Che cos'è la logica matematica

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Una breve e schematica introduzione alla logica matematica

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Che cos'è la logica matematica

  1. 1. Che cosè la logica matematica? prof. Domenico Lanfranchi
  2. 2. Due prospettive  La logica è una parte della matematica (Boole)  La matematica è una parte della logica (Russel)
  3. 3. Giochiamo a carte  Gioco A: se tutte le carte sono rosse allora rosso, altrimenti nero  Gioco B: se tutte le carte sono nere allora nero, altrimenti rosso  Gioco C: se una carta è rossa allora nero, altrimenti rosso
  4. 4. Interpretiamo il gioco  Nero significa VERO  Rosso significa FALSO  Gioco A significa DISGIUNZIONE (O)  Gioco B significa CONGIUNZIONE (E)  Gioco C significa NEGAZIONE (NON)
  5. 5. Algebra di Boole V+V= V; V+F=V; F+F=F V*V=V; V*F=F; F*F=F -V=F; -F=VGeorge Boole 1815-1864
  6. 6. Che cosè la matematica?La matematica pura è linsieme di tutte le proposizioni della forma «p implica q», dove p e q sono proposizioni che contengono una o più variabili, né p né q contenendo costanti che non siano costanti logiche. Le costanti logiche sono concetti che si possono definire in funzione di: implicazione, relazione di un termine ad una classe di cui è membro, nozione di tale che, nozione di relazione, ed ogni altro concetto implicito nella nozione generale delle proposizioni della forma precedente. Oltre a questi, la matematica usa un concetto che non fa parte delle proposizioni che essa considera, vale a dire la nozione di verità.
  7. 7. Le nozioni base Implicazione Relazione di un termine ad una classe di cui è membro Nozione di tale che Nozione di relazione
  8. 8. Il logicismo Bertrand Russell 1872-1970Gottlob Frege 1848-1923
  9. 9. Antinomia di Russell Insiemi normali: non contengono se stessi (esempio: insieme dei numeri primi) Insiemi anomali: contengono se stessi (esempio: insieme delle idee astratte) Linsieme degli insiemi normali è normale?
  10. 10. Lindagine sui fondamenti Formalismo (Hilbert) Intuizionismo ( Brouwer)
  11. 11. Teoremi di Gödel 1931Nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.(fallimento di logicismo e formalismo)

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