UNIDAD 5. ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

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UNIDAD 5. ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES

  1. 2. <ul><li>Existen ecuaciones no lineales que se pueden reducir a una ecuación lineal, por ejemplo la ecuación de Bernoulli  </li></ul><ul><li>En donde n  es un número real cualquiera. Para n  ≠ 0 y n  ≠ 1, la sustitución w = y1-n    lleva a una ecuación lineal de la siguiente manera. Derivamos </li></ul><ul><li>Que es la ecuación que necesitamos resolver. </li></ul><ul><li>Ejemplo 7.1 Resolver   Solución Podemos identificar que  y que n = 2 luego en (16) se tiene </li></ul><ul><li>El factor integrante de esta ecuación es x-1 con lo que </li></ul>
  2. 3. <ul><li>Integrando obtenemos    Como      </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>7.2  ECUACIÓN DE RICATTI </li></ul><ul><li>Es otra ecuación no lineal que puede ser reducida a una ecuación lineal.  Es decir, realizaremos el siguiente procedimiento: </li></ul><ul><li>La ecuación es   </li></ul><ul><li>            Para resolverla suponemos una solución particular conocida y1 de tal forma que  y = y1+ u es una solución de (17), con esto reducimos la ecuación de Bernoulli, veámoslo. Si y es una solución entonces     </li></ul><ul><li>                Sustituyendo den (1) obtenemos lo siguiente </li></ul>
  3. 4. <ul><li>Y haciendo la sustitución w = u-1obtenemos la ecuación lineal Resolviendo (18)      Hallamos el factor integrante. </li></ul><ul><li>Ejemplo 7.2      Resolver   Solución:    De la   ecuación    podemos    identificar que      P(x) = -2, Q(x) = -1,  R(x) =1 Sustituyendo en (18) obtenemos    </li></ul><ul><li>            El factor integrante seria e3x entonces,          </li></ul><ul><li>Integrando ,  </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Pero w = u-1            </li></ul><ul><li>Luego la solución y = y1 + u es:              </li></ul>

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