5. PRODUCTO ESCALAR

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5. PRODUCTO ESCALAR

  1. 1. Producto escalar Longitudes, distancias y ángulos en R3
  2. 2. PEDRO ROMERO CALCULO VECTORIAL Producto escalar - definición Dados X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 ) CARLOS BAHOQUEZ EDGAR NOGUERA c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
  3. 3. Producto escalar - definición Dados X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 ) el producto escalar X · Y se define como: c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
  4. 4. Producto escalar - definición Dados X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 ) el producto escalar X · Y se define como: X · Y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2
  5. 5. Ejemplo X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1) X · Y = 1.3 + 2.2 + 3.1 = 10 c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2
  6. 6. Proposición Dados X, Y ∈ R3 , c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  7. 7. Proposición Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  8. 8. Proposición Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes propiedades: c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  9. 9. Proposición Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes propiedades: X ·X ≥0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  10. 10. Proposición Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes propiedades: X ·X ≥0 X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0) c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  11. 11. Proposición Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes propiedades: X ·X ≥0 X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0) MULTILINEALIDAD : c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  12. 12. Proposición Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes propiedades: X ·X ≥0 X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0) MULTILINEALIDAD : (X + Y ) · Z = X · Z + Y · Z c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  13. 13. Proposición Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes propiedades: X ·X ≥0 X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0) MULTILINEALIDAD : (X + Y ) · Z = X · Z + Y · Z (αX) · Y = α(X · Y ) c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  14. 14. Proposición Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes propiedades: X ·X ≥0 X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0) MULTILINEALIDAD : (X + Y ) · Z = X · Z + Y · Z (αX) · Y = α(X · Y ) ´ SIM E TRICA : X ·Y =Y ·X c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2
  15. 15. Módulo de un vector Dado X ∈ R3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2
  16. 16. Módulo de un vector Dado X ∈ R3 el módulo de X se define como: c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2
  17. 17. Módulo de un vector Dado X ∈ R3 el módulo de X se define como: √ |X| = X · X c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2
  18. 18. Ejemplos √ |(1, 2, 3)| = 14 c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2
  19. 19. Ejemplos √ |(1, 2, 3)| = 14 |(1, 0, 0)| = 1 c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2
  20. 20. Ejemplos √ |(1, 2, 3)| = 14 |(1, 0, 0)| = 1 |(−1, 0, 0)| = 1 c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2
  21. 21. Propiedades Dados X, Y ∈ R3 , se cumplen: c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2
  22. 22. Propiedades Dados X, Y ∈ R3 , se cumplen: |X + Y |2 = |X|2 + |Y |2 + 2X · Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2
  23. 23. Propiedades Dados X, Y ∈ R3 , se cumplen: |X + Y |2 = |X|2 + |Y |2 + 2X · Y (X + Y ) · (X − Y ) = |X|2 − |Y |2 c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2
  24. 24. Desigualdad de Cauchy-Schwartz Para todo par de vectores X e Y de R3 se cumple: c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
  25. 25. Desigualdad de Cauchy-Schwartz Para todo par de vectores X e Y de R3 se cumple: |X · Y | ≤ |X||Y | c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
  26. 26. Desigualdad de Cauchy-Schwartz Para todo par de vectores X e Y de R3 se cumple: |X · Y | ≤ |X||Y | Además |X · Y | = |X||Y | ⇔ X||Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
  27. 27. Desigualdad de Cauchy-Schwartz Para todo par de vectores X e Y de R3 se cumple: |X · Y | ≤ |X||Y | Además |X · Y | = |X||Y | ⇔ X||Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2
  28. 28. Consecuencia X ·Y −1 ≤ ≤1 |X||Y | c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2
  29. 29. Ángulo entre vectores no nulos Dados X, Y = (0, 0, 0) en R3 , c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
  30. 30. Ángulo entre vectores no nulos Dados X, Y = (0, 0, 0) en R3 , el ángulo entre X e Y se define como el único número θ ∈ (−π, π] que cumple: c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
  31. 31. Ángulo entre vectores no nulos Dados X, Y = (0, 0, 0) en R3 , el ángulo entre X e Y se define como el único número θ ∈ (−π, π] que cumple: X · Y = |X||Y | cos θ c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
  32. 32. Ángulo entre vectores no nulos Dados X, Y = (0, 0, 0) en R3 , el ángulo entre X e Y se define como el único número θ ∈ (−π, π] que cumple: X · Y = |X||Y | cos θ a veces anotamos: θ = ∠(X, Y ) c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2
  33. 33. Ejemplo √ Sea X = ( 3, 1, 0) c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  34. 34. Ejemplo √ Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores: e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1) c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  35. 35. Ejemplo √ Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores: e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1) tenemos que |ei | = 1 para i = 1, 2, 3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  36. 36. Ejemplo √ Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores: e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1) y también |X| = 2 c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  37. 37. Ejemplo √ Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores: e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1) por lo tanto: √ 3 ∠(X, e1 ) = arccos = π/6 2 c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  38. 38. Ejemplo √ Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores: e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1) por lo tanto: √ 3 ∠(X, e1 ) = arccos = π/6 2 ∠(X, e2 ) = arccos 1/2 = π/3 c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  39. 39. Ejemplo √ Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores: e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1) por lo tanto: √ 3 ∠(X, e1 ) = arccos = π/6 2 ∠(X, e2 ) = arccos 1/2 = π/3 ∠(X, e3 ) = arccos 0 = π/2 c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2
  40. 40. Ortogonalidad - definición Dos vectores X e Y de R3 que cumplan: c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2
  41. 41. Ortogonalidad - definición Dos vectores X e Y de R3 que cumplan: X ·Y =0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2
  42. 42. Ortogonalidad - definición Dos vectores X e Y de R3 que cumplan: X ·Y =0 se llaman ortogonales c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2
  43. 43. Ortogonalidad - definición Dos vectores X e Y de R3 que cumplan: X ·Y =0 se llaman ortogonales Observación: esto incluye que X o Y sea el vector nulo c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2
  44. 44. Ortogonalidad - definición Dos vectores X e Y de R3 que cumplan: X ·Y =0 se llaman ortogonales Observación: esto incluye que X o Y sea el vector nulo Si además se cumple que |X| = |Y | = 1, entonces X e Y se llaman ortonormales c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2
  45. 45. Teorema de Pitágoras Si X e Y son vectores ortogonales de R3 . c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/2
  46. 46. Teorema de Pitágoras Si X e Y son vectores ortogonales de R3 . Entonces |X + Y |2 = |X|2 + |Y |2 c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/2
  47. 47. Proposición Para todos los X, Y ∈ R3 , α ∈ R, el módulo |.| cumple: |X| ≥ 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
  48. 48. Proposición Para todos los X, Y ∈ R3 , α ∈ R, el módulo |.| cumple: |X| ≥ 0 |X| = 0 ⇔ X = (0, 0, 0) c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
  49. 49. Proposición Para todos los X, Y ∈ R3 , α ∈ R, el módulo |.| cumple: |X| ≥ 0 |X| = 0 ⇔ X = (0, 0, 0) HOMOGENEIDAD : |αX| = |α||X| c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
  50. 50. Proposición Para todos los X, Y ∈ R3 , α ∈ R, el módulo |.| cumple: |X| ≥ 0 |X| = 0 ⇔ X = (0, 0, 0) HOMOGENEIDAD : |αX| = |α||X| DESIGUALDAD : |X + Y | ≤ |X| + |Y | c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2
  51. 51. Distancia Dados X, Y ∈ R3 , c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2
  52. 52. Distancia Dados X, Y ∈ R3 , definimos distancia entre X e Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2
  53. 53. Distancia Dados X, Y ∈ R3 , definimos distancia entre X e Y como: d(X, Y ) = |X − Y | c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2
  54. 54. Propiedades de la distancia Para todo X, Y, Z ∈ R3 se cumple: d(X, Y ) ≥ 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2
  55. 55. Propiedades de la distancia Para todo X, Y, Z ∈ R3 se cumple: d(X, Y ) ≥ 0 d(X, Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2
  56. 56. Propiedades de la distancia Para todo X, Y, Z ∈ R3 se cumple: d(X, Y ) ≥ 0 d(X, Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y SIMETR´A I d(X, Y ) = d(Y, X) c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2
  57. 57. Propiedades de la distancia Para todo X, Y, Z ∈ R3 se cumple: d(X, Y ) ≥ 0 d(X, Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y SIMETR´A I d(X, Y ) = d(Y, X) DESIGUALDAD : d(X, Z) ≤ d(X, Y ) + d(Y, Z) c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2
  58. 58. Proyecciones c Jana Rodriguez Hertz – p. 17/2
  59. 59. Versor Llamamos vector unitario o versor c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  60. 60. Versor Llamamos vector unitario o versor a cualquier vector de módulo 1. c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  61. 61. Versor Llamamos vector unitario o versor a cualquier vector de módulo 1. Dado X = (0, 0, 0), llamamos versor asociado a X al vector c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  62. 62. Versor Llamamos vector unitario o versor a cualquier vector de módulo 1. Dado X = (0, 0, 0), llamamos versor asociado a X al vector X eX = |X| c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2
  63. 63. Proposición Todo conjunto de versores ortonormales es L.I. c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2
  64. 64. Proyección c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2
  65. 65. Proyección Dados X ∈ R3 , Y = (0, 0, 0), c Jana Rodriguez Hertz – p. 21/2
  66. 66. Proyección Dados X ∈ R3 , Y = (0, 0, 0), se llama proyección de X sobre la dirección de Y c Jana Rodriguez Hertz – p. 21/2
  67. 67. Proyección Dados X ∈ R3 , Y = (0, 0, 0), se llama proyección de X sobre la dirección de Y al vector (X · eY )eY c Jana Rodriguez Hertz – p. 21/2
  68. 68. Producto escalar & planos Observemos que la ecuación de cualquier plano que pasa por el origen es de la forma: c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2
  69. 69. Producto escalar & planos Observemos que la ecuación de cualquier plano que pasa por el origen es de la forma: πH )ax + by + cz = 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2
  70. 70. Producto escalar & planos Observemos que la ecuación de cualquier plano que pasa por el origen es de la forma: πH )(a, b, c)(x, y, z) = 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2
  71. 71. Producto escalar & planos Observemos que la ecuación de cualquier plano que pasa por el origen es de la forma: πH )(a, b, c)(x, y, z) = 0 o sea que (x, y, z) ∈ πH ⇐⇒ (x, y, z)⊥(a, b, c) c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2
  72. 72. Producto escalar & planos Observemos que la ecuación de cualquier plano que pasa por el origen es de la forma: πH )(a, b, c)(x, y, z) = 0 o sea que (x, y, z) ∈ πH ⇐⇒ (x, y, z)⊥(a, b, c) πH )x − z = 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2
  73. 73. Producto escalar & planos Sea ahora π un plano cualquiera π)ax + by + cz = d c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2
  74. 74. Producto escalar & planos Sea ahora π un plano cualquiera π)ax + by + cz = d Si P = (x0 , y0 , z0 ) ∈ π c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2
  75. 75. Producto escalar & planos Sea ahora π un plano cualquiera π)ax + by + cz = d P ∈π ⇒ ax0 + bx0 + cz0 = d c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2
  76. 76. Producto escalar & planos Sea ahora π un plano cualquiera π)ax + by + cz = d P ∈π ⇒ ax0 + bx0 + cz0 = d restando tenemos a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2
  77. 77. Producto escalar & planos Sea ahora π un plano cualquiera π)ax + by + cz = d P ∈π ⇒ ax0 + bx0 + cz0 = d restando tenemos a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 o sea que (a, b, c)⊥(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2
  78. 78. Producto escalar & planos Sea ahora π un plano cualquiera π)ax + by + cz = d P ∈π ⇒ ax0 + bx0 + cz0 = d restando tenemos a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 ∴ X ∈ π ⇔ (a, b, c)⊥X − P c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2

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