Ecuac diferenciales

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Ecuac diferenciales

  1. 1. Prof. Domingo de la Cerda ECUACIONES DIFERENCIALESEs toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra uotras mediante derivadas. Ejemplos:Las ecuaciones diferenciales tienen una gran variedad de aplicaciones desde laingeniería, la administración, la biología, estadística, etc. Ya que involucran una omás variables aplicándolas con derivadas. Ejemplos: 1) El voltaje v(z) en el circuito de la figura: Cv(t)dt+rc v(t)=Rcvs(t) v(z) -+ 2) La rapidez con la que un cuerpo se acelera es proporcional a la diferencia entre la temperatura del ambiente.
  2. 2. K= Coeficiente de transmisión de calor de material. 3) Las coordenadas (x,y) de los puntos de la curva que reflejan en forma paralela los rayos que salen de un punto fijo en el origen cumple con: x CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. Las ecuaciones lineales tienen tres clasificaciones según sus propiedades, una es de acuerdo a su tipo de ecuación, de acuerdo al orden de la ecuación y la última es de acuerdo a la linealidad de la ecuación como se ve a continuación. Ordinaria Tipo Parciales Primer ordenClasificación de las Orden Segundo orden ecuaciones diferenciales. N_orden Linealidad Lineal No lineal
  3. 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASSi una ecuación tiene solo derivada ordinaria de una o más variables dependientes conrespecto a una variable entonces es una ecuación diferencial ordinaria.Ejemplos: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALESUna ecuación que contiene las derivadas parciales de una o mas variables dependientes dedos o más variables dependientes se le llama ecuación parcial, como se ve en los siguientesejemplos: CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES SEGÚN EL ORDEN Primer orden Segundo Orden Tecer Orden
  4. 4. CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES SEGÚN SU LINEALIDAD O NO LINEALIDADUna ecuación diferencial ordinaria o parcial es lineal si tiene la siguiente forma:Una ecuación diferencial que no cumple con la forma anterior se dice que es una ecuacióndiferencial no lineal.A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales. Ec. Diferencial –Primer orden Ec. Diferencial – Segundo orden Ec. Diferencial – Tercer OrdenA continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales. Ec. Segundo orden No lineal Ec. Tercer Orden no lineal SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALESSe dice que una función “F” cualquiera definida en algún intervalo “I” es solución de unaecuación diferencial en el intervalo si sustituida en dicha ecuación la reduce a unaidentidad. Dicho de otra manera una solución de una ecuación diferencial es una funciónY=F(X) que tiene por lo menos n derivadas que cumplen con la siguiente forma para todoUna solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar la funciónincógnita en cada caso con las derivaciones correspondientes verifica la ecuación, es decir,la convierte en una identidad.
  5. 5. En las ecuaciones diferenciales hay 3 tipos de soluciones, solución general, soluciónparticular y la solución singular.La solución general es una solución de tipo genérico expresada con una o mas constantes.Esta solución tiene un As de curvas, además tiene un orden de infinitud de acuerdo a sucantidad de constantes.La solución particular se logra fijando cualquier punto por donde debe pasarnecesariamente la solución de la ecuación diferencial y además existe un valor de C(único) y por, lo tanto en la curva integral que satisface la ecuación, de esta forma , estaecuación recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto yeste punto recibe el nombre de condición inicial.La solución singular es una función que verifica la ecuación pero que no se obtieneparticularizando la solución general. EMPLEO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESLas ecuaciones diferenciales son de gran utilidad para la investigación para diferentescampos de la ciencia, ingeniería, economía, etc. Así como herramientas de apoyo paradefinir diferentes tipos de fenómenos mediante modelos matemáticos.Estas ecuaciones diferenciales se pueden obtener de 2 maneras:1.- A partir de los datos en el enunciado de 1 problema que se involucra 1 o másdiferenciales que al relacionarse entre si matemáticamente se obtiene otra ecuacióndiferencial.2.- A partir de una función dada la cual se deriva para conocer sus cambios, asi comoeliminar las constantes que en ella aparecen y en cuya simplificación da como resultadootra ecuación diferencial. TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNISIDADSea R una región rectangular en el plano (x,y) definida por: y además que contiene el punto en su interior.Si F(x,y) la diferencial parcial de F con respecto a y son continuos a R entonces existeun intervalo I con centro en F(0) s y una única función definida en I que satisface elproblema del valor inicial. Como se ve en la siguiente figura:
  6. 6. d R (x,y) c a b I ECUACIÓN DIFERENCIAL POR EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES.Para resolver ecuaciones diferenciales no hay una manera general de resolverlas existenvarios métodos y no de los mas utilizados es el de separación de variables. Para resolverlopor este método en la ecuación diferencial se separan las variables y se iguala tanto de unlado como en el otro por ultimo se integra de un lado y de otro de la siguiente forma.Ejemplos solución de ecuación diferencial ordinaras por separación de variables.
  7. 7. ECUACIÓN DIFERENCIAL POR EL MÉTODO DE LAS EXACTASOtro método para la solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias es el método delas exactas para aplicar este método se tiene que ver si la ecuación diferencial esexacta.Para ver si es exacta se tiene que ver si las ecuaciones diferenciales parciales conrespecto a x y y son iguales como se ve en la siguiente ecuación:Ejemplos:1.- (2x+4)dx + (3y-1)dy=02.-
  8. 8. 3.-Ejercicios:4.-5.-6.-
  9. 9. 7.-(1+y dy=xy+ y = x +c DIFERENCIA ENTRE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALES2xy+3xM=2xy+34.- (2xy+3xU=5.-(2xy+3)dx+(x6.-(2 cos 2x)dx+(sen 3y) dy=0
  10. 10. 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Y NO LINEALESEjemplos:(1-x)y‟-4xy‟+5y=cos xX3 y‟‟-x Lineales(sen x) y‟‟-(cos x)=y‟=2y y‟‟+9y=8-x coeficiente de y’ depende de y El grado de y diferente de 12yy‟‟+x=3 Lineal3xy‟+sen x=2 No LinealSen x Lineal ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTESUna ecuación diferencial lineal de orden “n” tiene la siguiente forma.Donde: ECUACIÓN AUXILIAR O CARACTERÍSTICA DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA DE SEGUNDO ORDEN.Se considera la ecuación lineal homogénea de segundo orden de la siguiente forma:Donde: a, b y c son constantes
  11. 11. Tipo de raíces de la ecuación correcta. Solución1.-4y‟‟ + y „ = 04 m2 + m = 0M(4m + 1) = 0M1= 04m + 1 = 0 M2= -1/4Y=C1+C2 e-1/4x2.-Y‟‟ – y‟ – 6 = 0m2 – m + 6=01 +- 5 , M1=3 2M2 = - 4/2 = -2 Y= C1e3x + C2e-2x3.-2y‟‟ + 2y‟ = 02m2 + 2m – 1 = 0= -1/2 =M1= -1/2 + M2= -1/2 -Y= [ C1 Cos + C2 Sen - ]
  12. 12. 4.-Y‟‟ + 16y = 0Y(0) = 2, Y‟(0)= -2M2 + 16 = 0M2= -16 por lo tanto M1,2= = 4iY= C1 Cos 4x + C2 Sen 4xY(0)= C1 Cos 4(0) + C2 Sen 4(0)2= 1 + C2(0) C1=2-2=C1 4 Sen 4(0) + C2 4 Cos (0)C2= -1/2Y= 2 Cos 4x – ½ Sen 4x APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALESLas ecuaciones diferenciales son de gran vitalidad para la investigación en losdiferentes campos de la ingeniería, ciencia, económica, ext. También las ecuacionesdiferenciales son una herramienta de apoyo para definir diferentes tipos de fenómenosmediante modelados matemáticos.Las ecuaciones diferenciales pueden obtenerse de dos maneras: a) A partir de los datos en el enunciado de un problema que involucra uno o más diferenciales que al relacionarse entre sí mediante un lenguaje matemático se obtiene la ecuación diferencial. b) A partir de una función dada la cual se deriva para conocer sus cambios así como para eliminar las constantes que en ella aparecen y cuya simplificación da lugar a una ecuación diferencial.Otro camino para obtener una ecuación diferencial es a partir de la respuesta que setiene en la eliminación de constantes arbitrarias que intervienen en la relaciónmatemática.El método por eliminación de constantes que dependen de la forma de como aparecenen la relación se aplican según el numero de constantes que intervienen en la relación.Ejemplos de aplicaciones de ecuaciones diferenciales1.- Se saben que los objetos en caída libre tienen una aceleración g y sabemos que laaceleración es la derivada de la velocidad (v) y esta a su vez es la derivada de la
  13. 13. distancia (s) de esta forma se puede obtener la ecuación diferencial para la caída librede cualquier objeto que sería la siguiente: d2s=gCon esta ecuación diferencial se puede obtener la velocidad la distancia o el tiempo enalgún instante conociendo condiciones iniciales ya sea de tiempo, velocidad odistancia.2.- cuando una enfermedad contagiosa se propaga es de suponer que la rapidez esproporcional a número de personas contagiadas a un tiempo dado x (t) además estavelocidad de contagio también depende de las personas que aun no se han contagiadoy (t) de esta forma se puede obtener la ecuación diferencial de la rapidez del contagiode la enfermedad = KXYDonde k es la constante de la proporcionalidad. Ahora si una población fija de npersonas entonces X y Y se relacionan con la siguiente ecuación. X + y = n+ 1.Relacionando las 2 ecuaciones tendremos la nueva ecuación diferencial. Con la condición Inicial obvia x (0) = 1 Ejercicios:En las siguientes ecuaciones indique de qué tipo, orden, grado y linealidad son. Lineal, Ordinaria, Grado 1, Orden 3. No lineal, Ordinaria, Grado 2, Orden 2. Lineal, Ordinaria, Grado 3, Orden 2. Lineal, Parcial, Grado 1, Orden 1.Resolver las ecuaciones diferenciales por separación de variables.1.
  14. 14. 2. MÉTODO DE LAS EXACTAS POR SU ECUACIÓN AUXILIAR

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