Números complejos

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Números complejos

  1. 1. Números Complejos
  2. 2. Números Imaginarios  Si b es un número real , entonces es un número imaginario puro teniendo: Donde: Definiéndose i como la unidad imaginaria. Al número se le denomina forma normal (o estándar) de un número imaginario puro. 0≥b 12 −=i bibbb =−=−=− )1()1( bi 1−=i b−
  3. 3. Potencias de i  Las potencias básicas de i son:  Cualquier potencia de i puede reducirse a una de las cuatro potencias básicas, por ejemplo: 12 −=i iiiii −=−== )1(23 iiiii === )1(45 1)1)(1(224 =−−== iii iiiiiii −=−== ))(1)(1)(1(344415
  4. 4. Multiplicación de radicales  Si a y b son números reales, entonces si y Si a < 0 o b < 0 (o ambos a y b son negativos), es necesario convertir el radical a la forma normal de un numero imaginario puro antes de efectuar la multiplicación. Por ejemplo: abba = 0≥a 0≥b 6)3)(1(2)3(2)32(3)1)(3(4)1(3123 22 −=−===−−=−− iii 10421042)14)(7(56143)(7)(52()143(7)(52( 33 iiiiii −====−−−
  5. 5. Números Complejos  Si se suma un número real y un número imaginario se obtiene un número complejo.  Un número complejo es de la forma a + bi donde a y b son números reales: Si a = 0 se tiene un número (bi) imaginario Si b =0 Se tiene un número real (a) La forma a + bi se le denomina forma rectangular de un numero complejo. La parte real del número complejo es a y la parte imaginaria es b.
  6. 6. Si a + bi y c + di son números complejos, entonces a + bi = c + di si y solo si a =c y b = d Ejemplo: Hallar los valores de x y y en la expresión 4 + 3i =7i + x + 2 + yi Reordenando se tiene: x + yi =4 + 3i – (2 + 7i) x + yi = 2 - 4i Por lo tanto, x = 2 y y = -4 , ya que las partes reales e imaginarias deben ser iguales. Igualdad de Números Complejos
  7. 7. Conjugado de un Número Complejo El conjugado de un número complejo a + bi es el número complejo a – bi Ejemplos El conjugado de 3 + 4i es 3 – 4i El conjugado de 5 – 2i es 5 + 2i El conjugado de -7i es 7i, porque – 7i = 0 – 7i El conjugado de 15 es 15 porque 15 = 15 + 0i
  8. 8. Operaciones Operación Definición Descripción Adición (a + bi)+ (c + di)=(a + c)+ (b + d)i Se suman las partes reales y las imaginarias respectivamente Sustracción (a + bi) - (c + di)=(a - c) + (b - d)i Se restan las partes reales y las imaginarias respectivamente. Multiplicación (a + bi)(c + di)=(ac - bd)+ (ad + bc)i Multiplicar números complejos como binomios y simplificar División Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. 22 )()( dc iadbcbdac dic dic dic bia dic bia + −++ =      − −       + + = + +
  9. 9.  Ejemplos. a) b) c) Operaciones iii 51)2()43( )12()163( −=+−− =−+−−− iii iiiii )53()53()1(5533 5533)11)(53()11)(53( 2 −++=−−−+ =−−+=+−=−+−− 2 3 6 )1(21 )1(42 41 422 21 21 21 222 21 82 2 2 == −− −− = − − =      − − + + = −+ −+ i i i i i i
  10. 10. Operaciones  Ejemplos a) b) c) ( ) 032853)28()5( =−++−−=−+−−− iiiiii ( ) ( ) ( ) 89236823681 229522425816 222 222 −=+− =−=+−=−+−−− iii iiiii ( )( ) 5 3 916 3512 916 34912 34 34 34 3 34 22 34 12 2 2 2 ii i iii i i i i i iii i ii + = + ++ = − −−+ =      + + − − = − −+− = − −+
  11. 11. Aplicación  Determinar todas la raíces de la ecuación: Solución: Por el teorema del factor cero: 0)42)(2)(42)(2()8)(8(64 222336 =+−+++−=+−=− xxxxxxxxx 0422 =++ xx0422 =++ xx 02 =−x 02 =+x21 =x 22 −=x 31 ix ±= 314 ix −−=313 ix +−= 31 ix ±−= 315 ix += 316 ix −= 0646 =−x

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