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1. Calcular
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integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares
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integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares

  1. 1. 1. Calcular   1 2 2 2 4D dx dy x y   , donde D es el recinto dado por 2 2 2 0x y x   SOLUCIÓN: Si transformamos a coordenadas polares:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y r x y x r rCos x y x x y            Donde los limites son:  0 2 os 2 2 r C          ; dA rdrd      2 22 2 2 1 22 2 2 0 2 2 0 4 44 Cos Cos D dA rdr I r d rx y                    2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 1I Cos d Cos d                            2 2 2 2 2 2 2 1 2 2I Cos d Cos                   2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 I Cos Cos                                 2. Calcular 2 2 x y D e dxdy  ,donde D es la región acotada por la circunferencia 2 2 1x y  y 2 2 9x y  SOLUCIÓN: Si transformamos a coordenadas polares: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 9 3 x y r x y r r x y r x y r r                   De donde los limites son:
  2. 2. 1 3 0 2r       ; dA rdrd        2 2 2 2 32 3 2 29 1 8 8 0 0 1 0 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 x y r r D I e dA e rdrd e d e e e e e e                      8 1I e e  3. Calcular la integral doble   2 2 22 2 D x y dx dy x y  , donde D es el anillo 2 2 1 4x y   Si transformamos a coordenadas polares: 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 2 x y r x y r r          De donde los limites son: 1 2 0 2r       ; dA rdrd         2 2 2 2 2 2 2 20 12 2 2 D rCos rSen rdrx y dx dy I x y r                           2 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 Cos Cos r I Cos Sen rdrd d                            2 2 2 2 0 0 0 1 4 4 3 23 3 3 3 2 8 8 2 16 4 16 8 Cos Sen I Sen d d                               4. Calcular la integral doble 2 2 2 2 1 D x y dxdy a b   0a  , 0b  , donde D es la región limitada por la elipse 2 2 2 2 1 x y a b   SOLUCION: Si transformamos a coordenadas polares:  x raCos  ;      2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 r a Cos r b Sen y rbSen r a b         De donde los limites son:
  3. 3. 0 1 0 2r       ; dA abrdrd    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 D D r a Cos r b Sen I abrdrd ab r rdrd a b              13 2 22 2 0 0 0 1 1 2 0 2 3 3 3 3 r ab ab I ab d ab                     5. Calcular la integral doble D xy dxdy , donde D es un dominio limitado por la elipse 2 2 2 2 1 x y a b   y situado en el primer cuadrante. Si transformamos a coordenadas polares:  x raCos  ;      2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 r a Cos r b Sen y rbSen r a b         De donde los limites son: 0 1 0 2r       ; dA abrdrd         2 2 2 2 3 3 ( ) 2 2D D D a b I raCos rbSen abrdrd a b r Sen Cos drd r Sen drd                          22 2 2 2 2 212 4 0 0 0 2 2 4 0 8 16 16 a b a b a b I r Sen d Cos Cos Cos                2 2 2 2 1 1 16 8 a b a b I      6. Calcular la integral doble 2 2 2 2 4 D dxdy x y a b    0a  , 0b  , donde D es la región limitada por la elipse 2 2 2 2 1 x y a b   Si transformamos a coordenadas polares:  x raCos  ;      2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 r a Cos r b Sen y rbSen r a b         De donde los limites son:
  4. 4. 0 1 0 2r       ; dA abrdrd    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 D D dxdy abrdrd I x y r a Cos r b Sen a b a b                12 2 2 02 2 2 0 4 44D D rdrd rdrd I ab ab ab r d rr Cos Sen                      2 0 5 2 2 5 2I ab ab       7. Calcular la integral doble 2 2 D xy dxdy x y  , donde D es el disco acotado por 2 2 2 2 1 x y a b   Si transformamos a coordenadas polares:  x raCos  ;      2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 r a Cos r b Sen y rbSen r a b         De donde los limites son: 0 1 0 2r       ; dA abrdrd                 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D D D xy dxdy rCos rSen abrdrd r Cos Sen drd I ab x y a r Cos b r Sen r a Cos b Sen                                      1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 33 r Cos Sen d Cos Sen dab I ab a Cos b Sen a Cos b Sen                          1 2 2 2 2 203 Cos Sen dab I a a Sen b Sen                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) 3 3 ab ab I a b a Sen a b a Sen b a b a                      3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 ( ) ( ) 3 3 ab ab a b b a Sen a b a Sen b a b a            
  5. 5.     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ab ab I a b a a a a b a b a b a                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ab ab a b a a a a b a b a b a                               2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 ab ab ab ab I b a a b b a a b b a b a b a b a                    4 4 3 3 ab b a ab I b a b a b a       8. Calcular 2 2 2 D a x y dxdy  , donde D es la región limitada por la hoja de Lemniscata     22 2 2 2 2 x y a x y   , 0x  Grafiquemos y transformamos a coordenadas polares:     22 2 2 2 2 x y a x y   ; 0 x a  ;  x rCos  ;  y rSen  ; 2 2 2 r x y   2 2 24 0 4 a Cos I a r rdrd                cos 23 32 4 42 2 2 2 32 4 4 0 1 1 2 3 3 a I a r d a a Cos a d                          3 3 4 2 4 1 2 1 3 a I Cos d               4 3 3 4 2 2 3 3 a Cos I Cos                    3 16 2 20 3 3 9 a I        9. Calcular 2 2 2 2 0 0 a a x x y dydx    Transformamos a coordenadas polares. 2 2 y a x  ; 0 x a  ;  x rCos  ;  y rSen  ; 2 2 2 r x y  0 0 2r a      
  6. 6. 23 3 3 2 2 2 0 0 0 0 0 3 3 6 a a r a a I r rdrd d            

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