Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Đẳng thức lượng giác số phức

Đẳng thức lượng giác số phức. Xem thêm thông tin tuyển sinh THPT 2015 tại đây http://www.baomoi.com/Home/GiaoDuc/DaoTao.rss

  • Login to see the comments

Đẳng thức lượng giác số phức

  1. 1. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức] 1. Khái niệm về dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi, số phức trên được gọi là dạng đại số của số phức Số phức z = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức Trong đó: r: là module của số phức ϕ: là argument của số phức 2. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lượng giác Để chuyển số phức z = a + bi sang dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ) ta phải tìm được module và argument của số phức. Bằng việc đồng nhất biểu thức hai số phức ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 r a b r a b a a a rcos cos , (1) r a b b rsin b b sin , (2) r a b   = + = +   = ϕ ⇔ ϕ = =  + = ϕ  ϕ = =  + Hệ phương trình trên cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đổi dễ dàng từ đại số sang lượng giác. Chú ý: ♦ Từ các hệ thức (1) và (2), kết hợp với kiến thức lượng giác về cung và góc lượng giác ta sẽ xác định được ϕ. ♦ Nhiều số phức cho dạng “na ná”lượng giác rất dễ làm chúng ta “lầm tưởng” đó chính là dạng lượng giác. Nhưng không, bằng việc chuyển đổi linh hoạt các công thức từ cos sang sin và ngược lại ta sẽ thu được dạng lượng giác “chính gốc” ♦ Trong các biểu thức cho phép xác định ϕ thì thường có hai giá trị ϕ chấp nhận được, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy ϕ theo chiều dương hay chiều âm (ví dụ cặp giá trị ϕ = –5π/6 hoặc ϕ = 7π/6 đều chấp nhận được) Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính modun và argument của các số phức sau a) z = 1 + i b) z 3 i= + c) z 3 i= − d) z 1 i 3= + Hướng dẫn giải: Áp dụng các công thức 2 2 2 2 2 2 r a b a a cos r a b b b sin r a b   = +  ϕ = = +  ϕ = =  + , ta có a) 2 2 z 1 i r a b 1 1 2= + ⇒ = + = + = 04. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
  2. 2. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Đồng thời a 1 cos r 2 b 1 4 sin r 2  ϕ = = π ⇒ ϕ =  ϕ = =  b) r 3 1 2 r 2 3 3 z 3 i cos r 2 61 1 sin r 2  = + = =   = + ⇒ ϕ = = ⇒ π  ϕ =  ϕ = = c) r 3 1 2 r 2 3 3 z 3 i cos r 2 61 1 sin r 2  = + = =   = − ⇒ ϕ = = ⇒ π  ϕ = −  ϕ = − = − d) r 1 3 2 r 2 1 1 z 1 i 3 cos r 2 3 3 3 sin r 2   = + =  =   = + ⇒ ϕ = = ⇒ π  ϕ =  ϕ = =  Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) z 6 i 2= − − b) z 2 2 3i= − + c) z 1 i 3= − − d) z 5 5 3i= − − Hướng dẫn giải: a) r 6 2 2 2 r 2 2 r 2 2 6 6 6 3 z 6 i 2 cos cos 7 r r 22 2 6 2 12 2 sinsin r 2r 2 2    = + = =    = − − − −  = − − ⇒ ϕ = = ⇔ ϕ = = ⇒   π ϕ =     − −− − ϕ = = ϕ = =  Từ đó 7 7 z 6 i 2 2 2 cos isin 6 6 π π  = − − = +    b) r 4 12 4 r 4 2 1 2 2 z 2 2 3i cos z 4 cos isin2 r 2 3 3 3 2 3 3 sin r 2   = + =  = − − π π    = − + ⇒ ϕ = = ⇒ ⇒ = +π    ϕ =    ϕ = = 
  3. 3. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! c) r 1 3 2 r 2 1 1 4 4 z 1 i 3 cos z 2 cos isin4 r 2 3 3 3 3 3 sin r 2   = + =  = − − π π    = − − ⇒ ϕ = = ⇒ ⇒ = +π    ϕ =    − − ϕ = =  d) r 25 75 10 r 10 5 1 4 4 z 5 5 3i cos z 10 cos isin4 r 2 3 3 3 5 3 3 sin r 2   = + =  = − − π π    = − − ⇒ ϕ = = ⇒ ⇒ = +π    ϕ =    − − ϕ = =  Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết số phức sau dạng lượng giác: 2 z sin 2isin 2 ϕ = ϕ+ Hướng dẫn giải: Biến đổi số phức đã cho ta được 2 2φ φ φ φ φ φ φ z sin φ 2isin 2sin cos 2isin 2sin cos isin 2 2 2 2 2 2 2   = + = + = +    Do module của số phức luôn là số dương nên ta xét các trường hợp sau TH1: φ φ φ φ sin 0 z 2sin cos isin 2 2 2 2   > ⇒ = +    TH2: φ φ φ φ sin 0 z 2sin cos π isin π 2 2 2 2      < ⇒ = − + + +          Ví dụ 4. Viết các số phức sau dạng lượng giác 1. z 3 i= − − 2. z 1 i 3= − + 3. z 1 i 3= − 4. z 5 5 3i= − 5. z 2 2i= − 6. z = i 7. z = 8i 8. z = –4i 3. Nhân và chia hai số phức dạng lượng giác a) Nhân hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi đó số phức z = z1.z2 được cho bởi công thức [ ]1 2 1 2 1 2 1 2z z .z r .r cos( ) isin( )= = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ Từ đó ta có số phức z = z1.z2 có module và argument thỏa mãn r = r1.r2 và ϕ = ϕ1 + ϕ2 Chứng minh: Thật vậy ta có: ( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2z z .z r cos isin . r cos isin= = ϕ + ϕ ϕ + ϕ =       ( ) ( ) [ ]1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2r r cos .cos sin .sin i cos .sin sin .cos r r cos( ) isin( )ϕ ϕ − ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ   Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a) ( )( )0 0 0 0 z 2 cos18 isin18 cos72 isin 72= + + b) ( )( )0 0 0 0 z 3 cos120 isin120 cos15 isin15= + + Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức [ ]1 2 1 2 1 2 1 2z z .z r .r cos( ) isin( )= = ϕ + ϕ + ϕ + ϕ ta có a) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 z 2 cos18 isin18 cos72 isin 72 2 cos 18 72 isin 18 72 = + + = + + +  ( )0 0 2 cos90 isin90 i 2 z i 2= + = ⇒ = b) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 z 3 cos120 isin120 cos15 isin15 3 cos 120 15 isin 120 15 = + + = + + + 
  4. 4. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! ( )0 0 1 1 3 3 3 cos135 isin135 3 i z i 2 2 2 2   = + = − + ⇒ = − +    Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) ( )( )z 1 i 3 i= + − b) ( )( )z 2 i 6 1 i 3= + − Hướng dẫn giải: ♦ Với bài này chúng ta hoàn toàn có thể thực hiện phép nhân ngay rồi chuyển kết quả thành lượng giác, nhưng thường thì do argument của số phức khó tìm được kết quả đẹp nên chúng ta sẽ chuyển từng biểu thức sang lượng giác rồi thực hiện phép nhân sau. ♦ Với những dạng bài toán như thế này thì khi chuyển sang lượng giác chúng ta có thể thực hiện nhanh mà không phải trình bày rườm rà thao tác chuyển như thế nào (tức là phải pro về cách chuyển rồi đó). a) Ta có: 1 i 2 cos isin 4 4 π π  + = +    ; 3 i 2 cos isin 6 6 −π −π  − = +    Khi đó ( )( )z 1 i 3 i 2 cos isin . 2 cos isin 2 2 cos isin 4 4 6 6 12 12  π π   −π −π  π π      = + − = + + = +                  b) Ta có: 2 i 6 2 2 cos isin 3 3 π π  + = +    ; 1 i 3 2 cos isin 3 3 −π −π  − = +    Khi đó ( )( ) ( )z 2 i 6 1 i 3 2 2 cos isin . 2 cos isin 2 2 cos0 isin 0 3 3 3 3  π π   −π −π     = + − = + + = +              b) Chia hai số phức dạng lượng giác Cho hai số phức dạng lượng giác: z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi đó số phức 1 2 z z z = được cho bởi công thức [ ]1 1 1 2 1 2 2 2 z r z cos( ) isin( ) z r = = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ Từ đó ta có số phức 1 2 z z z = có module và argument thỏa mãn 1 2 r r r = và ϕ = ϕ1 – ϕ2 Chứng minh: Thật vậy ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 21 1 11 2 2 2 2 2 2 r cos isin r cos isinr cos isinz z z r cos isin r ϕ + ϕ ϕ − ϕ   ϕ + ϕ    = = = ϕ + ϕ ( ) ( ) [ ]1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 22 2 2 r r cos .cos sin .sin i sin .cos cos .sin r cos( ) isin( ) r r ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ − ϕ ϕ  = = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a) 0 0 0 0 cos85 isin85 z cos 40 isin 40 + = + b) 2 2 2 cos isin 3 3 z 2 cos isin 2 2 π π  +   = π π  +    Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức [ ]1 1 1 2 1 2 2 2 z r z cos( ) isin( ) z r = = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ , ta được: a) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos85 isin85 1 1 z cos 85 40 isin 85 40 cos45 isin 45 i cos40 isin 40 2 2 + = = − + − = + = + + b) 2 2 2 cos isin 2 2 2 2 6 23 3 z cos isin cos isin i 2 3 2 3 2 2 6 6 4 4 2 cos isin 2 2 π π  +   π π π π π π      = = − + − = + = +      π π        +    Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác
  5. 5. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! a) 1 i z 2 2i − = + b) 1 3i z 3 i − + = + Hướng dẫn giải: a) Ta có: 1 i 2 cos isin 4 4 −π −π  − = +    ; 2 2i 2(1 i) 2 2 cos isin 4 4 π π  + = + = +    Khi đó: 2 cos isin 1 i 1 1 14 4 z cos isin cos isin i 2 2i 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 cos isin 4 4 −π −π  + −  π π π π  −π −π      = = = − − + − − = + = −      π π+         +    b) Ta có: 2 2 1 3i 2 cos isin 3 3 π π  − + = +    ; 3 i 2 cos isin 6 6 π π  + = +    Khi đó 2 2 2 cos isin 1 3i 2 23 3 z cos isin cos isin z i 3 6 3 6 2 23 i 2 cos isin 6 6 π π  + − + π π π π π π    = = = − + − = + ⇒ =   π π +    +    Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a) z 5 cos isin .3 cos isin 6 6 4 4 π π π π    = + +        b) 0 0 0 0 2(cos45 isin 45 ) z 3(cos15 isin15 ) + = + 4. Công thức Moiver và ứng dụng dạng lượng giác của số phức a) Công thức Moiver Cho số phức z = r(cosϕ + isinϕ), khi đó zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn [cos(nϕ) + isin(nϕ)] Công thức zn = rn [cos(nϕϕϕϕ) + isin(nϕϕϕϕ)] được gọi là công thức Moiver. Ví dụ: ( ) ( ) ( ) 4 44 z 1 i 2cos isin 2 cos 4. isin 4. 4 cos isin 4 4 4 4 4 π π  π π       = + = + = + = π + π = −              Bằng các phép tính toán đại số ta cũng dễ dàng thu được kết quả như trên!!! b) Ứng dụng dạng lượng giác ♦ Ứng dụng 1: Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính module và viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau a) ( ) 6 z 1 i 3= − + b) 100 1 i z 1 i −  =   +  Hướng dẫn giải: a) Ta có: ( ) 6 62 2 2 2 1 i 3 2 cos isin z 1 i 3 2 cos isin 3 3 3 3 π π  π π     − + = + ⇒ = − + = +          ( )6 6 612 12 2 cos isin 2 cos4 isin 4 2 z 64 3 3 π π  = + = π + π = ⇒ =    Từ đó ta có z 64; z 64= = b) Ta có: 1 i 2 cos isin 4 4 −π −π  − = +   
  6. 6. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! 2 cos isin 1 i 4 4 1 i 2 cos isin cos isin i 4 4 1 i 2 2 2 cos isin 4 4 −π −π  + π π − −π −π   + = + ⇒ = = + = −  π π+    +    100 100 1 i 100 100 z cos isin cos isin 1 1 i 2 2 2 2 − −π −π − π − π    ⇒ = = + = + =    +    Từ đó ta được z 1; z 1= = Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính module của mỗi số phức sau a) ( ) ( ) ( ) 8 6 5 1 i 3 3 i z 1 i + − = − b) ( ) ( ) ( ) 46 5 1 i 3 3i z 1 3i + − = − Hướng dẫn giải: a) Ta có: ♦ ( ) 8 8 88 8 2 2 1 i 3 2 cos isin 1 i 3 2 cos isin 2 cos isin 3 3 3 3 3 3 π π π π π π      + = + ⇒ + = + = +            ♦ ( ) ( ) ( ) 6 6 66 6 3 i 2 cos isin 3 i 2 cos isin 2 cos isin 6 6 6 6 −π −π − π − π    − = + ⇒ − = + = −π + −π           ♦ ( ) ( ) 55 5 5 5 5 1 i 2 cos isin 1 i 2 cos isin 4 2 cos isin 4 4 4 4 4 4 −π −π − π − π − π − π      − = + ⇒ − = + = +            Từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 68 6 14 5 2 2 2 cos isin .2 cos isin cos isin1 i 3 3 i 23 3 3 3z 5 55 5 4 21 i cos isin4 2 cos isin 4 44 4 π π  −π −π+ −π + −π  +   + −  = = = − π − π− π − π − ++    14 14 14 2 5 5 2 11 11 2 cos isin cos isin z 3 4 3 4 12 124 2 4 2 4 2  −π π −π π  π π      = + + + = + ⇒ =              b) Ta có: ♦ ( ) ( ) 66 6 6 3 3 1 i 2 cos isin 1 i 2 cos isin 8 cos isin 4 4 4 4 2 2 π π π π π π      + = + ⇒ + = + = +            ♦ ( ) ( ) ( ) 4 4 6 6 3 3i 3 1 i 6 cos isin 3 3i 6 cos isin 4 4 4 4 −π −π − π − π    − = − = + ⇒ − = + =        3 3 36 cos isin 2 2 − π − π  = +    ♦ ( ) 5 5 5 5 1 3i 2 cos isin 1 3i 2 cos isin 3 3 3 3 −π −π − π − π    − = + ⇒ − = +        Từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) 46 5 5 3 3 3 3 8 cos isin .36 cos isin1 i 3 3i cos0 isin 02 2 2 2 z 9. 5 55 51 3i cos isin2 cos isin 3 33 3 π π − π − π    + +   + − +   = = = − π − π− π − π − ++    5 5 9 cos isin z 9 3 3 π π  = + ⇒ =    ♦ Ứng dụng 2: Tìm căn bậc n của số phức - Khái niệm căn bậc n:
  7. 7. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Cho số phức z, một số phức w được gọi là căn bậc n của số phức z nếu wn = z. - Cách tìm căn bậc n của số phức z Giải sử số phức z đã cho là z = r(cosϕ + isinϕ), và số phức w là w = r’(cosϕ’ + isinϕ’) Khi đó điều kiện wn = z tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n r ' cos ' isin ' r cos isin r ' cos n ' isin n ' r cos isinϕ + ϕ = ϕ+ ϕ ⇔ ϕ + ϕ = ϕ+ ϕ       Từ đó ta suy ra n n r' r r ' r k2 n ' k2 ' n  = =  ⇒  ϕ+ π ϕ = ϕ+ π ϕ =   , với k = 0, 1, 2…n –1. Vậy các căn bậc n của số phức z là n k2 k2 w r cos isin ,k 0,n 1 n n ϕ+ π ϕ+ π  = + = −    Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các căn bậc n theo yêu cầu a) Căn bậc 3 của z 3 i= − b) Căn bậc 4 của z = i Hướng dẫn giải: a) Ta có z 3 i 2 cos isin 6 6 −π −π  = − = +    Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) là căn bậc 3 của z, khi đó w3 = z. Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có 3 k2 k2 6 6w 2 cos isin ,k 0,2 3 3 −π −π  + π + π  = + =      Với k = 0 ta được 3 3 1 6 6w 2 cos isin 2 cos isin 3 3 18 18 −π −π    −π −π  = + = +         Với k = 1 ta được 3 3 2 2 2 11 116 6w 2 cos isin 2 cos isin 3 3 18 18 −π −π  + π + π  π π  = + = +         Với k = 2 ta được 3 3 3 4 4 23 236 6w 2 cos isin 2 cos isin 3 3 18 18 −π −π  + π + π  π π  = + = +         Vậy số phức đã cho có ba căn bậc ba là w1, w2, w3 như trên. b) Ta có z i cos isin 2 2 π π = = + Gọi số phức w = r(cosϕ + isinϕ) là căn bậc 4 của z, khi đó w4 = z. Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có: 4 k2 k2 k2 k2 2 2 2 2w 1 cos isin cos isin ,k 0,3 4 4 4 4 π π π π  + π + π + π + π  = + = + =      Với k = 0 ta được 1 2 2w cos isin cos isin 4 4 8 8 π π π π = + = + Với k = 1 ta được 2 2 2 5 52 2w cos isin cos isin 4 4 8 8 π π + π + π π π = + = +
  8. 8. Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia! Với k = 2 ta được 3 4 4 9 92 2w cos isin cos isin 4 4 8 8 π π + π + π π π = + = + Với k = 3 ta được 4 6 6 13 132 2w cos isin cos isin 4 4 8 8 π π + π + π π π = + = + Vậy số phức đã cho có bốn căn bậc bốn là w1, w2, w3, w4 như trên. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng đại số a) ( ) ( ) 68 z 1 i 1 i 3= + − b) ( ) 15 z 2 2 3i= − c) 5 7π π z cos isin i .(1 3i) 3 3   = − +    d) ( ) ( ) ( ) 4 6 3 3 3i . 1 i z 3 i − − = + Bài 2: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) ( ) ( ) 7 10 z 3 i 1 i= − − b) ( ) ( ) 8 10 z 6 i 2 3 i= − − b) ( ) ( ) 7 8 1 i z 3 i + = − d) ( ) ( ) 89 z 1 i 1 i 3= − + Bài 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dạng lượng giác a) ( ) ( ) ( ) 7 10 4 z 3 i 1 i 3 1 i= + − + b) ( ) ( ) 5 11 3 i z 1 i 3 + = − c) 20 1 i 3 z 1 i  + =   −  d) ( ) ( ) 6 7 10 3 i .(3i) z 1 i − = + Bài 4: [ĐVH]. Tìm các căn bậc 3 của: a) z = 1 b) z = 1 + i c) z = 1 – i d) z 1 3i= + Bài 5: [ĐVH]. Tìm các căn bậc 4 của: a) z 3 i= − b) z 2 2i= − c) z 1 i 3= + d) z i= − Bài 6: [ĐVH]. Tính: 2010 2010 1 z z + biết 1 z 1 z + =

×