9dethithu

733 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
733
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
13
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

9dethithu

  1. 1. Di n ñàn Ntquang.net ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 1I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) 2x + 1Câu I (2,0 ñi m) Cho hàm s y = (C) x +1 1.Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s ñã cho 2.Tìm trên ñ th (C) nh ng ñi m có t ng kho ng cách ñ n hai ti m c n c a (C) nh nh t. 2 y 2 − x 2 = 1 Câu II (2,0 ñi m) 1. Gi i h phương trình:  . 2 x − y = 2 y − x 3 3  ( ) 2.Gi i phương trình sau: 8 sin x + cos x + 3 3 sin 4 x = 3 3 cos 2 x − 9 sin 2 x + 11 . 6 6 2 1 1 x+Câu III (1,0 ñi m) Tính tích phân: I = ∫ ( x + 1 − )e x dx . 1 x 2Câu IV(1,0 ñi m) Cho t di n ABCD có AC = AD = a 2 , BC = BD = a, kho ng cách t B ñ n m t ph ng(ACD) b ng a . Tính góc gi a hai m t ph ng (ACD) và (BCD). Bi t th c a kh i t di n ABCD b ng 3a 3 15 . 27 ( )Câu V (1,0 ñi m) V i m i s th c x, y th a ñi u ki n 2 x 2 + y 2 = xy + 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nhnh t c a bi u th c P = x + y . 4 4 2 xy + 1II. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c B)A.Theo chương trình Chu nCâu VI.a( 2,0 ñi m) 1. Trong mp v i h t a ñ Oxy cho ñư ng tròn : x2 +y2 - 2x +6y -15=0 (C ). Vi t PT ñư ng th ng (∆) vuônggóc v i ñư ng th ng: 4x-3y+2 =0 và c t ñư ng tròn (C) t i A;B sao cho AB = 6. x − 2 y z +12.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz cho hai ñư ng th ng: d1 : = = và 4 −6 −8 x−7 y−2 z d2 : = = . Xét v trí tương ñ i c a d1 và d2 . Cho hai ñi m A(1;-1;2) và B(3 ;- 4;-2), Tìm t a ñ −6 9 12ñi m I trên ñư ng th ng d1 sao cho IA + IB ñ t giá tr nh nh t.Câu VII.a (1,0 ñi m) Cho z1 , z2 là các nghi m ph c c a phương trình 2 z 2 − 4 z + 11 = 0 . Tính giá tr c a bi u z1 + z2 2 2th c A = . ( z1 + z2 ) 2B. Theo chương trình Nâng cao.Câu VI.b(2,0 ñi m)1.Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), tr c tâm H(3;-1), tâm ñư ng tròn ngo i ti p tam giác làI(-2;0). Xác ñ nh ñi m B, C (bi t xC >0) 2.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho M(1;2;3). L p phương trình m t ph ng ñi qua M c t ba tia Oxt i A, Oy t i B, Oz t i C sao cho th tích t di n OABC nh nh t.  x + log 2 y = y log 2 3 + log 2 xCâu VII.b (1,0 ñi m) Gi i h phương trình:   x log 2 72 + log 2 x = 2 y + log 2 y ……………H t………………Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  2. 2. Di n ñàn Ntquang.netCâu Ý N i dung ði m ðÁP ÁNDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  3. 3. Di n ñàn Ntquang.net 1 * TËp x¸c ®Þnh: D = R{ - 1} * Sù biÕn thiªn - Giíi h¹n vµ tiÖm cËn: lim y = lim y = 2 ; tiÖm cËn ngang: y = 2 x →+∞ x →−∞ lim y = +∞; lim + y = −∞ ; tiÖm cËn ®øng: x = - 1 x → ( −1) − x → ( −1) - B¶ng biÕn thiªn 1ñ 1 Ta cã y = > 0 víi mäi x ≠ - 1 ( x + 1) 2 Hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (- ∞ ; -1) vµ ( -1; + ∞ ) I 2 2 x0 + 1 0,5 Gäi M(x0;y0) lµ mét ®iÓm thuéc (C), (x0 ≠ - 1) th× y0 = x0 + 1 Gäi A, B lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña M trªn TC§ vµ TCN th× 2 x0 + 1 1 MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | - 2| = | | x0 + 1 x0 + 1 1 Theo Cauchy th× MA + MB ≥ 2 x0 + 1 . =2 x0 + 1 ⇒ MA + MB nhá nhÊt b»ng 2 khi x0 = 0 hoÆc x0 = -2.Như vËy ta cã hai ®iÓm cÇn t×m lµ M(0;1) vµ M’(-2;3) 0,5 (sin x + cos 6 x ) = 1 − sin 2 2 x (1) 1 6 3 0,5 4 Thay (1) vµo ph−¬ng tr×nh (*) ta cã : 8 ( sin 6 x + cos 6 x ) + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9 sin 2 x + 11 0,5  3  ⇔ 8 1 − sin 2 2 x  + 3 3 sin 4 x = 3 3cos 2 x − 9sin 2 x + 11  4  ⇔ 3 3 sin 4 x − 3 3cos 2 x = 6sin 2 2 x − 9sin 2 x + 3 ⇔ 3 sin 4 x − 3cos 2 x = 2sin 2 2 x − 3sin 2 x + 1 ⇔ 3cos 2 x. ( 2sin 2 x − 1) = (2sin 2 x − 1)(sin 2 x − 1) II ⇔ ( 2sin 2 x − 1) ( 3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0 )Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  4. 4. Di n ñàn Ntquang.net  2 sin 2 x − 1 = 0  2sin 2 x = 1 (2) ⇔ ⇔  3cos 2 x − sin 2 x + 1 = 0 sin 2 x − 3cos 2 x = 1 (3)  Π  Π x = + kΠ x = + kΠ Gi¶i (2) :  12  (k ∈ Z ) ; Gi¶i (3)  4 (k ∈ Z )   x = 5Π + k Π  x = 7Π + k Π   12   12 KÕt luËn : 2 ( Ta có: 2 x3 − y 3 = 2 y 2 − x 2 )(2 y − x) ⇔ x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 − 5 y 3 = 0 . Khi y = 0 thì h VN. 0,5 3 2  x x x Khi y ≠ 0 , chia 2 v cho y 3 ≠ 0 ⇒   + 2   + 2   − 5 = 0 .  y  y  y x ð t t = , ta có : t 3 + 2t 2 + 2t − 5 = 0 ⇔ t = 1 . y y = x  Khi t = 1 ,ta có : HPT ⇔  2 ⇔ x = y = 1, x = y = −1 . y =1  0.5 2 1 2 1 1 1 x+ x+ 1 x+ I = ∫ ( x + 1 − )e x dx = ∫ e x dx + ∫ ( x − )e x dx = I1 + I 2 . 0,5ñ 1 x 1 x 2 2 1 2 2 1 5 x+ 1 x+ 3 Tính I1 theo phương pháp t ng ph n I1 = xe x − ∫ ( x − )e x dx = e 2 − I 2III 1 1 x 2 0,5 2 2 5 3 ⇒I = 2 e . 2 G i E là trung ñi m c a CD, k BH AE A Ta có ACD cân t i A nên CD AE 0,5 Tương t BCD cân t i B nên CD BE Suy ra CD (ABE) CD BH Mà BH AE suy ra BH (ACD) H Do ñó BH = và góc gi a hai m t ph ng (ACD) và (BCD) là D B E Th tích c a kh i t di n ABCD là CIV 0,5 Mà Khi ñó : là 2 nghi m c a pt: x2 - x+ = 0Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  5. 5. Di n ñàn Ntquang.net  2 a2  2 5a 2  AE = 3  ho c  AE = 3   2  2  DE 2 = 5a  DE 2 = a   3   3 trư ng h p vì DE<a (DE=CD/2<(BC+BD)/2=a) Xét BED vuông t i E nên BE = Xét BHE vuông t i H nên sin = V y góc gi a hai mp(ACD) và (BCD) là ( ) ð t t = xy . Ta có: xy + 1 = 2 ( x + y ) − 2 xy ≥ −4 xy ⇒ xy ≥ − 2 1 5 ( Và xy + 1 = 2 ( x − y ) 2 + 2 xy ) ≥ 4 xy ⇒ xy ≤ . ðK: − ≤ t ≤ . 1 3 1 5 1 3 (x ) 2 2 + y2 − 2 x2 y2 −7t 2 + 2t + 1 0,5 Suy ra : P = = . 2 xy + 1 4 ( 2t + 1) Do ñó: P = ( 7 −t 2 − t ) , P = 0 ⇔ t = 0, t = −1( L) V 2 ( 2t + 1) 2  1 1 2 1 P−  = P  = và P ( 0 ) = .  5  3  15 4 1 2  1 1 KL: GTLN là và GTNN là ( HSLT trên ño n − ;  ) 0,5 4 15  5 3 1 ðư ng tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5 G i H là trung ñi m AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4 M t khác IH= d( I; ∆ ) Vì ∆ ⊥ d: 4x-3y+2=0 nên PT c a ∆ có d ng 3x+4y+c=0 I d(I; ∆ )= A H B 0,5 v y có 2 ñt th a mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0 0,5 ur ur u 2 VÐc t¬ chØ ph−¬ng cña hai ®−êng th¼ng lÇn l−ît lµ: u (4; - 6; - 8) u ( - 6; 9; 12) 1 2VIa ur ur u +) u1 vµ u2 cïng ph−¬ng +) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2 VËy d1 // d2. uuur *) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1 Gäi A1 lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua d1 .Ta cã: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B IA + IB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng A1B 0,5 Khi A1, I, B th¼ng hµng ⇒ I lµ giao ®iÓm cña A1B vµ d Do AB // d1 nªn I lµ trung ®iÓm cña A1B.  36 33 15  *) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A lªn d1. T×m ®−îc H  ; ;   29 29 29   43 95 28  A’ ®èi xøng víi A qua H nªn A’  ; ; −  0,5  29 29 29   65 −21 −43  I lµ trung ®iÓm cña A’B suy ra I  ; ;   29 58 29 Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  6. 6. Di n ñàn Ntquang.net 3 2 3 2 Gi i pt ñã cho ta ñư c các nghi m: z1 = 1 − i, z2 = 1 + i 2 2 2 2 z1 + z2 2VIa 3 2  22 11 0,5 Suy ra | z1 |=| z2 |= 1 +  2  2  = 2 ; z1 + z2 = 2 . Do ñó  = ... = 2   ( z1 + z2 ) 4 0,5 1 Phương trình ñư ng tròn (C): (x+2)2+y2=25 (1) 0,5 uuur Vì BC ⊥ AH = (0; −6) nên phương trình BD có d ng: y=m uuur uu r 2 G i H là tr ng tâm tam giác ABC, ta có: GH = −2GI ⇒ G(−1; − ) 3  x B + x C = −4  x B + x C = −4  ⇒ (2)  y B + y C = −6  y B = y C = −3 0,5  x=2 Th (2) vào (1) ta ñư c:  ⇒ B(−6; −3); C(2; −3) (vì xC>0)  x = −6 2 MÆt ph¼ng c¾t 3 tia Ox,Oy,Oz t¹i A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) cã d¹ngVIb x y z (α ) : + + = 1, ( a, b, c > 0 ) a b c 1 2 3 cos y 6 • Do M ∈ (α ) nªn: + + = 1 ≥ 3. 3 ⇒ abc ≥ 162 0,5 a b c abc a = 3 1  • ThÓ tÝch: V = abc ≥ 27 ⇒ Vmin = 27 ⇔ b = 6 6 c = 9  0,5 MÆt ph¼ng cÇn t×m: 6x+3y+2z-18=0 ðK: x,y > 0  x + log 2 y = y log 2 3 + log 2 x 0,5 - h phương trình ⇔   x (3 + 2 log 2 3) + log 2 x = 2 y + log 2 y - Suy ra: y = 2x 0,5 1VIb x= 2 log 2 3 − 1 2 y= 2 log 2 3 − 1N u thí sinh làm bài không theo cách nêu trong ñáp án mà v n ñúng thì ñư c ñ ñi m t ng ph n như ñáp ánquy ñ nh. ------------------H t------------------Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  7. 7. Di n ñàn Ntquang.net ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 2A.PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 ñi m):Câu I (2 ñi m): Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1) x − m3 + m (1) 1.Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1) ng v i m=1 2.Tìm m ñ hàm s (1) có c c tr ñ ng th i kho ng cách t ñi m c c ñ i c a ñ th hàm s ñ n góc t a ñ O b ng 2 l n kho ng cách t ñi m c c ti u c a ñ th hàm s ñ n góc t a ñ O.Câu II (2 ñi m): π 1. Gi i phương trình : 2cos3x.cosx+ 3(1 + s in2x)=2 3cos 2 (2 x + ) 4 2. Gi i phương trình : log 2 (5 − 2 x) + log 2 (5 − 2 x).log 2 x +1 (5 − 2 x) = log 2 (2 x − 5) 2 + log 2 (2 x + 1).log 2 (5 − 2 x) 1 2 π π tan( x − ) 6Câu III (1 ñi m): Tính tích phân I = ∫ 4 dx 0 cos2xCâu IV (1 ñi m): Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i ñáy và SA=a .G i M,N l n lư t là trung ñi m c a SB và SD;I là giao ñi m c a SC và m t ph ng (AMN). Ch ng minh SC vuông góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI.Câu V (1 ñi m): Cho x,y,z là ba s th c dương có t ng b ng 3.Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 3( x 2 + y 2 + z 2 ) − 2 xyz .B. PH N T CH N (3 ñi m): Thí sinh ch ñư c ch n m t trong hai phàn (ph n 1 ho c 2) 1.Theo chương trình chu n:Câu VIa (2 ñi m): 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy cho ñi m C(2;-5 ) và ñư ng th ng ∆ : 3 x − 4 y + 4 = 0 . Tìm trên ∆ hai ñi m A và B ñ i x ng nhau qua I(2;5/2) sao cho di n tích tam giác ABC b ng15. 2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 . r Vi t phương trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc tơ v(1; 6; 2) , vuông góc v i m t ph ng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và ti p xúc v i (S).Câu VIIa(1 ñi m): Tìm h s c a x 4 trong khai tri n Niutơn c a bi u th c : P = (1 + 2 x + 3 x 2 )102.Theo chương trình nâng cao:Câu VIb (2 ñi m): x2 y 2 1.Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy cho elíp ( E ) : + = 1 và hai ñi m A(3;-2) , B(-3;2) . 9 4 Tìm trên (E) ñi m C có hoành ñ và tung ñ dương sao cho tam giác ABC có di n tích l n nh t. 2.Trong không gian v i h to ñ Oxyz cho m t c u ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 . r Vi t phương trình m t ph ng (P) song song v i giá c a véc tơ v(1; 6; 2) , vuông góc v i m t ph ng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và ti p xúc v i (S).Câu VIIb (1 ñi m):Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  8. 8. Di n ñàn Ntquang.net 2 1 22 2n n 121 Tìm s nguyên dương n sao cho tho mãn Cn + Cn + Cn2 + ... + 0 Cn = 2 3 n +1 n +1 ðÁP ÁN VÀ THANG ðI M Câu N I DUNG ðiêm 2. Ta có y = 3 x − 6mx + 3(m 2 − 1) , 2 ð hàm s có c c tr thì PT y , = 0 có 2 nghi m phân bi t 05 ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 có 2 nhi m phân bi t I ⇔ ∆ = 1 > 0, ∀m C c ñ i c a ñ th hàm s là A(m-1;2-2m) và c c ti u c a ñ th hàm s là 025 B(m+1;-2-2m)  m = −3 + 2 2 Theo gi thi t ta có OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔  025  m = −3 − 2 2  V y có 2 giá tr c a m là m = −3 − 2 2 và m = −3 + 2 2 . 1.  π  PT ⇔ cos4x+cos2x+ 3(1 + sin 2 x) = 3 1 + cos(4x+ )  05  2  ⇔ cos4x+ 3 sin 4 x + cos2x+ 3 sin 2 x = 0 π π ⇔ sin(4 x + ) + sin(2 x + ) = 0 6 6  π π π  x = − 18 + k 3 ⇔ 2sin(3x + ).cosx=0 ⇔  05 6  x= π + kπ  2  π π π V y PT có hai nghi m x= + kπ và x=− +k . II 2 18 3  −1 5  <x< 2. ðK :  2 2. x ≠ 0  05 V i ðK trên PT ñã cho tương ñương v i log 2 (5 − 2 x) log 2 (5 − 2 x) + 2 = 2 log 2 (5 − 2 x) + 2 log 2 (5 − 2 x) log 2 (2 x + 1) log 2 (2 x + 1) 2  −1 x = 4 log 2 (2 x + 1) = −1  ⇔ log 2 (5 − 2 x) = 2 log 2 (2 x + 1) ⇔  x = ∨ x = −2 1  025  2 log 2 (5 − 2 x) = 0  x = 2    K t h p v i ðK trên PT ñã cho có 3 nghi m x=-1/4 , x=1/2 và x=2. 025Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  9. 9. Di n ñàn Ntquang.net π π π tan( x − ) 4 dx = − tan x + 1 dx , cos 2x = 1 − tan x 6 6 2 2 025 I=∫ ∫ (t anx+1)2 0 cos2x 0 1 + tan 2 x III 1 ð t t = t anx ⇒ dt= dx = (tan 2 x + 1)dx cos 2 x x=0⇒t =0 05 π 1 x= ⇒t = 6 3 1 1 3 dt 1 3 1− 3 025 Suy ra I =−∫ = = . 0 (t + 1) 2 t + 10 2  AM ⊥ BC , ( BC ⊥ SA, BC ⊥ AB) Ta có  ⇒ AM ⊥ SC (1) 05  AM ⊥ SB,( SA = AB) Tương t ta có AN ⊥ SC (2) T (1) và (2) suy ra AI ⊥ SC V IH song song v i BC c t SB t i H. Khi ñó IH vuông góc v i (AMB) 1 Suy ra VABMI = S ABM .IH IV 3 a2 Ta có S ABM = 05 4 IH SI SI .SC SA2 a2 1 1 1 = = = 2 = 2 = ⇒ IH = BC = a BC SC SC 2 SA + AC 2 a + 2a 2 3 3 3 1 a2 a a3 V y VABMI = = 3 4 3 36 Ta c ó: P = 3 ( x + y + z )2 − 2( xy + yz + zx)  − 2 xyz   025 = 3[ 9 − 2( xy + yz + zx) ] − 2 xyz = 27 − 6 x( y + z ) − 2 yz ( x + 3) ( y + z )2 ≥ 27 − 6 x(3 − x) − ( x + 3) 2 025 1 = (− x3 + 15 x 2 − 27 x + 27) 2 Xét hàm s f ( x) = − x3 + 15 x 2 − 27 x + 27 , v i 0<x<3 x =1 f , ( x) = −3 x 2 + 30 x − 27 = 0 ⇔  x = 9 05 T b ng bi n thiên suy ra MinP=7 ⇔ x = y = z = 1 .Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  10. 10. Di n ñàn Ntquang.net 3a + 4 16 − 3a 1. G i A(a; ) ⇒ B (4 − a; ) . Khi ñó di n tích tam giác ABC là 4 4 1 05 S ABC = AB.d (C → ∆) = 3 AB . 2  6 − 3a  a = 4 2 Theo gi thi t ta có AB = 5 ⇔ (4 − 2a) 2 +   = 25 ⇔  a = 0 05  2   V y hai ñi m c n tìm là A(0;1) và B(4;4). 2. Ta có m t c u (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4 r Véc tơ pháp tuy n c a (α ) là n(1; 4;1) 025 r Vì ( P) ⊥ (α ) và song song v i giá c a v nên nh n véc tơ uu r r r 025 n p = n ∧ v = (2; −1; 2) làm vtpt. Do ñó (P):2x-y+2z+m=0 VIa  m = −21 Vì (P) ti p xúc v i (S) nên d ( I → ( P )) = 4 ⇔ d ( I → ( P)) = 4 ⇔  025 m = 3 V y có hai m t ph ng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0. 025 10 10 k 05 Ta có P = (1 + 2 x + 3 x 2 )10 = ∑ C10 (2 x + 3 x 2 )k = ∑ (∑ C10Cki 2k −i 3i x k +i ) k k k =0 k =0 i =0 k + i = 4  i = 0 i = 1 i = 2 025 Theo gi thi t ta có 0 ≤ i ≤ k ≤ 10 ⇔  ∨ ∨ i, k ∈ N k = 4 k = 3 k = 2  VIIa V y h s c a x 4 là: C10 24 + C10C3 223 + C10C2 32 = 8085 . 4 3 1 2 2 025 1. Ta có PT ñư ng th ng AB:2x+3y=0 x2 y2 G i C(x;y) v i x>0,y>0.Khi ñó ta có + = 1 và di n tích tam giác ABC là 05 9 4 1 85 85 x y S ABC = AB.d (C → AB) = 2x + 3 y = 3 + 2 2 13 13 3 4 85  x 2 y 2  170 ≤3 2 +  = 3 13  9 4  13  x2 y 2 05 VIb  + =1  2 9 4 x = 3 3 2 D u b ng x y ra khi  ⇔ 2 . V y C( ; 2) . x = y y = 2 2 3 2   Xét khai tri n (1 + x)n = Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn x n 0 1 2 n L y tích phân 2 v cân t 0 ñ n 2 , ta ñư c: 05 3n +1 − 1 2 2 1 23 3 2n +1 n = 2Cn + Cn + Cn + ... + 0 Cn VIIb n +1 2 3 n +1Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  11. 11. Di n ñàn Ntquang.net 2 1 2 2 2 3n +1 − 1 n 121 3n +1 − 1 Cn + Cn + Cn2 + ... + 0 Cn = n ⇔ = ⇔ 2 3 n +1 2(n + 1) n + 1 2(n + 1) ⇔ 3n +1 = 243 ⇔ n = 4 05 V y n=4. ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 3 www.VNMATH.comI. PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 ñi m)Câu I. (2 ñi m) Cho hàm s y = x3 − 3 x 2 + 2 (C )1.Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C ) c a hàm s2.Tìm m ñ ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr c a ( C ) ti p xúc v i ñư ng tròn có phương trình( x − m ) + ( y − m − 1) 2 2 =5Câu II. (2 ñi m) 3 41. Gi i phương trình 2 + = 2(cot x + 3) cos x sin 2 x 1 1 12. Gi i phương trình + − = log 2 x + 1 log x − 2 4 log 2x −1 4 2 ln ( x + 2 )Câu III.(1 ñi m) Cho hình ph ng D ñư c gi i h n b i các ñư ng y = , y = 0 , x = 1 và x = e . Tính xth tích c a v t th tròn xoay ñư c t o thành khi quay hình ph ng D quanh tr c 0xCâu IV. (1 ñi m) Cho lăng tr ñ ng ABC. A B C có ñáy ABC là tam giác cân v i AB = AC = a , góc ∠BAC = 1200 , c nh bên BB = a . G i I là trung ñi m c a CC . Ch ng minh tam giác AB I vuông t i A vàtính cosin c a góc gi a hai m t ph ng ( ABC ) và ( AB I )Câu V.(1 ñi m) Cho x, y là các s th c th a mãn x 2 + y 2 − xy = 1 .Tìm GTLN, GTNN c a F = x6 + y6 −2x2 y2 − xyII. PH N RIÊNG CHO CÁC THÍ SINH (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n1.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình chu nCâu VI.a (2 ñi m)1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy , tìm to ñ các ñ nh c a tam giác ABC vuông cân, bi t ñ nh C ( 3; −1)và phương trình c a c nh huy n là 3x − y + 10 = 0 x −1 y −3 z x−5 y z+52.Cho m t ph ng (P): 2 x − y + 2 z − 1 = 0 và các ñư ng th ng: d1 : = = ,d : = = Tìm 2 1 −2 2 3 4 2các ñi m A ∈ d1 , B ∈ d 2 sao cho AB // (P) và AB cách (P) m t kho ng b ng 1.Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  12. 12. Di n ñàn Ntquang.net n 2  1  Câu VII.a (1 ñi m) T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Niut¬n cña  x + 4  biÕt r»ng  2 xn lµ sè nguyªn d−¬ng tháa m·n: Cn + 2Cn + 3Cn + L + ( n − 1) Cn + nCn = 64n 1 2 3 n −1 n2.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình nâng caoCâu VI.b (2 ñi m)1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy , cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4. Bi t A(0;0), B(-1;2) vàgiao ñi m I c a hai ñư ng chéo n m trên ñư ng th ng y = x-1. Tìm t a ñ ñ nh C và D. x−2 y−2 z−3 x −1 y − 2 z −12.Cho hai ñư ng th ng d1 và d2 l n lư t có phương trình: d 1 : = = d2 : = = , 2 1 3 2 −1 4Vi t phương trình m t ph ng cách ñ u hai ñư ng th ng d1 và d2Câu VII.b (1 ñi m) Tìm h s c a x 20 trong khai tri n c a bi u th c ( 2 + x5 )n bi t r ng: 3 x 0 1 1 2C n − C 1 + C n + ... + ( − 1) n 1 n Cn = 1 n 2 3 n +1 13 ðÁP ÁN PH N CHUNG + T p xác ñ nh D = R x = 0 0,25ñ + S bi n thiên y = 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔  x = 2 Hàm ñ ng bi n trên các kho ng ( −∞; 0 ) và ( 2; +∞ ) Hàm s ngh ch bi n trên ( 0; 2 ) + Gi i h n lim y = −∞; lim y = +∞; 0,25 x →−∞ x →+∞ C c tr : Hàm s ñ t c c ñ i t i x = 0 và ycñ = 2 Hàm s ñ t c c ti u t i x = 2 và yct = -2 ði m u n (1;0) 1 B ng bi n thiên (0,25)Câu I x −∞ 0 2 +∞ 22ñ y’ + 0 - 0 + 2 +∞ y -1 1 2 0 3 0,5 −∞ -2 ð th (0,25) -2 Phương trình ñư ng th ng ñi qua hai ñi m c c tr ∆ : 2 x + y − 2 = 0 0,25 2 Tâm c a ñư ng tròn I (m, m + 1) , bán kính R= 5 0,25  m=2 2m + m + 1 − 2 = 5 ⇔ 3m − 1 = 5 ⇔   m = −4 Theo gi thi t ta có 0,5 5  3Câu kπ ði u ki n sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠ . 0,25 II 2Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  13. 13. Di n ñàn Ntquang.net ( ) 2ñ 1 2 4 Ta có 3 1 + tan x + − 2 3 = 2 cot x sin 2 x 2 2 0,5 2 2(sin x + cos x ) 2 ⇔ 3tan x + − 3 = 2 cotg x ⇔ 3tan x + 2 tan x − 3 = 0 sin x cos x π 1 π 0,25 tanx = − 3 ⇔ x = − + kπ tanx = ⇔x= + kπ 3 3 6 1 1 1 Gi i phương trình + − = log 2 x +1 log x − 2 4 log 2x −1 4 2 0,25 ði u ki n x > 2, x ≠ 3 . (1) ⇔ log 4 (x − 2) + log 4 (2x − 1) − log 4 2 = log 4 (x + 1) 2 x = 0 0,5 ( x − 2 )( 2 x − 1) = 2 ( x + 1) ⇔ 2 x 2 − 7 x = 0 ⇔  7 x =  2 7 ð i chi u ñi u ki n ta có x = 0,25 2 u = ln ( x + 2 ) du = 1 0,5 ln ( x + 2 )2  dx   x+2 G i V là th tich c n tìm. V = π ∫ dx . ð t  1 ⇒ 1 x2  dv = x 2 dx  v=−1−1    x 2Câu eIII 1 1 dx 3 1 1 1 Suy ra V= −π  +  ln ( x + 2 ) 1 + π ∫ e = π ln 3 − κ  +  ln ( e + 2 ) + π ln x e 0,5 1ñ  x 2 2x 2 e 2 2 1 1 3 1 1 1 = π [ ln 3 + −  +  ln ( e + 2 )] 2 2 e 2 Ta có BC = a 3 . Áp d ng ñ nh lí Pitago trong tam giác vuông ACI, ABB’, B’C’I 0.25 5 13 Suy ra AI = a, AB = 2a, B I = a 2 2 Do ñó AI 2 + AB 2 = B I 2 . V y tam giác AB’I vuông t i A 0,25 1 10 2 3 2 ACâu + S AB I = AI . AB = a . S ABC = aIV 2 4 4 1ñ G i α là góc gi a hai mp. Tam giác ABC là hình chi u B C 0,5 vuông góc c a tam giác AB’I suy ra 10 3 3 S A BI cos α = S ABC ⇔ cos α = ⇔ cos α = A I 4 4 10 C B H c sinh tính ñư c di n tich 2 tam giác (0,25 ñ) Tính ra cosin ñ oc 0,25 N u h c sinh gi i b ng phương pháp to ñ ñúng cho ñi m tương ngDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  14. 14. Di n ñàn Ntquang.net Cho x, y là các s th c th a mãn x + y 2 − xy = 1 .Tìm GTLN, GTNN c a 2 F = x6 + y6 −2x2 y2 − xy . Ta có F = ( x 2 + y 2 ) − 3x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) − 2 x 2 y 2 − xy = −2 ( xy ) − 2 ( xy ) + 2 xy + 1 3 3 2 ð t xy = t . Ta có f ( t ) = −2t 3 − 2t 2 + 2t + 1 0,25 −1 x 2 + y 2 − xy = 1 ⇔ ( x + y ) − 3 xy = 1 ⇒ xy ≥ 2 3  1  x 2 + y 2 − xy = 1 ⇔ ( x − y ) + xy = 1 ⇒ xy ≤ 1 suy ra t ∈ − ;1 2Câu V  3  1ñ  1  1   1  t = ∈ − ;1 Ta tìm max, min c a f(t) trên  − ;1 f ( t ) = −6t 2 − 4t + 2 f ( t ) = 0 ⇔  3  3     3   t = −1 0,25   1  37  −1  5 Ta có f   = , f (1) = −1, f   =  3  27  3  27 37 1 1 1 1 1 0,25 Suy ra Max f (t ) = khi t = suy ra x = + ,y= − 27 3 2 6 2 6 Minf (t ) = −1 khi t = 1 suy ra x = y = 1 0,25 1.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình chu n Ta có tam giác ABC cuông cân t i C. C Goi H là trung ñi m c a AB suy ra CH : x + 3 y = 0 0,25  x + 3y = 0  x = −3 To ñ c a H là nghi p c a h  ⇔ 3 x − y + 10 = 0  y =1 A H B 1 gi s A(t;3t+10) ta có  t = −1 0,25 AH 2 = CH 2 ⇔ ( t + 3) + ( 3t + 9 ) = 40 ⇔  2 2 t = −5 V i t = -1. Suy ra A(−1;7), B(−5; −5) 0,25Câu V i t = -5. Suy ra B(−1;7), A(−5; −5) 0,25Va A ∈ d ⇒ A(2t1 + 1, t1 + 3, −2t1 ) B ∈ d 2 ⇒ B(3t2 + 5, 4t2 , 2t2 − 5) uuu 1 r 0,252ñ AB = (3t2 − 2t1 + 4, 4t2 − t1 − 3, 2t2 + 2t1 − 5) uuu uu r r AB.n p = 0 ⇔ 2(3t2 − 2t1 + 4) − 4t2 + t1 + 3 + 2(2t2 + 2t1 − 5) = 0 ⇔ 6t2 + t1 + 1 = 0 4t1 + 2 − t1 − 3 − 4t1 − 1 t1 + 2 t1 = −5 2 AB / /( P) ⇒ d ( A/( P ) ) = = =1 ⇔  0,25 3 3  t1 = 1 2  8 −11  0,25 V i t1 = −5 ⇒ t2 = ⇒ A(−9; −2;10), B  7; ;  3  3 3  −1  −4 −17  0,25 t1 = 1 ⇒ t2 = ⇒ A(3; 4; −2), B  4; ;  3  3 3  Xét khai tri n (1 + x ) = Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn −1 x n −1 + Cn x n 0n 1 2 n nCâu VIIa 0,25 l y ñ o hàm hai v ta có n (1 + x ) = Cn + 2Cn x + ... + ( n − 1) Cn −1 x n − 2 + nCn x n −1 n −1 1 2 n n 1ñDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  15. 15. Di n ñàn Ntquang.net Thay x=1 suy ra C + 2C + 3Cn + L + ( n − 1) Cn −1 + nCn = n2n −1 1 n 3 2 n n n 0,25 ⇔ 64n = 2n−1 ⇔ 64 = 2n −1 ⇔ n = 7 7 k  1  ( )  1  7 7−k  x + 4  = ∑ C7k x  4   2 x  k =0 2 x  0,25 1 7−k k s h ng ch a x 2 có h s là C7k k v i k tho mãn − =2⇔k =2 2 2 4 1 2 21 Suy ra h s ch a x 2 là C7 = 0,25 4 4 2.Ph n dành cho thí sinh theo chương trình nâng cao phương trình ñư ng th ng AB: 2x+y=0. g i h là kho ng A B cách t I t i AB. AB = 5 0,25 1 2 S ABCD = 4S ABI ⇒ S ABI = 1 . ⇔ AB.h = 1 ⇔ h = I 2 5 D C G i to ñ di m I là I ( x0 , y0 ) ta có h  2 x0 + y0 2  x = 1, y0 = 0 0,25  =  2 x0 + y0 = 2  0  5 5 ⇔ ⇔ −1 −4 1  y = x −1  y0 = x0 − 1  x0 = 3 , y0 = 3  0 0  Do I là trung ñi m AC và BD nên V i I(1;0) suy ra C(2;0) và D(3;-2) 0,25CâuVIb −1 −4  −2 −8   1 −14  V i I( ; ) suy ra C  ;  và D  ;  3 3  3 3  3 3  0,25  −2 −8   1 −14  V y có hai c p C, D tho mãn C(2;0) và D(3;-2) ho c C  ;  và D  ;   3 3  3 3 2ñ Do m t ph ng (P) cách ñ u d1 , d 2 nên (P) song song v i d1 , d 2 → → uur uuu r u d 1 = (2;1;3), u d 2 = (2;−1;4 ), ud 1 , ud 2  = ( 7; −2; −4 )   0,25 uu r uur uuur ch n n p = ud 1 , ud 2  = ( 7; −2; −4 )   Suy ra phương trình m t ph ng (P) có d ng 7 x − 2 y − 4 z + d = 0 2 Do (P) cách ñ u d1 , d 2 suy ra kho ng cách t (2;2;3) ∈ (d1 ) và (1; 2;1) ∈ d 2 b ng 0,5 nhau. 7.2 − 2.2 − 4.3 + d 7.1 − 2.2 − 4.1 + d 3 Ta có = ⇔ d − 2 = d −1 ⇔ d = 69 69 2 Ta có phương trình m t ph ng (P) 14 x − 4 y − 8 z + 3 = 0 0,25 Ta có (1 − x)n = Cn − C1 x + Cn x 2 − .... + (−1)n Cn x n 0 n 2 n 1 1 0,25 Vì ∫ (1 − x)n dx = 0 n +1Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  16. 16. Di n ñàn Ntquang.net 1 0 1 1 1 2 1 1 ∫ (Cn − Cn x + Cn x − .... + (−1) n Cn x n )dx = Cn − Cn + Cn + ... + (−1)n Cn = 0 1 2 2 n nCâu VIIb 0,25 0 2 3 n +1 13 1ñ suy ra ⇒ n + 1 = 13 ⇒ n = 12 12 12−k 12 2 2 2 ( x 3 +x ) =( 5 n x 3 x +x ) 5 12 = ∑ k C12 .( 3 ) ( x5 ) k = ∑ C12 .212−k .x8k −36 k 0,25 k =0 k =0 S h ng ng v i tho mãn: 8k − 36 = 20 ⇔ k = 7 ⇒ H s c a x 20 là: C12 .25 = 25344 7 0,25 ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 4PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)Câu I (2 ñi m) Cho hàm s y = x3 – 3x2+2 (1) 1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s (1). 2. Tìm ñi m M thu c ñư ng th ng y =3x-2 sao t ng kho ng cách t M t i hai ñi m c c tr nh nh t.Câu II (2 ñi m) 1. Gi i phương trình cos2x + 2sin x − 1 − 2sin x cos 2x = 0 2. Gi i b t phương trình ( 4x − 3) x 2 − 3x + 4 ≥ 8x − 6 π 3 cotxCâu III ( 1ñi m)Tính tích phân I = ∫ dx  π π s inx.sin  x +  6  4Câu IV (1 ñi m) Cho hình chóp S.ABC có m t ñáy (ABC) là tam giác ñ u c nh a. Chân ñư ng vuông góc h t S xu ng m t ph ng (ABC) là m t ñi m thu c BC. Tính kho ng cách gi a hai ñư ng th ng BC và SA bi t SA=a và SA t o v i m t ph ng ñáy m t góc b ng 300.Câu V (1 ñi m) Cho a,b, c dương và a2+b2+c2=3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th cDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  17. 17. Di n ñàn Ntquang.net a3 b3 c3 P= + + b2 + 3 c2 + 3 a2 + 3PH N RIÊNG (3 ñi m)A. Theo chương trình chu nCâu VI.a. (2 ñi m) 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho ñư ng tròn (C) : x 2 + y 2 + 2x − 8y − 8 = 0 . Vi t phương trình ñư ng th ng song song v i ñư ng th ng d: 3x+y-2=0 và c t ñư ng tròn theo m t dây cung có ñ dài b ng 6. 2. Cho ba ñi m A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm t a ñ ñi m D thu c ñư ng th ng AB sao cho ñ dài ño n th ng CD nh nh t.Câu VII.a (1 ñi m) Tìm s ph c z tho mãn : z − 2 + i = 2 . Bi t ph n o nh hơn ph n th c 3 ñơn v .B. Theo chương trình nâng caoCâu VI.b (2 ñi m) 1. Tính giá tr bi u th c: A = 4C100 + 8C100 + 12C100 + ... + 200C100 . 2 4 6 100 2. Cho hai ñư ng th ng có phương trình: x = 3 + t x−2 z+3  d1 : = y +1 = d 2 :  y = 7 − 2t 3 2 z = 1− t  Vi t phương trình ñư ng th ng c t d1 và d2 ñ ng th i ñi qua ñi m M(3;10;1).Câu VII.b (1 ñi m) Gi i phương trình sau trên t p ph c: z2+3(1+i)z-6-13i=0 -------------------H t----------------- ðÁP ÁN ð THI TH ð I H C L N II, n¨m 2012PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu N i dung ði m T p xác ñ nh: D=R lim ( x 3 − 3 x 2 + 2 ) = −∞ lim ( x 3 − 3x 2 + 2 ) = +∞ x →−∞ x →+∞ x = 0 y’=3x2-6x=0 ⇔  x = 2 0,25 ñ B ng bi n thiên: x -∞ 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + 0,25 ñ I 2 +∞ 1 y -∞ -2 Hàm s ñ ng bi n trên kho ng: (- ∞;0) và (2; + ∞) Hàm s ngh ch bi n trên kho ng 0,5 ñDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  18. 18. Di n ñàn Ntquang.net (0;2) fCð=f(0)=2; fCT=f(2)=-2 y’’=6x-6=0<=>x=1 khi x=1=>y=0 x=3=>y=2 x=-1=>y=-2 ð th hàm s nh n ñi m I(1;0) là tâm ñ i x ng. G i t a ñ ñi m c c ñ i là A(0;2), ñi m c c ti u B(2;-2) Xét bi u th c P=3x-y-2 Thay t a ñ ñi m A(0;2)=>P=-4<0, thay t a ñ ñi m B(2;-2)=>P=6>0 0,25 ñ V y 2 ñi m c c ñ i và c c ti u n m v hai phía c a ñư ng th ng y=3x-2, ñ MA+MB nh nh t => 3 ñi m A, M, B th ng hàng 0,25 ñ 2 Phương trình ñư ng th ng AB: y=-2x+2 0,25 ñ T a ñ ñi m M là nghi m c a h :  4  y = 3x − 2 x = 5  4 2 0,25 ñ  ⇔ => M  ;   y = −2 x + 2 y = 2 5 5   5 Gi i phương trình: cos2x + 2sin x − 1 − 2sin x cos 2x = 0 (1) (1) ⇔ cos2 x (1 − 2sin x ) − (1 − 2sin x ) = 0 0,5 ñ ⇔ ( cos2 x − 1)(1 − 2sin x ) = 0 1 Khi cos2x=1<=> x = kπ , k ∈ Z 1 π 5π 0,5 ñ Khi s inx = ⇔ x = + k 2π ho c x = + k 2π , k ∈ Z 2 6 6 Gi i b t phương trình: ( 4x − 3) x 2 − 3x + 4 ≥ 8x − 6 (1) II (1) ⇔ ( 4 x − 3) ( ) x 2 − 3x + 4 − 2 ≥ 0 0,25 ñ Ta có: 4x-3=0<=>x=3/4 0,25 ñ x 2 − 3 x + 4 − 2 =0<=>x=0;x=3 2 B ng xét d u: x -∞ 0 ¾ 2 +∞ 4x-3 - - 0 + + 0,25 ñ x 2 − 3x + 4 − 2 + 0 - - 0 + V trái - 0 + 0 - 0 +  3 V y b t phương trình có nghi m: x ∈ 0;  ∪ [3; +∞ ) 0,25 ñ  4Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  19. 19. Di n ñàn Ntquang.net Tính π π 3 3 cot x cot x 0,25 ñ I=∫ dx = 2 ∫ dx  π π s inx ( s inx + cos x ) π sin x sin  x +  6  4 6 π 3 cot x = 2∫ dx π s in x (1 + cot x ) 2 III 6 0,25 ñ 1 ð t 1+cotx=t ⇒ dx = −dt sin 2 x π π 3 +1 0,25 ñ Khi x = ⇔ t = 1 + 3; x = ⇔t= 6 3 3 3 +1 0,25 ñ t −1 3 +1  2  V y I= 2 ∫ dt = 2 ( t − ln t ) 3 +1 = 2 − ln 3  3 +1 t 3  3  3 G i chân ñư ng vuông góc h t S xu ng BC là H. Xét ∆SHA(vuông t i H) a 3 S 0,25 ñ AH = SA cos 300 = 2 Mà ∆ABC ñ u c nh a, mà c nh a 3 AH = K 2 => H là trung ñi m c a c nh BC IV => AH ⊥ BC, mà SH ⊥ BC => BC⊥(SAH) A C 0,25 ñ T H h ñư ng vuông góc xu ng SA t i K => HK là kho ng cách gi a BC và SA H AH a 3 => HK = AH sin 300 = = 0,25 ñ 2 4 B V y kho ng cách gi a hai ñư ng th ng BC a 3 và SA b ng 4 0,25 ñ Ta có: a3 a3 b2 + 3 a 6 3a 2 + + ≥ 33 = (1) 2 b2 + 3 2 b2 + 3 16 64 4 b3 b3 c2 + 3 c 6 3c 2 0,5 ñ + + ≥ 33 = (2) 2 c2 + 3 2 c2 + 3 16 64 4 V c3 a2 + 3 c3 c 6 3c 2 + + ≥3 3 = (3) 2 a2 + 3 2 a2 + 3 16 64 4 L y (1)+(2)+(3) ta ñư c: 0,25 ñ a2 + b2 + c2 + 9 3 2 P+ ≥ ( a + b 2 + c 2 ) (4) 16 4 Vì a2+b2+c2=3Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  20. 20. Di n ñàn Ntquang.net 3 3 0,25 ñ T (4) ⇔ P ≥ v y giá tr nh nh t P = khi a=b=c=1. 2 2PH N RIÊNG (3 ñi m) A. Theo chương trình chu n ðư ng tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5 0,25 ñ G i phương trình ñư ng th ng c n tìm là ∆, => ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // v i ñư ng th ng 3x+y-2=0) Vì ñư ng th ng c t ñư ng tròn theo m t dây cung có ñ dài b ng 6=> kho ng 0,25 ñ cách t tâm I ñ n ∆ b ng 5 −3 = 4 2 2 1 −3 + 4 + c c = 4 10 − 1 ⇒ d ( I, ∆) = =4⇔ (th a mãn c≠2) 32 + 1 0,25 ñ c = −4 10 − 1  V y phương trình ñư ng tròn c n tìm là: 3x + y + 4 10 − 1 = 0 ho c 0,25 ñ 3x + y − 4 10 − 1 = 0 . uuu r VI.a Ta có AB = ( −1; −4; −3) x = 1− t  Phương trình ñư ng th ng AB:  y = 5 − 4t 0,25 ñ  z = 4 − 3t  2 ð ñ dài ño n CD ng n nh t=> D là hình chi u vuông góc c a C trên c nh 0,25 ñ uuu r AB, g i t a ñ ñi m D(1-a;5-4a;4-3a) ⇒ DC = (a; 4a − 3;3a − 3) uuu uuu r r 21 0,25 ñ Vì AB ⊥ DC =>-a-16a+12-9a+9=0<=> a = 26  5 49 41  0,25 ñ T a ñ ñi m D  ; ;   26 26 26  G i s ph c z=a+bi 0,25 ñ  a − 2 + ( b + 1) i = 2  ( a − 2 ) + ( b + 1) = 4  2 2 Theo bài ra ta có:  ⇔ 0,25 ñ b = a − 3  b = a − 3  VII.a a = 2 − 2  a = 2 + 2  ⇔ hoac  0,25 ñ b = −1 − 2  b = −1 + 2  V y s ph c c n tìm là: z= 2 − 2 +( −1 − 2 )i; z= z= 2 + 2 +( −1 + 2 )i. 0,25 ñ A. Theo chương trình nâng cao Ta có: (1 + x ) = C100 + C100 x + C100 x 2 + ... + C100 x100 100 0 1 2 100 (1) 0,25 ñ (1 − x ) = C100 − C100 x + C100 x 2 − C100 x 3 + ... + C100 x100 (2) 100 0 1 2 3 100 L y (1)+(2) ta ñư c: 0,25 ñ (1 + x )+ (1 − x ) = 2C100 + 2C100 x 2 + 2C100 x 4 + ... + 2C100 x100 100 0100 2 4 100 1 L y ñ o hàm hai v theo n x ta ñư c 0,25 ñ VI.b 100 (1 + x ) − 100 (1 − x ) = 4C x + 8C x + ... + 200C x 99 99 2 4 3 100 99 100 100 100 Thay x=1 vào 0,25 ñ => A = 100.299 = 4C100 + 8C100 + ... + 200C100 2 4 100 G i ñư ng th ng c n tìm là d và ñư ng th ng d c t hai ñư ng th ng d1 và d2 2 l n lư t t i ñi m A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). 0,25 ñ uuu r uuur Do ñư ng th ng d ñi qua M(3;10;1)=> MA = k MBDi n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  21. 21. Di n ñàn Ntquang.net uuu r uuur MA = ( 3a − 1; a − 11; −4 + 2a ) , MB = ( b; −2b − 3; −b ) 0,25 ñ 3a − 1 = kb 3a − kb = 1 a = 1 0,25 ñ    ⇒ a − 11 = −2kb − 3k ⇔ a + 3k + 2kb = 11 ⇔ k = 2 −4 + 2a = −kb 2a + kb = 4 b = 1    uuu r => MA = ( 2; −10; −2 )  x = 3 + 2t 0,25 ñ  Phương trình ñư ng th ng AB là:  y = 10 − 10t  z = 1 − 2t  ∆=24+70i, 0,25 ñ ∆ = 7 + 5i ho c ∆ = −7 − 5i 0,25 ñ VII.b 0,25 ñ z = 2 + i =>  0,25 ñ  z = −5 − 4i ð THI TH ð I H C MÔN TOÁN NĂM 2011-2012 ð S 5I.PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7 ®iÓm) 2x + 1C©u I (2 ®iÓm). Cho hµm sè y = cã ®å thÞ lµ (C) x+2 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 2.Chøng minh ®−êng th¼ng d: y = --x + m lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B. T×m m®Ó ®o¹n AB cã ®é dµi nhá nhÊt.C©u II (2 ®iÓm) 1.Gi¶i ph−¬ng tr×nh 9sinx + 6cosx -- 3sin2x + cos2x = 8 log 2 x − log 2 x 2 − 3 > 5 (log 4 x 2 − 3) 2.Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh 2 dxC©u III (1 ®iÓm). T×m nguyªn hµm I = ∫ sin x. cos 5 x 3C©u IV (1 ®iÓm). Cho l¨ng trô tam gi¸c ABC.A1B1C1 cã tÊt c¶ c¸c c¹nh b»ng a, gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mÆtph¼ng ®¸y b»ng 300. H×nh chiÕu H cña ®iÓm A trªn mÆt ph¼ng (A1B1C1) thuéc ®−êng th¼ng B1C1. TÝnh kho¶ngc¸ch gi÷a hai ®−êng th¼ng AA1 vµ B1C1 theo a.C©u V (1 ®iÓm). XÐt ba sè thùc kh«ng ©m a, b, c tháa m·n a2009 + b2009 + c2009 = 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓuthøc P = a4 + b4 + c4II.PhÇn riªng (3 ®iÓm)1.Theo ch−¬ng tr×nh chuÈnC©u VIa: 1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh (x-1)2 + (y+2)2 = 9 vµ ®−êngth¼ng d: x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕnAB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng.Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  22. 22. Di n ñàn Ntquang.net  x = 1 + 2t  2.Cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh  y = t . LËp ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng  z = 1 + 3t (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt.C©u VIIa: 1). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 mµ trong mçi sè lu«n lu«n cã mÆt haich÷ sè ch½n vµ hai ch÷ sè lÎ.  z+i 4 2) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:   = 1, ( z ∈ C )  z −i2.Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao (3 ®iÓm)C©u VIb (2 ®iÓm) 1.Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy cho ®−êng trßn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 vµ ®−êng th¼ng d cãph−¬ng tr×nh x + y + m = 0. T×m m ®Ó trªn ®−êng th¼ng d cã duy nhÊt mét ®iÓm A mµ tõ ®ã kÎ ®−îc hai tiÕptuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn (C) (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm) sao cho tam gi¸c ABC vu«ng. x −1 y z −1 2.Cho ®iÓm A(10; 2; -1) vµ ®−êng th¼ng d cã ph−¬ng tr×nh = = . LËp ph−¬ng tr×nh mÆt 2 1 3ph¼ng (P) ®i qua A, song song víi d vµ kho¶ng c¸ch tõ d tíi (P) lµ lín nhÊt.C©u VIIb (1 ®iÓm) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau mµ trong mçi sè lu«n lu«n cã mÆt hai ch÷sè ch½n vµ ba ch÷ sè lÎ. C©u §¸p ¸n §iÓm 1. (1,25 ®iÓm) I a.TX§: D = R{-2} (2 b.ChiÒu biÕn thiªn ®iÓm) +Giíi h¹n: lim y = lim y = 2; lim y = −∞; lim y = +∞ 0,5 x → −∞ x → +∞ x → −2 + x → −2 − Suy ra ®å thÞ hµm sè cã mét tiÖm cËn ®øng lµ x = -2 vµ mét tiÖm cËn ngang lµ y = 2 3 + y = > 0 ∀x ∈ D ( x + 2) 2 0,25 Suy ra hµm sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (−∞;−2) vµ (−2;+∞) +B¶ng biÕn thiªn x −∞ -2 +∞ y’ + + 0,25 +∞ 2 y 2 −∞ c.§å thÞ: 1 1 §å thÞ c¾t c¸c trôc Oy t¹i ®iÓm (0; ) vµ c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm( − ;0) 2 2 §å thÞ nhËn ®iÓm (-2;2) lµm t©m ®èi xøng y 0,25Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com 2
  23. 23. Di n ñàn Ntquang.net x 2. (0,75 ®iÓm) Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ (C ) vµ ®−êng th¼ng d lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh 2x + 1  x ≠ −2 = −x + m ⇔  2 0,25 x+2  x + (4 − m) x + 1 − 2m = 0 (1) Do (1) cã ∆ = m 2 + 1 > 0 va (−2) 2 + (4 − m).( −2) + 1 − 2m = −3 ≠ 0 ∀m nªn ®−êng th¼ng d lu«n lu«n c¾t ®å thÞ (C ) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B 0,5 Ta cã yA = m – xA; yB = m – xB nªn AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy ra AB ng¾n nhÊt AB2 nhá nhÊt m = 0. Khi ®ã AB = 24 II 1. (1 ®iÓm) (2 Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi 0,5 ®iÓm) 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0 (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0 0,5 1 − sin x = 0 π 6 cos x + 2 sin x − 7 = 0 (VN ) x = + k 2π  2 2. (1 ®iÓm) x > 0 §K:  2 log 2 x − log 2 x − 3 ≥ 0 2 BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi 0,5 log x − log 2 x − 3 > 5 (log 2 x − 3) 2 2 2 (1) ®Æt t = log2x, BPT (1) t 2 − 2t − 3 > 5 (t − 3) ⇔ (t − 3)(t + 1) > 5 (t − 3) t ≤ −1 0,25  t ≤ −1 log x ≤ −1 ⇔ t > 3 ⇔ ⇔ 2 (t + 1)(t − 3) > 5(t − 3) 2 3 < t < 4 3 < log 2 x < 4   1 ⇔ 0 < x ≤ 2 VËy BPT ®· cho cã tËp nghiÖm lµ: (0; 1 ] ∪ (8;16)  2 8 < x < 16Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  24. 24. Di n ñàn Ntquang.net III dx dx 1 ®iÓm I=∫ 3 3 2 = 8∫ 3 sin x. cos x. cos x sin 2 x. cos 2 x ®Æt tanx = t 0,5 dx 2t ⇒ dt = ; sin 2 x = cos x2 1+ t2 dt (t 2 + 1) 3 ⇒ I = 8∫ =∫ dt 2t 3 t3 ( ) 1+ t2 t 6 + 3t 4 + 3t 2 + 1 =∫ dt t3 3 1 3 1 0,5 = ∫ (t 3 + 3t + + t −3 )dt = tan 4 x + tan 2 x + 3 ln tan x − +C t 4 2 2 tan 2 x C©u IV Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nªn gãc ∠AA1 H lµ gãc gi÷a AA1 vµ (A1B1C1), theo gi¶ thiÕt 1 ®iÓm th× gãc ∠AA1 H b»ng 300. XÐt tam gi¸c vu«ng AHA1 cã AA1 = a, gãc ∠AA1 H =300 a 3 ⇒ A1 H = . Do tam gi¸c A1B1C1 lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B1C1 vµ 2 a 3 A1 H = nªn A1H vu«ng gãc víi B1C1. MÆt kh¸c AH ⊥ B1C1 nªn 2 0,5 B1C1 ⊥ ( AA1 H ) A B C K A1 C H B1 KÎ ®−êng cao HK cña tam gi¸c AA1H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA1 vµ 0,25 B1C1 A1 H . AH a 3 0,25 Ta cã AA1.HK = A1H.AH ⇒ HK = = AA1 4 C©u V ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« si cho 2005 sè 1 vµ 4 sè a2009 ta cã 1 ®iÓm 1 +4 2 ... + 1 + a 2009 + a 2009 + a 2009 + a 2009 ≥ 2009.2009 a 2009 .a 2009 .a 2009 .a 2009 = 2009.a 4 (1) 1 1+ 4 3 2005 T−¬ng tù ta cã 1 +4 2 ... + 1 + b 2009 + b 2009 + b 2009 + b 2009 ≥ 2009.2009 b 2009 .b 2009 .b 2009 .b 2009 = 2009.b 4 (2) 1 1+ 4 3 0,5 2005 1 +4 2 ... + 1 + c 2009 + c 2009 + c 2009 + c 2009 ≥ 2009.2009 c 2009 .c 2009 .c 2009 .c 2009 = 2009.c 4 (3) 1 1+ 4 3 2005Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com
  25. 25. Di n ñàn Ntquang.net Céng theo vÕ (1), (2), (3) ta ®−îc 6015 + 4(a 2009 + b 2009 + c 2009 ) ≥ 2009(a 4 + b 4 + c 4 ) ⇔ 6027 ≥ 2009(a 4 + b 4 + c 4 ) Tõ ®ã suy ra P = a 4 + b 4 + c 4 ≤ 3 0,5 MÆt kh¸c t¹i a = b = c = 1 th× P = 3 nªn gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = 3.C©uVIa 1.Tõ ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®−îc 22 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vµ AB ⊥ AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh 0,5®iÓm b»ng 3 ⇒ IA = 3 2 m −1  m = −5 ⇔ = 3 2 ⇔ m −1 = 6 ⇔  2 m = 7 0,5 2. (1 ®iÓm) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ (P)//d, khi ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a d vµ (P) lµ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P). G.sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH ≥ HI => HI lín nhÊt khi A ≡ I 0,5 VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. H ∈ d ⇒ H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH ⊥ d ⇒ AH .u = 0 (u = (2;1;3) lµ vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña d) 0,5 ⇒ H (3;1;4) ⇒ AH (−7;−1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0C©u Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta thÊy cã C 4 = 6 c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (v× kh«ng cã sè 0)vµ 2 0,5VIIa C 52 = 10 c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã C 52 . C 52 = 60 bé 4 sè tháa m·n bµi to¸n1®iÓm Mçi bé 4 sè nh− thÕ cã 4! sè ®−îc thµnh lËp. VËy cã tÊt c¶ C 4 . C 52 .4! = 1440 sè 2 0,5 2.Ban n©ng cao.C©u 1.( 1 ®iÓm)VIa Tõ ph−¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®−êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®−îc 2 tiÕp2 tuyÕn AB, AC tíi ®−êng trßn vµ AB ⊥ AC => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 0,5®iÓm 3 ⇒ IA = 3 2 m −1  m = −5 ⇔ = 3 2 ⇔ m −1 = 6 ⇔  2 m = 7 0,5 2.Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d, mÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ (P)//d, khi ®ã kho¶ng c¸ch gi÷a d vµ (P) lµ kho¶ng c¸ch tõ H ®Õn (P). Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH ≥ HI => HI lín nhÊt khi A ≡ I 0,5 VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn. H ∈ d ⇒ H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH ⊥ d ⇒ AH .u = 0 (u = (2;1;3) lµ vÐc t¬ chØ ph−¬ng cña d) 0,5 ⇒ H (3;1;4) ⇒ AH (−7;−1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0C©u Tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta thÊy cã C 52 = 10 c¸ch chän 2 ch÷ sè ch½n (kÓ c¶ sè cã ch÷ sè 0 0,5VIIa ®øng ®Çu) vµ C53 =10 c¸ch chän 2 ch÷ sè lÏ => cã C 52 . C53 = 100 bé 5 sè ®−îc chän.Di n ñàn h c t p cho h c sinh THPT – Ntquang.net – Ntquang.com

×