Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
ECUACIONES EN DERIVADAS
                   PARCIALES
                                     Enrique Zuazua
                 ...
12 La ecuaci´n de transporte lineal
            o                                                                         ...
23.8 Distribuciones y espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
    23.9 Ejercicios diversos. . ...
ecuaci´n del calor permite describir fen´menos altamente irreversibles en tiempo en los que
       o                      ...
Hasta ahora nos hemos referido s´lo a las ecuaciones del calor y de ondas en su expresi´n
                                ...
La ley (2.1), normalmente derivada en el ´mbito de la Mec´nica, establece una relaci´n
                                   ...
que es uno de los fen´menos que mejor distinguen a las ecuaciones no-lineales de las lineales.
                     o


3 ...
a = a(t) y b = b(t) son funciones anal´
                                      ıticas reales que admiten el desarrollo en s...
Calculando unos pocos t´rminos obtenemos
                           e

                             x 1 = b 0 − a0 x 0
   ...
ındices α ∈ Nn .
La suma en (4.1) se toma a lo largo de todos los multi-´
   Se puede comprobar que toda funci´n anal´
   ...
Dadas dos funciones anal´
                            ıticas f y g representadas en series de potencias en la forma

(4.6)...
en el marco de las EDP cuasilineales4 bajo la condici´n adicional de que la superficie sobre
                              ...
Por ultimo, no es dif´ comprobar a trav´s de la definici´n de derivada direccional que
         ´                ıcil      ...
Consideramos ahora el operador del calor:

(7.8)                                      ∂t − ∆x .

Trat´ndose de un operador...
problema de valores iniciales en el que s´lo se impone el valor de la soluci´n en la superficie
                           ...
• La ecuaci´n de ondas
              o
   Consideramos ahora el operador de ondas o de d’Alembert

                       ...
Esta f´rmula permite tambi´n observar la velocidad finita de propagaci´n en el proceso
          o                        e...
En este caso la soluci´n es global y viene dada por la expresi´n
                      o                                  ...
con datos de Cauchy sobre la circunferencia unidad

(8.7)                                        Γ = x2 + y 2 = 1 .

En es...
El ejemplo que acabamos de desarrollar demuestra que, lejos de tratarse de un hecho
raro, la ausencia de soluciones global...
La importancia del Teorema de Holmgren radica en que, para problemas de Cauchy en
los que el Teorema de C-K es aplicable, ...
Veamos los resultados que arroja la aplicaci´n de este Corolario en los tres modelos m´s
                                 ...
En este caso, como consecuencia del Teorema de Holmgren tenemos que

(9.11)                                       u = 0 en...
Hab´ ıamos asimismo comprobado (esto puede hacerse aplicando la desigualdad de Young
para la convoluci´n o el m´todo de la...
Sabemos que (9.19) admite una soluci´n de la forma
                                       o
                              ...
donde
                                             f (x) − f (y)
(9.27)                               a(t) =              ...
9.3      La soluci´n de Tychonoff
                  o

Acabamos de probar mediante el m´todo de dualidad que el problema de...
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

3,618 views

Published on

Published in: Travel
  • Be the first to comment

13. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

  1. 1. ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Enrique Zuazua enrique.zuazua@uam.es Contents 1 Introducci´n y motivaci´n o o 3 2 ¿Qu´ es una ecuaci´n en derivadas parciales? e o 5 3 El m´todo de Cauchy en EDO e 7 4 Funciones anal´ ıticas reales en varias variables 9 5 El m´todo e de Cauchy y las superficies no-caracter´ ısticas* 11 6 El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya* 11 7 Caracterizaci´n de superficies no-caracter´ o ısticas 11 8 ¿Soluciones locales o globales? 17 9 Unicidad de soluciones 20 9.1 El Teorema de Holmgren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9.2 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9.3 La soluci´n de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 27 10 La transformada de Fourier 29 10.1 Definici´n y propiedades fundamentales o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10.2 Aplicaci´n a la ecuaci´n de Laplace . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 10.3 Aplicaci´n a la ecuaci´n de transporte o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 10.4 Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 11 La f´rmula de variaci´n de las constantes. Ecuaciones no homog´neas o o e 38 1
  2. 2. 12 La ecuaci´n de transporte lineal o 42 13 La ecuaci´n del calor o 44 13.1 El problema de valores iniciales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 13.2 Propiedades elementales de la convoluci´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 n 13.3 El problema de valores iniciales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 13.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 14 La ecuaci´n de Burgers o 60 15 La ecuaci´n de Burgers viscosa o 65 16 Ecuaciones de convecci´n difusi´n: difusi´n evanescente o o o 66 17 La ecuaci´n de ondas o 70 17.1 La f´rmula de d’Alembert . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 17.2 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 17.3 Dimensi´n n = 3. El m´todo o e de las medias esf´ricas . . . e . . . . . . . . . . . 74 17.4 Dimensi´n n = 2. El m´todo o e del descenso de Hadamard . . . . . . . . . . . . 78 18 Comparaci´n de la ecuaci´n de ondas y del calor o o 78 19 Resoluci´n de sistemas lineales mediante el M´todo Directo del C´lculo o e a de Variaciones (MDCV) 80 20 Espacios de Hilbert 82 21 Introducci´n a los espacios de Sobolev o 87 22 El problema de Dirichlet en un dominio acotado 89 22.1 Principio del m´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 89 22.2 El lema de Lax-Milgram y sus variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 23 Ejercicios 94 23.1 Problemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 23.2 Problema de Cauchy y teorema de Cauchy-Kovalevskaya . . . . . . . . . . . 96 23.3 La ecuaci´n del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 105 23.4 La ecuaci´n de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 113 23.5 La ecuaci´n de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 115 23.6 Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 23.7 Simetr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıas . . . . . . . . . . . 118 2
  3. 3. 23.8 Distribuciones y espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 23.9 Ejercicios diversos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 1 Introducci´n y motivaci´n o o Estas notas constituyen una breve introducci´n a la teor´ de las Ecuaciones en Derivadas o ıa Parciales (EDP). La forma en la que las EDP se presentan habitualmente en la modelizaci´n de fen´menos o o de la Ciencia y Tecnolog´ es la de modelos de evoluci´n en los que se describe la din´mica a ıa o a lo largo del tiempo de determinada cantidad o variable (tambi´n a veces denominada estado) e que puede representar objetos y fen´menos de lo m´s diversos que van desde la posici´n de o a o un sat´lite en el espacio hasta la din´mica de un ´tomo, pasando por los ´ e a a ındices burs´tiles a o el grado en que una enfermedad afecta a la poblaci´n. En otras palabras, los modelos o din´micos o de evoluci´n son los m´s naturales en la medida que reproducen nuestra propia a o a concepci´n del mundo: un espacio tri-dimensional que evoluciona y cambia en el tiempo. o Cuando el estado o variable de un modelo o sistema de evoluci´n es finito-dimensional, o el modelo m´s natural es un sistema de EDO, cuya dimensi´n coincide precisamente con el a o del n´mero de par´metros necesarios para describir dicho estado. As´ por ejemplo, para u a ı, posicionar una part´ ıcula en el espacio necesitamos de tres variables dependientes del tiempo y para describir su din´mica un sistema de tres ecuaciones diferenciales en la que la variable a independediente es el tiempo. Pero en muchas ocasiones, como es el caso sistem´ticamente en a el contexto de la Mec´nica de Medios Continuos, la variable de estado es infinito-dimensional. a Esto ocurre por ejemplo cuando se pretende describir la deformaci´n de cuerpos el´sticos o o a la temperatura de un cuerpo s´lido en los que la deformaci´n o temperatura de cada uno o o de los puntos de ese medio continuo constituye una variable o inc´gnita del sistema. Los o modelos matem´ticos naturales en este caso son las EDP. a En la teor´ cl´sica de EDP ´stas se clasifican en tres grandes grupos: el´ ıa a e ıpticas, parab´licas o e hiperb´licas. o El modelo el´ ıptico por excelencia involucra el operador de Laplace N (1.1) ∆= ∂ 2 /∂x2 . i i=1 La variable tiempo est´ ausente en este modelo. Es por eso que s´lo permite describir estados a o estacionarios o de equilibrio. Las ecuaciones parab´licas y las hiperb´licas, representadas respectivamente por la ecuaci´n o o o del calor y la de ondas, son los modelos m´s cl´sicos y representativos en el contexto de a a las EDP de evoluci´n. Sus caracter´ o ısticas matem´ticas son bien distintas. Mientras que la a 3
  4. 4. ecuaci´n del calor permite describir fen´menos altamente irreversibles en tiempo en los que o o la informaci´n se propaga a velocidad infinita, la ecuaci´n de ondas es el prototipo de modelo o o de propagaci´n a velocidad finita y completamente reversible en tiempo. o El operador del calor es (1.2) ∂t − ∆, de modo que al actuar sobre una funci´n u = u(x, t) que depende de la variable espacio- o N tiempo (x, t) ∈ R × (0, ∞) tiene como resultado N ∂u ∂2u (1.3) [∂t − ∆] u = − . ∂t i=1 ∂x2 i Sin embargo, el operador de ondas o de D’Alembert es de la forma 2 (1.4) = ∂t − ∆ y da lugar a 2 ∂2u (1.5) u = ∂t − ∆ u = − ∆u. ∂t2 La irreversibilidad temporal de (1.3) es evidente. Si hacemos el cambio de variable t → t = −t, el operador (1.3) cambia y da lugar al operador del calor retr´grado ∂e + ∆ o t mientras que el operador de ondas permanece invariante. El operador del calor y de ondas se distinguen tambi´n por sus ´mbitos de aplicaci´n. e a o Mientras que el primero es habitual en la din´mica de fluidos (a trav´s de una versi´n a e o m´s sofisticada, el operador de Stokes) o en fen´menos de difusi´n (del calor, de contami- a o o nantes,. . . ), el operador de ondas y sus variantes intervienen de forma sistem´tica en elasti- a cidad (frecuentemente a trav´s de sistemas m´s sofisticados, como el de Lam´, por ejemplo) e a e o en la propagaci´n de ondas ac´sticas o electromagn´ticas (ecuaciones de Maxwell). o u e La Mec´nica de Medios Continuos est´ repleta tambi´n de otras ecuaciones, operadores a a e y modelos, pero en todos ellos, de una u otra manera, encontraremos siempre el operador del calor, de ondas o una variante muy pr´xima de los mismos. o Frecuentemente los modelos m´s realistas son m´s sofisticados que una “simple” ecuaci´n a a o aislada. Se trata a menudo de sistemas acoplados de EDP en los que es habitual encontrar tanto componentes parab´licas como hiperb´licas. Es el caso por ejemplo de las ecuaciones o o de la termoelasticidad. En estos casos, si bien un buen conocimiento de los aspectos m´s a relevantes de la ecuaci´n del calor y de ondas aisladamente puede no ser suficiente a causa o de las interacciones de los diferentes componentes, s´ que resulta indispensable para entender ı el comportamiento global del sistema. Por todo ello es natural e importante entender todos los aspectos matem´ticos funda- a mentales de estas dos piezas clave: la ecuaci´n del calor y la de ondas. Evidentemente esto o es tambi´n cierto desde el punto de vista del An´lisis y del C´lculo Num´rico. e a a e 4
  5. 5. Hasta ahora nos hemos referido s´lo a las ecuaciones del calor y de ondas en su expresi´n o o m´s sencilla: con coeficientes constantes. Estas ecuaciones, cuando modelizan fen´menos en a o medios heterog´neos (compuestos por materiales de diversa naturaleza) adoptan formas m´s e a complejas y se presentan con coeficientes variables, dependientes de la variable espacial x, de la variable temporal t o de ambas. En esta introducci´n no hemos mencionado para nada otras palabras clave en la mode- o lizaci´n de fen´menos complejos como son los t´rminos “no-lineal” y “no-determinista” que o o e quedan fuera de los objetivos de este curso pero, nuevamente, se puede asegurar que los elementos que aqu´ expondremos ser´n sin duda de gran utilidad, si no indispensables, a la ı a hora de adentrarse en otros modelos m´s complejos que involucren t´rminos no-lineales y a e estoc´sticos. a En estas notas desarrollaremos parte de lo que es una teor´ general y cl´sica de EDP ıa a que involucra el teorema de Cauchy-Kovalevskaya, la tranformada de Fourier, los espacios de Sobolev, y muchos otros conceptos y t´cnicas importantes del An´lisis Matem´tico. Pero e a a el curso tambi´n estar´ dedicado a estudiar con cierto detalle los modelos m´s importantes e a a como son la ecuaci´n de Laplace, del calor y de ondas. Si bien la mayor parte del curso o estar´ dedicada a problemas lineales, analizaremos tambi´n la ecuaci´n de Burgers y su a e o aproximaci´n viscosa, como ejemplos m´s simples y significativos de modelos no-lineales en o a los que las soluciones desarrollan singularidades en tiempo finito. La teor´ de EDP es evidentemente una generalizaci´n y extensi´n de la teor´ de EDO. ıa o o ıa A lo largo de las notas intentaremos establecer paralelismos entre una y otra. Pero la teor´ ıa que desarrollaremos es mucho m´s sofisticada que la cl´sica de EDO. En la teor´ de EDP a a ıa necesitamos desarrollar conceptos como el de superficie caracter´ ıstica, distinguir las clases de soluciones, analizar cuidadosamente la dependencia (regularidad) de las soluciones con respecto a la variable espacial, necesidades que no se presentan en el marco de la teor´ de ıa EDO. 2 ¿Qu´ es una ecuaci´n en derivadas parciales? e o Una Ecuaci´n en Derivadas Parciales (EDP) es una relaci´n de la forma o o (2.1) F (x, t, u, ∂x1 u, . . . ∂xn u, ∂t u, . . . , Dα u) = 0. En ella u = u(x, t), una funci´n de la variable espacial x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn y de la o variable temporal t, es la inc´gnita. o La inc´gnita u representa una cantidad f´ o ısica, como por ejemplo, temperatura, concen- traci´n de un contaminante, intensidad de una se˜al ac´stica, deformaci´n de una estructura, o n u o etc. 5
  6. 6. La ley (2.1), normalmente derivada en el ´mbito de la Mec´nica, establece una relaci´n a a o entre la inc´gnita u, sus derivadas parciales hasta un cierto orden y el punto (x, t) espacio- o 1 temporal. En (2.1) utilizamos la notaci´n habitual para las derivadas parciales de modo que ∂xj u o denota la derivada parcial de u con respecto a la variable espacial xj , ∂u/∂xj , mientras que ∂t u lo es respecto a la variable temporal. A veces, cuando no haya riesgo de confusi´n, o utilizaremos tambi´n la notaci´n ∂j u. e o En (2.1) hemos utilizado tambi´n la notaci´n de Schwartz seg´n la cual α = (α0 , α1 , . . . , αn ) e o u n+1 α es un multi´ ındice perteneciente a R de modo que D u denota una derivada parcial iterada de u de orden | α |= α0 +α1 +. . . +αn en la que derivamos α0 veces con respecto a la variable t y αj veces en cada una de las variables xj . De este modo, el orden de la EDP (2.1) es el de la derivada de mayor orden involucrada, i.e. el m´ximo de los m´dulos | α | de los ´ a o ındices α que intervienen en (2.1). Cuando la inc´gnita u de (2.1) no es una funci´n escalar sino un o o vector   u1  .  u= .  . uN (2.1) puede tambi´n representar un sistema de ecuaciones. En ese caso F es tambi´n una e e funci´n vectorial. Si F tiene M componentes (2.1) es pues un sistema de M ecuaciones con o N inc´gnitas. o La ecuaci´n (2.1) puede ser lineal o no-lineal dependiendo de que F lo sea o no en o relaci´n a la inc´gnita u y sus derivadas α u. En el marco de las ecuaciones no-lineales o o se distingue tambi´n a veces entre las ecuaciones semilineales, cuasilineales y fuertemente e no lineales, dependiendo de si la no-linealidad de la funci´n F afecta a la inc´gnita u, a o o algunas de sus derivadas, o a las derivadas de mayor orden que intervienen en (2.1). En este curso no entraremos en un an´lisis exhaustivo de las ecuaciones no-lineales. Si que a conviene sin embargo subrayar que las EDP no-lineales, lejos de ser problemas puramente acad´micos, intervienen de manera decisiva en muchos e importantes ´mbitos de las Ciencias e a y la Tecnolog´ Tal y como mencion´bamos anteriormente, en estas notas analizaremos la ıa. a ecuaci´n de Burgers, como ejemplo paradigm´tico de ecuaci´n no-lineal sencilla pero a la o a o vez importante en el que se observan con facilidad la formaci´n de singularidades y choques, o 1 Desde un punto de vista estrictamente matem´tico no hay ninguna raz´n para distinguir la variable a o temporal t de las n variables espaciales x1 , ..., xn . Si fuese s´ ımplemente una variable m´s, indistinguible a de las otras, podr´ ıamos simplemente denotarla como x0 o xn+1 y considerar u como una funci´n de n + 1 o variables x1 , ..., xn , xn+1 . Sin embargo, de acuerdo a nuestra concepci´n del universo, conviene normalmente o distinguir la variable temporal de las dem´s. De hecho, frecuentemente, consideraremos a la funci´n u(x, t), a o como una funci´n del tiempo t a valores en un espacio de funciones u(·, t) que, en el trancurso del mismo, o va tomando diferentes valores siendo cada uno de ellos una funci´n de la variable espacial x. o 6
  7. 7. que es uno de los fen´menos que mejor distinguen a las ecuaciones no-lineales de las lineales. o 3 El m´todo de Cauchy en EDO e En esta secci´n introducimos el m´todo de Cauchy para la resoluci´n de Ecuaciones Dife- o e o renciales Ordinarias (EDO) para despu´s abordar el caso de la EDP, lo cual nos conducir´ e a al Teorema de Cauchy-Kovalevskaya. Cauchy fue uno de los primeros en abandonar, al menos parcialmente, la idea de resolver las EDO expl´ ıcitamente y en proporcionar un m´todo sistem´tico para resolver “todas” las e a EDO. Como veremos, el m´todo de Cauchy permite en efecto probar que una EDO con e coeficientes an´liticos y datos iniciales admite una unica soluci´n anal´ a ´ o ıtica local en tiempo. La idea de Cauchy es sumamente natural y a la vez eficaz. Para ilustrarla consideramos el caso sencillo de la EDO: · x(t) + a(t)x(t) = b(t), t > 0 (3.1) x(0) = x0 . Por supuesto, la soluci´n de (3.1) puede calcularse de manera expl´ o ıcita. En el caso homog´neo e en que b ≡ 0 tenemos t (3.2) x(t) = x0 e−A(t) , A(t) = a(s)ds. 0 Cuando b ≡ 0 la soluci´n puede calcularse f´cilmente mediante el m´todo de variaci´n o a e o 2 de las constantes. Obtenemos as´ı t t Rt −A(t) −A(t) −A(t) (3.3) x(t) = x0 e +e A(s) e b(s)ds = x0 e + e− s a(σ)dσ b(s)ds. 0 0 A pesar de que la soluci´n (3.3) de (3.1) sea expl´ o ıcita es interesante analizar (3.1) con el m´todo de Cauchy para ilustrar con claridad la idea fundamental del mismo. e Cauchy busc´ soluciones x(t) anal´ o ıticas reales, i.e. que admitiesen un desarrollo en serie de potencias convergente en un entorno de t = 0: ∞ (3.4) x(t) = xk tk , k=0 lo cual equivale a buscar los coeficientes {xk }k 0 de su desarrollo en serie de potencias. Cauchy observ´ que estos coeficientes {xk }k 0 pueden determinarse de manera unica a o ´ partir de los coeficientes y segundo miembro de la ecuaci´n. Supongamos por tanto que o 2 En este caso basta con observar que y(t) = eA(t) x(t) es soluci´n de y (t) = eA(t) b(t) con dato inicial o t A(s) t A(s) y(0) = x0 , i. e. y(t) = y0 + 0 e b(s)ds = x0 + 0 e b(s)ds. 7
  8. 8. a = a(t) y b = b(t) son funciones anal´ ıticas reales que admiten el desarrollo en serie de potencias: ∞ (3.5) a(t) = ak tk k=0 ∞ (3.6) b(t) = bk tk . k=0 Insertando la expresi´n (3.4) del desarrollo en serie de potencias de la inc´gnita x y o o usando los desarrollos de los datos (3.5) y (3.6) obtenemos la identidad: ∞ ∞ ∞ ∞ (3.7) kxk tk−1 + ak tk xk tk = bk tk . k=1 k=0 k=0 k=0 Para obtener (3.7) hemos utilizado el hecho conocido de que x (t) admite tambi´n un desa- e 3 rrollo en serie de potencias de la forma ∞ (3.8) x (t) = kxk tk−1 . k=1 El siguiente paso consiste en desarrollar el producto de las dos series de potencias en (3.7): ∞ ∞ ∞ k (3.9) ak tk xk tk = aj xk−j tk . k=0 k=0 k=0 j=0 Como el producto de funciones anal´ ıticas es tambi´n anal´ e ıtico vemos que la serie producto es tambi´n convergente por lo que lo hecho hasta ahora es plenamente riguroso. e En virtud de (3.7) y (3.9), y utilizando el hecho de que para que dos series de potencias coincidan han de hacerlo uno a uno todos sus coeficientes, obtenemos que: k (3.10) (k + 1)xk+1 + aj xk−j = bk , k 0. j=0 La identidad (3.10) proporciona una f´rmula de recurrencia que permite calcular el (k + 1)- o ´simo coeficiente del desarrollo de x a partir de los k primeros y de los coeficientes de a e y b. Sin embargo, para poder identificar plenamente la inc´gnita x precisamos su primer o coeficiente x0 . Este viene determinado por el dato inicial x0 de la EDO (3.1). 3 Es una hecho bien conocido que una serie de potencias es de clase C ∞ en el interior de su intervalo de convergencia y que la derivada de la serie coincide con la serie de las derivadas. 8
  9. 9. Calculando unos pocos t´rminos obtenemos e x 1 = b 0 − a0 x 0 1 x2 = [b1 − a0 x1 − a1 x0 ] 2 1 x3 = [b2 − a0 x2 − a1 x1 − a2 x0 ] 3 .... La argumentaci´n anterior permite ver que el m´todo de Cauchy proporciona todos los o e coeficientes del desarrollo en serie de potencias de la inc´gnita soluci´n x que queda perfec- o o tamente identificada. Pero Cauchy lleg´ m´s lejos y prob´ que el desarrollo en serie de potencias as´ obtenido o a o ı converge. De esta manera demostr´ que la soluci´n del problema de valores iniciales para o o una EDO con coeficientes anal´ticos existe, es anal´ ı ıtica y es unica. ´ Conviene resaltar que el m´todo de Cauchy es constructivo de modo que puede f´cilmente e a implementarse en el ordenador para obtener aproximaciones num´ricas. Adem´s, tal y como e a veremos en la secci´n dedicada al Teorema de Cauchy-Kovalevskaya, se pueden obtener o estimaciones muy expl´ ıcitas sobre el radio de convergencia de la soluci´n. o Aqu´ hemos presentado el m´todo de Cauchy en un caso muy sencillo (3.1) que puede ı e tambi´n extenderse a sistemas de EDO no-lineales. La extensi´n a las EDP necesit´ de e o o la contribuci´n fundamental de Sonia Kovalevskaya que introdujo el concepto de superficie o caracter´ıstica y que describiremos en las secciones 5 y ??. 4 Funciones anal´ ıticas reales en varias variables En esta secci´n recordamos muy brevemente las propiedades m´s importantes de las fun- o a ciones anal´ ıticas reales. Para ello seguiremos el contenido de la secci´n 4.6.2 del libro de o Evans [3]. El libro de John [5] desarrolla este material con algo m´s de detalle. a Esencialmente, las funciones anal´ ıticas reales en varias variables son aqu´llas que, lo e mismo que en una sola variable, admiten un desarrollo en series de potencias. Estas funciones se identifican a trav´s de sus coeficientes, lo cual es sumamente util a la hora de aplicar e ´ el m´todo de Cauchy descrito en la secci´n anterior. Las funciones en cuesti´n son, por e o o supuesto, infinitamente derivables (i.e. son de clase C ∞ ) y admiten una relaci´n de orden o o de comparaci´n que ser´ sumamente util a la hora de probar la convergencia de las series o a ´ obtenidas al aplicar el m´todo de Cauchy en el contexto de las EDP. e Una funci´n f : Rn → R se dice anal´ o ıtica real en un entorno de x0 ∈ Rn si existe r > 0 tal que (4.1) f (x) = fα (x − x0 )α , | x − x0 |≤ r. α 9
  10. 10. ındices α ∈ Nn . La suma en (4.1) se toma a lo largo de todos los multi-´ Se puede comprobar que toda funci´n anal´ o ıtica real es de clase C ∞ . Adem´s las constantes a fα del desarrollo de serie de potencias (4.1) pueden calcularse expl´ ıcitamente evaluando las sucesivas derivadas de f en x = x0 , i.e. (4.2) fα = Dα f (x0 ) α!. Por tanto, las funciones anal´ ıticas reales coinciden con su desarrollo de Taylor: 1 α (4.3) f (x) = D f (x0 )(x − x0 )α , | x − x0 |< r. α α! Sin p´rdida de generalidad y con el objeto de simplificar la notaci´n en lo sucesivo e o suponemos que x0 = 0. El siguiente ejemplo de funci´n anal´ o ıtica juega un papel muy importante en la prueba del Teorema de Cauchy-Kovalevskaya: r (4.4) f (x) = . r − (x1 + · · · + xn ) √ o ıtica en la esfera | x |< r Se trata efectivamente de una funci´n anal´ n. Su desarrollo en serie de potencias es f´cil de calcular a trav´s de lo que ya conocemos a e de la teor´ de funciones de una sola variable: ıa ∞ k 1 x1 + · · · + xn (4.5) f (x) = x1 +···+xn = 1− r k=0 r ∞ 1 |α| α | α |! α = x = x . k=0 rk α α r|α| α! |α|=k Es f´cil comprobar que esta serie de potencias es absolutamente convergente para | x |< a √ r n. En efecto, ∞ k | α |! | x1 | + · · · + | xn | | x |α = <∞ α r|α| α! k=0 r puesto que √ | x1 | + · · · + | xn | n|x| < 1, r r √ para todo x tal que |x| < r/ n. Establezcamos ahora una relaci´n de orden en la clase de funciones anal´ o ıticas que jugar´ a un papel muy importante en la demostraci´n del Teorema de Cauchy-Kovalevskaya. o 10
  11. 11. Dadas dos funciones anal´ ıticas f y g representadas en series de potencias en la forma (4.6) f (x) = fα xα , g(x) = gα xα , α α diremos que g mayora a f y lo representaremos escribiendo (4.7) g f, si (4.8) gα | fα |, ∀α ∈ Nn . La relaci´n de mayoraci´n establece una cierta jerarqu´ en la clase de funciones anal´ o o ıa ıticas. As´ por ejemplo, si g ı, f y g converge para | x |< r, por el criterio M de la mayorante de Weirstrass, tambi´n el desarrollo de Taylor de f converge. Dicho en otras palabras, las e funciones mayoradas por una funci´n g dada heredan de esta ultima la esfera donde el desar- o ´ rollo en serie de potencias converge. Esta propiedad es sumamente util a la hora de probar ´ la convergencia de series de potencias por comparaci´n.o Verifiquemos que lo que acabamos de decir es cierto. Como g f tenemos que fα | x |α gα | x |α . α α Ahora bien, como la segunda serie converge, la primera lo hace tambi´n y por tanto la e serie fα xα α converge absolutamente en la bola | x |< r. Se puede tambi´n probar la propiedad rec´ e ıproca en el sentido que si f = α fα xα con- verge en | x |< r entonces admite una mayorante expl´ ıcita en cada subesfera | x |< r < r. 5 El m´todo e de Cauchy y las superficies no-caracter´ ısticas* 6 El Teorema de Cauchy-Kovalevskaya* 7 Caracterizaci´n de superficies no-caracter´ o ısticas Tal y como hemos visto en las secciones anteriores, el Teorema de Cauchy-Kovalevskaya asegura que el cl´sico Teorema de Cauchy de la teor´ de EDO (que garantiza que toda a ıa EDO con coeficientes anal´ ıticos tiene una unica soluci´n local anal´ ´ o ıtica) es cierto tambi´n e 11
  12. 12. en el marco de las EDP cuasilineales4 bajo la condici´n adicional de que la superficie sobre o la que se dan los datos de Cauchy sea anal´ıtica y no caracter´ ıstica. Conviene pues tener una caracterizaci´n sencilla que permita verificar cu´ndo una hiper- o a superficie es caracter´ ıstica o no. Esto es particularmente f´cil de hacer en el marco de las a EDP lineales con coeficientes constantes. Consideremos pues operadores diferenciales de la forma (7.1) P (D) = aα D α |α| k donde aα ∈ R, para cada | α | k. Se trata en efecto de un operador diferencial lineal de orden k con coeficientes constantes. La parte principal de este operador viene dada por los t´rminos de orden superior, k en e este caso: (7.2) Pp (D) = aα D α , |α|=k al que podemos asociar su polinomio caracter´ ıstico (7.3) Pp (ξ) = aα ξ α . |α|=k Dado un hiperplano H de dimensi´n n − 1 en el espacio eucl´ o ıdeo Rn ´ste es caracter´ e ıstico si y s´lo si su vector normal ν = (ν1 , · · · , νn ) es un cero de este polinomio, es decir, si o α (7.4) Pp (ν) = aα ν α = α aα ν1 1 · · · νn n = 0. |α|=k |α|=k De esta caracterizaci´n se deduce f´cilmente que el hecho que un hiperplano sea caracter´ o a ıstico n es algo muy excepcional, dado que el conjunto de ceros de un polinomio en R es un conjunto muy peque˜o (de medida nula, en particular). n Por otra parte, de la construcci´n desarrollada en el Teorema de Cauchy-Kovalevskaya o (C-K) es f´cil convencerse de que s´lo la parte principal del operador puede afectar a la a o condici´n de que el hiperplano sea caracter´ o ıstico. En efecto, tal y como ve´ıamos, la unica ´ dificultad que surge en la identificaci´n de todos los coeficientes del desarrollo en serie de o potencias de la soluci´n ocurre a la hora de calcular los coeficientes correspondientes a la o derivada normal (en la direcci´n normal a la superficie donde se dan los datos de Cauchy) o de orden mayor o igual al orden del operador involucrado en la EDP. 4 Las ecuaciones cuasilineales son una clase particular de las ecuaciones no-lineales en las que la no- linealidad s´lo afecta a las derivadas de ordena, lo sumo, k − 1 de la inc´gnita, siendo k el orden de la o o ecuaci´n. o 12
  13. 13. Por ultimo, no es dif´ comprobar a trav´s de la definici´n de derivada direccional que ´ ıcil e o el caso patol´gico en que la identificaci´n no puede realizarse, es decir, en que el hiperplano o o es caracter´ ıstico, es cuando el vector normal ν es un cero del polinomio Pp (·). Veamos ahora c´mo se puede usar esta caracterizaci´n en los ejemplos m´s cl´sicos de la o o a a ecuaci´n de Laplace, del calor y de ondas. o • La ecuaci´n de Laplace o El operador de Laplace viene dado por n ∂2· (7.5) ∆= . i=1 ∂x2 i Se trata pues de un operador de orden 2 puro en el que su parte principal es el propio operador ∆. El polinomio caracter´ ıstico del operador de Laplace es por tanto: (7.6) P∆ (ξ) = ξ1 + · · · + ξn =| ξ |2 2 2 y por consiguiente P∆ no admite ning´n cero no trivial. Esto significa que ning´n vector u u puede ser normal a un hiperplano caracter´ ıstico y en definitiva que ninguna hipersuperficie es caracter´ıstica. Por lo tanto, sea cual sea la hipersuperficie anal´ ıtica considerada, el problema de Cauchy est´ bien puesto localmente en el marco de las soluciones anal´ a ıticas, en el sentido del Teorema de Cauchy-Kovalevskaya. En particular, se deduce el siguiente resultado: Sea S una hipersuperficie anal´tica de Rn de dimensi´n n−1. Sea f una funci´n anal´tica ı o o ı definida en un entorno de S. Sean ϕ0 y ϕ1 funciones anal´ ıticas definidas sobre la superficie S. Entonces, para todo x0 ∈ S, existe un entorno Nx0 de x0 en Rn en el que el problema de Cauchy admite una unica soluci´n anal´ ´ o ıtica:   ∆u = f  en Nx0  u = ϕ0 en S ∩ Nx0  (7.7)  ∂u  = ϕ1 en S ∩ Nx0 .   ∂ν Conviene subrayar que la unica diferencia de este enunciado con el que es v´lido gracias al ´ a Teorema de Cauchy-Kovalevskaya es que, en este caso, no hace falta que impongamos a S la hip´tesis de ser no caracter´ o ıstico. • La ecuaci´n del calor: o 13
  14. 14. Consideramos ahora el operador del calor: (7.8) ∂t − ∆x . Trat´ndose de un operador de orden dos su parte principal es −∆x y el s´ a ımbolo correspon- 2 diente Pp (ξ, τ ) = − | ξ | . Conviene observar que, en este caso, Pp es un polinomio en las variables (ξ, τ ) ∈ Rn × R puesto que consideramos un operador diferencial en las variables (x, t) ∈ Rn × R. Los vectores normales a los hiperplanos caracter´ ısticos son por tanto de la forma ν = (0, τ ). Es decir se trata de vectores perpendiculares al eje temporal. Los hiperplanos carac- ter´ ısticos son entonces de la forma: (7.9) {t = cte.} . Es por ´sto que el problema de valores iniciales para la ecuaci´n del calor e o   ut − ∆x u = 0,  x ∈ Rn , t ∈ R (7.10) u(x, 0) = ϕ0 (x), x ∈ Rn  ut (x, 0) = ϕ1 (x), x ∈ Rn  es un problema caracter´ıstico al que no se puede aplicar el Teorema de C-K. De hecho est´ claro que en este problema los datos de Cauchy est´n sobredeterminados a a puesto que, si (7.11) u(x, 0) = ϕ0 (x), tambi´n se cumple necesariamente que e (7.12) ∆x u(x, 0) = ∆x ϕ0 (x). De la ecuaci´n del calor se deduce entonces que o (7.13) ut (x, 0) = ∆x ϕ0 (x), lo cual muestra que, para que pueda existir una soluci´n del problema de Cauchy, es necesario o que se cumpla la condici´n de compatibilidad o (7.14) ϕ1 (x) = ∆x ϕ0 (x). Vemos pues que el problema de Cauchy no siempre tiene soluci´n.o Conviene sin embargo observar que, si bien la ecuaci´n del calor es de orden dos, es o s´lo de primer orden en la variable temporal. Por tanto, (7.10) cabe tambi´n interpretarse o e como una ecuaci´n de evoluci´n de orden uno. Si as´ fuese, ser´ razonable considerar el o o ı ıa 14
  15. 15. problema de valores iniciales en el que s´lo se impone el valor de la soluci´n en la superficie o o caracter´ ıstica t = 0 pero no el de la derivada temporal: ut − ∆x u = 0, x ∈ RN , t ∈ R (7.15) u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ RN . Este problema de valores iniciales si que est´ bien puesto pero s´lo en el sentido positivo a o del tiempo, i.e. para t > 0. La soluci´n de (7.15) viene dada a trav´s de la convoluci´n con o e o la soluci´n fundamental Gaussiana: o (7.16) G(x, t) = (4πt)−N/2 exp(− | x |2 /4t). En efecto la soluci´n de (7.15) es o (7.17) u(x, t) = [G(x, t) ∗ ϕ](x), donde ∗ denota la convoluci´n en la variable espacial exclusivamente, es decir, o | x − y |2 (7.18) u(x, t) = (4πt)−N/2 exp − ϕ(y)dy. Rn 4t Este problema ser´ desarrollada con m´s detalle en la secci´n 13. a a o 15
  16. 16. • La ecuaci´n de ondas o Consideramos ahora el operador de ondas o de d’Alembert 2 (7.19) = ∂t − ∆x . Se trata de un operador de orden dos donde la parte principal es, como en la ecuaci´n de o Laplace, el propio operador. En este caso el polinomio caracter´ ıstico es de la forma (7.20) P (ξ, τ ) = τ 2 − | ξ |2 . ısticos son de la forma (ξ, ± | ξ |) Por tanto los vectores normales a los hiperplanos caracter´ y los hiperplanos caracter´ ısticos son planos inclinados de pendiente unidad. Se trata pues de planos tangentes al cono de luz (7.21) | x |= t o a sus traslaciones (7.22) | x − x0 |= t − t0 . En el caso de una sola variable espacial la ecuaci´n de ondas se reduce a o (7.23) utt − uxx = 0, y el problema de valores iniciales correspondiente es por tanto   utt − uxx = 0,  x ∈ R, t ∈ R (7.24) u(x, 0) = f (x), x ∈ R  ut (x, 0) = g(x), x ∈ R.  Se trata obviamente de un problema no caracter´ ıstico en el que los datos de Cauchy est´n a dados sobre la recta no caracter´ ıstica t = 0. La f´rmula de d’Alembert proporciona en este caso la expresi´n expl´ o o ıcita de la soluci´n: o x+t 1 1 (7.25) u(x, t) = [f (x + t) + f (x − t)] + g(s)ds. 2 2 x−t De esta expresi´n se deduce que la soluci´n est´ globalmente definida. Cuando los datos f o o a y g son funciones anal´ıticas, la soluci´n tambi´n lo es. Pero la f´rmula (7.25) tiene tambi´n o e o e la virtud de proporcionar una expresi´n de la soluci´n para datos iniciales f y g mucho o o menos regulares. Por ejemplo, cuando f es continua y g es integrable, (7.25) representa una funci´n continua. Pero la f´rmula (7.25) tiene incluso sentido para funciones f y g o o localmente integrables (en el sentido de Lebesgue) y por tanto permite tambi´n representar e las soluciones d´biles de la ecuaci´n. e o 16
  17. 17. Esta f´rmula permite tambi´n observar la velocidad finita de propagaci´n en el proceso o e o descrito por la ecuaci´n de ondas (= 1 en este caso). En particular, el valor de la soluci´n u o o en el punto (x, t) depende del de los datos iniciales en el intervalo [x − t, x + t] denominado dominio de dependencia, mientras que el valor de los datos iniciales en el punto x0 s´lo afecta o al valor de la soluci´n en el interior del cono |x − x0 | ≤ t, tambi´n conocido como regi´n de o e o influencia. En el caso de varias variables espaciales se pueden tambi´n obtener f´rmulas de repre- e o sentaci´n expl´ o ıcita de las soluciones aunque en estos casos son algo m´s complejas. Conviene a se˜alar que: n • En tres dimensiones espaciales, el m´todo de las medias esf´ricas permite reducir el e e c´lculo de la soluci´n general al caso particular de las soluciones radiales para las que a o u = u(r, t), con r = |x|. En este caso la ecuaci´n de ondas se escribe o 2 utt − urr − ur = 0. r El cambio de variables v = ru reduce ´sta a la ecuaci´n de ondas pura en una dimensi´n: e o o vtt − vrr = 0. Esto permite obtener una expresi´n expl´ o ıcita de la soluci´n radial de la o que despu´s se obtiene la soluci´n general. e o • Una vez de haber obtenido la soluci´n de la ecuaci´n de ondas en tres dimensiones, la o o soluci´n en dos dimensiones se puede obtener por el m´todo del descenso. Basta para o e ello considerar la soluci´n u = u(x, y, t) como una soluci´n de la ecuaci´n de ondas en o o o tres dimensiones independiente de la variable z. 8 ¿Soluciones locales o globales? Tal y como hemos subrayado en secciones anteriores, el Teorema de C-K proporciona solu- ciones locales, definidas en torno a la superficie donde se dan los datos de Cauchy. Sin embargo, en algunos casos, como por ejemplo en el problema de valores iniciales para la ecuaci´n de ondas 1 − d, la soluci´n est´ globalmente definida. o o a El objeto de esta secci´n es enfatizar que, en general, no puede garantizarse que la soluci´n o o sea global. Ya en el marco de la teor´ de EDO encontramos ejemplos que ilustran claramente este ıa hecho. Consideramos por ejemplo la ecuaci´n diferencial lineal: o x = x, t∈R (8.1) x(0) = x0 . 17
  18. 18. En este caso la soluci´n es global y viene dada por la expresi´n o o (8.2) x(t) = x0 et . Resulta pues evidente que se trata de una funci´n anal´ o ıtica globalmente definida. Consideremos ahora la ecuaci´n no lineal: o x = x3 , t∈R (8.3) x(0) = x0 . La soluci´n tambi´n puede obtenerse de forma expl´ o e ıcita en este caso. En efecto, la ecuaci´n o puede reescribirse como x /x3 = 1. Integrando en la variable temporal obtenemos t −1 = t. 2x2 (t) 0 Es decir −1/2 x0 (8.4) x(t) = x−2 − 2t 0 =√ . 1 − 2tx0 La soluci´n obtenida es anal´ o ıtica pero tiene car´cter local puesto que x(t) a ∞ cuando t t∗ , el tiempo m´ximo de existencia de la soluci´n que viene dada por: a o 1 (8.5) t∗ = . 2x20 Se trata de un fen´meno de explosi´n en tiempo finito. o o En realidad, salvo la soluci´n trivial x ≡ 0 que corresponde al dato inicial x0 = 0, todas o las soluciones explotan en tiempo finito t∗ . De la expresi´n expl´ o ıcita de t∗ se observa tambi´n e que, a medida que el m´dulo | x0 | del dato inicial aumenta el tiempo de existencia de la o soluci´n disminuye. Por el contrario, a medida que | x0 | tiende a cero el tiempo de existencia o aumenta y tiende a infinito. Este ejemplo muestra con claridad que la restricci´n que el enunciado del Teorema de o C-K impone a las soluciones de ser locales no es meramente t´cnica sino que obedece a que, e en algunas ocasiones, las soluciones no est´n globalmente definidas. a De este ejemplo se podr´ sin embargo pensar que el unico obst´culo para que las solu- ıa ´ a ciones est´n globalmente definidas es que la ecuaci´n en cuesti´n sea no-lineal. Esto es as´ e o o ı en el marco de las EDO pero no en el de las EDP donde tambi´n pueden aparecer otro tipo e de restricciones, de car´cter m´s geom´trico. a a e Para convencernos de eso consideremos la ecuaci´n de Laplace en dos dimensiones espa- o ciales (8.6) ∆u = uxx + yyy = 0 18
  19. 19. con datos de Cauchy sobre la circunferencia unidad (8.7) Γ = x2 + y 2 = 1 . En este caso el problema de Cauchy puede escribirse del siguiente modo   uxx + uyy = 0  en R2  (8.8) u =f  Γ   xu + yu = g. x y Γ Conviene se˜alar que, en cada punto de Γ, el vector (x, y) apunta en la direcci´n normal. n o Por tanto el valor de u y de xux + yuy sobre Γ proporcionan datos de Cauchy completos. Teniendo en cuenta que, tal y como vimos en la secci´n anterior, el operador de Laplace o no posee ninguna curva caracter´ ıstica, se deduce que el Teorema de C-K es aplicable en este caso. Obtenemos as´ una soluci´n anal´ ı o ıtica unica local en un entorno de la curva Γ para ´ cada par de datos iniciales anal´ıticos f y g. Cabe ahora preguntarse cu´ndo esta soluci´n est´ globalmente definida en el interior de a o a la esfera |x| ≤ 1. Para que esto ocurra es imprescindible que los datos de Cauchy f y g est´n e correlados. En otras palabras, para cada dato f s´lo existe un dato g para el que la soluci´n o o est´ globalmente definida en la bola {|x| ≤ 1}. a Para comprobar este hecho basta observar que la soluci´n del problema o uxx + uyy = 0 en |x| ≤ 1 (8.9) u = f, Γ es unica. Este hecho puede probarse tanto por el principio del m´ximo como por el m´todo ´ a e de la energ´ Hagamos la verificaci´n por este ultimo m´todo. Si el problema posee dos ıa. o ´ e soluciones distintas su diferencia v satisface vxx + vyy = 0 en |x| ≤ 1 (8.10) v = 0. Γ Multiplicando en la ecuaci´n por v, e integrando por partes mediante la f´rmula de Green o o obtenemos que | v|2 dx = 0. |x|≤1 Esto implica que v ha de ser constante. Como se anula en el borde de la bola, ha de ser necesariamente nula, lo cual garantiza la unicidad.5 5 Otra prueba alternativa est´ basada en el principio del m´ximo. En efecto, si ∆v ≥ 0, su valor m´ximo a a a se alcanza en el borde de modo que v ≤ 0. Como ∆v = 0, aplicando el mismo argumento a −v se deducir´ ıa que v ≤ 0. De este modo se concluir´ que v ≡ 0. ıa 19
  20. 20. El ejemplo que acabamos de desarrollar demuestra que, lejos de tratarse de un hecho raro, la ausencia de soluciones globales para el problema de Cauchy ocurre en el ejemplo m´s importante en la teor´ de EDP: la ecuaci´n de Laplace. a ıa o 9 Unicidad de soluciones En las secciones anteriores hemos construido soluciones para diversas ecuaciones. El Teorema de C-K garantiza que estas son unicas en el marco de problemas de Cauchy con datos y ´ coeficientes anal´ıticos y siempre que la superficie donde se dan los datos sea anal´ıtica y no caracter´ ıstica. Sin embargo, tal y como hemos tenido oportunidad de comprobar, el resultado de unicidad que el Teorema de C-K proporciona no siempre es de aplicaci´n por, al menos, dos razones: o • Hay problemas importantes, como por ejemplo el problema de valores iniciales para la ecuaci´n del calor, que no es un problema de Cauchy y adem´s los datos est´n dados o a a sobre una hipersuperficie (t = 0 en este caso) caracter´ ıstica. • Frecuentemente los datos del problema no son anal´ ıticos. Este era el caso por ejemplo en la ecuaci´n del calor donde se observaba que para un o dato inicial en L (R ) se obten´ una soluci´n en la clase BC ([0, ∞); L1 (Rn )). 1 n ıa o Conviene pues desarrollar herramientas adicionales que permitan abordar el problema de la unicidad de manera m´s sistem´tica. Aqu´ analizaremos dos de ellas: a a ı • El Teorema de Holmgren. • El m´todo de dualidad. e 9.1 El Teorema de Holmgren El Teorema de Holmgren es v´lido en el contexto del Teorema de C-K siendo un corolario a de este ultimo. Su enunciado es el siguiente6 : ´ Teorema de Holmgren En el marco del Teorema de C-K, es decir, para ecuaciones con coeficientes y datos anal´ ıticos sobre una superficie anal´tica y no caracter´ ı ıstica la soluci´n proporcionada por el o Teorema de C-K es la unica no s´lo en la clase de funciones anal´ ´ o ıticas sino que es unica en ´ toda la clase de funciones localmente integrables. 6 El Teorema de Holmgren es m´s general pues garantiza la unicidad de las soluciones generalizadas en el a sentido de las caracter´ ısticas 20
  21. 21. La importancia del Teorema de Holmgren radica en que, para problemas de Cauchy en los que el Teorema de C-K es aplicable, no puede existir otra soluci´n que no sea la funci´n o o anal´ıtica que C-K proporciona. Teorema de C-K puede tambi´n aplicarse incluso cuando los datos del problema no son e anal´ıticos. Consideremos por ejemplo el problema de Cauchy para la ecuaci´n de Laplace. o   ∆u = 0 en Rn   u=f en Γ  (9.1)  ∂u  = g en Γ   ∂ν donde Γ es una hipersuperficie anal´ ıtica de Rn de dimensi´n n − 1. o Como el operador de Laplace no posee hipersuperficies caracter´ ısticas, el problema (9.1) entra en el marco del Teorema de C-K. Supongamos ahora que, por ejemplo, f y g son funciones continuas. En estas condiciones el Teorema de C-K no se aplica puesto que, para hacerlo, se necesitan datos anal´ ıticos. Ahora bien, a pesar de ello, el Teorema de Holmgren garantiza la unicidad de la soluci´n de (9.1). o En efecto, suponiendo que (9.1) posee dos soluciones u1 y u2 introducimos v = u1 − u2 . Entonces v es soluci´n de o ∆v = 0 en Rn (9.2) v = ∂v/∂ν = 0 en Γ. Los datos en el sistema (9.2) son anal´ıticos. El Teorema de C-K se aplica y deducimos que (9.2) posee una unica soluci´n que no puede ser otra que v ≡ 0. Por tanto u1 ≡ u2 . ´ o Vemos pues que el Teorema de Holmgren garantiza la unicidad de las soluciones de (9.1). Conviene sin embargo observar que el problema de la existencia persiste pues, si bien cuando f y g son anal´ ıticas el Teorema de C-K se aplica, esto no ocurre cuando f y g son, por ejemplo, meramente continuas. En el caso de operadores lineales con coeficientes constantes (9.3) P(D)u = aα D α u |α| k la aplicaci´n del Teorema de Holmgren proporciona el siguiente resultado. o Corolario. Sea u = u(x) una soluci´n de o (9.4) P(D)u = 0 en Rn y supongamos que u se anula en un abierto no vac´ ω de Rn . ıo Entonces, u tambi´n se anula en un conjunto m´s grande ω, la envolvente caracter´stica e a ı n de ω, que se define del modo siguiente: ω es el abierto de R con la propiedad de que todo hiperplano caracter´stico que interseque ω tambi´n ha de intersecar a ω. ı e 21
  22. 22. Veamos los resultados que arroja la aplicaci´n de este Corolario en los tres modelos m´s o a importantes. • La ecuaci´n de Laplace o Supongamos que u = u(x) es una soluci´n de o (9.5) ∆u = 0 en Rn . Supongamos adem´s que u = 0 en ω, un abierto no vac´ de Rn . a ıo En este caso se deduce inmediatamente que u ≡ 0. Esto es as´ puesto que, de acuerdo a ı la definici´n de envolvente de ω dada en el enunciado del Teorema, ω = Rn , lo cual ocurre o porque ∆ no tiene hiperplanos caracter´ ısticos. Conviene tambi´n se˜alar que el Teorema de Holmgren es de aplicaci´n local de modo e n o que si la ecuaci´n ∆u = 0 se verifica en un abierto Ω de Rn y u = 0 en un subconjunto o abierto no vac´ ω de Ω, entonces u ≡ 0 en todo Ω. ıo • La ecuaci´n del calor o Supongamos ahora que u = u(x, t) es soluci´n de la ecuaci´n del calor o o (9.6) ut − ∆u = 0 en Rn , 0 < t < T y que (9.7) u = 0 en ω = Θ × (0, T ) donde Θ es un abierto no vac´ de Rn . ıo Entonces, como consecuencia del Teorema de Holmgren tenemos que (9.8) u = 0 en ω = Rn × (0, T ). Al cilindro ω = Rn × (0, T ) se le denomina la componente horizontal de ω = θ × (0, T ). Esto es as´ pues todos los hiperplanos caracter´ ı ısticos de la ecuaci´n del calor son de la o n forma t = cte. Es pues evidente que R ×(0, T ) es el conjunto m´s grande con la propiedad de a que todo hiperplano caracter´ıstico que lo corta, interseque tambi´n al subconjunto Θ×(0, T ). e Vemos por lo tanto que, tanto en la ecuaci´n de Laplace como del calor el conjunto de o ceros de la soluci´n se propaga a velocidad infinita en la variable espacial. o • La ecuaci´n de ondas o Supongamos ahora que (9.9) utt − ∆u = 0 en Rn × Rt x y que (9.10) u = 0 en ω = Θ × (−T, T ). 22
  23. 23. En este caso, como consecuencia del Teorema de Holmgren tenemos que (9.11) u = 0 en ω ˜ donde (9.12) ω= ˜ ΘR × (−T + R, T − R) 0 R T donde ΘR es un entorno en Rn xde radio R de Θ. En el caso de una variable espacial el resultado es particularmente sencillo pues garantiza que si u = 0 en (a, b) × (−T, T ) entonces u = 0 en [(a − R, b + R) × (−T + R, T − R)] . 0 R T An´logamente, a u = 0 en [(a + σ, b − σ) × {T + σ}] 0 σ (b−a)/2 y u = 0 en [(a + σ, b − σ) × {−T − σ}] . 0 σ (b−a)/2 En esta construcci´n se observa que el conjunto de ceros se propaga con velocidad uno, de o acuerdo con las propiedades b´sicas de la ecuaci´n de ondas considerada. a o El resultado obtenido es ´ptimo tal y como se confirma al estudiar el cono de influencia o y las regiones de dependencia en la ecuaci´n de ondas. o 9.2 Dualidad A pesar de la versatilidad del Teorema de Holmgren, hay una situaci´n en la que su aplicaci´n o o es imposible. Se trata del caso en que el problema considerado es caracter´ıstico. Esta es precisamente la situaci´n en uno de los problemas m´s relevantes: El problema o a de valores iniciales para la ecuaci´n del calor: o ut − ∆u = 0 en Rn × (0, ∞) (9.13) u(x, 0) = f (x) en Rn . En la secci´n 7 hemos visto que el problema admite una soluci´n de la forma o o (9.14) u(t) = G(t) ∗ f, siendo G el n´cleo de Gauss. Gracias a las propiedades elementales de la operaci´n de u o 2 n convoluci´n es f´cil comprobar que, si f ∈ L (R ) esta soluci´n pertenece a la clase u ∈ o a o 2 n BC ([0, ∞); L (R )). 23
  24. 24. Hab´ ıamos asimismo comprobado (esto puede hacerse aplicando la desigualdad de Young para la convoluci´n o el m´todo de la energ´ que o e ıa) (9.15) u(t) L2 (Rn ) f L2 (Rn ) , ∀t > 0. Se nos plantea pues el problema de la unicidad. Como el hiperplano {t = 0} en el que el dato inicial est´ dado es caracter´ a ıstico para la ecuaci´n del calor, el Teorema de Holmgren o no se puede aplicar. En este caso el m´todo de dualidad proporciona la soluci´n de manera sencilla. e o Supongamos que (9.13) admite dos soluciones u1 y u2 en la clase BC ([0, ∞); L2 (Rn )). Entonces v = u1 − u2 ∈ BC ([0, ∞); L2 (Rn )) es soluci´n de o vt − ∆v = 0 en Rn × (0, ∞) (9.16) v(0) = 0 en Rn . El problema se reduce a comprobar que v ≡ 0. En otras palabras, dado T > 0 arbitrario se trata de ver que v(T ) ≡ 0. Consideramos ahora el problema adjunto7 −ϕt − ∆ϕ = v en Rn × (0, T ) (9.17) ϕ(T ) = 0 en Rn . A pesar de que hemos cambiado el signo de la derivada temporal de la ecuaci´n del calor que o interviene en (9.17), en la medida en que los datos se dan en el instante final T , la soluci´n o ϕ puede ser construida como para el problema de valores iniciales en la cl´sica ecuaci´n del a o calor. En efecto, si hacemos el cambio de variables (9.18) ψ(x, t) = ϕ(x, T − t), observamos que ϕ es soluci´n de (9.17) si y s´lo si ψ es soluci´n de o o o ψt − ∆ψ = v(T − t) en Rn × (0, T ) (9.19) ψ(0) = 0 en Rn . 7 En el contexto de los operadores en derivadas parciales el operador adjunto se define siguiendo las ideas del Algebra Lineal, pero, en el esp´ıritu de la teor´ de distribuciones, adoptando el producto escalar de L2 . ıa Recordemos que en el marco de la teor´ de matrices, si A es una matriz N × N , su adjunta A∗ est´ definida ıa a por la propiedad < Ax, y >=< x, A∗ y >, donde < ·, · > denota el producto escalar euclideo. En el marco de los operadores diferenciales se procede de modo an´logo. Si P (D) es un operador diferencial lineal de a coeficientes constantes o variables, su adjunto P ∗ (D) se define por la f´rmula < P (D)u, v >=< u, P ∗ (D)v >, o para todo par de funciones test u y v, siendo en esta ocasi´n < ·, · > el producto escalar en L2 . As´ en o ı, particular, el adjunto del operador del calor ∂t − ∆ es el operador −∂t − ∆. 24
  25. 25. Sabemos que (9.19) admite una soluci´n de la forma o t (9.20) ψ(t) = G(t − s) ∗ v(T − s)ds. 0 Deshaciendo el cambio obtenemos que T −t T (9.21) ϕ(t) = ψ(T − t) = G(T − t − s) ∗ v(T − s)ds = G(σ − t) ∗ v(σ)dσ. 0 t Tenemos adem´s la estimaci´n a o (9.22) ϕ(t) L2 (Rn ) v L1 (0,T ; L2 (Rn )) , 0 t T. Multiplicando en (9.17) por v e integrando por partes obtenemos que (9.23) v 2 dxdt = (−ϕt − ∆ϕ)v dxdt Rn ×(0,T ) Rn ×(0,T ) T = − ϕvdx + ϕ(vt − ∆v)dxdt. Rn 0 Rn Es f´cil ver que todos y cada uno de los t´rminos a la derecha de la identidad (9.13) se a e anulan. En efecto, ϕ(0)v(0)dx = 0 puesto que el dato inicial de v se anula. El hecho de Rn que el valor de ϕ en t = T se anula implica que ϕ(T )v(T )dx = 0. Por ultimo, como v ´ Rn satisface la ecuaci´n del calor vemos que o ϕ(vt − ∆v)dxdt = 0. Rn ×(0,T ) Concluimos por tanto que (9.24) v 2 dxdt = 0, Rn ×(0,T ) lo cual garantiza que v ≡ 0 y da el resultado de unicidad buscado. Vemos pues que el m´todo de dualidad funciona proporcionando la unicidad de la soluci´n e o en problemas caracter´ ısticos. Esencialmente, el m´todo de dualidad funciona cada vez que e disponemos de un m´todo que permite construir soluciones con estimaciones adecuadas. e Conviene sin embargo ser cautos en el empleo de este m´todo en el caso en que el problema e considerado es no-lineal. Para comprobarlo, consideramos el caso m´s sencillo de la EDO: a x (t) = f (x(t)), t > 0 (9.25) x(0) = x0 . Supongamos que (9.25) admite dos soluciones x e y y definamos z = x − y. Entonces, z satisface z = f (x) − f (y) = a(t)z, t > 0 (9.26) z(0) = 0, 25
  26. 26. donde f (x) − f (y) (9.27) a(t) = . x−y Es ahora muy f´cil aplicar el m´todo de la dualidad para deducir que, cuando f es Lipschitz, a e la soluci´n es unica. En efecto, si f es Lipschitz con constante de Lipschitz L > 0, tenemos o ´ f (x(t)) − f (y(t)) (9.28) | a(t) |= L. x(t) − y(t) Por tanto, el potencial a = a(t) en (9.26) est´ acotado. a Consideramos ahora el problema adjunto −ϕ = a(t)ϕ + z, 0 < t < T (9.29) ϕ(T ) = 0. La soluci´n ϕ de (9.29) existe y se puede construir por el m´todo de la variaci´n de las o e o constantes. Multiplicando en (9.29) por z e integrando por partes en el intervalo 0 < t < T deducimos que z ≡ 0. Es decir, se obtiene la unicidad en (9.25). ¿Por qu´ el m´todo no se aplica cuando f deja de ser Lipschitz? e e En efecto, cuando f deja de ser Lipschitz hay ejemplos claros de no unicidad. El m´s a sencillo es el caso en que f (x) = | x |. Obviamente f no es Lipschitz en x = 0 y el problema de valores iniciales   x = |x| (9.30)  x(0) = 0 admite al menos dos soluciones: (9.31) x≡0 y (9.32) y = t2 /4. El m´todo de dualidad no puede entonces aplicarse pues el potencial a = a(t) correspondiente e es singular |x|− |y | |y| √ 2 (9.33) a(t) = = = ( y)−1 = (t/2)−1 = . x−y y t La ecuaci´n adjunta es entonces o  −ϕ = 2ϕ + z, 0 < t < T  (9.34) t ϕ(T ) = 0.  Se puede incluso comprobar que (9.34) admite una unica soluci´n que se puede escribir de ´ o manera expl´ ıcita por el m´todo de la variaci´n de las constantes. Pero la soluci´n ϕ obtenida e o o es singular en t = 0, de modo que el m´todo de dualidad que precisa de la integraci´n por e o partes en el intervalo (0, T ) no se puede aplicar en este caso. 26
  27. 27. 9.3 La soluci´n de Tychonoff o Acabamos de probar mediante el m´todo de dualidad que el problema de valores iniciales e para la ecuaci´n del calor tiene una soluci´n unica. Sin embargo Tychonoff contruy´ una o o ´ o soluci´n de la ecuaci´n del calor que parece contradecir este hecho. o o En efecto, Tychonoff construy´ una funci´n u = u(x, t) de clase C ∞ para x ∈ R y t > 0 o o tal que (9.35) ut − uxx = 0, x ∈ R, t > 0 y de modo que (9.36) u(x, t) → 0, t → 0+ , ∀x ∈ R. Este hecho entra en aparente contradicci´n con el resultado de unicidad probado mediante o el m´todo de dualidad que garantiza que si el dato inicial es nulo, la unica soluci´n del e ´ o problema de valores iniciales es la nula. Un an´lisis un poco m´s cuidadoso de la soluci´n de Tychonoff y del resultado de unicidad a a o probado permite deshacer esta aparente paradoja. La soluci´n de Tychonoff se construye de la siguiente manera (v´ase el cap´ o e ıtulo 7 del libro de F. John [5] para m´s detalles). a Consideramos la ecuaci´n del calor unidimensional o (9.37) ut − uxx = 0, x ∈ R, t > 0 con datos de Cauchy en el eje temporal: (9.38) u(0, t) = g(t), ux (0, t) = 0, t > 0. Buscamos una soluci´n de (9.37)-(9.38) desarrollada en serie de potencias de la forma o ∞ (9.39) u= gj (t)xj . j=0 Introduciendo la expresi´n (9.39) en la ecuaci´n del calor, igualando los coeficientes de las o o diferentes potencias de x y usando los datos de Cauchy (9.38) obtenemos que (9.40) g0 = g, g1 = 0, gj = (j + 2)(j + 1)gj+2 . Obtenemos por tanto la soluci´n formal o ∞ g (k) (t) 2k (9.41) u(x, t) = x . k=0 (2k)! 27

×