7. PRODUCTO VECTORIAL

5,618 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
5,618
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
28
Actions
Shares
0
Downloads
26
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

7. PRODUCTO VECTORIAL

  1. 1. Producto vectorial Definición Interpretación geométrica Producto mixto Jana Rodriguez Hertz – p. 1/2
  2. 2. Producto vectorial - definición Dados X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 ) c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
  3. 3. Producto vectorial - definición Dados X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 ) el producto vectorial X ∧ Y se define como: c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
  4. 4. Producto vectorial - definición Dados X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 ) el producto vectorial X ∧ Y se define como: x2 x3 x1 x3 x1 x2 X ∧Y = ,− , y2 y3 y1 y3 y1 y2 c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
  5. 5. Producto vectorial - definición Dados X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 ) el producto vectorial X ∧ Y se define como: x2 x3 x1 x3 x1 x2 X ∧Y = ,− , y2 y3 y1 y3 y1 y2 ◦ ◦ ◦ x1 x2 x3 y1 y2 y3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
  6. 6. PEDRO CALCULO Observación 1 Se puede recordar por la fórmula e1 e2 e3 X ∧ Y = x1 x2 x3 y1 y2 y3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2
  7. 7. Observación 2 Producto escalar: · : R3 × R3 → R (X, Y ) → X · Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  8. 8. Observación 2 Producto vectorial: ∧ : R3 × R3 → R3 (X, Y ) → X ∧ Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  9. 9. Ejemplo X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1) c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2
  10. 10. Ejemplo X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1) e1 e2 e3 X ∧Y = 1 2 3 = 3 2 1 c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2
  11. 11. Ejemplo X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1) e1 e2 e3 X ∧ Y = 1 2 3 = (2 − 6, 9 − 1, 2 − 6) 3 2 1 c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2
  12. 12. Ejemplo X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1) e1 e2 e3 X ∧ Y = 1 2 3 = (−4, 8, −4) 3 2 1 c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2
  13. 13. Propiedades c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2
  14. 14. Antisimetría Para todo par de vectores X, Y ∈ R3 se tiene: c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2
  15. 15. Antisimetría Para todo par de vectores X, Y ∈ R3 se tiene: X ∧ Y = −Y ∧ X c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2
  16. 16. Antisimetría Para todo par de vectores X, Y ∈ R3 se tiene: X ∧ Y = −Y ∧ X el producto vectorial es ANTISIM E TRICO ´ c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2
  17. 17. Multilinealidad Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R (αX) ∧ Z = α(X ∧ Z) c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
  18. 18. Multilinealidad Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R (αX) ∧ Z = α(X ∧ Z) (X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z) c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
  19. 19. Multilinealidad Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R (αX) ∧ Z = α(X ∧ Z) (X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z) X ∧ (αZ) = α(X ∧ Z) c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
  20. 20. Multilinealidad Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R (αX) ∧ Z = α(X ∧ Z) (X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z) X ∧ (αZ) = α(X ∧ Z) X ∧ (Y + Z) = (X ∧ Y ) + (X ∧ Z) c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
  21. 21. Multilinealidad Para todo X, Y, Z ∈ R3 , y para todo α, β ∈ R (αX) ∧ Z = α(X ∧ Z) (X + Y ) ∧ Z = (X ∧ Z) + (Y ∧ Z) X ∧ (αZ) = α(X ∧ Z) X ∧ (Y + Z) = (X ∧ Y ) + (X ∧ Z) el producto vectorial es MULTILINEAL c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
  22. 22. Interpretación geométrica (I) Para todo X, Y ∈ R3 : X ∧ Y ⊥X c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2
  23. 23. Interpretación geométrica (I) Para todo X, Y ∈ R3 : X ∧ Y ⊥X X ∧ Y ⊥Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2
  24. 24. Interpretación geométrica (I) Para todo X, Y ∈ R3 : X ∧ Y ⊥X X ∧ Y ⊥Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2
  25. 25. Vector normal a un plano Si la ecuación paramétrica de π es c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
  26. 26. Vector normal a un plano Si la ecuación paramétrica de π es π)X = P + λU + µV λ, µ ∈ R c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
  27. 27. Vector normal a un plano Si la ecuación paramétrica de π es π)X = P + λU + µV λ, µ ∈ R entonces N = U ∧ V es un vector normal al plano, c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
  28. 28. Vector normal a un plano Si la ecuación paramétrica de π es π)X = P + λU + µV λ, µ ∈ R entonces N = U ∧ V es un vector normal al plano, ∴ π)(X − P ) · N = 0 es una ecuación reducida del plano π c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
  29. 29. Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son:   x = 1 +λ −µ  y = −1 +2λ +µ   z = −2 +λ −2µ c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  30. 30. Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son:   x = 1 +λ −µ  y = −1 +2λ +µ   z = −2 +λ −2µ P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2) c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  31. 31. Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son:   x = 1 +λ −µ  y = −1 +2λ +µ   z = −2 +λ −2µ P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2) e1 e2 e3 U ∧V = 1 2 1 = −1 1 −2 c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  32. 32. Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son:   x = 1 +λ −µ  y = −1 +2λ +µ   z = −2 +λ −2µ P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2) U ∧ V = (−5, 1, 3) c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  33. 33. Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son:   x = 1 +λ −µ  y = −1 +2λ +µ   z = −2 +λ −2µ P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2) U ∧ V = (−5, 1, 3) ∴ π)(X − P )⊥(−5, 1, 3) = 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  34. 34. Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son:   x = 1 +λ −µ  y = −1 +2λ +µ   z = −2 +λ −2µ P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2) U ∧ V = (−5, 1, 3) ∴ π) − 5(x − 1) + (y + 1) + 3(z + 2) = 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  35. 35. Ejemplo 1 Si las ecuaciones paramétricas de π son:   x = 1 +λ −µ  y = −1 +2λ +µ   z = −2 +λ −2µ P = (1, −2, −2) U = (1, 2, 1) V = (−1, 1, −2) U ∧ V = (−5, 1, 3) ∴ π) − 5x + y + 3z + 12 = 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  36. 36. Intersección de 2 planos El vector director de la recta dada por: a1 x + b1 y + c1 z = d1 r) a2 x + b2 y + c2 z = d2 c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2
  37. 37. Intersección de 2 planos El vector director de la recta dada por: a1 x + b1 y + c1 z = d1 r) a2 x + b2 y + c2 z = d2 es: (a1 , b1 , c1 ) ∧ (a2 , b2 , c2 ) c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2
  38. 38. Interpretación gemoétrica (II) Dados X, Y ∈ R3 , tenemos |X ∧ Y | = |X||Y |sen∠(X, Y ) c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/2
  39. 39. Interpretación gemoétrica (II) Dados X, Y ∈ R3 , tenemos |X ∧ Y | = |X||Y |sen∠(X, Y ) la terna (X, Y, X ∧ Y ) es directa c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/2
  40. 40. Terna directa - definición Decimos que una terna de vectores (ordenados) X, Y, Z ∈ R3 es directa, c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
  41. 41. Terna directa - definición Decimos que una terna de vectores (ordenados) X, Y, Z ∈ R3 es directa, si el determinante x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
  42. 42. Terna directa - definición Decimos que una terna de vectores (ordenados) X, Y, Z ∈ R3 es directa, si el determinante x1 x2 x3 y1 y2 y3 ≥ 0 z1 z2 z3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
  43. 43. Producto mixto Dados X, Y, Z ∈ R3 , se define el producto mixto de X, Y, Z como: c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2
  44. 44. Producto mixto Dados X, Y, Z ∈ R3 , se define el producto mixto de X, Y, Z como: x1 x2 x3 [X, Y, Z] = y1 y2 y3 z1 z2 z3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2
  45. 45. Producto mixto Dados X, Y, Z ∈ R3 , se define el producto mixto de X, Y, Z como: x1 x2 x3 [X, Y, Z] = y1 y2 y3 = (X ∧ Y ) · Z z1 z2 z3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2
  46. 46. Observación En particular Una terna X, Y, Z ∈ R3 es directa ⇔ [X, Y, Z] ≥ 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2
  47. 47. Más aplicaciones c Jana Rodriguez Hertz – p. 17/2
  48. 48. Áreas Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen un paralelogramo P . c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  49. 49. Áreas Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen un paralelogramo P . c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  50. 50. Áreas Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen un paralelogramo P . que tiene un área bien definida. c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  51. 51. Áreas Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen un paralelogramo P . Para calcular ´rea(P ) = a c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  52. 52. Áreas Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen un paralelogramo P . Para calcular ´rea(P ) = |X||Y |senθ a c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  53. 53. Áreas Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen un paralelogramo P . Para calcular ´rea(P ) = |X ∧ Y | a c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  54. 54. Áreas Todo par de vectores X, Y ∈ R3 no nulos definen un paralelogramo P . |X ∧ Y | es el área del paralelogramo definido por X e Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  55. 55. Volúmenes Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  56. 56. Volúmenes Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  57. 57. Volúmenes Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  58. 58. Volúmenes Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V El área de la base del prisma es |X ∧ Y | c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  59. 59. Volúmenes Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V El área de la base del prisma es |X ∧ Y |La altura del prisma es |Z| cos ψ c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  60. 60. Volúmenes Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V El volumen es entonces V = c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  61. 61. Volúmenes Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V El volumen es entonces V = |X ∧ Y ||Z| cos ψ c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  62. 62. Volúmenes Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V El volumen es entonces V = ±(X ∧ Y ) · Z c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  63. 63. Volúmenes Sean X, Y, Z ∈ R3 no nulos. Entonces definen un prisma de volumen V El volumen es entonces V = ±[X, Y, Z] c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  64. 64. Distancia de un punto a una recta Dado un punto P ∈ R3 y una recta r)X = Q + λV c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
  65. 65. Distancia de un punto a una recta Dado un punto P ∈ R3 y una recta r)X = Q + λV se define la distancia de P a r como: c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
  66. 66. Distancia de un punto a una recta Dado un punto P ∈ R3 y una recta r)X = Q + λV se define la distancia de P a r como: d(P, r) = min{d(P, X) : X ∈ r} c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
  67. 67. Distancia de un punto a una recta Dado un punto P ∈ R3 y una recta r)X = Q + λV se define la distancia de P a r como: d(P, r) = min{|P − X| : X ∈ r} c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
  68. 68. Distancia de un punto a una recta Dado un punto P ∈ R3 y una recta r)X = Q + λV se define la distancia de P a r como: d(P, r) = min{|P − Q − λV | : λ ∈ R} c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
  69. 69. Distancia de un punto a una recta Dado un punto P ∈ R3 y una recta r)X = Q + λV se define la distancia de P a r como: d(P, r) = min{|P − Q − λV | : λ ∈ R} d(P, r) = |W |.senθ c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
  70. 70. Distancia de un punto a una recta Dado un punto P ∈ R3 y una recta r)X = Q + λV se define la distancia de P a r como: d(P, r) = min{|P − Q − λV | : λ ∈ R} |V ∧ W | d(P, r) = |V | c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2

×