo pssível de 3000. Verificarão, por exaustão, quen = 11 e o tempo gasto será 2047 segundos. Para uso posterior vamos ver a definição da função maior inteiro. Definição- O maior inteiro de um número real x, denotado por x , é omaior inteiro que é menor ou igual a x. Exemplos: 11, 56 = 11, −11, 56 = −12. A título de curiosidade apresentamos um gráfico desta função.Veja afigura 2. 6
  7. 7. Figura 2: Gráfico da função maior inteiro com x ∈ [−3, 3] O seguinte resultado nos dá uma estimativa do número de discos que sepode movimentar dispondo-se de um um tempo pré-determinado. Teorema- Suponha que um jogador demore um segundo para movimen-tar cada disco e que este dispõe de x segundos para jogar. Então, ele poderá (x+1)movimentar no máximo uma Torre com n = log2 discos. Prova: Como o número mínimo de movimentos é f (n) = 2n − 1 eleva-se um segundo para movimentar cada disco, procuramos um n tal que2n − 1 = x, ou esteja o mais próximo possível de x pela esquerda. (x+1) Seja r ∈ R tal que 2r = x + 1, ou seja, r = log2 . Basta tomarn= r . Os alunos logo perceberão que a tarefa de jogar com muitos discos éilusória. Jogando com 12 discos nas condições do teorema, o tempo gastoseria mais de uma hora e imaginem que para um jogo com 64 discos se-riam necessários 184447440737095511615 segundos, o que equivale a umtempinho de cerca de 6 bilhões de séculos. Como se vê, acreditando ou não no mito, ainda terímos a existência denosso mundinho por muito tempo.6 Idéias para vencer o jogoAqui usaremos a notação (i, j) para representar a transferência do disco dipara o pino j e Tn para uma Torre com n discos. Podemos considerar ospinos 1, 2 e 3 da esquerda para a direita. Abaixo temos a sequência dejogadas para um jogo com três discos, onde a Torre é transferida para o pino2. (1, 2) → (2, 3) → (1, 3) → (3, 2) → (1, 1) → (2, 2) → (1, 2). 7
  8. 8. Note que para transferir a Torre com 3 discos para o pino j devemoscomeçar movimentando o disco d1 para o pino j. Considere agora uma Torre com n discos. Ao transferir T3 estará lib-erado um pino para a transferência de d4 . Transfira d4 e translade T3 paraonde está d4 , resultando aí T4 . Estará liberado um pino para a transferênciade d5 . Transfira d5 e transfira T4 para onde está d5 observando o processoanterior. Continuando, sempre estará liberado um pino para a transferên-cia de di . Transfira di e em seguida Ti−1 para onde está di . O jogo estaráterminado quando i = n. Para realizar o procedimento descrito anteriormente é necessário estaratento para a paridade de i: Se i for par e deseja-se transferir Ti para o pino j, o procedimentoinicial deverá ser (1, k) onde k = j. Se i for ímpar, o procedimento inicialdeverá ser (1, j). Para considerações mais rigorosas a respeito de um algorítimo vencedorsugerimos ao leitor consultar [1]. Com um pouco de esforço muitas outras situações matemáticas podemser exploradas com o auxílio do jogo Torre de Hanoi.Referências [1] Silva,Gentil Lopes. Novas Sequências Aritméticas e Geométri- cas.THESAURUS-DF, 2000. [2] MACHADO, Nilson José. Matemática e Educação: Alegorias e Temas Afins. Cortez, São Paulo,2001. [3] HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmática. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro,2005. 8

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