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Distribucion normal por wallter lopez

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Distribucion normal por wallter lopez

  1. 1. La distribución normal
  2. 2. Tabla de contenidoIntroducción Objetivo general Objetivos específicos Instrucciones de cómo usar la presentación Glosario de términosLa distribución normal Utilidad La función Propiedades de la distribución normal Teorema del límite central
  3. 3. Tabla de contenidoLa distribución normal estándar Características Ejemplos y Ejercicios Área bajo la curva normal estándarEjercicios de pruebaReferencias
  4. 4. IntroducciónUna de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilizaciónde la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilardatos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con lasmetas y objetivos de la organización.En este módulo se describe la relación de la Distribución normal con laDistribución normal estándar. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde seenseña sobre la determinación de probabilidades y sus aplicaciones.Este módulo va dirigido a todos/as los/as estudiantes de Administraciónde Empresas en sus distintas concentraciones.
  5. 5. Objetivos de la presentaciónObjetivo general Esperamos que cuando termines esta presentación puedas utilizar la distribución normal para obtener probabilidades, intervalos y cantidades específicas.Objetivos específicosAdemás, esperamos que puedas: Identificar las propiedades de una distribución normal. Encontrar el área bajo una distribución normal estándar. Interpretar áreas bajo la curva normal de acuerdo al problema.
  6. 6. Instrucciones de cómo usar la presentaciónLa presentación se inicia con material teórico de los conceptosgenerales.Luego de leer el material que sirve de introducción, podrásestablecer enlaces que demuestran de forma dinámica losconceptos teóricos.Te recomiendo que tengas acceso a Internet mientras trabajasla presentación.Siempre que se te presente la siguiente figura:puedes presionarla para navegar adecuadamente a través detoda la presentación.
  7. 7. Glosario de términos Asintótica – Línea que se acerca indefinidamente a un eje sin llegar a encontrarlo. Aleatorias – Que son al azar. Tipificada – Que tiene un arreglo uniforme o estándar. Morfológicos – Aspecto general de las formas y dimensiones de un cuerpo.
  8. 8. La distribución normalLa distribución normal fue reconocidapor primera vez por el francésAbraham de Moivre (1667-1754).Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)realizó estudios más a fondodonde formula la ecuación de la curvaconocida comúnmente, como la“Campana de Gauss".
  9. 9. Utilidad Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la norma. Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, por ejemplo: tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono
  10. 10. Utilidad Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,... Errores cometidos al medir ciertas magnitudes Valores estadísticos muéstrales como la media, varianza y moda
  11. 11. La función de distribución Puede tomar cualquier valor (- ∞, + ∞) Hay más probabilidad para los valores cercanos a la media µ Conforme nos separamos de µ , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica). Conforme nos separamos de µ , la probabilidad va decreciendo dependiendo la desviación típica σ.
  12. 12. La función F(x)
  13. 13. F(x) es el área sombreada de la siguiente gráfica
  14. 14. Propiedades de la distribución normal:El área bajo la curva aproximado del promedio μ a más omenos una desviación estándar (1σ) es de 0.68, a más omenos 2σ es de .0 95 y a más o menos 3σ es de 0.99. (Las propiedades continuan en la próxima lámina)
  15. 15. Propiedades de la distribución normal:La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ.Tiene una única moda que coincide con su media y su mediana.La curva normal es asintótica al eje de X.Es simétrica con respecto a su media μ . Según esto, para este tipo devariables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayorque la media, y un 50% de observar un dato menor.
  16. 16. La desviación estándar (σ )Compruebe el cambio de la distribución variando la desviación estándar Nota – cuando llegue al enlance utilice la gráfica #3 Tipificación de la variable
  17. 17. La media μCompruebe el cambio de la distribución variando la media Nota – cuando llegue al enlance utilice la gráfica #2 Familiarizándonos con la normal
  18. 18. En resumen Podemos concluir que hay una familia de distribuciones con una forma común, diferenciadas por los valores de su media y su varianza. La desviación estándar (σ ) determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. La media indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de μ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. De entre todas ellas, la más utilizada es la distribución normal estándar, que corresponde a una distribución de media 0 y varianza 1.
  19. 19. La distribución normal estándar Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad se le conoce como la curva normal estándar. Es una distribución normal con promedio 0 y una desviación estándar de 1. Todas las variables normalmente distribuidas se pueden transformar a la distribución normal estándar utilizando la fórmula para calcular el valor Z correspondiente.
  20. 20. La función F(z) En la siguiente gráfica vemos la representación gráfica de la función de Z.
  21. 21. En resumen Podemos decir que el valor de Z es la cantidad de desviaciones estándar a la que está distanciada la variable X del promedio. A la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad se le conoce como la curva normal estándar
  22. 22. Características de la distribución normal estándar. No depende de ningún parámetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1. La curva f(x) es simétrica respecto del eje de Y Tiene un máximo en el eje de Y. Tiene dos puntos de inflexión en z=1 y z=-1
  23. 23. Teorema del Límite CentralNos indica que, bajo condiciones muygenerales, según aumenta la cantidad dedatos, la distribución de la suma de variablesaleatorias tendera a seguir hacia unadistribución normal.En otras palabras el Teorema del LímiteCentral garantiza una distribución normalcuando el tamaño de la muestra essuficientemente grande.
  24. 24. Por ejemploEn el siguiente histograma podemos observar la distribución defrecuencias por peso de acuerdo a la edad. De acuerdo a esteteorema según aumenten la cantidad de dato se podrá trazaruna curva que tome cada vez más formación en forma campana.
  25. 25. Área bajo la curva normal estándarEl área bajo la curva normal estándar es útilpara asignar probabilidades de ocurrencia dela variable X.Debemos tomar en cuenta que el área totalbajo la curva es igual a 1. Y que, por ser unagráfica simétrica, cada mitad tiene un área de0.5. Obtenga mas información de cómo asignar probabilidades utilizando las Tablas.
  26. 26. Pasos para determinar el área bajo la curva normal estándar Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés. Paso 2 - Determinar el valor Z Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada
  27. 27. Ejemplos y ejerciciosSupongamos que sabemos que el peso de los/as estudiantes universitarios/as sigue unadistribución aproximadamente normal, conuna media de 140 libras y una desviaciónestándar de 20 libras.
  28. 28. Ejemplo 1 Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 librasPaso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:
  29. 29. Ejemplo 1 Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras X − µ 150 − 140Paso 2 - Determinar el valor Z: Z= = = 0.50 σ 20Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915 Compruebe de forma interactiva el valor ZPaso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidaddeseada.En este ejemplo no es necesario realizar ningún computo adicional ya queel área es la misma que se representa en la Tabla 1
  30. 30. Ejemplo 2 Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 librasPaso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:
  31. 31. Ejemplo 2 Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras X − µ 150 − 140Paso 2 - Determinar el valor Z: Z= = = 0.50 σ 20Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidaddeseada.En este ejemplo el área de 0.6915 no representa el área que nos interesasino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidadencontrada.1 - .6915 = 0.3085
  32. 32. Ejemplo 3 Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 librasPaso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Gráficamente si decimos que a=115 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:
  33. 33. Ejemplo 3 Determine la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras X − µ 115 − 140Paso 2 - Determinar el valor Z: Z= = = −1.25 σ 20Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.8944.Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidaddeseada. En este ejemplo el área de 0.8944 no representa el área que nos interesasino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidadencontrada.1 - .8944 = 0.2212
  34. 34. Ejemplo 4 Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Gráficamente si decimos que a=115 libras y b=150 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente
  35. 35. Ejemplo 4 Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.Paso 2 - Determinar el valor Z X − µ 115 − 140Cuando X=115 Z= = = −1.25 σ 20Cuando X=150 X − µ 150 − 140 Z= = = 0.50 σ 20Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.8944.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915
  36. 36. Ejemplo 4 Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.El área de 0.8944 se le resta la diferencia de 1-.6915.0.8944 – (1-.6915) = .5859
  37. 37. Ejemplo 5 Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150librasPaso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Gráficamente si decimos que a=150 libras y b= 160 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:
  38. 38. Ejemplo 5 Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150librasPaso 2 - Determinar el valor ZComo vimos en el ejemplo 1 y 2 E valor Z cuando X=150 es 0.50.Para X=160 el valor Z será: X − µ 160 − 140 Z= = = 1.0 σ 20Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413.
  39. 39. Ejemplo 5 Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150librasPaso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.En este ejemplo se resta el área mayor menos el área menor como se interpreto en el paso 1.0.8413 - .6915 = 0.1498
  40. 40. Ejemplo 6 Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras.Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés. Gráficamente si decimos que a=115 libras y b= 130 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente:
  41. 41. Ejemplo 6 Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras.Paso 2 - Determinar el valor Z Cuando X=115 X − µ 115 − 140 Z= = = −1.25 σ 20 para X=130 X − µ 130 − 140 Z= = = −0.50 σ 20 Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades. Buscamos en la Tabla 1 el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de (1-0.8944.)=0.1056 Para Z = -.050 el área es de (1-.6915)=.3085
  42. 42. Ejemplo 6 Determine la probabilidad de elegir a una persona que pese entre 115 y 130 libras.Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.En este ejemplo el área será la diferencia de .3085-.1056=.2029.
  43. 43. Ejercicios de pruebaTrabaje los ejercicios de este enlace utilizando la tablade probabilidades y luego compruebe los resultadosinteraccionando con las gráficas.Para el primer ejercicio observe la gráfica, manipule losparámetros m (µ) y s (σ) y luego redacte unadescripción detallada sobre las características de unacurva normal con media de 0 y desviación estándar de 1.
  44. 44. ReferenciasAnderson, S. (2006). Estadísticas para administración yeconomía, Thomson,Newbold, P. (2003). Statistics for Business And Economics,Prentice Hall.Altman, D., Bland, J. (1995). Statistics Notes: The NormalDistribution. BMJ, ; 310: 298-298.Bluman Allan, G. (2007). Statistics, Mc Graw Hill,Pértega, D., Pita F. (2001) Representación gráfica en el análisisde datos. Cad Aten Primaria; 8: 112-117.
  45. 45. Referencias http://descartes.cnice.mecd.es/index.html http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-34-est.htm http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/sampling_dist/index.h

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