Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ             23/12/2012                                   ΣΕΛΙΔΑ      1                                ...
ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ             23/12/2012                                     ΣΕΛΙΔΑ    2Αν η συνάρτηση f έχει τύπο f(x) ...
ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ                 23/12/2012                          ΣΕΛΙΔΑ    3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετ...
ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ                 23/12/2012                          ΣΕΛΙΔΑ    3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετ...
ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ                 23/12/2012                          ΣΕΛΙΔΑ    3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετ...
ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ                 23/12/2012                          ΣΕΛΙΔΑ    3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

23,812 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

  1. 1. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ : 3 ώρεςΘΕΜΑ 1 οΑ.Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα[α, β]. Αν• η f είναι συνεχής στο [α, β] και• f(α) ≠ f(β)δείξτε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον x0 ∈ (α, β)τέτοιος, ώστε f( x0 ) = η . Μονάδες 9Β.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιόσας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθεπρόταση.i) Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ ∈ (α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’ανάγκη f(β) > 0. Μονάδες 2ii) Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f −1 και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείοΑ με την ευθεία y = x, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f −1 .Μονάδες 2  1 iii)Αν xlim ( f(x)) = 0 και f(x) > 0 κοντά στο x0 , τότε lim  → x0 ÷ = +∞ Μονάδες 2 x → x0  f(x)  lim f(x) = f(x 0 )iv) Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β] όταν x → x για κάθε x0 ∈ (α, β) 0 Μονάδες 2v) Δίνεται η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και 1-1 . Αν f(x)>x τότε f −1(x) < xΜονάδες 2vi) Αν η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R τότε η f −1έχει πεδίο ορισμού διάστημα . Μονάδες 2Γ. Στις παρακάτω προτάσεις δίνονται περισσότερες από μία απαντήσεις .Να επιλέξετε τησωστή.i). Αν η f έχει πεδίο ορισμού το Α=[0,3] τότε η f(x-2) έχει πεδίο ορισμού το α) Β=[2,5] β) Β=[-1,6] γ) Β=[2,3] δ)Β=[2,4] Μονάδες 2ii). Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:R→R και (fοg)(x)=x+2 , g(x)=x-1 . Τότε η f είναι : α) f(x)=x+2 β) f(x)=2x-3 γ) f(x)= x+3 Μονάδες 2ΘΕΜΑ 2
  2. 2. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 2Αν η συνάρτηση f έχει τύπο f(x) = ln(x − 3) + x − 2 τότε :α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της f . Μονάδες 5β) Να λύσετε την εξίσωση : f(x)=x Μονάδες 4γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f −1 . Μονάδες 4δ) Δίνεται η συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το (0, +∞) και σύνολο τιμών το ( 3, +∞ ) τέτοιαώστε η fog να είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞) .i) Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞) . Μονάδες 6 g(8) − 3 >e ( ) g ex − 1 − g(8)ii) Να λύσετε στο (0, +∞) την ανίσωση ( ) g ex −1 − 3 Μονάδες 6ΘΕΜΑ 3 .  ημ(3αx)  , x<0  x  = 2Δίνεται η συνάρτηση f(x)α  2 + , x 0= .   3  1   x .ημ 2 ÷ − β , x> 0    x i) Να βρεθούν οι τιμές των α,β ∈ R ώστε η f να είναι συνεχής στο x0 = 0 . Μονάδες 6ii) Να βρείτε το όριο : lim f(x) . x → +∞ Μονάδες 6 g ( x)iii) Δίνεται η συνάρτηση g : R → R , αν α=1 και lim = 1 τότε x→0 x g(x) + xα) Να βρείτε τις τιμές του λ ∈ R για τις οποίες ισχύει : lim = lim f(x) Μονάδες 5 − x → 0 g(x)λx x →0β) Αν η γραφική παράσταση της g δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον άξονα χ΄χ , νααποδείξετε ότι η g δεν είναι συνεχής . Μονάδες 4γ) Αν για τη συνάρτηση h:R → R γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής στο R , h(x) ≠ 0 για κάθε g(x)x ∈ R και h(x) > για κάθε x ≠ 0 , να βρείτε το πρόσημο της h . Μονάδες 4 xΘΕΜΑ 4.Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R .
  3. 3. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο μετετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4 1 2 f  ÷ + 2f  ÷ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4 f(x0 ) =   3III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα 1x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+ x → x0 f(x) . Μονάδες 6 1 1v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=  − + 2 να βρείτε τα όρια f(x) x 1 1 g ÷ g ÷ lim g(x) e x + 2 xα) x → 0+ β) lim Μονάδες 6 x → +∞ 1 g ÷ e x +1 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
  4. 4. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο μετετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4 1 2 f  ÷ + 2f  ÷ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4 f(x0 ) =   3III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα 1x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+ x → x0 f(x) . Μονάδες 6 1 1v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=  − + 2 να βρείτε τα όρια f(x) x 1 1 g ÷ g ÷ lim g(x) e x + 2 xα) x → 0+ β) lim Μονάδες 6 x → +∞ 1 g ÷ e x +1 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
  5. 5. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο μετετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4 1 2 f  ÷ + 2f  ÷ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4 f(x0 ) =   3III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα 1x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+ x → x0 f(x) . Μονάδες 6 1 1v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=  − + 2 να βρείτε τα όρια f(x) x 1 1 g ÷ g ÷ lim g(x) e x + 2 xα) x → 0+ β) lim Μονάδες 6 x → +∞ 1 g ÷ e x +1 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
  6. 6. ΟΥΝΤΖΟΥΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 23/12/2012 ΣΕΛΙΔΑ 3Αν είναι f(0)=2 και f(1)=4 να αποδείξετε ότι :Ι) Η ευθεία ψ=-2x+3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο μετετμημένη x0 ∈ (0,1). Μονάδες 4 1 2 f  ÷ + 2f  ÷ΙΙ) Υπάρχει μοναδικό x0 ∈ (0,1) τέτοιο ώστε 2 5 Μονάδες 4 f(x0 ) =   3III) Να λύσετε την εξίσωση f(x)+f(2x)=f(3x)+f(4x) , x ∈ [0,1] Μονάδες 5ΙV)Δίνεται ότι όταν x ∈ [x1 , x 2 ] τότε η f έχει σύνολο τιμών το [α+2,α+4] .Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του α ∈ R ώστε η f(x)=0 να έχει μια ακριβώς ρίζα 1x0 στο [x1 , x 2 ] και να βρεθεί το όριο lim+ x → x0 f(x) . Μονάδες 6 1 1v) Δίνεται η συνάρτηση g: ( 0,1 → R με g(x)=  − + 2 να βρείτε τα όρια f(x) x 1 1 g ÷ g ÷ lim g(x) e x + 2 xα) x → 0+ β) lim Μονάδες 6 x → +∞ 1 g ÷ e x +1 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

×