Ajuste polinomial

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Presentación sobre la interpolación polinomial y su aplicación

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Ajuste polinomial

  1. 1. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Esta presentación trata sobre la interpolación polinomial y contiene el método para encontrar el polinomio interpolante de n+1 puntos en R2 . El objetivo es que aprendas a aproximar una función mediante su polinomio de interpolación.
  2. 2. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Dados n+1 puntos de R2 (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) en donde las abscisas son números diferentes, queremos encontrar un polinomio de grado menor o igual a n de tal manera que: nkyxP kkn ,...,1,0,)( == Este polinomio nos permitirá aproximar una función yk=f(xk) de la cual no se conozca una formula explícita o que sea complicada de derivar, integrar, hallar ceros, etc. El polinomio puede usarse como aproximación de la función y para aproximar valores de la función en puntos intermedios de los valores conocidos xk.
  3. 3. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Dados n+1 puntos de R2 (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn), se establece un sistema de ecuaciones como el que se muestra. ¿Cómo obtengo el polinomio de interpolación?          =++++ =++++ =++++ =++++ n n nnnn n n n n n n yxaxaxaa yxaxaxaa yxaxaxaa yxaxaxaa ... ... ... ... 2 210 22 2 22210 11 2 12110 00 2 02010  Existe un teorema que demuestra la existencia y unicidad del polinomio de interpolación para cada conjunto de datos. Existe un teorema que demuestra la existencia y unicidad del polinomio de interpolación para cada conjunto de datos.
  4. 4. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Aproximar la función f(x)=cos(x) usando los puntos (nodos) x0=-pi/2, x1=0 y x2=pi/2. De acuerdo a estos datos, podemos encontrar un polinomio de grado 2 para aproximar la función indicada. Ejemplo 1. Sabemos que f(x0)=0, f(x1)=1 y f(x2)=0. 2. Establecemos el sistema de ecuaciones con los puntos dados          =      ++ =++ =      − + − + 0 22 100 0 22 2 210 2 210 2 210 ππ ππ aaa aaa aaa
  5. 5. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Ejemplo 3. Planteamos el sistema de ecuaciones en forma matricial.           =                         − 0 1 0 42 1 001 42 1 2 1 0 2 2 a a a ππ ππ
  6. 6. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Ejemplo 4. Escribimos la matriz aumentada para aplicar Gauss- Jordan y resolvemos el sistema               − 0| 42 1 1|001 0| 42 1 2 2 ππ ππ             − 2 4 |100 0|010 1|001 π
  7. 7. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Ejemplo 5. Interpretamos la solución de la matriz escalonada reducida por renglones y obtenemos el polinomio de interpolación de grado 2 2 2 4 1)( xxp π −= 2210 4 ,0,1 π −=== aaa
  8. 8. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Ejemplo Comparamos las gráficas x y −0.5π 0 0.5π -0.5 0 0.5 1 2 2 4 1)( xxp π −= xxf cos)( =
  9. 9. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Ejercicios 1. Use el polinomio de interpolación encontrado para la función f(x)=cos(x) para aproximar f(pi/4). Compare el valor obtenido con el valor real de la función. 2. Use los polinomios de interpolación de grado uno, dos y tres más apropiados para aproximar el valor de f(2.5), conociendo los puntos (2.0, 0.5103), (2.2, .5207), (2.4, .5104), (2.6, .4813) y (2.8, .4359).
  10. 10. Academia de Precálculo Area de Matemáticas Interpolación Polinomial Ejercicios 1. Use el polinomio de interpolación encontrado para la función f(x)=cos(x) para aproximar f(pi/4). Compare el valor obtenido con el valor real de la función. 2. Use los polinomios de interpolación de grado uno, dos y tres más apropiados para aproximar el valor de f(2.5), conociendo los puntos (2.0, 0.5103), (2.2, .5207), (2.4, .5104), (2.6, .4813) y (2.8, .4359).

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