1. Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ,
âìåñòå âçÿòûå, ñóòü ÷èñòûå
ôîðìû âñÿêîãî
÷óâñòâåííîãî
ñîçåðöàíèÿ. . . Òîëüêî
ÿâëåíèÿ ñóòü ñôåðà
ïðèëîæåíèÿ ïîíÿòèé
ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.
È. Êàíò, Êðèòèêà ÷èñòîãî
ðàçóìà. 1781.
Ñîáûòèå õàðàòåðèçóåòñÿ ïîëîæåíèåì è âðåìåíåì.
Êîîðäèíàòû è âðåìÿ ñîáûòèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ýòàëîííûìè
èçìåðèòåëüíûìè ïðèáîðàìè: ëèíåéêàìè è ÷àñàìè,
íåïîäâèæíûìè äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà. Ñîâîêóïíîñòü
ïðèáîðîâ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ èçìåðåíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè
ñèñòåìà îòñ÷¼òà.

2. Ñèñòåìû îòñ÷¼òà. Êîîðäèíàòû. Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû.
Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò:
Óíèòàðíîñòü è ïîñòîÿíñòâî ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà
Ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû:
x = (x, y, z)
Âðåìåííàÿ êîîðäèíàòà: t
Ñîâîêóïíîñòü êîîðäèíàò
ïîëîæåíèÿ è âðåìåíè ñîáûòèÿ:
xi = (t, x)

3. Ïîñòóëàòû òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè
Ñóùåñòâóþò ñèñòåìû îòñ÷¼òà, íàçûâàåìûå
èíåðöèàëüíûìè, â êîòîðûõ âñå ôèçè÷åñêèå çàêîíû èìåþò
îäèíàêîâûé âèä. Èíåðöèàëüíîé ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ñèñòåìà
îòñ÷¼òà, äâèæóùàÿñÿ ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî
îòíîñèòåëüíî äðóãîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷¼òà.
Ñêîðîñòü ñâåòà ïîñòîÿííà âî âñåõ ñèñòåìàõ îòñ÷¼òà.
Ïðîñòðàíñòâî òð¼õìåðíî, îäíîðîäíî è èçîòðîïíî. Âðåìÿ
îäíîìåðíî è îäíîðîäíî.

4. Ñèñòåìà îòñ÷¼òà. Ñèíõðîíèçàöèÿ ÷àñîâ.
Ïðè êîíå÷íîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ
ñèãíàëîâ, ôèêñèðóåìîå íà ÷àñàõ âðåìÿ ñîáûòèÿ çàâèñèò
îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñàìè è ïîëîæåíèåì ñîáûòèÿ. Äëÿ
ââåäåíèÿ åäèíñòâà â çíà÷åíèå âðåìåíè ñîáûòèÿ, èç
ïîêàçàíèé ÷àñîâ âû÷èòàþò âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ
ñèãíàëà îò òî÷êè, ãäå ïðîèçîøëî ñîáûòèå, äî òî÷êè åãî
íàáëþäåíèÿ.  òàêîì ñëó÷àå, ïðàâèëüíîå âðåìÿ ñîáûòèÿ
ïîêàçûâàþò ÷àñû, ðàñïîëîæåííûå â òî÷êå ñîáûòèÿ.

5. Ïðåîáðàçîâàíèÿ äåêàðòîâûõ ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò
Îáùåå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò â ïîêîìïîíåíòíîé çàïèñè
t = t(t , x , y , z )
x = x(t , x , y , z )
y = y(t , x , y , z )
z = z(t , x , y , z )
Ñîêðàù¼ííî, èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå 4-âåêòîðà
xi = λi (xj )
Òðåáîâàíèå îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè
ýêâèâàëåíòíî ïîñòîÿíñòâó ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà.
Ïîñòîÿíñòâî ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ñîõðàíÿåòñÿ ïðè
ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò:
xi = λij xj + x
(0)
j (1)

6. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
Ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ëîðåíöà íàçûâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïðÿìîóãîëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ïðè ïåðåõîäå ìåæäó
èíåðöèàëüíûìè ñèñòåìàìè îòñ÷¼òà ñ îáùèì íà÷àëîì
êîîðäèíàò, íàïðàâëåíèåì âðåìåíè è îðèåíòàöèåé êîîðäèíàòíûõ
îñåé.
 ñèëó îáùåãî íà÷àëà êîîðäèàíò, ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
èìåþò âèä
xi = λij (v)xj (2)
 ñàìîì îáùåì âèäå ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà èìååò
âèä
Λ(v) =




λtt(v) λtx (v) λty (v) λtz(v)
λxt(v) λxx (v) λxy (v) λxz(v)
λyt(v) λyx (v) λyy (v) λyz(v)
λzt(v) λzx (v) λzy (v) λzz(v)





7. Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Ñèììåòðèÿ
ïðîñòðàíñòâà
Ñèììåòðèÿ ïðîñòðàíñòâà. Â îäíîðîäíîì è èçîòîðïíîì
ïðîñòðàíñòâå è îäíîðîäíîì âðåìåíè ñóùåñòâóåò ëèøü äâà
4-õìåðíûõ èíâàðèàíòíûõ òåíçîðà:
E =




0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1



 , T =




1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0





8. Âåêòîð ñêîðîñòè îäíîé ñèñòåìû îòñ÷¼òà îòíîñèòåëüíî äðóãîé
äîáàâëÿåò åù¼ òðè òåíçîðà:
Mtv =




0 vx vy vz
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



 , Mvt =




0 0 0 0
vx 0 0 0
vy 0 0 0
vz 0 0 0



 ,
Mvv =




0 0 0 0
0 vx vx vx vy vx vz
0 vy vx vy vy vy vz
0 vzvx vzvy vzvz




Ìàòðèöà Λ äîëæíà áûòü ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýòèõ ïÿòè
ìàòðèö:
Λ = α(v)T + β(v)E + γ1(v)Mtv + γ2(v)Mvt + δ(v)Mvv

9. Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Îáðàòíîå
ïðåîáðàçîâàíèå
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà
òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëîðåíöà, íî ñ îáðàòíîé
ñêîðîñòüþ:
Λ−1
(v) = Λ(−v)
Èíâàðèàíòíîñòü ïîïåðå÷íûõ êîîðäèíàò. Ïðè
ïðåîáðàçîâàíèè 4-õ âåêòîðà (0, x), x ⊥ v, ïîëó÷àåì
Λ(v)x = β(v)Ex = β(v)x
Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå
Λ(−v)(β(v)x) = β(v)Eβ(v)x = (β(v))2
x
Îòñþäà β(v) = 1 èëè β(v) = −1. Ïðè v = 0, β(v) = 1. Èç
íåïðåðûâíîñòè β(v), β(v) = 1 âñþäó.

10. Èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ëîðåíöà
 ñèëó îòñóòñòâèÿ äðóãèõ âûäåëåííûõ íàïðàâëåíèé, êðîìå
íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè, 4-âåêòîðà, êîîðäèàíòíàÿ ÷àñòü êîòîðûõ
ïàðàëëåëüíà íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòè, îáðàçóþò èíâàðèàíòíîå
ïîäïðîñòðàíñòâî ìàòðèöû Λ(v).
Ïðåäñòàâëÿÿ ëþáîé 4-âåêòîð x â âèäå
x = x + x⊥
ãäå x ñîäåðæèò âðåìåííóþ êîîðäèíàòó è ïàðàëëåëüíóþ
íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòè êîìïîíåíòó ïðîñòðàíñòâåííûõ
êîîðäèíàò ñîáûòèÿ, à x⊥ - ïåðïåíäèêóëÿðíóþ êîìïîíåíòó
ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò ñîáûòèÿ, èìååì.
Λ(v)x = Λ(v)x + Λ(v)x⊥ = Λ(v)x + x⊥

11. Ñîêðàù¼ííàÿ ôîðìà ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
 èíâàðèàíòíîì ïîäïðîñòðàíñòâå ââåä¼ì êîîðäèíàòû:
t âðåìåííàÿ êîîðäèàíòà
x ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîîðäèíàòà âäîëü íàïðàâëåíèÿ
ñêîðîñòè
 ýòèõ íîâûõ êîîðäèíàòàõ ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà ïåðåõîäà
Λ(v) èìååò âèä
Λ(v) =
λtt λtx
λxt λxx
(3)

12. Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Îïðåäåëåíèå
ñêîðîñòè
Îïðåäåëåíèå ñêîðîñòè. Ðàññìîòðèì òåëî, äâèæóùååñÿ
ñî ñêîðîñòüþ v îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà K. Â
ñèñòåìå îòñ÷¼òà K â ìîìåíò âðåìåíè t åãî
ïðîñòðàíñòâåííîå ïîëîæåíèå áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ
âûðàæåíèåì
x(t) = vt
Êîîðäèíàòàì (t, vt) â ñèñòåìå îòñ÷¼òà K áóäóò
ñîîòâåñòâîâàòü êîîðäèíàòû (t , 0) â ñèñòåìå îòñ÷¼òà K ,
ñâÿçàííîé ñ ñàìèì ýòèì òåëîì.  òàêîì ñëó÷àå
t = λttt
vt = λxtt
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
λxt = vλtt

13. Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Èíâàðèàíòíîñòü
ñêîðîñòè ñâåòà
Èíâàðèàíòíîñòü ñêîðîñòè ñâåòà. Ïðè äâèæåíèè ñâåòà èç
íà÷àëà êîîðäèíàò çàâèñèìîñòü ïðîñòðàíñòâåííîé
êîîðäèíàòû îò âðåìåííîé èìååò âèä
x (t) = ct
 äðóãîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà
x(t) = ct
Äëÿ ìàòðèöû Λ(v) â òàêîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ
t = λttt + λtx ct
ct = λxtt + λxx ct
Ðàçðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíò λij
ïîëó÷àåì
cλtt + c2
λtx = λxt + cλxx

14. Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Îïðåäåëèòåëü
ìàòðèöû
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû. Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâî
îïðåäåëèòåëÿ
|Λ−1
| =
1
|Λ|
ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå ñâÿçûâàþùåå îïðåäåëèòåëü
ïðåîáðàçîâàíèÿ
|Λ(v)| =
1
|Λ(−v)|
Îïðåäåëèòåëü - ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà è çàâèñèò ëèøü îò
âåëè÷èíû ñêîðîñòè, íî íå îò íàïðàâëåíèÿ. Îòñþäà
|Λ(v)| = |Λ(v)| = |Λ(−v)| =
1
|Λ(v)|
Îêîí÷àòåëüíî, |Λ(v)| = λttλxx − λxtλtx = 1

15. Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. ×¼òíîñòü
×¼òíîñòü. Êàê è â ïîëíîé 4-õìåðíîé ôîðìå, ñîêðàù¼ííàÿ
ôîðìà ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà ìîæåò ñîñòîÿòü
ëèøü èç ñóììû 5 ñëàãàåìûõ:
Λ = α(v)T + E + γ1(v)Mtv + γ2(v)Mvt + δ(v)Mvv
E =
0 0
0 1
, T =
1 0
0 0
Mtv =
0 vx
0 0
, Mvt =
0 0
vx 0
, Mvv =
0 0
0 vx vx
Òàêèì îáðàçîì, äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû äîëæíû
áûòü ÷¼òíûìè ôóíêöèÿìè v, à íåäèàãîëüíûå íå÷¼òíûìè.

16. Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. ×¼òíîñòü è îáðàòíàÿ
ìàòðèöà
×¼òíîñòü è îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Çàïèøåì ïîêîìïîíåíòíî
âûðàæåíèå
Λ−1
(v) = Λ(−v)
λtt(v) = λxx (−v)
λtx (v) = −λtx (−v)
λxt(v) = −λxt(−v)
λxx (v) = λtt(−v)
Ó÷èòûâàÿ ÷¼òíîñòü ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ λi j ïî v, èìååì
λtt(v) = λxx (v)

17. ßâíûé âèä ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà
Ðåøàÿ ðàíåå ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ
cλtt + c2
λtx = λxt + cλxx
λttλxx − λxtλtx = 1
λtt = λxx
λxt = vλtt
ïîëó÷àåì
Λ(v) =



1q
1− v2
c2
v
c2
q
1− v2
c2
vq
1− v2
c2
1q
1− v2
c2


