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Wided SOUID-MILED
Institut National des Sciences appliquées et de Technologie
Année universitaire: 2010-2011
COURS DE TRAITEMENT DU SIGNAL

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Introduction
 Le signal intervient sous plusieurs formes dans la plupart des
domaines de la technologie :
 Télécommunications
 Imagerie médicale
 Reconnaissance de formes
 Optique
 Acoustique
 Etc.
Présentation du cours

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Objectifs du cours
 Acquérir les notions de base pour :
 Modéliser, représenter les signaux
 Manipuler des signaux analogiques et numériques
 Effectuer des opérations simples de traitement
 Prérequis :
 Un peu de maths :)
Présentation du cours

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Plan du cours
I- Introduction à la théorie du signal
II- Représentation et analyse temporelles des signaux
III- Représentation et analyse fréquentielle des signaux
IV- Echantillonnage
V- Transformée de Fourier discrète
VI- Filtrage des signaux

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Cours 1
Introduction à la théorie du signal
Représentation temporelle des signaux

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Contenu du cours
 Introduction
 Définition d'un signal
 Qu'est-ce que le traitement du signal?
 Chaine de traitement de l'information
 Classification des signaux
 Signaux élémentaires
 Notions de corrélation
 Notions de distributions
 Définition d'une distribution
 Impulsion de Dirac

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Introduction
 Signal
 Représentation physique d’une information à transmettre
 Entité qui sert a véhiculer une information
Exemples
 Onde acoustique : courant délivré par un microphone ( parole, sons musicaux)
 Signaux biomédicaux : ECG
 Signaux géophysiques : vibrations sismiques
 Images
 Vidéos
 Etc.
 Bruit : Tout phénomène perturbateur pouvant géner la perception ou
l'interprétation d'un signal

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Introduction
 Traitement du Signal
 Ensemble de techniques permettant de créer, d'analyser et de transformer les
signaux en vue de leur exploitation
 Extraction du maximum d'information utile d'un signal perturbé par le bruit
Domaines d’applications
 télécommunications,
 reconnaissance de la parole, synthèse du son
 aide à la décision (au diagnostic), à la commande
 analyse d’images (médicales, satellitaires…)
 Relations très étroites avec d’autres domaines : mathématiques, électronique,
informatique, automatique, intelligence artificielle...

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Introduction
 Fonctions du Traitement du Signal
 Créer : Elaboration de signaux
 Synthèse: création de signaux par combinaison de signaux élémentaires
 Modulation : adaptation du signal au canal de transmission

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Introduction
 Fonctions du Traitement du Signal
 Analyser : Interpretation des signaux
 Détection : extraction du signal d'un bruit de fond
 Identification : classement du signal (identification d'une pathologie sur
un signal ECG, reconnaissance de la parole, etc.)
 Transformer : adapter un signal aux besoins
 Filtrage: élimination de certaines composantes indésirables
 Codage/Compression

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Introduction
 Chaîne de traitement de l’information

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Classification des signaux
 Classification dimensionnelle
 Signal monodimensionnel 1D :
Fonction d’un unique paramètre pas forcément
le temps, (courbe de température)
 Signal bidimensionnelle 2D dépendant de deux paramètres (images)
 Signal tridimensionnel : dépendant de trois paramètres (vidéos, films)

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Classification des signaux
 Evolution temporelle
 Signaux déterministes
Signaux dont l‘évolution en fonction du temps t peut être parfaitement
décrite grâce a une description mathématique ou graphique.
Sous catégories :
périodiques apériodiques transitoires

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Classification des signaux
 Signaux aléatoires
Signaux dont l‘évolution temporelle est imprévisible et dont on ne peut pas
prédire la valeur a un temps t.
La description est basée sur les propriétés statistiques des signaux (moyenne,
variance, loi de probabilité, …)
Exemple : résultat d'un jet de de lance, les numéros du loto, les cours de la bourse,
etc.
Parmi les signaux aléatoires on distingue :
 Les signaux stationnaires : (les statistiques sont indépendantes du temps)
 ergodiques (une réalisation du signal permet d’estimer les statistiques)
 non ergodiques
 Les signaux non stationnaires

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Classification des signaux
 Classification morphologique
 Signaux continus (analogiques)
signal défini à chaque instant t
Traitement analogique du signal
 Signaux discrets (numériques)
signal défini uniquement en des instants tk.
Traitement numérique du signal

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Classification des signaux
 Classification morphologique

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Signaux élémentaires continus
 L’échelon unité permet l’étude des régimes transitoires des filtres
et l‘établissement instantané d'un regime continu
 Il permet de rendre causal un signal ( u(t).s(t) est nul si t <0 )

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Signaux élémentaires continus
 Le signal porte est un signal transitoire de durée T.
 Peut aussi être defini comme une difference de deux échelons.

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Signaux élémentaires continus
Le signal sinusoidal est le signal de base des signaux mathématiques périodiques.
Il représente la partie réelle ou imaginaire de l’exponentielle complexe.

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Classification des signaux
 Classification énergétique
 Energie et Puissance des signaux
 l’énergie d’un signal continu s(t) réel ou complexe est :
s*(t) représente le signal complexe conjugué de s(t).
Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à énergie finie.
 Puissance moyenne :
Si cette intégrale est finie on dit que le signal s(t) est à puissance moyenne finie.
dt
t
s
dt
t
s
t
s
E 











2
)
(
)
(
*
)
(




 2
2
)
(
*
)
(
1
lim
T
T
dt
t
s
t
s
T
T
P

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Classification des signaux
 Classification énergétique
 Energie et Puissance des signaux
 Un signal d’énergie E finie a une puissance moyenne P nulle.
Généralement, cas des signaux représentant une grandeur physique, Signaux
transitoires a support borné
 Les signaux a énergie infinie ont une puissance moyenne non nulle
Cas des signaux periodiques
 Dans le cas des signaux périodiques, la puissance moyenne P est la puissance
moyenne calculée sur une période T0 :
 Il existe des signaux d’énergie et de puissance moyenne infinie.



2
0
2
0
)
(
*
)
(
0
1
T
T
dt
t
s
t
s
T
P

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Classification des signaux
 Classification énergétique
 Les signaux à énergie finie
ex. les signaux transitoires
 Les signaux à énergie infinie
 à puissance moyenne finie
ex. les signaux périodiques
 à puissance moyenne infinie
ex. la rampe s(t)=t

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 On définit la fonction d’autocorrélation d’un signal à énergie finie comme :
 Pour un signal à puissance moyenne finie, la fonction d’autocorrélation devient :
 et pour un signal périodique :
dt
t
s
t
s
Css 





 )
(
*
)
(
)
( 






 2
2
)
(
*
)
(
1
lim
)
(
T
T
ss
dt
t
s
t
s
T
T
C






2
2
)
(
*
)
(
1
)
(
T
T
ss dt
t
s
t
s
T
C 

Notion d'autocorrélation

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 La fonction d’autocorrélation traduit la similitude d’un signal au niveau de la forme
en fonction du décalage temporel t.
 C’est une mesure de la ressemblance du signal avec lui même au cours du temps.
Intuitivement, la corrélation est maximale si on ne décale pas temporellement le
signal
 Chaque valeur d’un signal s(t) contient deux types d’information :
Une information prédictive déjà contenue dans les valeurs du signal aux instants précédents,
Une information propre au signal à l’instant t appelée information non prédictive
 Le principe de la corrélation est de pouvoir extraire l’information prédictive future à
partir des valeurs précédentes du signal.
Notion d'autocorrélation

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Propriétés
- P1 La fonction d’autocorrélation en 0 représente l’énergie du signal :
- P2 La fonction d’autocorrélation d’un signal réel est paire :
( en posant t+=t1)
- P3 La fonction d’autocorrélation d’un signal complexe est à symétrie
hermitienne :
0
)
0
( 
 E
Css
)
(
)
( 
 
 ss
ss C
C
)
(
*
)
( 
 
 ss
ss C
C
1
)
1
(
*
)
1
(
))
(
(
*
)
(
)
( dt
t
s
t
s
dt
t
s
t
s
Css 














 


Notion d'autocorrélation

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 On définit la fonction d’intercorrélation de 2 signaux à énergie finie :
 Pour 2 signaux à puissance moyenne finie, la fonction d’intercorrélation devient :
dt
t
y
t
x
Cxy





 )
(
*
)
(
)
( 







2
2
)
(
*
)
(
1
lim
)
(
T
T
dt
t
y
t
x
T
T
Cxy 

Notion d‘intercorrélation

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Application :
 Une impulsion s(t) est émise et se réfléchit sur une cible avant de revenir à son point
de départ.
On observe le signal de retour y(t) pour détecter le retour de l’impulsion et en déduire
la distance d de la cible (c est la célérité de l’impulsion).
On va donc calculer la fonction d’intercorrélation entre le signal émis et le signal reçu.
Le maximum de cette fonction correspond à la similtude maximale entre les 2 signaux
et donc au retard 0.
 On peut considérer également que l’intercorrélation consiste à déplacer le signal
émis jusqu’à ce que l’on ait un maximum qui correspondra au retard 0.
c
d
2
0

Notion d‘intercorrélation