1. La diagonalización de matrices implica encontrar una base de vectores propios de la matriz que permita expresarla como una matriz diagonal mediante una transformación de coordenadas. 2. Para que una matriz sea diagonalizable, la dimensión de los subespacios propios asociados a cada autovalor debe coincidir con su orden de multiplicidad. 3. Toda matriz real simétrica posee una base de vectores propios ortonormales y por lo tanto es diagonalizable mediante una matriz ortogonal.

1. Diagonalización de MatricesDiagonalización de Matrices
Grado de Ingeniería CivilGrado de Ingeniería Civil
Escuela Politécnica de AlgecirasEscuela Politécnica de Algeciras
Universidad de CádizUniversidad de Cádiz

2. DefiniciónDefinición
Se dice que una matriz es semejante
a la matriz y lo representamos por
si
n n
A M ×
∈
n n
B M ×
∈
A B∼ P regular∃ 1
B P AP−
=siA B∼ P regular∃ 1
B P AP−
=
A la matriz se le llama matriz de
paso
n n
P M ×
∈

3. DefiniciónDefinición
Sea se llama polinomio matricial de
a la expresión de la forma:
n n
A M ×
∈
n n
A M ×
∈ n n×
( ) 1
1 1 0
n n
n n
p A A A A Iα α α α−
−
= + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + +
con i
K iα ∈ ∀

4. Proposición 1Proposición 1
Si
n n
A B A B n⇒ ∀ ∈∼ ∼ ℕ
Demostración
( )
n
Luego n n
A B∼
Si ( )1 1
n
n
A B B P AP B P AP− −
⇒ = ⇒ = ⇒∼
( ) ( ) ( )1 1 1 1
n
n n
B P AP P AP P AP P A P− − − −
= ⋅ ⋅⋅⋅ =

5. Proposición 2Proposición 2
Si 1 1
A B A B− −
⇒∼ ∼
Demostración
( )
1−
Luego 1 1
A B− −
∼
Si ( )
1
1 1 1
A B B P AP B P AP
−
− − −
⇒ = ⇒ = ⇒∼
( )
1
1 1 1 1 1 1
B P A P P A P
−
− − − − − −
= =

6. DefiniciónDefinición
Sea
Se llama polinomio característico de
al desarrollo del determinante:
n n
A M ×
∈
n n
A M ×
∈
n n n
A xI×
−
Se llama ecuación característica de
a la igualdad:
n n
A M ×
∈
0n n n
A xI×
− =

7. Proposición 3Proposición 3
Si tienen el mismo polinomio
característico.
A B ⇒∼
Demostración
Si 1
A B B P AP−
⇒ =∼
1 1 1
B xI P AP xI P AP P xIP− −
− = − = − =
( )1 1
P A xI P P P A xI A xI− −
− = − = −

8. ConsecuenciasConsecuencias
Dos matrices semejantes tienen la misma
traza y el mismo determinante.
Teorema deTeorema de CayleyCayley--HamiltonHamiltonTeorema deTeorema de CayleyCayley--HamiltonHamilton
Toda matriz cuadrada es raíz de su polinomio
característico.

9. Diagonalización de matricesDiagonalización de matrices
Se dice que una matriz es diagonalizable
si existe una matriz diagonal n n
D ×
A D∼
n n
A ×
Conceptos:Conceptos:
Autovalores
Ax xλ=
Se dice que es un autovalor o valor
propio asociado a si existe algún vector
no nulo que verifique:
Kλ ∈
n n
A ×
n
x K∈

10. Autovectores
Al vector que verifica se denomina
autovector o vector propio correspondiente al
autovalor
Ax xλ=
Kλ ∈
Subespacio propio
El conjunto de autovectores correspondientes
a un autovalor junto al vector nulo,
forman el llamado subespacio propio asociado
a y se representa por :
E x Vλ
= ∈{ }Ax xλ=
Subespacio propio
Kλ ∈
Kλ ∈

11. Teorema
La condición necesaria y suficiente para que
sea autovalor de es que sea solución
de su ecuación característica.
AKλ ∈
Demostración
.
0
c n
S i es a uto va lo r xλ⇒ ⇒ ∃ ≠ Ax xλ=
( )0 0Ax x A I xλ λ− = ⇒ − = Como es un
un sistema homogéneo con solución distinta de la
trivial ( ) 3 0Rg A I A Iλ λ− < ⇒ − =

12. ( )
.
0 0
c s
S i A I A I xλ λ⇐ − = ⇒ − =
Luego el sistema homogéneo tiene infinitas
soluciones y por tanto es el autovalor
correspondiente a una cualquiera de ellas.
Kλ ∈
Consecuencias
( )
( ) ( ) ( )
11
1. 2.
3. d im d im
n n
i i
ii
T r A A
E V R g A Iλ
λ λ
λ
==
= =
= − −
∑ ∏

13. 1. En este curso solo estudiaremos los espacios
vectoriales reales es decir y por tanto
los autovalores han de ser reales.
K = ℝ
NOTAS
2. Las soluciones de la ecuación característica,2. Las soluciones de la ecuación característica,
pueden repetirse, y al número de veces que
se repite se le llama orden de multiplicidad.
3. El orden de multiplicidad de un autovalor es
mayor o igual que la dimensión del subespacio
propio asociado al autovalor.

14. Teorema
La condición necesaria y suficiente para que
exista una base de formada por vectores
propios es que la dimensión de los subespacios
propios coincida con el orden de multiplicidad
de cada autovalor.
V
de cada autovalor.
ConsecuenciaConsecuencia
Si mediante una matriz podemos obtener
una base de vectores propios de se dice que
es diagonalizable.
n n
A ×
V
n n
A ×

15. Si es una base de vectores
propios de entonces:V
1 2 n
Ax x Ax x Ax xλ λ λ= = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =
{ }1 2
, , n
B u u u= ⋅⋅⋅⋅
La matriz diagonal viene dada por:
1
2
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0 n
D
λ
λ
λ
 ⋅     ⋅  =  ⋅      

16. Y la matriz de paso viene dada por:
( )1 2
, , n
n n
P u u u
×
= ⋅⋅⋅⋅
De forma que:
1
D P AP−
=
ProposicionesProposicionesProposicionesProposiciones
Si es un autovalor deλ A
es un autovalor dek
λ k
A
es un autovalor de1
λ− 1
A−
es un autovalor deqλ− A qI−

17. Los autovalores de una matriz simétrica
son números reales.
Diagonalización de matrices reales y simétricasDiagonalización de matrices reales y simétricas
En una matriz simétrica, los subespacios
propios asociados a autovalores distintospropios asociados a autovalores distintos
son ortogonales.
Toda matriz real simétrica posee una base
de vectores propios ortonormales , es
decir, es diagonalizable mediante una
matriz ortogonal.

18. Si es una matriz real y simétrica, entonces:
Diagonalización de matrices reales y simétricasDiagonalización de matrices reales y simétricas
A
P ortogonal∃ t
D P AP=
son congruentes y se dice que se ha
diagonalizado por semejanza ortogonal
A y D A