1. I H C SƯ PH M HÀ N I THI TH I H C – CAO NG 2011
KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KH I A
------------- Th i gian làm bài: 180 phút ( không k th i gian giao )
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 i m).
Câu I ( 2 i m)
Cho hàm s 2)2()21( 23
++−+−+= mxmxmxy (1) m là tham s .
1. Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s (1) v i m=2.
2. Tìm tham s m th c a hàm s (1) có ti p tuy n t o v i ư ng th ng d: 07 =++ yx góc α ,
bi t
26
1
cos =α .
Câu II (2 i m)
1. Gi i b t phương trình: 54
4
2
log2
2
1 ≤−





− x
x
.
2. Gi i phương trình: ( ) .cos32cos3cos21cos2.2sin3 xxxxx −+=++
Câu III (1 i m)
Tính tích phân: I
( )∫ ++
+
=
4
0
2
211
1
dx
x
x
.
Câu IV(1 i m)
Cho hình chóp S.ABC có áy ABC là tam giác vuông cân nh A, AB 2a= . G i I là trung i m c a BC, hình
chi u vuông góc H c a S lên m t áy (ABC) th a mãn: IHIA 2−= , góc gi a SC và m t áy (ABC) b ng 0
60 .
Hãy tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách t trung i m K c a SB t i (SAH).
Câu V(1 i m)
Cho x, y, z là ba s th c dương thay i và th a mãn: xyzzyx ≤++ 222
. Hãy tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
+
+
+
+
+
= 222
.
PH N T CH N (3 i m): Thí sinh ch ch n làm m t trong hai ph n ( ph n A ho c ph n B ).
A. Theo chương trình chu n:
Câu VI.a (2 i m)
1. Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC bi t A(3;0), ư ng cao t nh B có phương trình 01 =++ yx ,
trung tuy n t nh C có phương trình: 2x-y-2=0. Vi t phương trình ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC.
2. Trong không gian v i h tr c t a Oxyz, cho các i m A(-1;1;0), B(0;0;-2) và C(1;1;1). Hãy vi t phương
trình m t ph ng (P) qua hai i m A và B, ng th i kho ng cách t C t i m t ph ng (P) b ng 3 .
Câu VII.a (1 i m)
Cho khai tri n: ( ) ( ) 14
14
2
210
2210
...121 xaxaxaaxxx ++++=+++ . Hãy tìm giá tr c a 6a .
B. Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2 i m)
1. Trong m t ph ng t a Oxy, cho tam giác ABC bi t A(1;-1), B(2;1), di n tích b ng
11
2
và tr ng tâm G
thu c ư ng th ng d: 043 =−+ yx . Tìm t a nh C.
2.Trong không gian v i h tr c Oxyz, cho m t ph ng (P) 01 =+−+ zyx , ư ng th ng d:
3
1
1
1
1
2
−
−
=
−
−
=
− zyx
G i I là giao i m c a d và (P). Vi t phương trình c a ư ng th ng ∆ n m trong (P), vuông góc v i d và cách
I m t kho ng b ng 23 .
Câu VII.b (1 i m) Gi i phương trình: .1
3
=





−
+
zi
iz
------------------------------------------------------ WWW.MATHVN.COM -

2. I H C SƯ PH M HÀ N I
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
1
ÁP ÁN –THANG I M
THI TH I H C, CAO NG NĂM 2011
MÔN:TOÁN, Kh i A
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH.
Câu ý N i dung i m
1(1 ) Kh o sát hàm s khi m = 2
Khi m = 2, hàm s tr thành: y = x3
− 3x 2
+ 4
a) TX : R
b) SBT
•Gi i h n: lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞ 0,25
•Chi u bi n thiên:
Có y’ = 3x2
− 6x; y’=0 ⇔ x =0, x =2
x −∞ 0 2 +∞
y’ + 0 − 0 +
y
−∞
4
0
+∞
Hàm s B trên các kho ng (−∞ ; 0) và (2 ; +∞), ngh ch bi n trên (0 ; 2).
0,25
•Hàm s t c c i t i x = 0, yC = y(0) = 4;
Hàm s t c c ti u t i x = 2, yCT = y(2) = 0.
0,25
c) th :
Qua (-1 ;0)
Tâm i x ng:I(1 ; 2)
0,25
2(1 ) Tìm m ...
G i k là h s góc c a ti p tuy n ⇒ti p tuy n có véctơ pháp )1;(1 −= kn
d: có véctơ pháp )1;1(2 =n
Ta có






=
=
⇔=+−⇔
+
−
=⇔=
3
2
2
3
0122612
12
1
26
1.
cos
2
1
2
2
21
21
k
k
kk
k
k
nn
nn
α
0,5
I(2 )
Yêu c u c a bài toán th a mãn ⇔ ít nh t m t trong hai phương trình: 1
/
ky = (1)
và 2
/
ky = (2) có nghi m x
⇔






=−+−+
=−+−+
3
2
2)21(23
2
3
2)21(23
2
2
mxmx
mxmx
⇔




≥∆
≥∆
0
0
2
/
1
/
0,25có nghi m
1
I
2
2
-1
4
0 x
y
có nghi m
- WWW.MATHVN.COM -

3. I H C SƯ PH M HÀ N I
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
2
⇔




≥−−
≥−−
034
0128
2
2
mm
mm
⇔






≥−≤
≥−≤
1;
4
3
2
1
;
4
1
mm
mm
⇔
4
1
−≤m ho c
2
1
≥m 0,25
II(2 ) 1(1 ) Gi i b t phương trình ...
Bpt






≤
−
≤
−≤
−
≤−
⇔







≤
−
≥−
−
⇔
)2(3
4
2
log2
)1(2
4
2
log3
9
4
2
log
04
4
2
log
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
0,25
. Gi i (1): (1)
5
16
3
8
0
4
165
0
4
83
8
4
2
4 ≤≤⇔






≤
−
−
≥
−
−
⇔≤
−
≤⇔ x
x
x
x
x
x
x
0,25
. Gi i (2): (2)
9
4
17
4
0
4
49
0
4
417
4
1
4
2
8
1
≤≤⇔






≤
−
−
≥
−
−
⇔≤
−
≤⇔ x
x
x
x
x
x
x
0,25
V y b t phương trình có t p nghi m
4 4 8 16
; ;
17 9 3 5
   
      
∪ . 0,25
2(1 ) Gi i PT lư ng giác
Pt )1cos2()12(cos)cos3(cos)1cos2(2sin3 +−−+−=+⇔ xxxxxx
)1cos2(sin2cossin4)1cos2(2sin3 22
+−−−=+⇔ xxxxxx
0)1sin22sin3)(1cos2( 2
=+++⇔ xxx
0,5
• 1)
6
2sin(22cos2sin301sin22sin3 2
−=−⇔−=−⇔=++
π
xxxxx
π
π
kx +−=⇔
6
0,25
• )(
2
3
2
2
3
2
01cos2 Zk
kx
kx
x ∈






+−=
+=
⇔=+
π
π
π
π
V y phương trình có nghi m: π
π
2
3
2
kx += ; π
π
2
3
2
kx +−= và π
π
kx +−=
6
0,25
III(1 ) 1(1 ) Tính tích phân.
- WWW.MATHVN.COM -

4. I H C SƯ PH M HÀ N I
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
3
I
( )∫ ++
+
=
4
0
2
211
1
dx
x
x
.
• t dttdx
x
dx
dtxt )1(
21
211 −=⇒
+
=⇒++= và
2
22
tt
x
−
=
i c n
x 0 4
t 2 4
0,25
•Ta có I =
dt
tt
tdt
t
ttt
dt
t
ttt
∫∫ ∫ 





−+−=
−+−
=
−+−
4
2
2
4
2
4
2
2
23
2
2
24
3
2
1243
2
1)1)(22(
2
1
= 





++−
t
tt
t 2
ln43
22
1 2
0,5
=
4
1
2ln2 − 0,25
(1 ) Tính th tích và kho ng cách
•Ta có ⇒−= IHIA 2 H thu c tia i c a tia IA và IA = 2IH
BC = AB 2 a2= ; AI= a ; IH=
2
IA
=
2
a
AH = AI + IH =
2
3a
0,25
•Ta có
2
5
45cos.2 0222 a
HCAHACAHACHC =⇒−+=
Vì ⇒⊥ )(ABCSH 0
60))(;( ==
∧∧
SCHABCSC
2
15
60tan 0 a
HCSH ==
0,25
IV
•
6
15
2
15
)2(
2
1
.
3
1
.
3
1 3
2
.
aa
aSHSV ABCABCS === ∆ 0,25
H
K
I
BA
S
C
- WWW.MATHVN.COM -

5. I H C SƯ PH M HÀ N I
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
4
• )(SAHBI
SHBI
AHBI
⊥⇒



⊥
⊥
Ta có
22
1
)(;(
2
1
))(;(
2
1
))(;(
))(;( a
BISAHBdSAHKd
SB
SK
SAHBd
SAHKd
===⇒==
0,25
V (1 ) Tim giá tr l n nh t c a P
xyz
z
zxy
y
xyx
x
P
+
+
+
+
+
= 222
.
Vì 0;; >zyx , Áp d ng B T Côsi ta có:
xyz
z
zxy
y
yzx
x
P
222
222
++≤ =








++=
xyzxyz
222
4
1
0,25





 ++
≤




 ++
=





+++++≤
xyz
zyx
xyz
xyzxyz
yxxzzy
222
2
1
2
1111111
4
1
2
1
2
1
=





≤
xyz
xyz
0,5
D u b ng x y ra 3===⇔ zyx . V y MaxP =
2
1 0,25
PH N T CH N:
Câu ý N i dung i m
VIa(2 ) 1(1 ) Vi t phương trình ư ng tròn…
KH: 022:;01: 21 =−−=++ yxdyxd
1d có véctơ pháp tuy n )1;1(1 =n và 2d có véctơ pháp tuy n )1;1(2 =n
• AC qua i m A( 3;0) và có véctơ ch phương )1;1(1 =n ⇒ phương trình
AC: 03 =−− yx .
⇒∩= 2dACC T a C là nghi m h : )4;1(
022
03
−−⇒



=−−
=−−
C
yx
yx
.
0,25
• G i );( BB yxB ⇒ )
2
;
2
3
( BB yx
M
+
( M là trung i m AB)
Ta có B thu c 1d và M thu c 2d nên ta có: )0;1(
02
2
3
01
−⇒




=−−+
=++
By
x
yx
B
B
BB
0,25
• G i phương trình ư ng tròn qua A, B, C có d ng:
02222
=++++ cbyaxyx .
Thay t a ba i m A, B, C vào pt ư ng tròn ta có:
- WWW.MATHVN.COM -

6. I H C SƯ PH M HÀ N I
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
5





−=
=
−=
⇔





−=+−−
−=+−
−=+
3
2
1
1782
12
96
c
b
a
cba
ca
ca
⇒Pt ư ng tròn qua A, B, C là:
034222
=−+−+ yxyx . Tâm I(1;-2) bán kính R = 22
0,5
2(1 ) Vi t phương trình m t ph ng (P)
•G i Ocban ≠= );;( là véctơ pháp tuy n c a (P)
Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0
Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c
Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0
0,25
• d(C;(P)) = 0141623
)2(
2
3 22
222
=+−⇔=
+−+
+
⇔ caca
ccaa
ca



=
=
⇔
ca
ca
7
0,5
•TH1: ca = ta ch n 1== ca ⇒ Pt c a (P): x-y+z+2=0
TH2: ca 7= ta ch n a =7; c = 1 ⇒Pt c a (P):7x+5y+z+2=0
0,25
VII.a (1 ) Tìm h s c a khai tri n
• Ta có
4
3
)12(
4
1
1 22
++=++ xxx nên
( ) 1012142210
)21(
16
9
)21(
8
3
)21(
16
1
)1(21 xxxxxx +++++=+++
0,25
• Trong khai tri n ( )14
21 x+ h s c a 6
x là: 6
14
6
2 C
Trong khai tri n ( )12
21 x+ h s c a 6
x là: 6
12
6
2 C
Trong khai tri n ( )10
21 x+ h s c a 6
x là: 6
10
6
2 C
0,5
• V y h s .417482
16
9
2
8
3
2
16
1 6
10
66
12
66
14
6
6 =++= CCCa
0,25
Tìm t a c a i m CVI.b(2 ) 1(1 )
• G i t a c a i m )
3
;
3
1();( CC
CC
yx
GyxC +⇒ . Vì G thu c d
)33;(3304
33
13 +−⇒+−=⇒=−+





+⇒ CCCC
CC
xxCxy
yx
• ư ng th ng AB qua A và có véctơ ch phương )2;1(=AB
0,25
- WWW.MATHVN.COM -

7. I H C SƯ PH M HÀ N I
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
6
032: =−−⇒ yxptAB
•
5
11
5
3332
5
11
);(
2
11
);(.
2
1
=
−−+
⇔=⇔==∆
CC
ABC
xx
ABCdABCdABS





=
−=
⇔=−⇔
5
17
1
1165
C
C
C
x
x
x
0,5
• TH1: )6;1(1 −⇒−= CxC
TH2: )
5
36
;
5
17
(
5
17
−⇒= CxC .
0,25
2(1 ) Vi t phương trình c a ư ng th ng
• (P) có véc tơ pháp tuy n )1;1;1()( −=Pn và d có véc tơ ch phương )3;1;1(. −−=u
)4;2;1()( IPdI ⇒∩=
• vì ∆⇒⊥∆⊂∆ dP);( có véc tơ ch phương [ ] )2;2;4(;)( −−==∆ unu P
)1;1;2(2 −−=
0,25
• G i H là hình chi u c a I trên ∆ )(QmpH ∈⇒ qua I và vuông góc ∆
Phương trình (Q): 0420)4()2()1(2 =+−+−⇔=−−−+−− zyxzyx
G i 11 )()( dQPd ⇒∩= có vécto ch phương
[ ] )1;1;0(3)3;3;0(; )()( ==QP nn và 1d qua I





+=
+=
=
⇒
tz
ty
x
ptd
4
2
1
:1
Ta có );;0()4;2;1(1 ttIHttHdH =⇒++⇒∈
• 


−=
=
⇔=⇔=
3
3
23223 2
t
t
tIH
0,5
• TH1:
1
7
1
5
2
1
:)7;5;1(3
−
−
=
−
=
−
−
∆⇒⇒=
zyx
ptHt
TH2:
1
1
1
1
2
1
:)1;1;1(3
−
−
=
+
=
−
−
∆⇒−⇒−=
zyx
ptHt
0,25
VII.b 1 Gi i phương trình trên t p s ph c.
K: iz ≠
• t
zi
iz
w
−
+
= ta có phương trình: 0)1)(1(1 23
=++−⇔= wwww
0,5
- WWW.MATHVN.COM -

8. I H C SƯ PH M HÀ N I
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
7
-----------------------------------------------------









−−
=
+−
=
=
⇔


=++
=
⇔
2
31
2
31
1
01
1
2
i
w
i
w
w
ww
w
• V i 011 =⇔=
−
+
⇒= z
zi
iz
w
• V i 333)31(
2
31
2
31
−=⇔−−=+⇔
+−
=
−
+
⇒
+−
= zizi
i
zi
izi
w
• V i 333)31(
2
31
2
31
=⇔−=−⇔
−−
=
−
+
⇒
−−
= zizi
i
zi
izi
w
V y pt có ba nghi m 3;0 == zz và 3−=z .
0,5
- WWW.MATHVN.COM -

9. I H C SƯ PH M HÀ N I THI TH I H C – CAO NG 2011
KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KH I A
------------- Th i gian làm bài: 180 phút ( không k th i gian giao )
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A. PH N CHUNG CHO M I THÍ SINH
Câu I (2 i m).
1. Kh o sát và v th hàm s y = x4
– 4x2
+ 3
2. Tìm m phương trình 4 2
24 3 logx x m− + = có úng 4 nghi m.
Câu II (2 i m).
1. Gi i b t phương trình: ( ) ( )
3
2
5 1 5 1 2 0
x x x+
− + + − ≤
2. Gi i phương trình: 2
( 2) 1 2x x x x− + − = −
Câu III (2 i m)
1. Tính gi i h n sau:
1 2
31
tan( 1) 1
lim
1
x
x
e x
x
−
→
+ − −
−
2. Cho hình chóp S.ABCD có áy là hình thoi , BAD α∠ = . Hai m t bên (SAB) và (SAD) cùng vuông
góc v i m t áy, hai m t bên còn l i h p v i áy m t góc β . C nh SA = a. Tính di n tích xung quanh
và th tích kh i chóp S.ABCD.
Câu IV (1 i m). Cho tam giác ABC v i các c nh là a, b, c. Ch ng minh r ng:
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 ( ) ( ) ( )a b c abc a b c b c a c a b+ + + ≥ + + + + +
B. PH N T CH N: M i thí sinh ch ch n câu Va ho c Vb
Câu Va (3 i m). Chương trình cơ b n
1. Trong m t ph ng t a Oxy cho ư ng th ng : 2 3 0x y∆ + − = và hai i m A(1; 0), B(3; - 4).
Hãy tìm trên ư ng th ng ∆ m t i m M sao cho 3MA MB+ nh nh t.
2. Trong không gian Oxyz cho hai ư ng th ng: 1
1
: 2
2
x t
d y t
z t
= −

=
 = − +
và 2 : 1 3
1
x t
d y t
z t
=

= +
 = −
.
L p phương trình ư ng th ng i qua M(1; 0; 1) và c t c d1 và d2.
3. Tìm s ph c z th a mãn: 2
2 0z z+ =
Câu Vb. (3 i m). Chương trình nâng cao
1. Trong m t ph ng t a cho hai ư ng tròn (C1): x2
+ y2
= 13 và (C2): (x - 6)2
+ y2
= 25 c t nhau t i
A(2; 3). Vi t phương trình ư ng th ng i qua A và c t (C1), (C2) theo hai dây cung có dài b ng nhau.
2. Trong không gian Oxyz cho hai ư ng th ng: 1
1
: 2
2
x t
d y t
z t
= −

=
 = − +
và 2 : 1 3
1
x t
d y t
z t
=

= +
 = −
.
L p phương trình m t c u có ư ng kính là o n vuông góc chung c a d1 và d2.
3. Trong các s ph c z th a mãn i u ki n 1 2 1z i+ + = , tìm s ph c z có modun nh nh t.
------------------------------------------------------------
- WWW.MATHVN.COM -

10. I H C SƯ PH M HÀ N I
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
1
ÁP ÁN –THANG I M
THI TH I H C, CAO NG NĂM 2011
MÔN:TOÁN, Kh i A
Câu ý N i dung i m
2
1 1
TX D = »
Gi i h n : lim
x
y
→±∞
= +∞
S bi n thiên : y’ = 4x3
- 8x
y’ = 0 0, 2x x⇔ = = ±
B ng bi n thiên
x −∞ 2− 0 2
+∞
y’ - 0 + 0 - 0 +
y +∞ +∞
3
-1 -1
Hàm s ng bi n trên các kho ng ( ) ( )2;0 , 2;− +∞ và ngh ch bi n trên các kho ng
( ) ( ); 2 , 0; 2−∞ −
Hàm s t c c i t i x = 0, yCD = 3. Hàm s t c c ti u t i x = 2± , yCT= -1
th
025
025
025
025
2 1
I
th hàm s 4 2
4 3y x x= − +
S nghi m c a phương trình 4 2
24 3 logx x m− + = b ng s giao i m c a th hàm s
4 2
4 3y x x= − + và ư ng th ng y = log2m.
V y phương trình có 4 nghi m khi và ch khi log2m = 0 ho c 21 log m 3< <
hay m = 1 ho c 2<m<9
- WWW.MATHVN.COM -

11. I H C SƯ PH M HÀ N I
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
2
2
1 1
Vi t l i b t phương trình dư i d ng
5 1 5 1
2 2 0
2 2
x x
   − +
+ − ≤      
   
t t =
5 1
, 0.
2
x
t
 +
>  
 
khi ó
5 1 1
2
x
t
 −
=  
 
B t phương trình có d ng
t +
1
2 2 0
t
− ≤ 2
2 2 1 0t t⇔ − + ≤
2 1 2 1t⇔ − ≤ ≤ +
5 1 5 1
2 2
5 1
2 1 2 1
2
log ( 2 1) log ( 2 1)
x
x+ +
 +
⇔ − ≤ ≤ +  
 
⇔ − ≤ ≤ +
025
025
025
025
2 1
II
i u ki n : 1x ≥
Phương trình tương ương v i 2
( 1 1) 2 1 2( 1) 0x x x x x− − − − − − − = (*)
t 1, 0y x y= − ≥ . Khi ó (*) có d ng : x2
– x(y - 1) – 2y – 2y2
= 0
( 2 )( 1) 0
2 0( 1 0)
x y x y
x y do x y
⇔ − + + =
⇔ − = + + ≠
2
2 1
4 4 0
2
x x
x x
x
⇒ = −
⇔ − + =
⇔ =
025
025
05
2
1 1
1 2 1 2
3 2 3
31 1
1 2
3 2 3 23 3
21 1
3 2 3 23 3
1 1
tan( 1) 1 1 tan( 1)
lim lim .( 1)
11
1 tan( 1)
lim .( 1) lim .( 1)( 1)
1 1
lim( 1) lim( 1)( 1) 9
x x
x x
x
x x
x x
e x e x
x x
xx
e x
x x x x x
x x
x x x x x
− −
→ →
−
→ →
→ →
+ − − − + −
= + +
−−
− −
= + + + + + +
− −
= + + + + + + =
025
05
025
2 1
III
K ư ng cao SI c a tam giác SBC. Khi ó AI ⊥ BC
- WWW.MATHVN.COM -

12. I H C SƯ PH M HÀ N I
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
3
( nh lí 3 ư ng vuông góc) do ó SIA β∠ = S
AI = a.cot β , AB = AD =
cot
sin
a β
α
, SI =
sin
a
β
2 2
cot
. .sin
sin
ABCD
a
S AB AD
β
α
α
= =
A
3 2
.
cot
3sin
S ABCD
a
V
β
α
=
Sxq = SSAB + SSAD SSBC + SSCD B I C
=
2
cot 1
.(1 )
sin sin
a β
α β
+
025
025
025
025
1IV
Ta có 3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 ( ) ( ) ( )a b c abc a b c b c a c a b+ + + ≥ + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2
3
cos cos cos
2
a b c b c a c a b
ab bc ca
A B C
+ − + − + −
⇔ + + ≤
⇔ + + ≤
M t khác
2 2 2 2
cos cos cos (cos cos ).1 (cos cos sin sin )
1 1 3
[(cos cos ) 1 ]+ [sin A+sin B]-cos cos
2 2 2
A B C A B A B A B
A B A sB
+ + = + − −
≤ + + =
Do ó
3
cos cos cos
2
A B C+ + ≤
025
025
05
3
1 1
G i I là trung i m c a AB, J là trung i m c a IB. Khi ó I(1 ; -2), J(
5
; 3
2
− )
Ta có : 3 ( ) 2 2 2 4MA MB MA MB MB MI MB MJ+ = + + = + =
Vì v y 3MA MB+ nh nh t khi M là hình chi u vuông góc c a J trên ư ng th ng ∆
ư ng th ng JM qua J và vuông góc v i ∆ có phương trình : 2x – y – 8 = 0.
T a i m M là nghi m c a h
2
2 3 0 5
2 8 0 19
5
x
x y
x y
y
−
=+ − = 
⇔ 
− − =  =

v y M(
19 2
;
5 5
−
)
025
025
025
025
Va
2 1
- WWW.MATHVN.COM -

13. I H C SƯ PH M HÀ N I
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
4
ư ng th ng d1 i qua A(1; 0; -2) và có vecto ch phương là 1 ( 1;2;1)u = − , ư ng th ng d2
i qua B(0; 1; 1) và có vecto ch phương là 2 (1;3; 1)u = − .
G i ( ),( )α β là các m t ph ng i qua M và l n lư t ch a d1 và d2. ư ng th ng c n tìm
chính là giao tuy n c a hai m t ph ng ( ) à ( )vα β
Ta có (0;0; 3), ( 1;1;0)MA MB= − = −
1 1 2 2
1
; (2;1;0), ; (1;1;4)
3
n MA u n MB u   = = = − =
   
là các vecto pháp tuy n c a ( ) à ( )vα β
ư ng giao tuy n c a ( ) à ( )vα β có vectơ ch phương 1 2; (4; 8;1)u n n = = −
 
và i qua
M(1;0;1) nên có phương trình x= 1 + 4t, y = 8t, z = 1 + t
025
025
025
025
3 1
G i z = x + y.i. Khi ó z2
= x2
– y2
+ 2xy.i, z x yi= −
2 2 2
2 2
2 0 2 2( 1) 0
2 0
( 1; 3),( 0; 0),( 2; 0)
2( 1) 0
z z x y x x yi
x y x
x y x y x y
x y
+ = ⇔ − + + − =
 − + =
⇔ ⇔ = = ± = = = − =
− =
V y có 4 s ph c th a mãn z = 0, z = - 2 và z = 1 3i±
025
025
025
025
3
1 1
G i giao i m th hai c a ư ng th ng c n tìm v i (C1) và (C2) l n lư t là M và N
G i M(x; y) 2 2
1( ) 13C x y∈ ⇒ + =
(1)
Vì A là trung i m c a MN nên N(4 – x; 6 – y).
Do N 2 2
2( ) (2 ) (6 ) 25C x y∈ ⇒ + + − = (2)
T (1) và (2) ta có h
2 2
2 2
13
(2 ) (6 ) 25
x y
x y
 + =

+ + − =
Gi i h ta ư c (x = 2 ; y = 3) ( lo i) và (x =
17
5
−
; y =
6
5
). V y M(
17
5
−
;
6
5
)
ư ng th ng c n tìm i qua A và M có phương trình : x – 3y + 7 = 0
025
025
025
025
2 1
Vb
G i M (1- t ; 2t ; -2 + t) 1d∈ , N(t’ ; 1+3t’ 1- t’) 2d∈
ư ng th ng d1 có vecto ch phương là 1 ( 1;2;1)u = − , ư ng th ng d2 có vecto ch phương
là 2 (1;3; 1)u = − .
( ' 1;3 ' 2 1; ' 3)MN t t t t t t= + − − + − − +
MN là o n vuông góc chung c a d1 và d2
1
2
. 0 2 ' 3 3 0
11 ' 4 1 0. 0
MN u t t
t tMN u
 = − + =
⇔ 
− − ==
3
'
5
7
5
t
t

=
⇔ 
 =

O
025
025
I
- WWW.MATHVN.COM -

14. I H C SƯ PH M HÀ N I
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
5
==============================
Do ó M(
2 14 3
; ;
5 5 5
− −
), N(
3 14 2
; ;
5 5 5
).
M t c u ư ng kính MN có bán kính R =
2
2 2
MN
= và tâm I(
1 14 1
; ;
10 5 10
−
) có phương trình
2 2 21 14 1 1
( ) ( ) ( )
10 5 10 2
x y z− + − + + =
025
025
3 1
G i z = x + yi, M(x ; y ) là i m bi u di n s ph c z.
2 2
1 2 1 ( 1) ( 2) 1z i x y+ + = ⇔ + + + =
ư ng tròn (C) : 2 2
( 1) ( 2) 1x y+ + + = có tâm (-1;-2)
ư ng th ng OI có phương trình y = 2x
S ph c z th a mãn i u ki n và có môdun nh nh t khi và ch khi i m
Bi u di n nó thu c (C) và g n g c t a O nh t, ó chính là m t trong hai
giao i m c a ư ng th ng OI và (C)
Khi ó t a c a nó th a
mãn h 2 2
1 1
1 1
2 5 5
,
2 2( 1) ( 2) 1
2 2
5 5
x x
y x
x y
y y
 
= − − = − + =  
⇔  
+ + + =  = − − = − +
  
Chon z =
1 2
1 ( 2 )
5 5
i− + + − +
025
025
025
025
- WWW.MATHVN.COM -

15. KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
------------- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
-
=
-
(C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận
tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
3 3
sin .sin3 os .cos3 1
8
tan .tan
6 3
x x c x x
x x
p p
+
= -
æ ö æ ö
- +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2. Giải phương trình ( ) ( )
3 32 2
1 1 1 1 2 1x x x xé ù+ - + - - = + -
ê úë û
.
Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân ( )
1
2
0
ln 1I x x x dx= + +ò .
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB AD a= = ,
3
AA'
2
a
= , góc BAD bằng 0
60 . Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) và tính thể
tích khối đa diện AA’BDMN theo a .
Câu V. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2
1a b c+ + = , ta có:
5 3 5 3 5 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
3
a a a b b b c c c
b c c a a b
- + - + - +
+ + £
+ + +
.
B. PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
I. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của
hai đường thẳng: d1: x – y – 3 = 0, d2: x + y – 6 = 0. Trung điểm một cạnh là giao điểm của d1 và tia Ox. Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng d:
14 5
4 1 2
x y z- +
= =
-
. Viết phương
trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 16.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x2
trong khai triển:
4
1
2
n
x
x
æ ö
+ç ÷
è ø
, biết n là số nguyên dương thỏa mãn:
2 3 1
0 1 22 2 2 6560
2 ...
2 3 1 1
n
n
n n n nC C C C
n n
+
+ + + + =
+ +
.
II. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có phương trình
7x – y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh của hình vuông.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 1 0x y z+ + - = và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2).
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB- đạt giá trị lớn nhất.
Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hệ phương trình
2
3 3
3 2
1
log log 0
2 ,( )
0
x y
m R
x y my
ì
- =ï
Îí
ï + - =î
. Tìm m để hệ có nghiệm.
.........Hết.........
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:............................................................; Số báo danh:...................
- WWW.MATHVN.COM -

16. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi: TOÁN
.
Câu Ý Đáp án Điểm
I 1 1,0
· TXĐ : D = R{ }1 .
· Sự biến thiên:
y’ =
( )
2
1
0,
1
x D
x
-
< " Î
-
.
Hàm số nghịch biến trên: ( ) ( );1 à 1;v-¥ +¥
0,25
Giới hạn: lim lim 2
x x®+¥ ®-¥
= = ; tiệm cận ngang: y = 2
1 1
lim , lim
x x+ -
® ®
= +¥ = -¥ ; tiệm cận đứng: x = 1
0,25
Bảng biến thiên: 0,25
· Đồ thị:
0,25
2 1,0
Gọi M(m;
2 1
1
m
m
-
-
)
Tiếp tuyến của (C) tại M:
( )
( )2
1 2 1
11
m
y x m
mm
- -
= - +
--
0,25
A(1;
2
1
m
m -
), B(2m-1; 2) 0,25
IA =
2 1
2 2
1 1
m
m m
- =
- -
, IB = 2 2 2 1m m- = - 0,25
1
. 2
2
IABS IA IBD = = .
Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C).
0,25
II 1 1,0
Điều kiện:
6 2
k
x
p p
¹ +
Ta có tan .tan tan .cot 1
6 3 6 6
x x x x
p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö
- + = - - = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
0,25
Phương trình tương đương với: 3 3
sin .sin3 os .cos3x x c x x+ =
1
8
( )
1 os2 os2 os4 1 os2 os2 os4 1
. .
2 2 2 2 8
1
2 os2 os2 . os4
2
c x c x c x c x c x c x
c x c x c x
- - + +
Û + =
Û - =
0,25
3 1 1
os os2
8 2
c x c xÛ = Û = 0,25
- WWW.MATHVN.COM -

17. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
( )ai
6
,
6
x k lo
k Z
x k
p
p
p
p
é
= +ê
Û Îê
ê = - +
êë
. Vậy :
6
x k
p
p= - + 0,25
2 1,0
Đk: -1 1x£ £
Đặt u = ( )
3
1 x+ , v = 3
(1 )x- ; u,v 0³
Hệ thành:
2 2
3 3
2
1 ( ) 2
u v
uv u v uv
ì + =ï
í
+ - = +ïî
0,25
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
22 2
3 3 2 2
1 1 1
1 2 2 2
2 2 2
( ) 2
uv uv u v uv u v
u v u v u v vu u v uv
+ = + = + + = +
+ = - + + = - +
0,25
2 2
2
2 2
2 2
1
22
u v
u
u v
ì + =ï
Þ Þ = +í
- =ïî
0,25
2
2
xÞ = 0,25
III 1,0
Đặt
( )2 2
2
2 1
ln 1 1
2
x
du dx
u x x x x
xdv xdx v
+ì
=ïì = + +ï ï + +
Þí í
=ï ïî =
ïî
( )
12 3 2
2
0
1 1 22ln 1
2 2 10
x x x
I x x dx
x x
+
= + + -
+ +ò
0,25
( )
1
12 2 1
0 20
0
1 1 1 3
ln3 ln( 1)
2 2 4 4 1
3 3
ln3
4 4
dx
x x x x
x x
J
- - + + + -
+ +
= -
ò
0,25
1
22
0 1 3
2 2
dx
J
x
=
æ öæ ö
+ + ç ÷ç ÷
è ø è ø
ò . Đặt
1 3
tan , ;
2 2 2 2
x t t
p pæ ö
+ = Î -ç ÷
è ø
3
6
2 3 3
3 9
J dx
p
p
p
= =ò
0,25
Vậy I =
3
ln 3
4
-
3
12
p
0,25
IV 1,0
Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’Þ M, N lần lượt là trung
điểm của SD và SB
AB = AD = a, góc BAD = 600
Þ D ABD đều Þ OA =
3
, 3
2
a
AC a=
SA = 2AA’ = a
3
3, ' AA'
2
a
CC = =
0,25
- WWW.MATHVN.COM -

18. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
~ '
'
AO SA
SAO ACC
AC CC
Þ = Þ D D
' ~ACC AIOÞ D D (I là giao điểm của AC’ và SO)
'SO ACÞ ^ (1)
Mặt khác ( ' ') 'BD ACC A BD AC^ Þ ^ (2)
Từ (1) và (2) Þ đpcm
0,25
2
2
2 2
'
1 3
3
3 2 4
1 3 3
3 2 4 2 32
SABD
SA MN
a
V a a
a a a
V
= =
æ ö
= =ç ÷
è ø
0,25
2
AA' '
7
32
BDMN SABD SA MN
a
V V V= - = 0,25
V 1,0
Do a, b, c > 0 và 2 2 2
1a b c+ + = nên a, b, c ( )0;1Î
Ta có:
( )
225 3
3
2 2 2
12
1
a aa a a
a a
b c a
-- +
= = - +
+ -
BĐT thành: ( ) ( ) ( )3 3 3 2 3
3
a a b b c c- + + - + + - + £
0,25
Xét hàm số ( ) ( )3
, 0;1f x x x x= - + Î
Ta có:
( )
ax
0;1
M ( )f x =
2 3
9
0,25
0,25
( ) ( ) ( )
2 3
3
f a f b f cÞ + + £ Þ đpcm
Đẳng thức xảy ra
1
3
a b cÛ = = =
0,25
VI.a 1 1,0
I
9 3
;
2 3
æ ö
ç ÷
è ø
, M( )3;0 0,25
Giả sử M là trung điểm cạnh AD. Ta có: AB = 2IM = 3 2
. 12 2 2ABCDS AB AD AD= = Þ =
AD qua M và vuông góc với d1 Þ AD: x + y – 3 = 0
0,25
Lại có MA = MB = 2
Tọa độ A, D là nghiệm của hệ:
( )
2 2
3 0 2
13 2
x y x
yx y
+ - =ì =ìï
Ûí í
=- + = îïî
hoặc
4
1
x
y
=ì
í
= -î
0,25
Chọn A(2 ; 1) ( ) ( ) ( )4; 1 7;2 à 5;4D C v BÞ - Þ 0,25
2 1,0
Gọi H là trung điểm đoạn AB 8HAÞ = 0,25
IH2
= 17 0,25
IA2
= 81 9RÞ = 0,25
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 1 1 81C x y z- + - + - = 0,25
VII.a 1,0
- WWW.MATHVN.COM -

19. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
Ta có: ( )
22 3 1
0 1 2
0
2 2 2
2 ... 1
2 3 1
n
nn
n n n nC C C C x dx
n
+
+ + + + = +
+ ò 0,25
1
13 1 6560
3 6561 7
1 1
n
n
n
n n
+
+-
Û = Û = Û =
+ +
0,25
7 14 37
4
74
0
1 1
22
k
k
k
x C x
x
-
æ ö
+ =ç ÷
è ø
å 0,25
Số hạng chứa x2
ứng với k thỏa:
14 3
2 7
4
k
k
-
= Û =
Vậy hệ số cần tìm là:
21
4
0,25
VI.b 1 1,0
Gọi A(-4; 8) Þ BD: 7x – y + 8 = 0Þ AC: x + 7y – 31 = 0 0,25
Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b)
D: ax + by + 4a – 5b = 0,
D hợp với AC một góc 450
Þ a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3
ÞAB: 3 4 32 0; : 4 3 1 0x y AD x y- + = + + =
0,25
Gọi I là tâm hình vuông Þ I(
1 9
; )
2 2
- ( )3;4CÞ
: 4 3 24 0; :3 4 7 0BC x y CD x yÞ + - = - + =
0,25
KL: 0,25
2 1,0
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)
Þ B’(-1; -3; 4)
0,25
' 'MA MB MA MB AB- = - £
Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng Þ M là giao điểm của (P) và AB’
0,25
AB’:
1
3
2
x t
y
z t
= +ì
ï
= -í
ï = -î
0,25
M(-2; -3; 6) 0,25
VII.b 1,0
Đk: x ¹ 0, y > 0
( )
( )
2
3 33 3
3 2
3 2
23 2
1
log loglog log 0
2
00
, 1
, 20
x yx y
x y ayx y my
y xy x
y y ay y ay
ì ì =- =ï ï
Ûí í
+ - =ï ïî+ - =î
ì =ì =ï ï
Û Ûí í
+ =+ - =ï ïî î
0,25
Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0
Ta có : f(y) = 2
y y+ >0 ," y > 0
0,25
Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0 0,25
Vậy hệ có nghiệm khi a > 0 0,25
- WWW.MATHVN.COM -

20. I H C SƯ PH M HÀ N I
KHOA TOÁN-TIN
THI TH
THI TH I H C, CAO NG 2011
Môn thi : TOÁN - kh i A.
Th i gian làm bài : 180 phút (không k th i gian giao )
I. PH N CHUNG DÀNH CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m)
Câu I (2,0 i m).
1. Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s
3
1
x
y
x
−
=
+
.
2. Vi t phương trình ư ng th ng d i qua i m ( )1;1I − và c t th (C) t i hai i m M, N sao
cho I là trung i m c a o n MN.
Câu II (2,0 i m).
1. Gi i phương trình ( ) ( )3
sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos2 8 3cos sinx 3 3 0x x x x x+ − − + − − = .
2. Gi i h phương trình
( )3 3
2 2
3 4
9
x y xy
x y
 − =

 =
.
Câu III (2,0 i m).
1. Cho x, y là các s th c tho mãn 2 2
4 3x xy y .+ + =
Tìm giá tr nh nh t, l n nh t c a bi u th c: 3 3
8 9M x y xy= + − .
2. Ch ng minh ( )
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +
v i m i s dương ; ;a b c .
Câu IV (1,0 i m). Cho lăng tr tam giác u . ' ' 'ABC A B C có c nh áy là a và kho ng cách t A
n m t ph ng (A’BC) b ng
2
a
. Tính theo a th tích kh i lăng tr . ' ' 'ABC A B C .
II. PH N RIÊNG(3,0 i m): T t c thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n: A ho c B.
A. Theo chương trình Chu n
Câu Va (1,0 i m). Trong m t ph ng t a (Oxy). L p phương trình ư ng th ng qua ( )2;1M và
t o v i các tr c t a m t tam giác có di n tích b ng 4 .
Câu VI.a (2,0 i m).
1. Gi i b t phương trình ( ) ( )2 2 2
1 log log 2 log 6x x x+ + + > − .
2. Tìm m hàm s 3 2 2
3( 1) 2( 7 2) 2 ( 2)y x m x m m x m m= − + + + + − + có c c i và c c ti u.
Vi t phương trình ư ng th ng i qua i m c c i và c c ti u khi ó.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb (1,0 i m). Trong m t ph ng t a (Oxy) , cho i m
1
3;
2
M
 
 
 
. Vi t phương trình chính
t c c a elip i qua i m M và nh n ( )1 3;0F − làm tiêu i m.
Câu VI.b (2,0 i m).
1. Gi i h phương trình
2 2
1
2 3x y
y x x y
+
 + = +

=
.
2. Tìm trên m t ph ng t a t p h p t t c các i m mà t ó có th k ư c hai ti p tuy n n
th hàm s
2
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
và hai ti p tuy n này vuông góc v i nhau.
----------------------------------H T---------------------------------
- WWW.MATHVN.COM -

21. I H C SƯ PH M HÀ N I
========================================================================
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
1
ÁP ÁN VÀ THANG I M
Môn thi : TOÁN - kh i A.
CÂU Ý N I DUNG I M
T p xác nh: { } 1D R= − . 0,25
S bi n thiên:
• Gi i h n và ti m c n: lim 1; lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ = là TCN.
( ) ( )1 1
lim ; lim 1
x x
y y x
− +→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒ = − là TC
0,25
( )2
4
' 0,
1
y x D
x
= > ∀ ∈
+
.
• BBT:
-∞
+∞
+∞
-∞ -1
+ +
1
1
y
y'
x
Hàm s ng bi n trên các kho ng ( ) ( ); 1 , 1;−∞ − − +∞
Và không có c c tr .
0,25
Ý 1
(1,0 )
th : T c t Ox t i (3;0), c t Oy t i (0;-3) và i x ng qua ( )1;1− .
4
2
-2
-5 5
x = -1
y = 1
y
xO
0,25
G i d là ư ng th ng qua I và có h s góc k ( ): 1 1d y k x= + + .
Ta có: d c t ( C) t i 2 i m phân bi t M, N
3
: 1
1
x
PT kx k
x
−
⇔ = + +
+
có 2 nghi m PB khác 1− .
0,25
Câu I
(2,0 )
Ý 2
(1,0 )
Hay: ( ) 2
2 4 0f x kx kx k= + + + = có 2 nghi m PB khác 1− 0,25
- WWW.MATHVN.COM -

22. I H C SƯ PH M HÀ N I
========================================================================
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
2
( )
0
4 0 0
1 4 0
k
k k
f
 ≠

⇔ ∆ = − > ⇔ <
 − = ≠
.
M t khác: 2 2M N Ix x x+ = − = ⇔ I là trung i m MN v i 0k∀ < . 0,25
KL: PT ư ng th ng c n tìm là 1y kx k= + + v i 0k < . 0,25
Chú ý: Có th ch ng minh th ( C) có I là tâm i x ng, d a vào
th ( C) k t lu n k t qu trên.
2 3 2
2
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2cos ( 3cos sin ) 6.cos ( 3cos sin ) 8( 3cos sin ) 0
x x x x x x x x
x x x x x x x x
⇔ + − − + + − − =
⇔− − − − + − =
.
0,50
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4( )
x x x x
x
x x
x
x x
x loai
⇔ − − − + =
 =
 − = 
⇔ ⇔ = 
+ − =  =
.
0,25
Ý 1
(1,0 )
,3
2
x k
k
x k
π
π
π

= +⇔ ∈Ζ

=
0,25
Ta có : 2 2
9 3x y xy= ⇔ = ± . 0,25
. Khi: 3xy = , ta có: 3 3
4x y− = và ( )3 3
. 27x y− = −
Suy ra: ( )3 3
;x y− là nghi m PT 2
4 27 0 2 31X X X− − = ⇔ = ± 0,25
V y ngi m c a PT là 3 3
2 31, 2 31x y= + = − −
Hay 3 3
2 31, 2 31x y= − = − + .
0,25
Câu II
(2,0 )
Ý 2
(1,0 )
Khi: 3xy = − , ta có: 3 3
4x y− = − và ( )3 3
. 27x y− =
Suy ra: ( )3 3
;x y− là nghi m PT 2
4 27 0( )X X PTVN+ + =
0,25
Ta t 2t x y= + , t gi thi t suy ra
2
3
3
t
xy
−
= .
i u ki n
2 30
5
t ≤
0,25
• Khi ó ( ) ( )
33 3
8 9 2 6 2 9M x y xy x y xy x y xy= + − = + − + −
( )3 2
3 6 9t t t f t= − − + + =
0,25
Câu III
(2,0 )
Ý 1
(1,0 )
• Xét hàm f(t) v i
2 30 2 30
5 5
t ;
 
∈ − 
 
, ta ư c:
0,5
- WWW.MATHVN.COM -

23. I H C SƯ PH M HÀ N I
========================================================================
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
3
( ) ( )
35 12 30 35 12 30
5 5
min f t ; max f t
− +
= =
Ta có:
2
1
22
a ab ab
a a a ab
a b a b ab
= − ≥ − = −
+ +
(1) 0,50
Tương t :
2
1
2
b
b bc
b c
≥ −
+
(2),
2
1
2
c
c ca
c a
≥ −
+
(3). 0,25
Ý 2
(1,0 )
C ng (1), (2), (3), ta có:
( )
2 2 2
1
2
a b c
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +
0,25
G i M là trung i m BC, h AH vuông góc v i A’M
Ta có: ( ' )
'
BC AM
BC AA M BC AH
BC AA
⊥ 
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ 
. 0,25
Mà ' ( ' )
2
a
AH A M AH A BC AH⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . 0,25
M t khác: 2 2 2
1 1 1 6
'
4'
a
AA
AH A A AM
= + ⇒ = . 0,25
Câu IV
(1,0 )
KL:
3
. ' ' '
3 2
16
ABC A B C
a
V = . 0,25
G i d là T c n tìm và ( ) ( );0 , 0;A a B b là giao i m c a d v i Ox,
Oy, suy ra: : 1
x y
d
a b
+ = . Theo gi thi t, ta có:
2 1
1, 8ab
a b
+ = = .
0,25
Khi 8ab = thì 2 8b a+ = . Nên: 12; 4 : 2 4 0b a d x y= = ⇒ + − = . 0,25
Khi 8ab = − thì 2 8b a+ = − . Ta có:
2
4 4 0 2 2 2b b b+ − = ⇔ = − ± .
V i ( ) ( )22 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y= − + ⇒ − + + − =
0,25
Câu Va
(1,0 )
V i ( ) ( )32 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y= − − ⇒ + + − + = . KL 0,25
K: 0 6x< < . BPT ( ) ( )22
2 2log 2 4 log 6x x x⇔ + > − . 0,25
Hay: BPT ( )22 2
2 4 6 16 36 0x x x x x⇔ + > − ⇔ + − > 0,25
V y: 18x < − hay 2 x< 0,25
Ý 1
(1,0 )
So sánh v i i u ki n. KL: Nghi m BPT là 2 6x< < . 0,25
Ta có 2 2
' 3 6( 1) 2( 7 2)y x m x m m= − + + + + 0,25
Câu VIa
(2,0 )
Ý 2
(1,0 )
HS có C , CT khi phương trình 2 2
3 6( 1) 2( 7 2) 0x m x m m− + + + + = có
hai nghi m phân bi t. Hay 4 17m < − ho c 4 17m > +
0,25
- WWW.MATHVN.COM -

24. I H C SƯ PH M HÀ N I
========================================================================
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
4
Chia y cho y’ ta có '( ) ( ) ( )y y x q x r x= + ;
2 3 22 2
( ) ( 8 1) ( 5 3 2)
3 3
r x m m x m m m= − − − + + + +
0,25
To i m c c tr là nghi m c a h
'( ) 0
( )
'( ). ( ) ( )
y x
y r x
y y x q x r x
=
⇒ =
= +
V y phương trình ư ng th ng c n tìn là
2 3 22 2
( 8 1) ( 5 3 2)
3 3
y m m x m m m= − − − + + + +
0,25
PTCT elip có d ng:
2 2
2 2
1( 0)
x y
a b
a b
+ = > > 0,25
Ta có:
2 2
2 2
3
1
4
3 1
a b
a b
− =
+ =





0,25
Ta có: 4 2 2 2 3
4 3 0 1( ), ( )
4
b b b th b kth− − = ⇔ = = − 0,25
Câu Vb
(1,0 )
Do ó: 2
4a = . KL:
2 2
1
4 1
x y
+ = 0,25
( )( )2 2
1 0 , 1y x x y y x y x y x y x+ = + ⇔ − + − = ⇔ = = − . 0,50
Khi: 1y x= − thì 2
62 3 6 9 log 9x x x
x−
= ⇔ = ⇔ = 0,25
Ý 1
(1,0 )
Khi: y x= thì 1
2
3
2
2 3 3 log 3
3
x
x x
x+  
= ⇔ = ⇔ = 
 
. 0,25
G i M(a;b) là m t i m tho mãn bài. Khi ó ư ng th ng qua M
có d ng ( )y k x a b= − +
S d ng i u ki n ti p xúc cho ta h
2
1 1
1 ( ) 1 ( ) (1)
1 1
1 1
1 (*) 1 ( 1) (2)
( 1) 1
x k x a b x k x a b
x x
k x k x
x x
 − + = − + − + = − + −  −
⇔ 
 − = − − = −
− −
0,25
L y (1) – (2) ta có [ ]
1 1
(1 )
1 2
k a b
x
= − +
−
K t h p v i (*) cho ta
[ ]
2
2 2 2
1
1
(1 )
( 1) 2 (1 ) 2 4 01
2
k
k
k a b
a k a b k bk
≠
≠ 
⇔ − +  − + − + + − =− =    
0,25
Câu VIb
(2,0 )
Ý 2
(1,0 )
t M k ư c hai ti p tuy n vuông góc n th hàm s thì h
phương trình trên ph i có 2 nghi m phân bi t 1 2,k k sao cho 1 2. 1k k = −
- WWW.MATHVN.COM -

25. I H C SƯ PH M HÀ N I
========================================================================
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Tr n Quang Thu n Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
5
Hay
[ ]
2
2 2
2
2 2
1 0
1
4
1 ( 1) 4
( 1)
1 0
( 1) 2 (1 ) 2 4 0
a
a
b
a b
a
a b
a a b b
 − ≠
≠
− 
= − ⇔ − + = 
− − + + ≠ − + − + + − ≠
0,25
V y t p h p i m M tho mãn yêu c u bài toán thu c ư ng tròn
( )
2 2
1 4x y− + = tr b i 4 giao i m c a ư ng tròn này v i 2 ư ng
th ng : x = 1 và –x + y + 1 = 0.
0,25
------------------------------H T------------------------------
- WWW.MATHVN.COM -