SlideShare a Scribd company logo
1 of 3
Download to read offline
Δημ. Σκλαβενίτης 1
Μια καλοκαιρινή κυµατική συµβολή
Καθώς η βάρκα διασχίζει την ήρεµη θάλασσα, αφήνει πίσω της κάποιους χαρακτηριστικούς
κυµατισµούς. Η εικόνα είναι οικεία ιδίως τώρα το καλοκαίρι, αλλά και από φωτογραφίες από ψηλά
όπου διακρίνεται καθαρά στο πίσω µέρος κάθε σκάφους (πλοίο, κότερο, ταχύπλοο αλλά και µια
πάπια που κολυµπάει στην ήρεµη επιφάνεια µιας λίµνης) ένα χαρακτηριστικό V.
Πού οφείλεται αυτός ο χαρακτηριστικός σχηµατισµός που φαίνεται να ακολουθεί προσκολληµένος
το πλεούµενο;
Κάποιες εισαγωγικές επισηµάνσεις:
Έχουµε σίγουρα παρατηρήσει ότι τα µεγάλα κύµατα στη θάλασσα κινούνται γρηγορότερα. Επίσης
όταν πετάµε µια πέτρα στην ήρεµη θάλασσα δηµιουργούνται µικρά και µεγάλα κύµατα που
απλώνονται σε οµόκεντρους κύκλους. Το κάθε κύµα έχει τη δική του ταχύτητα, τα µεγαλύτερα
αποµακρύνονται ταχύτερα.
Ακριβέστερα η ταχύτητα που έχει ένα κύµα µήκους λ δίνεται από τη σχέση
c(λ)= (λ g/2π)1/2
Ένα συγκεκριµένο παράδειγµα στον υπολογιστή: Σε κάποιο σηµείο δηµιουργούµε επί 20 s µια
οµάδα 100 κυµάτων, από λ=4 m µέχρι λ=5 m που διαδίδονται ευθύγραµµα. Τα µεγάλα σε µήκος
κύµατα θα έχουν µεγαλύτερη ταχύτητα, τα µικρότερα θα ακολουθούν. (c(4)= 2,52 m/s και
c(5)=2,82 m/s.) Και ασφαλώς θα έχουµε µια συµβολή. Ας τη δούµε γραφικά, τη στιγµή 20 s.:
Παρατηρούµε ότι µετά τα 56 m το µέσον διάδοσης (το νερό) παραµένει αδιατάρακτο διότι εκείνη
τη στιγµή το ταχύτερο κύµα µόλις φτάνει στη θέση 56m. Επίσης το µέγιστο της συµβολής έχει
διανύσει τη µισή απόσταση, κινείται δηλ µε τη µισή ταχύτητα των επιµέρους κυµάτων.
Στο δεύτερο «πείραµα» παράγεται µια µεγαλύτερη οµάδα 500 κυµάτων από 2m έως 7m, πάλι επί
20 s.(αυτό µε µήκος κύµατος 7m έχει ταχύτητα 3,3m/s). Παρατηρούµε ξανά ότι το µέγιστο της
συµβολής έχει διανύσει, χοντρικά, τη µισή απόσταση από αυτήν που έχει διανύσει το ταχύτερο.
Τι θα συµβεί αν η πηγή κυµάτων δεν είναι ακίνητη; Ερχόµαστε έτσι στο αρχικό µας ερώτηµα:
Η πηγή κυµάτων είναι ένα σκάφος που δηµιουργεί κύµατα µε διάφορα µήκη, που αποµακρύνονται
κυκλικά. Το κάθε ένα έχει τη δική του ταχύτητα. Ποια εικόνα θα παρατηρήσουµε ως αποτέλεσµα
αυτής της ιδιαίτερης συµβολής; Θα επιχειρήσουµε να απαντήσουµε, στο δύσκολο αυτό πρόβληµα,
σχεδιαστικά, µε τη βοήθεια του υπολογιστή.
Περιληπτικά:
Χωρίζουµε την πορεία του σκάφους σε µικρά τµήµατα – σηµεία. Σε κάθε τέτοιο σηµείο το σκάφος
δηµιουργεί πολλά κύµατα που το κάθε ένα έχει τη δική του ταχύτητα. Αυτά τα κύµατα απλώνονται
Δημ. Σκλαβενίτης 2
κυκλικά ενώ το πλάτος τους µειώνεται. Έτσι σε κάθε σηµείο της επιφάνειας του νερού φτάνουν
πολλά κύµατα και ο υπολογιστής προσθέτει τις αντίστοιχες αποµακρύνσεις.
V=3 m/s V=5 m/s
Στις παραπάνω εικόνες φαίνονται τα αποτελέσµατα για δύο ταχύτητες 3m/s και 5m/s. Η εικόνες
µοιάζουν µε τους κυµατισµούς - τα απόνερα - κινούµενου σκάφους. Το κύριο χαρακτηριστικό τους
είναι το V που σχηµατίζεται και που το άνοιγµά του είναι 38ο
περίπου. ∆ύο χαρακτηριστικά του
σχηµατιζόµενου V, που αποδεικνύονται από τη θεωρία και φαίνονται, κάπως στις εικόνες είναι:
1) Το άνοιγµα των 38ο
είναι ανεξάρτητο από την ταχύτητα του σκάφους. Αυτό ισχύει όταν το ύψος
του κύµατος είναι πολύ µικρότερο του µήκους του, για να βρισκόµαστε στη γραµµική προσέγγιση.
(Έτσι εξαιρούνται τα ταχύπλοα και τα ενοχλητικά Jet ski, ενώ υπακούουν στον κανόνα ένα
υπερωκεάνιο, µια βάρκα και η πάπια της λίµνης.)
2) Τα επιµέρους κύµατα, που συγκροτούν τις πλευρές του V, στις εικόνες σηµειώνονται µε
κόκκινες γραµµές, έχουν «µήκος κύµατος» που εξαρτάται από την ταχύτητα του σκάφους.
(ανάλογο του τετραγώνου της ταχύτητας.)
Παρατηρήσεις
1) Ο παραπάνω τρόπος υπολογισµού της συµβολής είναι σίγουρα ο πλέον πρωτόγονος διότι δεν
εξετάσαµε καθόλου τον µηχανισµό δηµιουργίας των κυµάτων.
2) Έχουµε θεωρήσει κυρίως κύµατα που διαδίδονται µε µικρότερη ταχύτητα από αυτή του
σκάφους. (αντίστοιχο της υπερηχητικής ταχύτητας.) Τα µεγαλύτερα δεν συνεισφέρουν στην
δηµιουργία του V και αλλοιώνουν ελαφρά την εικόνα. Ουσιαστικά εφαρµόσαµε µια συνταγή µε
την οποία ο υπολογιστής κατασκεύασε µια εικόνα που κάτι µας θυµίζει.
3) Ο κώδικας σε ΜΑΤΗΕΜΑΤΙCΑ 4: Η συνάρτηση Ζ είναι αυτή που υπολογίζει κάθε χρονική
στιγµή t την αποµάκρυνση στο σηµείο (x,y) της επιφάνειας του νερού που οφείλεται σε ένα
«κυκλικό» κύµα µήκους κύµατος L που ξεκίνησε από το σηµείο (x0, y0). Το πλάτος µειώνεται ως
1/√r.
Δημ. Σκλαβενίτης 3
4) Μια αξιόλογη εργασία που αποδεικνύει τη χαρακτηριστική γωνία των 38ο
(χρησιµοποιώντας
µόνο το γεγονός ότι στα επιφανειακά κύµατα βαρύτητας η ταχύτητα οµάδας είναι το µισό της
φασικής ταχύτητας) βρίσκεται παρακάτω (σε όχι καλή εµφάνιση).
http://www.2shared.com/photo/9w7xJxd4/wave_4.html
http://www.2shared.com/photo/JA1qeMrG/wave_1.html
http://www.2shared.com/photo/QgisV6bR/wave_2.html
http://www.2shared.com/photo/veNSFIiN/wave_3.html
5) Το σκάφος της φωτογραφίας
κατευθύνεται νότια βγαίνοντας από
τον όρµο της Ρούδας, πλέοντας ίσως
προς κάποιο από τα νησάκια της
νοτιοανατολικής Λευκάδας. Στα
απόνερά του το γνώριµο V θα το
ακολουθεί προσκολληµένο, σε όλο το
ταξίδι του. Όπως συνέβαινε µε το
πλοίο του Οδυσσέα στην ίδια
θάλασσα, όπως συµβαίνει µε κάθε
πλοίο σε κάθε θάλασσα.

More Related Content

Water waves

  • 1. Δημ. Σκλαβενίτης 1 Μια καλοκαιρινή κυµατική συµβολή Καθώς η βάρκα διασχίζει την ήρεµη θάλασσα, αφήνει πίσω της κάποιους χαρακτηριστικούς κυµατισµούς. Η εικόνα είναι οικεία ιδίως τώρα το καλοκαίρι, αλλά και από φωτογραφίες από ψηλά όπου διακρίνεται καθαρά στο πίσω µέρος κάθε σκάφους (πλοίο, κότερο, ταχύπλοο αλλά και µια πάπια που κολυµπάει στην ήρεµη επιφάνεια µιας λίµνης) ένα χαρακτηριστικό V. Πού οφείλεται αυτός ο χαρακτηριστικός σχηµατισµός που φαίνεται να ακολουθεί προσκολληµένος το πλεούµενο; Κάποιες εισαγωγικές επισηµάνσεις: Έχουµε σίγουρα παρατηρήσει ότι τα µεγάλα κύµατα στη θάλασσα κινούνται γρηγορότερα. Επίσης όταν πετάµε µια πέτρα στην ήρεµη θάλασσα δηµιουργούνται µικρά και µεγάλα κύµατα που απλώνονται σε οµόκεντρους κύκλους. Το κάθε κύµα έχει τη δική του ταχύτητα, τα µεγαλύτερα αποµακρύνονται ταχύτερα. Ακριβέστερα η ταχύτητα που έχει ένα κύµα µήκους λ δίνεται από τη σχέση c(λ)= (λ g/2π)1/2 Ένα συγκεκριµένο παράδειγµα στον υπολογιστή: Σε κάποιο σηµείο δηµιουργούµε επί 20 s µια οµάδα 100 κυµάτων, από λ=4 m µέχρι λ=5 m που διαδίδονται ευθύγραµµα. Τα µεγάλα σε µήκος κύµατα θα έχουν µεγαλύτερη ταχύτητα, τα µικρότερα θα ακολουθούν. (c(4)= 2,52 m/s και c(5)=2,82 m/s.) Και ασφαλώς θα έχουµε µια συµβολή. Ας τη δούµε γραφικά, τη στιγµή 20 s.: Παρατηρούµε ότι µετά τα 56 m το µέσον διάδοσης (το νερό) παραµένει αδιατάρακτο διότι εκείνη τη στιγµή το ταχύτερο κύµα µόλις φτάνει στη θέση 56m. Επίσης το µέγιστο της συµβολής έχει διανύσει τη µισή απόσταση, κινείται δηλ µε τη µισή ταχύτητα των επιµέρους κυµάτων. Στο δεύτερο «πείραµα» παράγεται µια µεγαλύτερη οµάδα 500 κυµάτων από 2m έως 7m, πάλι επί 20 s.(αυτό µε µήκος κύµατος 7m έχει ταχύτητα 3,3m/s). Παρατηρούµε ξανά ότι το µέγιστο της συµβολής έχει διανύσει, χοντρικά, τη µισή απόσταση από αυτήν που έχει διανύσει το ταχύτερο. Τι θα συµβεί αν η πηγή κυµάτων δεν είναι ακίνητη; Ερχόµαστε έτσι στο αρχικό µας ερώτηµα: Η πηγή κυµάτων είναι ένα σκάφος που δηµιουργεί κύµατα µε διάφορα µήκη, που αποµακρύνονται κυκλικά. Το κάθε ένα έχει τη δική του ταχύτητα. Ποια εικόνα θα παρατηρήσουµε ως αποτέλεσµα αυτής της ιδιαίτερης συµβολής; Θα επιχειρήσουµε να απαντήσουµε, στο δύσκολο αυτό πρόβληµα, σχεδιαστικά, µε τη βοήθεια του υπολογιστή. Περιληπτικά: Χωρίζουµε την πορεία του σκάφους σε µικρά τµήµατα – σηµεία. Σε κάθε τέτοιο σηµείο το σκάφος δηµιουργεί πολλά κύµατα που το κάθε ένα έχει τη δική του ταχύτητα. Αυτά τα κύµατα απλώνονται
  • 2. Δημ. Σκλαβενίτης 2 κυκλικά ενώ το πλάτος τους µειώνεται. Έτσι σε κάθε σηµείο της επιφάνειας του νερού φτάνουν πολλά κύµατα και ο υπολογιστής προσθέτει τις αντίστοιχες αποµακρύνσεις. V=3 m/s V=5 m/s Στις παραπάνω εικόνες φαίνονται τα αποτελέσµατα για δύο ταχύτητες 3m/s και 5m/s. Η εικόνες µοιάζουν µε τους κυµατισµούς - τα απόνερα - κινούµενου σκάφους. Το κύριο χαρακτηριστικό τους είναι το V που σχηµατίζεται και που το άνοιγµά του είναι 38ο περίπου. ∆ύο χαρακτηριστικά του σχηµατιζόµενου V, που αποδεικνύονται από τη θεωρία και φαίνονται, κάπως στις εικόνες είναι: 1) Το άνοιγµα των 38ο είναι ανεξάρτητο από την ταχύτητα του σκάφους. Αυτό ισχύει όταν το ύψος του κύµατος είναι πολύ µικρότερο του µήκους του, για να βρισκόµαστε στη γραµµική προσέγγιση. (Έτσι εξαιρούνται τα ταχύπλοα και τα ενοχλητικά Jet ski, ενώ υπακούουν στον κανόνα ένα υπερωκεάνιο, µια βάρκα και η πάπια της λίµνης.) 2) Τα επιµέρους κύµατα, που συγκροτούν τις πλευρές του V, στις εικόνες σηµειώνονται µε κόκκινες γραµµές, έχουν «µήκος κύµατος» που εξαρτάται από την ταχύτητα του σκάφους. (ανάλογο του τετραγώνου της ταχύτητας.) Παρατηρήσεις 1) Ο παραπάνω τρόπος υπολογισµού της συµβολής είναι σίγουρα ο πλέον πρωτόγονος διότι δεν εξετάσαµε καθόλου τον µηχανισµό δηµιουργίας των κυµάτων. 2) Έχουµε θεωρήσει κυρίως κύµατα που διαδίδονται µε µικρότερη ταχύτητα από αυτή του σκάφους. (αντίστοιχο της υπερηχητικής ταχύτητας.) Τα µεγαλύτερα δεν συνεισφέρουν στην δηµιουργία του V και αλλοιώνουν ελαφρά την εικόνα. Ουσιαστικά εφαρµόσαµε µια συνταγή µε την οποία ο υπολογιστής κατασκεύασε µια εικόνα που κάτι µας θυµίζει. 3) Ο κώδικας σε ΜΑΤΗΕΜΑΤΙCΑ 4: Η συνάρτηση Ζ είναι αυτή που υπολογίζει κάθε χρονική στιγµή t την αποµάκρυνση στο σηµείο (x,y) της επιφάνειας του νερού που οφείλεται σε ένα «κυκλικό» κύµα µήκους κύµατος L που ξεκίνησε από το σηµείο (x0, y0). Το πλάτος µειώνεται ως 1/√r.
  • 3. Δημ. Σκλαβενίτης 3 4) Μια αξιόλογη εργασία που αποδεικνύει τη χαρακτηριστική γωνία των 38ο (χρησιµοποιώντας µόνο το γεγονός ότι στα επιφανειακά κύµατα βαρύτητας η ταχύτητα οµάδας είναι το µισό της φασικής ταχύτητας) βρίσκεται παρακάτω (σε όχι καλή εµφάνιση). http://www.2shared.com/photo/9w7xJxd4/wave_4.html http://www.2shared.com/photo/JA1qeMrG/wave_1.html http://www.2shared.com/photo/QgisV6bR/wave_2.html http://www.2shared.com/photo/veNSFIiN/wave_3.html 5) Το σκάφος της φωτογραφίας κατευθύνεται νότια βγαίνοντας από τον όρµο της Ρούδας, πλέοντας ίσως προς κάποιο από τα νησάκια της νοτιοανατολικής Λευκάδας. Στα απόνερά του το γνώριµο V θα το ακολουθεί προσκολληµένο, σε όλο το ταξίδι του. Όπως συνέβαινε µε το πλοίο του Οδυσσέα στην ίδια θάλασσα, όπως συµβαίνει µε κάθε πλοίο σε κάθε θάλασσα.