Circunferencia ok

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Circunferencia ok

  1. 1. MOTIVACION : Circunferencia de las 9 puntas Se conoce como circunferencia de los nueve puntos a la circunferencia asociada a cada triángulo. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos son: el punto medio de cada lado del triángulo, los pies de las alturas, y los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo. Al círculo de los nueve puntos se le conoce también entre otros como círculo de Feuerbach, círculo de Euler, círculo de los seis puntos o círculo medio inscrito
  2. 2. LECTURA : Historia de la circunferencia de los nueve puntos Generalmente,[1] se adjudica a Karl Wilhelm Feuerbach el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que Feuerbach descubrió fue la circunferencia de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas del triángulo (en la figura, los puntos: M N P y E G J). Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Poncelet habían demostrado su existencia. Poco tiempo después de Feuerbach, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los segmentos determinados por los vértices del triángulo y el ortocentro, también están contenidos en la circunferencia (en la figura, los puntos: D F H).
  3. 3. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.
  4. 4. Elementos Puntos y rectas en una circunferencia Posiciones relativas a dos circunferencias El número PI Longitud de la circunferencia
  5. 5. Elementos de la circunferencia centro
  6. 6. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA 4:Recta tangente.-, la que toca a la circunferencia en un sólo punto 1:Centro.- el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; 5.Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia; 2:Radio.- el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia; 6:Recta secante.- la que corta a la circunferencia en dos puntos; 3:Diámetro.-, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro); 7:Cuerda.segmento que une dos puntos de la circunferencia; ( cuerda máxima el diámetro) 8:Fecha o sagita: segmento perpendicular entre la cuerda y su arco 9:Arco.-, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia 10: Semicircunferencia , cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro
  7. 7. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Flecha o sagita Q  Cuerda PQ Recta secante P  Radio A B  Centro Arco BQ Diámetro ( AB ) T  Punto de tangencia Recta tangente
  8. 8. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia perpendicular a la recta tangente. R L es
  9. 9. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q R PQ PM MQ
  10. 10. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A B   C D Si : AB // CD mAC mBD
  11. 11. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A C Cuerdas congruentes Arcos congruentes B Las cuerdas equidistan del centro Si : AB CD D mAB mCD
  12. 12. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. r d = Cero ; d : distancia
  13. 13. 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. R r Distancia entre los centros (d) d>R+r
  14. 14. 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia R Distancia entre los centros (d) d = R + r r
  15. 15. 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. Punto de tangencia r R d d=R-r d: Distancia entre los centros
  16. 16. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. Distancia entre los centros (d) (R–r)<d<(R+r)
  17. 17. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. Distancia entre los centros (d) d2 = R2 + r2
  18. 18. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. d d<R-r d: Distancia entre los centros
  19. 19. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A R P R B AP = PB
  20. 20. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes A B R r r R AB = CD P
  21. 21. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. A D M B C AB = CD
  22. 22. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. Inradio b a r c a + b = c + 2r
  23. 23. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. b Cuadrilátero circunscrito c a d a + c = b + d
  24. 24. El Teorema de Steiner : En todo cuadrilátero ex-inscrito la diferencia de dos lados opuestos es igual a la diferencia de los otros dos. a-c=b-d r b c d a a - c = b - d Regresar
  25. 25. El círculo Círculo Semicírculo
  26. 26. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A r C r B = mAB
  27. 27. 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos D A C B mAB mCD 2
  28. 28. 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. A B C mAB 2
  29. 29. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A C B mAB 2
  30. 30. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A C B mABC 2
  31. 31. 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A C mACB - mAB 2 O B + mAB = 180°
  32. 32. b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos. B C O D A mAB - mCD 2
  33. 33. c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. B O C A mAB - mBC 2
  34. 34. Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x m PQS Se traza la cuerda SQ Q 70º+x 50° 2X P mQRS 2 Reemplazando: 140º 2x m PQS 2 70º x En el triángulo PQS: R X X + (X+70) + 50° = 180° Resolviendo la ecuación: S 140° X = 30°
  35. 35. Problema Nº 02 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR. RESOLUCIÓN PSQ = x En el triángulo rectángulo RHS m Por ángulo inscrito Q mQR 70º 2 S 70° 140° 20° R S = 70º X mQR = 140° Es propiedad, que: P 140° + X = 180° Resolviendo: X = 40°
  36. 36. Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior APD = x A 130 B 130° 50° D C mBC 90 2 mBC = 50° Medida del ángulo exterior x X P 130 50 2 Resolviendo: X = 40°
  37. 37. Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m APN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x N Dato: OM(radio) = PM 54° A Luego triángulo PMO es isósceles M o x x B Ángulo central igual al arco x P Medida del ángulo exterior X Resolviendo: 54 X 2 X = 18°
  38. 38. Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m PRQ. RESOLUCIÓN B PRQ = x Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 70° + mPQ = 180° 70° 110° Medida del ángulo inscrito: Q P X x A R mPQ = 110° C 110 2 Resolviendo: X = 55°
  39. 39. Problema Nº 06 Calcule la medida del ángulo “X”. A 70° X B P Resolución
  40. 40. RESOLUCIÓN C A 70° 140º X P B Medida del ángulo inscrito: mAB 70º 2 mAB=140º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
  41. 41. Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x” A 130º B X Resolución P
  42. 42. A 260º 130º RESOLUCIÓN X C P B Medida del ángulo inscrito: 130º mAB 2 En la circunferencia: 260º + mACB = 360º mAB = 260º mACB = 100º Por la propiedad del ángulo exterior mACB + x = 100º formado por dos tangentes: X = 80º
  43. 43. Problema Nº 08 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m QPR . PLANTEAMIENTO Q a 80º X P R S a Resolución
  44. 44. RESOLUCIÓN Q a 80º P X R En la circunferencia: S 2a + 80º = 360º a = 140º a Medida del ángulo exterior: a 80º X 2 140º 80º 2 X = 30º
  45. 45. Problema Nº 09 Calcule el perímetro del triángulo ABC. B 2 A C 5 5 Resolución
  46. 46. RESOLUCIÓN B a 2 b A 5 5 C Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10 (1) (2) (2p) = 24
  47. 47. Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD m Q = m S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Q PLANTEAMIENTO 3 R P 2 Resolución S
  48. 48. Q RESOLUCIÓN Dato: a b 3 a + b + c + d = 22cm R P 2 d Teorema de Poncelet: PQR  a + b = PR+2(3) PSR  c + d = PR+2(2) c S + a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10 PR = 6cm

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