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Prueba

  1. 1. Florida Centre de Formació 1 Curso 2010-11 4º ADE TEMA 4. Modelos de selección de carteras Bibliografía:Ferrando M., A.R. Gómez, C. Lassala, J.A. Piñol, A. Reig: “Teoría de la financiación I. Modelos CAPM, APT y Aplicaciones” (2005). Pirámide. Capítulo 3 TEORIA DE LA FINANCIACIÓN I
  2. 2. Florida Centre de Formació 2 Modelos de selección de carteras 4.1. Introducción 4.2. El conjunto de posibilidades de inversión con múltiples activos arriesgados 4.3. La frontera eficiente 4.4. Análisis gráfico y determinación analítica de la frontera eficiente 4.5. Especificación de las curvas de indiferencia del inversor 4.6. Determinación de la cartera óptima del inversor 4.7. La introducción del activo libre de riesgo 4.8. El teorema de la separación
  3. 3. Florida Centre de Formació 3 4.1. INTRODUCCIÓN • La principal aportación del modelo de Markowitz es que recoge de forma explícita el comportamiento racional del inversor con base en el modelo de media-varianza. • Su modelo matemático pretende maximizar la utilidad esperada de un individuo racional y averso al riesgo resolviendo el problema de cómo repartir su presupuesto de inversión entre los diferentes activos arriesgados (N) que se negocian en el mercado. Cartera óptima.
  4. 4. Florida Centre de Formació 4 Hipótesis fundamentales del modelo de markowitz • El inversor es racional (prefiere más riqueza a menos riqueza). • Las decisiones del inversor se basan en dos parámetros de la función de distribución de la variable aleatoria rentabilidad: la media y la varianza (o desviación típica). Modelo de dos dimensiones o Modelo de decisión media- varianza. • El inversor es averso al riesgo. • El horizonte de planificación incluye un único periodo. • En el mercado existen N activos arriesgados. • Los mercados de capitales son perfectos: – Información igualmente asequible para todos los participantes en el mercado y carece de coste alguno. – Ningún inversor puede influir en la formación de los precios. – Se puede prestar y pedir prestado al tipo de interés libre de riesgo. – No existen impuestos, ni inflación, ni costes de transacción. – Se permite la venta en descubierto. – Todas las inversiones son perfectamente divisibles.
  5. 5. Florida Centre de Formació 5 Cartera eficiente en el sentido de Markowitz • Deben cumplirse simultáneamente dos condiciones: – Para su nivel de rendimiento esperado, no existe otra cartera que tenga un menor riesgo. – Para el riesgo que soporta, no existe otra cartera que ofrezca un rendimiento esperado mayor.σp ) ~ ( pRE B C DA
  6. 6. Florida Centre de Formació 6 Etapas para encontrar la cartera óptima del inversor • Determinación del conjunto de posibilidades de inversión. • Determinación de la Frontera Eficiente. • Especificación de las preferencias del inversor. • Determinación de la cartera óptima.
  7. 7. Florida Centre de Formació 7 4.2. EL CONJUNTO DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN CON N ACTIVOS ARRIESGADOS • Caracterización de todas las posibles combinaciones de rendimiento esperado y desviación típica que pueden obtenerse en el mercado – Se estima para cada título su esperanza, desviación típica y sus covarianzas con el resto de títulos y carteras. – Se representa gráficamente las combinaciones posibles de rendimiento esperado y riesgo.
  8. 8. Florida Centre de Formació 8 Formación de carteras con 3 activos arriesgados. 2000Formación de carteras con 3 activos arriesgados. 2000 simulaciones (wsimulaciones (wii diferentes).diferentes).
  9. 9. Florida Centre de Formació 9 4.3. LA FRONTERA EFICIENTE • Carteras que, dado un nivel de rendimiento, tienen el mínimo riesgo. Conjunto de carteras de mínima varianza. Curva DE. Siempre cóncava. • La cartera situada en E es la de mínima varianza global. • Las carteras eficientes no son dominadas en el espacio media-varianza por ninguna otra. Ep σp B A E D
  10. 10. Florida Centre de Formació 10 A EB Ep σp A’ B’ B EA=EA’ EB’ σB= σB’ σA’ σA ECMV σCMV’ 4.4.1. ANÁLISIS GRÁFICO DE LA F.E.
  11. 11. Florida Centre de Formació 11 4.4.2. DETERMINACIÓN ANALÍTICA DE LA F.E. (I) ( ) ( ) ( ) 0 1 ~ :.. ~~ :max 1 1 1 , 2 1 ≥ = == = ∑ ∑∑ ∑ = ∗ = = = i n i i n i n j jijip n i iiP w w VwwRas REwRE σσ • La aplicación de este programa nos permite determinar qué activos y en qué proporciones invertir para que la rentabilidad esperada sea máxima, dado un nivel de riesgo. • Si repetimos el proceso para los distintos niveles de riesgo, se genera la frontera eficiente.
  12. 12. Florida Centre de Formació 12 4.4.2. DETERMINACIÓN ANALÍTICA DE LA F.E. (II) • La aplicación de este programa nos permite determinar qué activos y en qué proporciones invertir para que el riesgo esperado sea mínimo, dado un nivel de rentabilidad. • Si repetimos el proceso para los distintos niveles de riesgo, se genera la frontera eficiente. ( ) ( ) ( ) 0 1 ~~ :.. ~ : 1 1 1 1 , 2 ≥ = == = ∑ ∑ ∑∑ = ∗ = = = i n i i n i iip n i n j jijip w w EREwREas wwRmín σσ
  13. 13. Florida Centre de Formació 13 I4 > I3 > I2 > I1 I4 I3 I2 I1Ep σp A B C Dadas las hipótesis sobre racionalidad y aversión al riesgo: Curvas de indiferencia o isoutilidad 4.5. ESPECIFICACIÓN DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA DEL INVERSOR
  14. 14. Florida Centre de Formació 14 Consideraciones acerca las curvas de indiferencia • Crecientes en el espacio media-varianza. • Convexas. • No se pueden cortar. • Una curva de indiferencia, en su corte con el eje de ordenadas, nos proporciona el equivalente cierto de cualquier inversión arriesgada contenida en ella. • No se prolongan por debajo del eje de abscisas. • Cuanto más arriba y a la izquierda estén situadas, representarán niveles de utilidad esperada superiores.
  15. 15. Florida Centre de Formació 15 4.6. DETERMINACIÓN DE LA CARTERA ÓPTIMA DEL INVERSOR (I) • La cartera óptima se define como aquella cartera, entre todas las que configuran la frontera eficiente, correspondiente a la combinación media-desviación típica (o media-varianza) que maximiza su utilidad esperada, esto es, aquella que mejor se ajusta a sus preferencias personales sobre el riesgo. • Para determinar la cartera óptima de un inversor es necesario especificar previamente sus curvas de indiferencia entre rendimiento esperado y riesgo, cuya forma dependerá de su función de utilidad, que será única para cada inversor.
  16. 16. Florida Centre de Formació 16 I4 I3 I2 I1Ep σp b a C0 V0 E0 4.6. DETERMINACIÓN DE LA CARTERA ÓPTIMA DEL INVERSOR (II) • La cartera óptima del inversor es la representada por el punto de tangencia entre la frontera eficiente y la curva de indiferencia representativa de un mayor nivel de utilidad esperada. • Cualquier otro punto de la frontera eficiente se corresponde con una curva de indiferencia que proporciona al inversor menor satisfacción.
  17. 17. Florida Centre de Formació 17 • Determinada la cartera óptima de un inversor, si sustituimos V* por la varianza de dicha cartera en el programa de optimización planteado, la resolución de ese problema nos mostrará la composición de la cartera óptima, es decir, los valores de w1, w2,…, wN, que nos indican la proporción del presupuesto que el inversor debe colocar en cada activo arriesgado para maximizar su utilidad esperada. • Alternativamente, podríamos sustituir E* por la rentabilidad esperada de la cartera en el mencionado programa, y la resolución del problema nos mostraría, del mismo modo, los valores de w1, w2,…, wN, para obtener una satisfacción máxima. Solución al modelo de selección de carteras de Markowitz
  18. 18. Florida Centre de Formació 18 4.7. LA INTRODUCCIÓN DEL ACTIVO LIBRE DE RIESGO • Extensión del modelo de Markowitz se añade la hipótesis de la existencia de una tasa libre de riesgo a la cual se puede prestar y pedir prestada cualquier cantidad de dinero. – Alternativas • Invertir todo el presupuesto en el activo libre de riesgo. • Invertir todo el presupuesto en activos arriesgados. • Destinar parte del presupuesto a la adquisición del activo sin riesgo o, lo que es lo mismo, cederla en préstamo al tipo de interés sin riesgo. • Colocar en los activos arriesgados una cantidad superior a su presupuesto de inversión, endeudándose al tipo de interés sin riesgo para financiar la diferencia.
  19. 19. Florida Centre de Formació 19 CONCEPTOS PREVIOS EN EL NUEVO CONTEXTO • Carteras mixtas: combinaciones entre el título libre de riesgo y las carteras eficientes. • RF: rentabilidad del activo libre de riesgo. • El activo libre de riesgo proporciona un rendimiento cierto. Por tanto, la esperanza matemática de su rentabilidad es constante e igual a RF, y tanto su desviación típica como sus covarianzas con el resto de activos y carteras que se negocian en el mercado son nulas. • La inversión en el activo libre de riesgo constituye la cartera de varianza global más pequeña posible. Por tanto, el activo libre de riesgo forma parte de la nueva frontera eficiente.
  20. 20. Florida Centre de Formació 20 Análisis de las carteras mixtas (I) P T F R T RE F R P RE sarriesgadoactivosdeeficientecarteralayriesgodelibreactivoelconformarpuedenseque mixtascarteraslastodasderiesgoelyesperadoientorenelrelacionaquerectalínealadeecuaciónlaobtieneseostérordenando T RE T P F R T P P RE T Pw T w T w TFFT ww T w F w P T REw F wR P REcarteraladeesperadoienton T Rw F wR p Rcarteraladeienton σ σ σ σ σ σ σ σ σσσσρσσσ − += +−= =− −=−=−+−+= −+= −+= ) ~ ( ) ~ ( . dimminRe ) ~ ()1() ~ ( )1( )1(22)1()1(222)1(22 ) ~ ()1() ~ (dimRe ~ )1( ~ :dimRe
  21. 21. Florida Centre de Formació 21 Obtención de la frontera eficiente P T FT FP RRE RRE σ σ − += ) ~ ( ) ~ ( • La ordenada en el origen es el par rendimiento-riesgo correspondiente al activo libre de riesgo, y la pendiente es la expresión del cociente. • Según cuál sea el valor de w, el inversor se sitúa en uno u otro punto de esa línea recta • Si w=1, el inversor se sitúa en el punto RF e invierte todos sus fondos en el activo libre de riesgo. • Si w=0, el inversor se sitúa en el punto T, colocando todo su presupuesto en la cartera eficiente de activos arriesgados. • Si 0<w<1, el inversor distribuye todo su presupuesto colocando parte en la cartera eficiente y parte en la cartera T. CARTERAS INVERTIDAS. • Si w<0, el individuo se endeuda a la tasa libre de riesgo RF, invirtiendo la totalidad de su presupuesto y los fondos obtenidos con el préstamo en la cartera T, de modo que se sitúa en algún punto de la recta a la derecha de T. CARTERAS EN PRÉSTAMO Ep σp σCMV’ ECMV RF CMV T ET σT Carteras en préstamo Carteras invertidas
  22. 22. Florida Centre de Formació 22 Obtención de la cartera óptima del inversor • La cartera óptima, O, será aquella que proporcione el par rentabilidad esperada- desviación típica localizado en el punto de tangencia entre la nueva frontera eficiente y el mapa de curvas de indiferencia del inversor. Ep σp RF T ET σT O
  23. 23. Florida Centre de Formació 23 RECAPITULANDO… • La cartera arriesgada T (cartera tangente que se combina con el activo libre de riesgo de cara a la formación de carteras mixtas) es independiente tanto de la distribución del presupuesto de los inversores como de la predisposición particular que muestren frente al riesgo los diferentes inversores individuales. • Si todos los inversores dispusiesen de la misma información (hipótesis de expectativas homogéneas) serían las posibilidades objetivas del mercado las que determinarían el conjunto de oportunidades de inversión y la frontera eficiente. • Por tanto, la cartera arriesgada óptima, T, sería la misma para todos los inversores individuales fuera cual fuera la actitud particular frente al riesgo de cada uno de ellos.
  24. 24. Florida Centre de Formació 24 4.8. EL TEOREMA DE LA SEPARACIÓN • Cualquier inversor maximizará su utilidad esperada, con independencia de su grado de aversión al riesgo, repartiendo su presupuesto únicamente entre el activo libre de riesgo y la cartera arriesgada T. • Este teorema simplifica el proceso de selección de la cartera óptima a dos etapas, esto es, el inversor toma dos decisiones por separado: – La identificación de la única cartera de activos arriesgados, la cartera T, que será la que cualquier inversor combinará con el activo libre de riesgo (qué activos y en qué proporciones compondrán la cartera T). – La elección por parte de cada inversor particular de su cartera óptima. Dependiendo de su grado de aversión al riesgo, decidirá qué cantidad de su presupuesto de inversión prestará o pedirá prestado al tipo de interés libre de riesgo (w), y qué cantidad invertirá en la cartera arriesgada T, (1-w).

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