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Valuación de CDOs usando Copulas

Muestra los fundamentos de correlación, copulas y CDOs. A continuación muestra el algoritmo para calcular los spreads de un CDO

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Valuación de CDOs usando Copulas

  1. 1. Valuación de CDOsusando CopulasUniversidad AnáhuacModelación Avanzada en FinanzasDavid Solís
  2. 2. Parte I Motivación eIntuición
  3. 3. Modelo de Riesgo de CréditoProbabilidad de incumplimiento /Insolvencia / Bancarrota: PRepago completoRepago parcialProbabilidad de noincumplimiento /Insolvencia /Bancarrota: 1 - P
  4. 4. Modelo de Riesgo de Crédito - ContinuaciónRepago completo:$100,000Repago parcial:$65,000 ($100000 * 65%)Probabilidad de no bancarota:98.68% (100% - 1.32%)Probabilidad de bancarota:1.32%Horizonte de tiempo de unaño
  5. 5. Modelo de Riesgo de Crédito - ContinuaciónProbabilidad de no bancarota:98.68% (100% - 1.32%)Probabilidad de Bancarota:1.32%Horizonte de tiempo de unañoLGD:(100% - 65%) * $100,000= $35,000$0 = Sin pérdida
  6. 6. Recuperación vs SeniorityValor remanente delactivoPago de deudagarantizado para elSeniorPago de deuda nogarantizado para elSeniorPago de deudasubordinado para elSeniorPago de deudasubordinadoPago de deudasubordinado para elJuniorSin pagoSin pagoCapitalrecuperado
  7. 7. Riesgo de Crédito de un BonoA: 1.85%AA: 0.25%AAA: 0.06%BBB: 2.06%BB: 12.34%B: 24.86%CCC: 39.97%Default: 18.6%Horizonte de tiempo de un añoNúmero finito de transicionesCalificacióninicialCCC
  8. 8. Histograma de Transición00.050.10.150.20.250.30.350.40.45Default CCC B BB BBB A AA AAA18.6%39.97%24.86%12.34%2.06% 1.85% 0.25% 0.07%
  9. 9. Correlaciónn  La correlación mide el grado en el que laprobabilidad de un evento ocurra en sincronía con laprobabilidad de otro eventon  Respecto a la correlación de incumplimienton  Cero correlación significa que el incumplimientode una empresa no tiene que ver con elincumplimiento de otra - las empresas sontotalmente independientes entre sí.n  Correlación positiva perfecta significa que si unaempresa incumple, automáticamente la otratambiénn  Correlación negativa perfecta significa que si unaempresa incumpla la otra no lo hará
  10. 10. Modelos de Correlaciónn  La correlación de los incumplimientos es el principalfactor de las colas de la distribución del riesgo decréditon  Empíricamente, las correlaciones de losincumplimientos son positivas, lo que aumenta elriesgo del portafolion  Pérdidas en los tramos “seguros” del CDOn  Las correlaciones de los incumplimientos no sepueden medir directamente, por lo que deben serinferidas del modelo
  11. 11. Principios de los Modelos de Factoresn  Es necesario simplificar la matriz de correlaciónn  Los modelos de factores generan modelos comunesde incumplimientosn  Los incumplimientos están influenciados porfactores comunes de riesgon  Los incumplimientos son independientes si secondiciona a estos factores comunes
  12. 12. Tipos de Modelos de Factoresn  Modelos estructuralesn  Utilizan la evolución de las variables estructuralesde la empresa, tales como el valor de los activosy de la deuda, a fin de determinar el momento delincumplimiento.n  Modelos reducidosn  El tiempo de incumplimiento no se determina porel valor de la empresa sino por el primer salto deun proceso exógeno. Los parámetros que regulanla tasa de riesgo de incumplimiento se infieren delos datos de mercadon  La tasa de recuperación en los modelos estructuralesse determina por la estructura de capital, en losreducidos de manera exógena
  13. 13. Copulan  Palabra en latín que significa "sujetar o ajustar”n  Es un puente entre las distribuciones marginales yconjuntasn  En el caso de la correlación de fallecimiento, ladistribución marginal se compone deprobabilidades de tiempo hasta la muerte de unapersona, y la distribución conjunta indica laprobabilidad de que dos personas mueren enestrecha sucesión
  14. 14. CopulaDistribución conjuntaDistribuciones marginales
  15. 15. Teorema de Sklar (1959)Si se tiene una función de distribución conjunta, junto conlas funciones de distribución marginales, entonces existeuna función copula que los une, si las distribucionesmarginales son continuas, la copula es única.También funciona a la inversa: las distribucionesmarginales junto con una copula definen una distribuciónconjunta. La copula crea una estructura de correlaciónpara la distribución y copulas diferentes modelandiferentes estructuras de dependencia
  16. 16. Captura de interdependencias entre dosdrivers de riesgoMarginalesuniformesparalavariable2Marginales uniformes para la variable 11 42 3n  Tipos básicos de los modelos de copulan  Independencia (1)n  Elíptica (2, 3)n  Arquimediana (4)
  17. 17. Copula Gausianan  Asume que si las distribuciones de probabilidadmarginales son normales, entonces la distribución deprobabilidad conjunta también será normal.C u,v( ) = Φ2 Φ−1u( ),Φ−1v( ),ρ( ) −1≤ ρ ≤1C es la función copula de 2 distribuciones normalesΦ2 es la función de distribución normal multivariada concoeficiente de correlación ρΦ−1es la inversa de las funciones de distribución acumuladasnormales univariadas, u y v
  18. 18. Distribuciones de Probabilidad Marginalesn  Caracterizadas por las probabilidades de incumplimiento.n  Las probabilidades de incumplimiento se puedenaproximar por medio de las agencias de calificación, losprecios de mercado, o por el enfoque teórico descrito porMerton
  19. 19. Número Correlación de la Copulan  Especifica la forma de la distribución multivariadan  Correlación cero = circular àn  Correlación positiva o negativa = elipsen  El número de correlación es siempre independientede las marginalesn  Es un factor extremadamente importante porquedetermina la información que se obtiene del mismo
  20. 20. La Inversa de la Normal00.20.40.60.81-3 -2 -1 0 1 2 3Números aleatoriosuniformes nocorrelacionadosNúmeros aleatoriosNormales nocorrelacionadosNORMINVNORMINVUsando la inversa de la normal (CDF) convertimos números aleatoriosuniformes no correlacionados en números aleatorios distribuidosnormalmente.
  21. 21. La Copula Gausiana00.20.40.60.81-3 -2 -1 0 1 2 3Copula gausiana(Números aleatoriosuniformes correlacionados)Números aleatoriosnormales correlacionadosNORMDISTNORMDISTUsando la CDF de la normal convertimos números aleatorios condistribución normal en la copula gausiana
  22. 22. Incumplimientos Correlacionados con laCopula GausianaCopula gausiana(Números aleatorioscorrelacionados)¿Incumple A? ¿Incumple B?Como los números aleatorios uniformes usados para simular losincumplimientos están correlacionados, los incumplimientos tambiénestán correlacionados.
  23. 23. Transiciones Correlacionadas de Créditocon la Copula GausianaCopula gausiana(Números aleatorioscorrelacionados)Como los números aleatorios uniformes usados para simular la transiciónde crédito están correlacionados las transiciones de crédito también estáncorrelacionadas.00.20.40.60.81Default CCC B BB BBB A AA AAA00.20.40.60.81Default CCC B BB BBB A AA AAA
  24. 24. Interpretando la Copula Gausiana0-0.89Disminución en el valor neto del activoLos valores de la distribución normal estándar están por debajo de-0.89, en otras palabras, se incumple el 18.6% de las veces
  25. 25. Transiciones de Crédito con la CopulaGausiana0Calif. Default CCC B BB BBB A AA AAAProb 18.6% 39.97% 24.86% 12.34% 2.06% 1.85% 0.25% 0.06%0.21 0.97 1.72 2.012.27 3.19Un número aleatorio de 2.83 una transición a AA
  26. 26. Activos Correlacionados y Transiciones deCréditoSi el valor de los activos de dos contrapartesestán correlacionados positivamente, lastransiciones de crédito también estaránpositivamente correlacionadas (las dosdisminuyen o suben)Distribución delvalor de los activos
  27. 27. CDOsn  Probleman  Los bancos generalmente tienen portafolios conactivos riesgososn  Soluciónn  Vende los activos a una entidad externa, la quecombina los diferentes activos en un pool deobligacionesn  Re empaqueta el pool como tramosn  Vende los tramos como una forma de proteccióna inversionistas
  28. 28. Obligaciones de deudagarantizada (CDO)Valores respaldados porhipotecas (MBS)MBS vs CDOHipoteca$200k6%30 añosHipoteca$250K6.5%30 añosMBS6 % cupónpromediopor peso,30 añosvencimientopromediopor pesoMBS6%30 añosMBS6.5%30 añosSeniorAAA70%MezzanineBBB25%Equity5%
  29. 29. CDO SintéticoCOMPRADORCDSVENDEDORCDSMBS de referenciaPrima  Valor  nominal  en  incumplimiento  CDS6%30 añosCDS6.5%30 añosSeniorAAA70%MezzanineBBB25%Equity5%CDO sintético
  30. 30. CDO CuadradoSenior 70%Mezz 25%Equity 5%Senior70%Equity5%Senior70%Equity 5%Senior70%Equity 5%Senior70%Mezz 25%Equity 5%Mezz 25%Mezz 25%Mezz 25%
  31. 31. BB de un Portafolio CCCPortafolio de $2.9millones con deudaCCC$1.3 Million - 1.2%Credit VaR(Sin calificación, esel último en pagarse)Tramo BB de$1.6 Million(Se paga primero)El tramo de 1.6 millones se pagará el total el 98.8 % de las veces(1.2% probabilidad de incumplimiento) ya que la pérdida debido aincumplimientos en el portafolio CCC será solo mayor de $1.3 millonesel 1.2% de las vecesPagos divididos
  32. 32. Parte II Puesta en Marcha
  33. 33. Estructura y Precio del CDOn  Cada tramo tiene 2 puntos, superior (detachment) e inferior(attachment)n  Las pérdidas por debajo de punto superior → el tramo no seve afectadon  Las pérdidas por encima del punto inferior → el tramo seinactivan  Se paga la prima basándose en el ancho del tramo menos laspérdidas del tramoInversionistasBonosPréstamosCDSCDOsPool deObligacionesSPVSuper Senior: 12%-100%Senior: 6% -12%Mezzanine: 3% -6%Equity: 0% -3%Prestamistas(CDS)
  34. 34. Estructura y Precio del CDO - ContinuaciónAttachment (3%)Detachment (6%)Pérdidas deltramo4%§ Paid premium based onthe full investment§ Pérdidas de un 1/3 de lainversión. El pago de primas estábasado en 2/3 de la inversiónoriginalPagos deprimas alinversionista= E si (S − Li ) dii=1T∑ )#$%&(− E (Li − Li−1) dii=1T∑ )#$%&(Valor del tramo del CDO = Pata de Primas – Pata de incumplimientoS =Ancho del tramo si= Primadi= Factor de descuento Li= Pérdida del tramo en el intervalo i[ ]iLE
  35. 35. Modelo de CopulaDistribuciones Marginales(distribuciones deprobabilidades deincumplimiento e datos delmercado)Número de Correlación(estimado por correlación delos activos)Selección de Copula(normal, t, clayton)Distribución multivariadacompletamente definidade la probabilidad deincumplimiento dentro deun tiempo T
  36. 36. Selección de CopulaMismo número de correlación (0.15), diferente estructura
  37. 37. Algoritmo Ilustrado!! = −1!!" 1 − ! !! !!! =!"# ! − !!, 0 − !"# ! − !!, 0!! − !!!! !! =1!!"# ! !− !!, 0 − !"# ! !− !!, 0!! − !!!!!!!! !=!"#!1 !!!!!!!!!!Calcula el spread del CDO por tramo
  38. 38. Ejecución!Tramo! Equity! Mezzanine! Senior! Super3senior!Attachment! 0%#! 6%#! 18%#! 36%!Detachment! 6%#! 18%#! 36%#! 100%!Copula/PuntosBaseEquity Mezzanine Senior SuperseniorNormal 1105.03&&& 63.39&&& 0.5334&&&&& 0.0000&t(20) 1078.45&& 87.17& 0.8001&&&&& 0.0000&t(6) 877.00&& 105.32& 13.4450& 0.0000&t(3) 786.97&& 194.23& 25.4276&&&&& 0.2812&Clayton 910.15&& 130.89& 18.3505&&&&& 0.0000&&Definición de TramosResultados
  39. 39. Parte III Ideas Aleatorias
  40. 40. ContagioLos modelos de factores no pueden explicar completamente losincumplimientos en grupoFigura 2 de Common Failings: How Corporate Defaults are Correlated
  41. 41. CDO Cuadrado con 10% IncumplimientoSenior 70%Equity 5%Senior70%Equity5%Senior70%Equity 5%Senior70%Equity 5%Senior70%Mezz 25%Equity 5%Mezz 25%Mezz 25%Mezz 25%Mezz  25  %  Mezz 25%10% de incumplimiento implica20 % de incumplimiento en elCDO^2
  42. 42. CDO Cuadrado con 13% IncumplimientoSenior 70%2%Equity 5%Senior70%Equity5%Senior70%Equity 5%Senior70%Equity 5%Senior70%Mezz 25%Equity 5%Mezz 25%Mezz 25%Mezz 25%Mezz 25%8%  8%   8%  8%  13% de incumplimiento implicaincumplimiento en el tramoAAA Senior del CDO^2
  43. 43. La Falla del Modelo de Copula GausianaMercadoModelo de CopulaGausiana24.00% 19.3%82.5 234.726.5 82.014.0 32.98.75 6.993.53 0.05Super Senior 22-100%Equity 0-3%3-6%6-9%12-22%9-12%n  La dependencia se mide por un parámetro decorrelaciónn  No existe un concepto de incumplimientoidiosincráticon  No existe un concepto de incumplimientosistémico
  44. 44. Limitaciones del ModeloComentario 1: Ver figura de la siguiente láminaComentario 2: En el artículo se encuentra:
  45. 45. Limitaciones del Modelo - Continuación
  46. 46. Extensiones al Modelon  Uso de otras copulas: T, Claytonn  Schönbucher and Schubert crearon un métodoen el que la correlación de incumplimiento esdinámican  Correlación implícita de nuevos índices dederivados de crédito
  47. 47. Más Allá del Modelo de Copulas
  48. 48. Nuevos Paradigmas  Distribuciones          Gausianas  n  Correlación  n  Sigmas  n  Relación  Sharpe                              n  Modelo  BS  n  Portafolio  Op<mo  de  MarkowitzDistribuciones  colas  pesadas    n  Dependencia  asimétrica  y  colas  n  Pérdida  esperada  en  colas  n  Medida  STARR    n  Modelo  truncado  de  Lévy  n  Portafolio  Op<mo  ETL  (Expected  tail  loss)    Enfoque Clásico Nuevo Enfoque
  49. 49. Discusión

Muestra los fundamentos de correlación, copulas y CDOs. A continuación muestra el algoritmo para calcular los spreads de un CDO

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