UNIDAD 3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

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UNIDAD 3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR

  1. 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR EDGAR NOGUERA
  2. 2. UNIDAD 3. ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR <ul><li>ECUACIONES HOMOGÉNEAS </li></ul><ul><li>Definición 4.1 Una función  f (x, y) se llama homogénea de grado n si </li></ul><ul><li>Ejemplo 4.1   es homogénea de grado 4, ya que </li></ul><ul><li>Ejemplo 4.2   no es homogénea, ya que </li></ul><ul><li>Una ecuación de la forma en donde M, N tienen el mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables separables usando cualquiera de las situaciones o bien en donde u y v son nuevas variables dependientes. En particular si elegimos   entonces Por tanto en la ecuación (*) se tiene que:    </li></ul><ul><li> la homogeneidad de M y N se es posible escribir : </li></ul>
  3. 3. <ul><li> </li></ul><ul><li>Ejemplo 4.3    Resolver  Solución: </li></ul><ul><li>4.1  Forma alternativa </li></ul><ul><li>Una ecuación diferencial de primer orden y’=f(x,y) se llama homogénea si f(x,y) puede expresarse como g(y/x), donde g es una función de una variables. Una ecuación diferencial homogénea y’=g(y/x) se transforma en una ecuación de variables separables mediante el cambio de variable: v = y/x. </li></ul><ul><li>Ejemplo 4.4  Utilizando la forma alternativa en el ejemplo anterior  tenemos Solución Si dividimos el numerador y el denominador del miembro derecho de la ecuación por x2, tendremos:     </li></ul><ul><li> Si ahora hacemos el cambio de variables u = y/x tenemos: </li></ul>
  4. 4. <ul><ul><ul><ul><ul><li>Problema resuelto 4.        En cada punto: P(x,y) de una curva del plano, el ángulo formado por la tangente y la ordenada es bisecado por la recta que une al punto con el origen. Halle la ecuación de la curva  sabiendo que pasa por el punto: (1,2) Solución: La   figura (10) ilustra gráficamente la situación. Podemos relacionar el ángulo q  con las variables del problema así: </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li> Figura 10 </li></ul></ul></ul></ul></ul>
  5. 5. <ul><li>De las relaciones anteriores se sigue que:   Puesto que : </li></ul><ul><li>se tiene que:    </li></ul><ul><li>Puesto que: tan(a) = y/x, tenemos la ecuación diferencial del problema, así;        La ecuación diferencial hallada es homogénea y su solución general es la familia de circunferencias: x2 + y2 = Cx. En el punto (1,2), la circunferencia es:  x2 + y2 = 5x.   La figura (11)  muestra la gráfica de la función y la propiedad expresada en el enunciado del problema. El estudiante puede comprobar que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (1,2) viene dada por: </li></ul>
  6. 6. <ul><li>EJERCICIOS  5 </li></ul><ul><li>Resolver las siguientes ecuaciones exactas </li></ul><ul><li> </li></ul>

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