Funcion polinomial

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Funcion polinomial

  1. 1. Objetivo: Realizar el bosquejo de la gráfica de una función polinomial aplicando diferentes herramientas del álgebra<br />Por ejemplo, bosqueja la gráfica de la función:<br />
  2. 2. Paso 1- Naturaleza de las raíces<br />Regla de Signos de Descartes<br />De la tabla anterior podemos asegurar que existe un cero positivo, por lo que iniciaremos la búsqueda de ceros del polinomio con cantidades positivas.<br />
  3. 3. Paso 2- Conjunto de posibles ceros<br />El numerador pde los ceros racionales es factor del término constante a0 y el denominador q es factor del coeficiente an.<br />
  4. 4. Del segundo teorema de cotas sabemos que todos los ceros reales de una función están en el intervalo (-M, M) en donde:<br />máx (|an|, |an-1|, … , |a1|, |a0|)<br />M= ----------------------------------- + 1 <br />|an|<br />Para el polinomio presentado, el intervalo definido por este teorema es:<br />
  5. 5. Quitando los elementos que están fuera del intervalo definido:<br />
  6. 6. Buscando los ceros del polinomio:<br />Probamos con 5, dado que estamos seguros que existe un cero positivo.<br />Del Teorema del Residuo podemos decir que:<br />Del Teorema del factor podemos decir que x-5no es un factor del polinomio.<br />Del primer teorema de cotas podemos decir que 5 es una cota superior, por lo que podemos redefinir el intervalo en el que se encuentran las soluciones además de descartar algunos posible ceros.<br />
  7. 7. Redefiniendo las cotas:<br />Quitando los elementos que están fuera del nuevo intervalo:<br />
  8. 8. Probamos con 2, dado que estamos seguros que existe un cero positivo.<br />Del Teorema del Residuo podemos decir que:<br />Del Teorema del factor podemos decir que x-2no es un factor del polinomio.<br />Del primer teorema de cotas podemos decir que 2 no es una cota superior.<br />Del Teorema del valor intermedio podemos decir que hay un cero entre2 y 5, dado que:<br />
  9. 9. De acuerdo con los comentarios anteriores elegimos el 3 y volvemos a intentar:<br />Del Teorema del Residuo podemos decir que:<br />Del Teorema del factor podemos decir que x-3 es un factor del polinomio.<br />La función se puede reescribir de la siguiente manera:<br />
  10. 10. Seguimos buscando los ceros del polinomio:<br />Probamos con -5.<br />Del Teorema del Residuo podemos decir que:<br />Del Teorema del factor podemos decir que x+5no es un factor del nuevo polinomio.<br />Del primer teorema de cotas podemos decir que -5 es una cota inferior, por lo que podemos redefinir el intervalo en el que se encuentran las soluciones además de descartar algunos posible ceros.<br />
  11. 11. Redefiniendo las cotas:<br />Quitando los elementos que están fuera del nuevo intervalo:<br />
  12. 12. Seguimos buscando los ceros del polinomio:<br />Probamos con -3/2.<br />Del Teorema del Residuo podemos decir que:<br />Del Teorema del factor podemos decir que x+3/2no es un factor del nuevo polinomio.<br />Del primer teorema de cotas podemos decir que -3/2 no es una cota inferior. <br />Del Teorema del valor intermedio podemos decir que hay un cero entre-5 y -3/2, dado que:<br />
  13. 13. Probamos con -3.<br />Seguimos buscando los ceros del polinomio:<br />Del Teorema del Residuo podemos decir que:<br />Del Teorema del factor podemos decir que x+3 es un factor del nuevo polinomio.<br />Del primer teorema de cotas podemos decir que -3 no es una cota inferior. <br />La función se puede reescribir de la siguiente manera:<br />
  14. 14. De acuerdo con la regla de signos de Descartes y al hecho de que encontramos un cero negativo, esto implica que existe otro cero negativo. Probemos con -1/2<br />Del Teorema del Residuo podemos decir que:<br />Del Teorema del factor podemos decir que x+1/2no es un factor del nuevo polinomio.<br />Del primer teorema de cotas podemos decir que -1/2 no es una cota inferior. <br />Del Teorema del valor intermedio podemos decir que hay un cero entre-3/2 y -1/2, dado que:<br />
  15. 15. Ahora probamos con el -1<br />Del Teorema del Residuo podemos decir que:<br />Del Teorema del factor podemos decir que x+1 es un factor del nuevo polinomio.<br />Del primer teorema de cotas podemos decir que -1 sí es una cota inferior. <br />La función se puede reescribir de la siguiente manera:<br />
  16. 16. El último factor de este polinomio es factorizable y se reescribe de la siguiente manera:<br />Para encontrar los ceros de la función la igualamos a cero y obtenemos la ecuación:<br />La ecuación anterior la resolvemos aplicando el teorema del factor cero:<br />Igualamos a cero cada factor<br />Resolvemos cada Igualdad<br />
  17. 17. -<br />-<br />-<br />-<br />-<br />+<br />+<br />+<br />-<br />+<br />+<br />+<br />+<br />+<br />+<br />-<br />-<br />+<br />-<br />-<br />-<br />+<br />+<br />+<br />-<br />+<br />+<br />-<br />-<br />-<br />+<br />-<br />-<br />-<br />+<br />+<br />Con la información anterior hacemos un análisis de signos para trazar la gráfica de la función:<br />

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