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UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1er ORDEN

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UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1er ORDEN

  1. 1. EDGAR NOGUERA
  2. 2. UNIDAD 2. ECUACIONES DE 1ER ORDEN <ul><li>El problema de las ecuaciones diferenciales consiste esencialmente en encontrar la primitiva que dio origen a la ecuación. En otras palabras, resolver una ecuación diferencial de orden n es, en realidad, hallar una relación entre las variables contenido n constantes arbitrarias, que, junto con las derivadas obtenidas de ella, satisfaga la ecuación diferencial. </li></ul><ul><li>Ejemplo 3.1 </li></ul><ul><li>Ecuación Diferencial Primitiva </li></ul><ul><li>Las condiciones que ha de cumplir una ecuación diferencial para poder ser resuelta se dan en los teoremas de existencias. Por ejemplo una ecuación diferencial de la forma y’= g(x, y) en la </li></ul><ul><li>que   g (x,) es continua y uniforme en una región R de puntos (x, y),   existe y es continua en todos los puntos R,   Admite infinitas soluciones f (x, y,C) = 0 (siendo C una constante arbitraria), tales que por cada punto de R pasa una y sola una curva de la familia  f (x, y,C) = 0 </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Variables separables </li></ul><ul><li>Definición 3.1 Se dice que una ecuación diferencial de la forma Es separable o que tiene variables separables. </li></ul><ul><li>Ejemplo 3.2 Resolver (1 + x )dy – ydx = 0 </li></ul><ul><li>Solución: </li></ul><ul><li>Ejemplo 3.3 Resolver sujeta a y(0) = 0 Solución :  </li></ul><ul><li>Utilizando fracciones parciales en el lado izquierdo tenemos </li></ul><ul><li>Luego </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Así que: </li></ul><ul><li>Ahora al sustituir  se tiene </li></ul><ul><li>Luego </li></ul><ul><li>Una ecuación diferencial de la forma   puede reducirse siempre a una ecuación de variables separables por medio de la sustitución     </li></ul><ul><li>Ejemplo 3.4      Resolver </li></ul><ul><li>Solución:   Sea  u = x + y + 1, derivando obtenemos con lo que </li></ul><ul><li>Integrando obtenemos: </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Aplicaciones a la química Existe una variada gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden a procesos químicos. Entre las aplicaciones más comunes se tienen los problemas de mezclas, es decir, los problemas que genéricamente se conocen como problemas de salmuera y los relativos a las reacciones químicas, o sea, problemas derivados de la aplicación de la ley masa-acción. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Problema resuelto 1. Se tiene un depósito con un volumen: Vi, de una solución que tiene una concentración: c1, Se desea cambiar la concentración de la solución mediante la apertura de dos válvulas tales que por una de ellas entre solución de concentración conocida: ce a una rala determinada: A y otra por la que la mezcla homogénea escape a una rata: B . Se desea determinar el volumen y la concentración en todo instante posterior a la apertura de las válvulas. </li></ul><ul><li>Solución:  Las figuras 4 y 5 muestran al sistema en los instantes: t = 0 y t > O. Se toma como referencia el momento en que se abren las válvulas. </li></ul><ul><li>Fig.4                                                  fig. 5 </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Es claro que tanto el volumen como la cantidad de soluto están variando con respecto al tiempo. La concentración en todo instante se define como: </li></ul><ul><li>Siendo q(t) la cantidad de soluto en todo instante.  La variación del volumen con respecto al tiempo debe ser igual a la rata de entrada menos la rata de salida, es decir, el volumen en todo instante esta regido por el problema de valor inicial:   </li></ul><ul><li>Sí las ratas de entrada y salida son constantes, la solución del problema es: </li></ul><ul><li>  En cuanto a la cantidad de soluto, la variación con respecto al tiempo viene dada por la rata de entrada de soluto: Ace menos la rala de salida: Bc(t}, es decir, la cantidad de soluto está regida por el problema de valor inicial:   </li></ul><ul><li>La ecuación diferencial para la cantidad de soluto es lineal y se resuelve con las técnicas  previamente estudiadas.  Particularmente, si se tiene un depósito con 400 gramos de salmuera que tiene una concentración de 0.1 Kilogramos de sal por litro al que entra agua pura a una rata constante de 12 Litros por minuto y la mezcla homogénea sale a una rata de 8 Litros por minuto, el volumen y la cantidad de sal en todo instante se calculan de la siguiente manera: a) Para el volumen: El volumen en todo instante viene dado por: b) Para la cantidad de sal, puesto que la cantidad inicial es , el problema de valor inicial asociado es:  </li></ul><ul><li>La solución del problema, esto es, la cantidad de sal en todo instante, vendrá dada por: </li></ul>
  7. 7. <ul><li>En cuanto a la concentración en lodo instante, se tiene: c(t) = 100000(t + 100)-3. Las figuras 6 y 7 muestran las graficas de la cantidad de sal y de la concentración en todo instante. El análisis del problema nos leva a decir que el tiempo necesario para que la concentración de la solución en el tanque baje a 0.01 Kilogramos de sal por Litro es de, aproximadamente, una hora y 55 minutos. </li></ul><ul><li>Figura 6                                                        figura 7 </li></ul><ul><li> Problema resuelto 2    Antes del mediodía se introduce una torta en un horno precalentado a 300 grados centígrados. A los doce meridianos la temperatura de la torta es de 200 grados y a la una de la tarde es de 250 grados. Sí la temperatura inicial de la torta es de 30 grados, determine la temperatura de la torta en lodo instante y calcule la hora aproximada en que se introdujo al homo. Solución:   Supongamos que el lapso de tiempo transcurrido entre el instante en que se introdujo la torta y  las  doce del  día  es: .  Del  enunciado  del  problema  se  sigue  que: . Ahora bien, la temperatura en todo instante viene dada por: </li></ul><ul><li>A partir de las dos condiciones dadas resulta el sistema de ecuaciones: </li></ul>
  8. 8. <ul><li>El sistema se puede escribir en la forma: </li></ul><ul><li>Dividiendo las ecuaciones, se tiene: Por tanto, la constante de tiempo del sistema es:  . En cuanto a: t1 se encuentra que: . Se concluye que la torta se introdujo al  horno aproximadamente a las once horas y 34 minutos. La figura 8 muestra la gráfica de la temperatura en todo instante. </li></ul><ul><li> T(t) </li></ul><ul><li>Figura 8 De la figura se concluye que la torta se puede sacar del homo al cabo de cinco horas a partir del instante en que se introdujo, es decir, a las tres y media de la tarde. Evidentemente se trata de una especie de torta poco común. </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Problema resuelto 3. Una partícula de masa constante: m es atraída al origen con una fuerza proporcional a la distancia. Determine la posición y la velocidad de la partícula en lodo instante si se suelta desde un punto que dista: a metros del origen. Solución:   La figura 9 muestra la situación planteada. </li></ul><ul><li> </li></ul><ul><li> Figura 9 </li></ul><ul><li>El problema de valor inicial asociado a la velocidad en todo instante es:  </li></ul><ul><li>La regla de la cadena permite escribir la ecuación diferencial en la forma: </li></ul><ul><li>La ecuación diferencial es de variables separables y su solución general viene dada por: </li></ul><ul><li>Puede verse que el coeficiente de x2 tiene unidades de frecuencia al cuadrado. Por tanto, hacemos: , con lo que la solución general se puede escribir en la </li></ul><ul><li>forma: .  Aplicando la condición inicial: , se obtiene que la velocidad de la partícula en todo instante es:   .   En cuanto a la posición de la partícula en todo instante, tenemos el problema de valor inicial: </li></ul><ul><li>   </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Integrando y evaluando la condición inicial se encuentra que la posición de la partícula en todo instante es: .  La granea de la posición es una señal cosenoidal de frecuencia: . Se trata de un movimiento armónico simple. En ausencia de rozamiento, la partícula describe un movimiento oscilatorio de amplitud: a alrededor del origen. </li></ul><ul><li>   </li></ul><ul><li>EJERCICIOS  3 </li></ul><ul><li>3.1 Resuelva las ecuaciones diferenciales dadas sujetas a la condición inicial que se </li></ul><ul><li>indica. </li></ul><ul><li>3.2 Resolver          </li></ul>

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