SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINNEjercicios solucionados de oscilaciones y ondasunidad 12

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SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINNEjercicios solucionados de oscilaciones y ondasunidad 12

  1. 1. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 1 de 49 SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN Tabla de contenido EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN..........2 EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................2 EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................3 EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................6 EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................7 EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................8 EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn ...................................................................................9 EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn.................................................................................9 EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................10 EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................11 EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12 EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................12 EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................13 EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................14 EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................15 EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................16 EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................17 EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn...............................................................................21 EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................22 EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................24 EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................25 EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................26 EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn ..............................................................................27 EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................28 EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................29 EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn ...............................................................................30 EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro pagina370..............................................................................................................................................33 EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE .........................................................................39 EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS ........................................41 EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470 ...............................................................................41
  2. 2. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 2 de 49 EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN EJERCICIO 12.1 libro de ondas de Alonso Finn Una rueda de 30 ๐‘๐‘š de radio tiene una manigueta en su borde. La rueda gira a 0,5 ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ ๐‘ ๐‘’๐‘” con su eje de posiciรณn horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armรณnico simple encontrar: a) El periodo de oscilaciรณn de la sombra, b) La frecuencia, c) Su amplitud, d) Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en funciรณn del tiempo. Suponer la fase inicial cero. Soluciรณn Datos: Radio= Amplitud = 30 ๐‘๐‘š ๐œ” = 0,5 ๐‘Ÿ๐‘’๐‘ฃ ๐‘ ๐‘’๐‘” a) El periodo de oscilaciรณn de la sombra es: ๐‘‡ = 2๐œ‹ ๐œ” ๐‘‡ = 2๐œ‹ 0,5 โˆ— 2๐œ‹ ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ ๐‘’๐‘” ๐‘‡ = 2 ๐‘ ๐‘” b) La frecuencia de la sombra es: ๐‘‡ = 1 ๐‘“ ๐‘“ = 1 2 ๐‘ ๐‘’๐‘” ๐‘‡ = 0,5 ๐ป๐‘ง c) Su amplitud es: ๐ด = 30 ๐‘๐‘š d) Escribir las ecuaciones q expresan su desplazamiento en funciรณn del tiempo. Suponer la fase inicial cero. ๐‘‹(๐‘ก) = ๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘› (๐œ”๐‘ก + ๐œ‘) ๐‘‹(๐‘ก) = 0,30 ๐‘ ๐‘’๐‘› (๐œ‹๐‘ก ) Donde la fase inicial es igual a cero (๐œ‘ = 0).
  3. 3. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 3 de 49 EJERCICIO 12.3 libro de ondas de Alonso Finn Un oscilador armรณnico simple estรก descrito por la ecuaciรณn ๐‘ฅ(๐‘ก) = 4 ๐‘†๐‘’๐‘› (0.1๐‘ก + 0.5) Donde todos las cantidades se expresan en MKS. Encuentre: a. Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento b. Velocidad y aceleraciรณn del movimiento c. Condiciones iniciales d. La posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn para ๐‘ก = 5๐‘  e. Hacer el grรกfico de la posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn en funciรณn del tiempo. Soluciรณn Por comparaciรณn con la expresiรณn ๐‘ฅ( ๐‘ก) = ๐ด ๐‘†๐‘’๐‘› ( ๐‘ค๐‘ก + ๐œ‘) Tenemos que, ๐‘ฅ( ๐‘ก) = 4 ๐‘†๐‘’๐‘› (0.1๐‘ก + 0.5) a) Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento. Amplitud: ๐ด = 4๐‘š Frecuencia Angular: ๐œ” = 0.1 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘/๐‘  Fase Inicial: ๐œ‘ = 0.5 rad Periodo: ๐‘‡ = 2๐œ‹ ๐œ” ๐‘‡ = 2๐œ‹ 0,1 ๐‘ ๐‘’๐‘” ๐‘‡ = 20 ๐œ‹ ๐‘ ๐‘’๐‘” Frecuencia: ๐‘“ = 1 ๐‘‡ ๐‘“ = 1 20๐œ‹ ๐‘ ๐‘’๐‘” b) Velocidad y aceleraciรณn del movimiento ๐‘‰( ๐‘ก) = ๐‘‘๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ก = 0.4 ๐ถ๐‘œ๐‘  (0.1๐‘ก + 0.5) ๐‘Ž( ๐‘ก) = ๐‘‘2 ๐‘ฅ ๐‘‘๐‘ก2 = โˆ’0.04๐‘†๐‘’๐‘›(0.1๐‘ก + 0.5) c) Condiciones iniciales cuando ๐‘ก = 0, ๐‘ฅ0 = ๐‘ฅ( ๐‘ก = 0) = 4๐‘†๐‘’๐‘›(0.5) = 1.92๐‘š ๐‘ฃ0 = ๐‘ฃ( ๐‘ก = 0) = 4๐ถ๐‘œ๐‘ (0.5) = 0.351๐‘š/๐‘  ๐‘Ž0 = ๐‘Ž( ๐‘ก = 0) = โˆ’0.04๐‘†๐‘’๐‘›(0.5) = โˆ’19.17๐‘ฅ10โˆ’3 ๐‘š/๐‘ 2 d) La posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn para ๐‘ก = 5๐‘ 
  4. 4. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 4 de 49 ๐‘ฅ( ๐‘ก = 5) = 4๐‘†๐‘’๐‘›(1) = 3.37๐‘š ๐‘ฃ( ๐‘ก = 5) = 4๐ถ๐‘œ๐‘ (1) = 0.216๐‘š/๐‘  ๐‘Ž( ๐‘ก = 5) = โˆ’0.04๐‘†๐‘’๐‘›(1) = โˆ’3.37๐‘ฅ10โˆ’2 ๐‘š/๐‘ 2 e) l grรกfico de la posiciรณn, velocidad y aceleraciรณn en funciรณn del tiempo. GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO CONTRA TIEMPO
  5. 5. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 5 de 49 GRAFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO GRAFICA ACELERACION CONTRA TIEMPO
  6. 6. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 6 de 49 EJERCICIO 12.4 libro de ondas de Alonso Finn Una partรญcula estรก situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posiciรณn de equilibrio con una velocidad de 2 ๐‘š ๐‘  la amplitud es de 10โˆ’3 ๐‘š. ยฟCuรกl es la frecuencia y el periodo del vibrador? Escribir la ecuaciรณn que exprese su desplazamiento en funciรณn del tiempo. Soluciรณn ๐ธ๐‘˜ = 1 2 ๐‘š๐‘ฃ2 ๐ธ๐‘˜ = 1 2 ๐‘š๐œ”2 [๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2 ] Como pasa por la posiciรณn de equilibrio ๐‘ฅ = 0 tenemos, 1 2 ๐‘š๐œ”2[ ๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] = 1 2 ๐‘š๐‘ฃ2 ๐œ” = 2 ๐‘š ๐‘  10โˆ’3 ๐‘š ๐œ” = 2000 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ ๐‘’๐‘” Asรญ la el periodo es: ๐‘‡ = 2๐œ‹ ๐œ” ๐‘‡ = 2๐œ‹ 2000 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ ๐‘’๐‘” ๐‘‡ = ๐œ‹ โˆ— 10โˆ’3 ๐‘ ๐‘’๐‘” Y la frecuencia: ๐‘“ = 1 ๐‘‡ ๐‘“ = 103 ๐œ‹ ๐‘ ๐‘’๐‘” La ecuaciรณn que exprese su desplazamiento en funciรณn del tiempo es: ๐‘‹( ๐‘ก) = 10โˆ’3 ๐‘ ๐‘’๐‘›(2000๐‘ก + ๐›ผ)
  7. 7. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 7 de 49 EJERCICIO 12.5 libro de ondas de Alonso Finn Una partรญcula cuya masa es de 1 ๐‘” vibra con movimiento armรณnico simple de amplitud de 2 ๐‘š๐‘š. Su aceleraciรณn en el extremo de su recorrido es de 8,0 โˆ— 103 ๐‘š ๐‘ 2. Calcular la frecuencia del movimiento y la velocidad de la partรญcula cuando pasa por la posiciรณn de equilibrio y cuando la elongaciรณn es de 1,2 ๐‘š๐‘š. Escribir la ecuaciรณn que expresa la fuerza que actรบa sobre la partรญcula en funciรณn posiciรณn y el tiempo. Soluciรณn Datos ๐ด = 2 โˆ— 10โˆ’3 ๐‘š, ๐‘š = 10โˆ’3 ๐‘˜๐‘” , ๐‘Ž = 8,0 โˆ— 103 ๐‘š ๐‘ 2 , ๐‘ฅ = 1,2 ๐‘š๐‘š La aceleraciรณn de la partรญcula es: ๐‘Ž = โˆ’๐œ”2 ๐‘ฅ ๐œ”2 = โˆ’ ๐‘Ž ๐‘ฅ ; ๐œ” = 2๐œ‹๐‘“ Asรญ la frecuencia se puede calcular, ๐‘“2 = โˆ’ ๐‘Ž (2๐œ‹)2 ๐‘ฅ ๐‘“2 = โˆ’ 8,0 โˆ— 103 ๐‘š ๐‘ 2 (2๐œ‹)2(โˆ’2 โˆ— 10โˆ’3 ๐‘š) ๐‘“ = โˆš 106 ( ๐œ‹)2 ๐ป๐‘ง2 ๐‘“ = โˆš 106 ( ๐œ‹)2 ๐ป๐‘ง2 ๐‘“ = 103 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง La velocidad de la partรญcula se puede calcular, partiendo de la energรญa cinรฉtica, ๐ธ๐‘˜ = 1 2 ๐‘š๐‘ฃ2 ๐ธ๐‘˜ = 1 2 ๐‘š๐œ”2 [๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2 ] Como pasa por la posiciรณn de equilibrio ๐‘ฅ = 0 tenemos, 1 2 ๐‘š๐œ”2 ๐ด2 = 1 2 ๐‘š๐‘ฃ2 (2๐œ‹๐‘“)2 ๐ด2 = ๐‘ฃ2 ๐‘ฃ = 2๐œ‹๐‘“๐ด ๐‘ฃ = 2๐œ‹ ( 103 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง) 2 โˆ— 10โˆ’3 ๐‘š ๐‘ฃ = 4 ๐‘š ๐‘  Cuando la elongaciรณn es de 1,2 ๐‘š๐‘š , su velocidad se puede escribir,
  8. 8. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 8 de 49 1 2 ๐‘š๐œ”2[ ๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] = 1 2 ๐‘š๐‘ฃ2 (2๐œ‹๐‘“)2[ ๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] = ๐‘ฃ2 ๐‘ฃ = 2๐œ‹๐‘“โˆš[ ๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] ๐‘ฃ = 2๐œ‹ ( 103 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง)โˆš[(2 โˆ— 10โˆ’3)^2 โˆ’ (1,2 โˆ— 10โˆ’3)2] ๐‘š ๐‘ฃ = 3,2 ๐‘š ๐‘  La fuerza que actรบa sobre la partรญcula en funciรณn posiciรณn y el tiempo es ๐น = โˆ’๐‘š๐œ”2 ๐‘ฅ ๐น = (10โˆ’3 )(2โˆ— 103)2 ๐‘ฅ ๐น = 4 โˆ— 103 ๐‘ฅ [๐‘] ๐น = โˆ’๐‘š๐ด๐œ”2 ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐œ”๐‘ก + ๐›ผ) ๐น = โˆ’(10โˆ’3 ) (โˆ’2 โˆ— 10โˆ’3)(2 โˆ— 103 )2 ๐‘ ๐‘’๐‘›( ๐œ”๐‘ก + ๐›ผ) [๐‘] ๐น = 8๐‘ ๐‘’๐‘›(2 โˆ— 103 ๐‘ก + ๐›ผ) [๐‘] EJERCICIO 12.7 libro de ondas de Alonso Finn Una partรญcula se mueve con movimiento armรณnico simple con una amplitud de 1.5 ๐‘š y frecuencia 100 ciclos por segundo ยฟCuรกl es su frecuencia angular? Calcular su velocidad, aceleraciรณn y su fase cuando su desplazamiento es de 0.75 ๐‘š. Soluciรณn La frecuencia angular es, ๐œ” = 2๐œ‹๐‘“ ๐œ” = 2๐œ‹(100 ๐ป๐‘ง) ๐œ” = 200 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง La velocidad se puede calcular a travรฉs de la energรญa cinรฉtica, 1 2 ๐‘š๐œ”2[ ๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] = 1 2 ๐‘š๐‘ฃ2 (2๐œ‹๐‘“)2[ ๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] = ๐‘ฃ2 ๐‘ฃ = ๐œ”โˆš[ ๐ด2 โˆ’ ๐‘ฅ2] ๐‘ฃ = (200 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง)โˆš[(1.5 ๐‘š )2 โˆ’ (0.75 m)2] ๐‘ฃ = 2,59 โˆ— 102 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง La aceleraciรณn se puede calcular como sigue, ๐‘Ž = โˆ’๐œ”2 ๐‘ฅ ๐‘Ž = โˆ’(200 ๐œ‹ ๐ป๐‘ง)2 (โˆ’0,75 ๐‘š) ๐‘Ž = 3 โˆ— 104 ๐œ‹ ๐‘š ๐‘  La fase inicial se puede calcular como sigue, para la condiciones iniciales (t=0=),
  9. 9. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 9 de 49 ๐‘ฅ = ๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐‘ค๐‘ก + ๐›ผ) ๐‘ฅ ๐ด = ๐‘ ๐‘’๐‘›(๐›ผ) ๐›ผ = ๐‘ ๐‘’๐‘›โˆ’1 ( ๐‘ฅ ๐ด ) ๐›ผ = ๐‘ ๐‘’๐‘›โˆ’1 ( 0,75 1,5 ) ๐›ผ = 30ยฐ EJERCICIO 12.9 libro de ondas de Alonso Finn Un movimiento armรณnico simple tiene una amplitud de 8 ๐‘๐‘š y un periodo de 4 ๐‘ ๐‘’๐‘”. Calcular la velocidad y la aceleraciรณn 0,5 ๐‘†๐‘’๐‘” despuรฉs que la partรญcula pase por el extremo de su trayectoria. SOLUCIร“N: DATOS: A = 8 cm ---- 0.08m T = 4 seg. La frecuencia angular es, ๐œ” = 2๐œ‹ ๐‘‡ ๐œ” = 2๐œ‹ 4 ๐‘ ๐‘’๐‘” ๐œ” = ๐œ‹ 2 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ ๐‘’๐‘” La velocidad despuรฉs de ๐‘ก = 0,5, es: ๐‘ฃ = ๐ด ๐œ” ๐‘๐‘œ๐‘  (๐œ”๐‘ก + ๐›ผ) ๐‘ฃ = 0,08 ๐œ‹ 2 ๐‘๐‘œ๐‘  ( ๐œ‹ 2 (0,5) + ๐œ‹ 2 ) ๐‘ฃ = 2,8 ๐œ‹ โˆ— 10โˆ’2 ๐‘š ๐‘  La aceleraciรณn despuรฉs de ๐‘ก = 0,5, es: ๐‘Ž = โˆ’๐ด ๐œ”2 ๐‘๐‘œ๐‘  (๐œ”๐‘ก + ๐›ผ) ๐‘Ž = 0,08( ๐œ‹ 2 ) 2 ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ‹ 2 (0,5)+ ๐œ‹ 2 ) ๐‘Ž = 1,4 ๐œ‹2 โˆ— 10โˆ’2 ๐‘š ๐‘  EJERCICIO 12.11 libro de ondas de Alonso Finn Una partรญcula cuya masa es de 0.5 Kg, se mueve con movimiento armรณnico simple. Su periodo es de 0.15 seg y la Amplitud de su movimiento es de 10cm, calcular la aceleraciรณn, la fuerza de la energรญa potencia y cinรฉtica cuando la partรญcula estรก a 5 cm de la posiciรณn inicial. DATOS Masa: 0.5 Kg Periodo (T): 0.15 S
  10. 10. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 10 de 49 Amplitud (A): 10cm: 0.1M Po: 0.05 M SOLUCIร“N A) ๐น = 1 ๐‘‡ ๐น = 1 0.15 ๐‘ ๐‘’๐‘” = ๐Ÿ”. ๐Ÿ”๐Ÿ”๐Ÿ” ๐‘ฏ๐’› B) ๐œ” = 2๐œ‹๐‘“ w= 2 ( ฯ€) (6.666 Hz)= 41.88 hz C) ๐‘Ž = โˆ’๐œ”ยฒ๐‘ฅ ๐‘Ž = โˆ’41.882 โˆ™ 0.05 ๐‘ ๐‘’๐‘” ๐’‚ = ๐Ÿ–๐Ÿ•. ๐Ÿ”๐Ÿ— ๐’Ž ๐’” ๐Ÿ D) ๐ธ๐‘˜ = 1 2 ๐‘š ๐œ”2 [๐ด2 โ€“๐‘‹2 ] ๐ธ๐‘˜ = 1 2 (0.5 ๐พ๐‘”) (41.88 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘  )2 [(0.10 ๐‘š)2 โ€“(0.05 ๐‘š)2 ] ๐‘ฌ ๐’Œ = ๐Ÿ‘. ๐Ÿ๐Ÿ– ๐‘ต EJERCICIO 12.13 libro de ondas de Alonso Finn Una plancha horizontal oscila con movimiento armรณnico simple con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcular el valor mรญnimo del coeficiente de fricciรณn a fin de que un cuerpo colocado sobre la plancha no resbale cuando la plancha se mueve. Soluciรณn ๐ด = 1,5 ๐‘š ๐น = 15 ๐‘œ๐‘ ๐‘/min ๐œ” = 2๐œ‹๐‘“ ๐œ” = 2 HYPERLINK "http://es.wikipedia. org/wiki/%CE%A0" o ""ฮ " (15 ๐‘œ๐‘ ๐‘ ๐‘š๐‘–๐‘› )( 1๐‘š๐‘–๐‘› 60๐‘ ๐‘’๐‘” ) ๐œ” = ๐œ‹ 2 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ ๐‘’๐‘” La fuerza de fricciรณn es ๐น๐‘“ = ๐œ‡๐‘“๐‘
  11. 11. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 11 de 49 Para que la plancha no resbale se debe cumplir ๐น = ๐น๐‘“ ๐‘š๐‘Ž = ๐œ‡๐‘š๐‘” ๐œ‡ = ๐‘Ž ๐‘” Para obtener el valor mรญnimo del coeficiente de refracciรณn tenemos ๐œ‡ = ๐ด๐œ”2 ๐‘” ๐œ‡ = (1.5 ๐‘š)( ๐œ‹ 2 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ ๐‘’๐‘” ) 2 9,8 ๐‘š ๐‘ 2 ๐œ‡ = 0.377 EJERCICIO 12.14 libro de ondas de Alonso Finn Cuando un hombre de 60kg se introduce en un auto, el centro de gravedad del auto baja 0,3 cm. ยฟCuรกl es la conste de elasticidad de los muelles del auto? Suponiendo que la masa del auto es de 500kg, ยฟCuรกl es su periodo de vibraciรณn cuando estรก vacรญo y cuando estรก el hombre adentro? SOLUCIร“N: Representaciรณn de Fuerzas ๐‘š2 = 60๐‘˜๐‘” ; ๐‘ฅ = 0.3๐‘๐‘š= 3x10-3m a) Calculo de la constante de elasticidad (K) de los muelles del auto. ๐น = โˆ’๐‘˜๐‘ฅ = โˆ’๐‘š2 ๐‘” ๐‘˜ = ๐‘š2 ๐‘” ๐‘ฅ = 60๐‘˜๐‘” ร— 9.8 ๐‘š ๐‘ 2โ„ 3 ร— 10โˆ’3 ๐‘š ๐’Œ = ๐Ÿ๐Ÿ—๐Ÿ” ร— ๐Ÿ๐ŸŽ ๐Ÿ‘ ๐‘ต ๐’Žโ„ b) Periodo de vibraciรณn del auto vacรญo. ๐‘˜๐‘ฅ = ๐‘š1 ๐œ”2 ๐‘ฅ; m1=500kg -kx 560 Kg -kx (M1+M2)g 500 Kg M1g
  12. 12. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 12 de 49 ๐œ” = โˆš ๐‘˜ ๐‘š = โˆš 196 ร— 103 ๐‘ ๐‘šโ„ 500๐‘˜๐‘” = 19.79898987 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ โ„ โ‰ˆ 19.8 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ โ„ ๐‘ท = ๐Ÿ๐… ๐Ž = ๐Ÿ๐… ๐Ÿ๐Ÿ—. ๐Ÿ– ๐’“๐’‚๐’… ๐’”โ„ = ๐ŸŽ. ๐Ÿ‘๐Ÿ๐Ÿ•๐’” c) Periodo de vibraciรณn del auto con el hombre adentro. ๐‘š1 + ๐‘š2 = 560๐‘˜๐‘” ๐œ” = โˆš ๐‘˜ ๐‘š1 + ๐‘š2 = โˆš 196 ร— 103 ๐‘ ๐‘šโ„ 560๐‘˜๐‘” = 18.70829 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ โ„ โ‰ˆ 18.71 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ โ„ ๐‘ท = ๐Ÿ๐… ๐Ž = ๐Ÿ๐… ๐Ÿ๐Ÿ–. ๐Ÿ• ๐’“๐’‚๐’… ๐’”โ„ = ๐ŸŽ. ๐Ÿ‘๐Ÿ‘๐Ÿ”๐’” EJERCICIO 12.15 libro de ondas de Alonso Finn Un bloque de madera cuya densidad es ฯ tiene dimensiones a, b, c. Mientras estรก flotando en el agua con el lado a vertical se le empuja hacia abajo y se le suelta. Halle el periodo de las oscilaciones resultantes. Tomemos como sentido positivo de desplazamiento del bloque verticalmente hacia abajo. Llamemos h a la longitud del bloque debajo del agua cuando flota en equilibrio. En esta situaciรณn tendremos que la fuerza neta hacia abajo serรก nula: mgโˆ’ Fempuje = 0โ‡’ mg= (Vsumergidoฯ0) g โ‡’ mg= (bchฯ0) g Donde ฯ0es la densidad del agua. Si realizamos un desplazamiento x del bloque respecto de su posiciรณn de equilibrio, la nueva longitud del bloque por debajo del agua serรก h + x. En esta nueva situaciรณn la fuerza neta hacia abajo ya no serรก nula: Fneta = mgโˆ’F ยดempuje= mgโˆ’ (V โ€™sumergidoฯ0) g = mgโˆ’ (bc [h + x] ฯ0) g Sustituyendo en esta expresiรณn la relaciรณn entre el peso del cilindro y la altura h: Fneta = โˆ’ (bcฯ0g) x Vemos que la fuerza es de tipo elรกstico con una constante elรกstica: k = bcฯ0g El periodo de las oscilaciones serรก: ๐‘ป = ๐Ÿ๐… ๐Ž = ๐Ÿ๐…โˆš ๐’Ž ๐’Œ = ๐Ÿ๐…โˆš ๐’‚๐’ƒ๐’„๐† ๐’ƒ๐’„๐†๐ŸŽ๐’ˆ = ๐Ÿ๐…โˆš( ๐† ๐†๐ŸŽ )( ๐’‚ ๐’ˆ ) EJERCICIO 12.17 libro de ondas de Alonso Finn
  13. 13. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 13 de 49 Encontrar, para un movimientoarmรณnicosimple,losvaloresde ( ๐‘ฅฬ…) ๐‘ฆ ( ๐‘ฅ2), donde lospromediosse refieren. Parte a) ๐‘ฅ = ๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ค0 ๐‘ก ๐‘ฅฬ… = ๐ด ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… Pero ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = 0 Entonces ๐‘ฅฬ… = 0 Parte b) ๐‘ฅ2 = ๐ด2 ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘ก ๐‘ฅ2ฬ…ฬ…ฬ… = ๐ด2 ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… Pero ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = 1 ๐‘‡ โˆซ ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘ก ๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 0 = 1 ๐‘‡ โˆซ [ 1โˆ’cos 2 ๐‘ค0 ๐‘ก 2 ] ๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 0 ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = 1 ๐‘‡ โˆซ 1 2 ๐‘‘๐‘ก โˆ’ ๐‘‡ 0 1 ๐‘‡ โˆซ [ cos 2 ๐‘ค0 ๐‘ก 2 ] ๐‘‘๐‘ก ๐‘‡ 0 Entonces ๐‘ ๐‘’๐‘›2 ๐‘ค0 ๐‘กฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ…ฬ… = 1 ๐‘‡ [ 1 2 ] ๐‘‡ = 1 2 ๐‘ฅ2ฬ…ฬ…ฬ… = 1 2 ๐ด2 EJERCICIO 12.19 libro de ondas de Alonso Finn El Periodo de un pรฉndulo es de 3s. ยฟCuรกl serรก su periodo si su longitud (a) aumenta, (b) disminuye un 60%?
  14. 14. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 14 de 49 Soluciรณn a. El periodo de un pรฉndulo simple estรก dado por: ๐‘‡ = 2๐œ‹โˆš ๐ฟ ๐‘” = 3 ๐‘ ๐‘’๐‘” Si su longitud aumenta un 60%, su nueva longitud es: ๐ฟโ€ฒ = ๐ฟ + 0,6๐ฟ Luego. ๐‘‡โ€ฒ = 2๐œ‹โˆš ๐ฟโ€ฒ ๐‘” = 2๐œ‹โˆš 1.6๐ฟ ๐‘” = โˆš1.6 2๐œ‹โˆš ๐ฟ ๐‘” ๐‘‡โ€ฒ = โˆš1.6 (3๐‘ ) = 3.79๐‘  b. Si el periodo disminuye en un 60%, su nueva longitud es: ๐‘‡โ€ฒโ€ฒ = 2๐œ‹โˆš ๐ฟโ€ฒโ€ฒ ๐‘” = 2๐œ‹โˆš 0.4๐ฟ ๐‘” = โˆš0.4 2๐œ‹โˆš ๐ฟ ๐‘” ๐‘‡โ€ฒโ€ฒ = โˆš0.4 (3๐‘ ) = 1.89๐‘  EJERCICIO 12.20 libro de ondas de Alonso Finn El pรฉndulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g=9,80 m/s2. Si la longitud se aumenta en 1mm. ยฟCuรกnto se habrรก atrasado el reloj despuรฉs de 24 horas? T1 = 2ฯ€โˆš ๐ฟ/๐‘” T1 = 2 segundos g =9.81 m/s2 T2 = 2ฯ€ โˆš ๐ฟ+0.001 ๐ฟ ๐‘” T2 = 2ฯ€ โˆš 1.001 ๐ฟ ๐‘” T2 = 2ฯ€ โˆš ๐ฟ ๐‘” โˆš1,001 SI Tenemos que T1 = 2ฯ€โˆš ๐ฟ/๐‘” Ahora reemplazo T1 en T2 :
  15. 15. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 15 de 49 T2 = T1 โˆš1,001 T2 = ( 2 segundos) โˆš1,001 T2 = 2,00099975 segundos Para conocer cuanto se ha atrasado el reloj entonces: ฮ”T = T2 - T1 = 2,00099975 segundos - 2segundos=0,00099975 ยฟCuรกnto se habrรก atrasado el reloj despuรฉs de 24 horas? 24โ„Ž๐‘œ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘  ๐‘ฅ 3600๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘  1โ„Ž๐‘œ๐‘Ÿ๐‘Ž = 86.400 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘  En 24 horas el reloj se atraso atraso = (86.400 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ )x (0,00099975)=77,7segundos EJERCICIO 12.21 libro de ondas de Alonso Finn ยฟCuรกnto se habrรก atrasado el reloj del programa anterior despuรฉs de 24horas si se coloca en un lugar donde la g=9,75 m/s2 Sin cambiar la longitud del pรฉndulo ยฟCuรกl debe ser la longitud correcta del pรฉndulo a fin de mantener el tiempo correcto en la nueva posicion? L= 1mm =0.001m g=9,75 m/s2. T1 = 2ฯ€โˆš ๐ฟ/๐‘” T1 = 2 segundos g =9.81 m/s2 T1 = 2ฯ€ โˆš 0.001 9.80 = 0,06346975 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘  T2 = 2ฯ€โˆš 0.001๐ฟ 9.75 = 0,063632291 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘  T2-T1 = (0,063632291 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ ) -(0,06346975 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ )= T2-T1 = 0,001625411126 segundos Regla de 3:
  16. 16. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 16 de 49 0,063632291 0,001625411126 segundos 1440metros X X= 3,6mt L= 1mm =0.001m g=9,75 m/s2 . T1 = 2 segundos T2 L= ๐‘‡2 ๐‘” 4 ๐œ‹2 L= (2)2 ๐‘” 4 ๐œ‹2 L= 4 (9,75 ) 4 ๐œ‹2 L= 0,988m EJERCICIO 12.27 libro de ondas de Alonso Finn Estimar el orden relativo de magnitud de los primeros tรฉrminos correctivos en la serie del periodo de un pรฉndulo simple si la amplitud es: a) 10ยบ b) 30ยบ Soluciรณn a) Para 10ยบ P= (2๐œ‹โˆš ๐ฟ ๐‘” )[1 + 1 4 sin( 1 2 ๐œƒ๐‘œ) 2 + 9 64 sin ( 1 2 ๐œƒ๐‘œ) 4 โ€ฆ ] P=(2๐œ‹โˆš ๐ฟ ๐‘” )[1 + 1 4 sin ( 1 2 10) 2 + 9 64 sin ( 1 2 10) 4 ] P=(2๐œ‹โˆš ๐ฟ ๐‘” )[1 + 1.899 ร— 10โˆ’3 + 8.114 ร— 10โˆ’6] b) Para 30ยบ
  17. 17. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 17 de 49 P=(2๐œ‹โˆš ๐ฟ ๐‘” ) [1 + 1 4 sin ( 1 2 30) 2 + 9 64 sin ( 1 2 30) 4 ] P= (2๐œ‹โˆš ๐ฟ ๐‘” )[1 + 1.674 ร— 10โˆ’2 + 6.31 ร— 10โˆ’4] EJERCICIO 12.30 libro de ondas de Alonso Finn Soluciรณn: Para determinar la longitud del pรฉndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del pรฉndulo e igualarlo al periodo de un pรฉndulo simple para determinar la longitud de este pรฉndulo simple que tiene el mismo periodo que el compuesto Para determinar el periodo del pรฉndulo compuesto primero el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa el cual es Ic = mR 2 2 , donde m es la masa del disco, pero debido a que el disco no gira en su centro de masa si no a una distancia h del mismo, se debe aplicar el teorema de steiner para determinar el momento de inercia respecto al punto de giro, este teorema consiste en sumarle al momento de inercia del centro de masa la masa por la distancia al cuadrado del centro de masa al punto de giro, esto es OTRA FORMA DE RESOLVERLO REVISAR FORMULAS : puede haberunerror.. revisar revisar El radiode giro K se define Ik= mK2 mk2 = m(h2 +1/2R2 ) K2 =1/2R2 +h2 12.30 Un discosolidode radioR puede colgarse de uneje horizontal aunadistanciah de su centro A. Encontrar lalongituddel pรฉndulosimple equivalente
  18. 18. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 18 de 49 B. Encontrar la posiciรณndel eje parael cual el periodoesunmรญnimo. C. Representarel periodoenfunciรณnde h. SOLUCION: Para determinarlalongituddel pรฉndulosimple equivalente debemoscalcularel periododel pรฉnduloe igualarloal periodode unsimple Para determinarel periododelpรฉndulocompuestoprimerodebemosconocerel momentode inerciadel discocon respectoal centrode masa I0=ยฝ mR2 Perodebidoaque el discono gira ensu centrode masasinoa unadistanciah del mismose debe aplicarel Teoremade Steiner. El teoremade Steinerdice que el momentode inerciarespectoael eje B esIk=mh2+I0 donde I0 esel momento de inerciarespectoael disco Entonces, Ik= mh2 +1/2mR2 = m (h2 +1/2R2 ) El radiode giro K se define Ik= mK2 mk2 = m(h2 +1/2R2 ) K2 =1/2R2 +h2 el periododel pรฉndulocompuestoes P= 2 ๐œ‹ โˆš ๐‘š(๐‘˜2) ๐‘š๐‘”โ„Ž P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš 1/2(๐‘…2+โ„Ž2) ๐‘”โ„Ž P(h)=2ฯ€ โˆš ยฝ R2+h2/gh A. Debemosigualarlafรณrmulade pรฉndulocompuestoconpรฉndulosimpleparadespejarL Donde pรฉndulosimple P= 2๐œ‹ โˆš ๐ฟ ๐‘” Y reemplazo la P por el valor de: P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš 1/2(๐‘…2+โ„Ž2) ๐‘”โ„Ž
  19. 19. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 19 de 49 ( 2 ๐œ‹ โˆš 1/2(๐‘…2+โ„Ž2) ๐‘”โ„Ž ) =2๐œ‹ โˆš ๐ฟ ๐‘” ( 2 ๐œ‹ โˆš 1/2(๐‘…2+โ„Ž2) ๐‘”โ„Ž )2 = (2๐œ‹ โˆš ๐ฟ ๐‘” )2 4๐œ‹2( 1/2(๐‘…2+โ„Ž2) ๐‘”โ„Ž ) =4๐œ‹2 ๐ฟ ๐‘” 1/2(๐‘…2+โ„Ž2) ๐‘”โ„Ž = ๐ฟ ๐‘” 1/2(๐‘…2+โ„Ž2) โ„Ž = ๐ฟ๐‘” ๐‘” 1/2(๐‘…2+โ„Ž2) โ„Ž = L DONDE K2=1/2 R2+h2 ๐‘˜2 โ„Ž = L B. Para hallarminimosdebemosderivarPen funciรณn de h P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš ยฝ( ๐‘…2+โ„Ž2) ๐‘”โ„Ž ๐‘‘๐‘ ๐‘‘โ„Ž = 2 ๐œ‹ โˆš ๐‘… 2 2 + โ„Ž 2 ๐‘”โ„Ž Derivadade ๐‘…2 2 +โ„Ž2 ๐‘”โ„Ž = [ ๐‘…2 2 +โ„Ž2] โ€ฒ [ ๐‘”โ„Ž]โˆ’[ ๐‘…2 2 +โ„Ž2][๐‘”โ„Ž]โ€ฒ [๐‘”โ„Ž]2 = 2โ„Ž[ ๐‘”โ„Ž]โˆ’[ ๐‘…2 2 +โ„Ž2][๐‘”+โ„Ž] [๐‘”โ„Ž]2
  20. 20. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 20 de 49 = 2๐‘”โ„Ž2 โˆ’ [ ๐‘…2 2๐‘”โˆ’๐‘”โ„Ž2] ๐‘”2 โ„Ž2 ๐‘‘๐‘ ๐‘‘โ„Ž = [ 2 2 โˆš ๐‘… 2 2 + โ„Ž 2 ๐‘”โ„Ž ] [2๐‘”โ„Ž 2 โˆ’ ๐‘… 2 2๐‘” โˆ’ ๐‘”โ„Ž 2 ๐‘”2โ„Ž 2 ] El valor de h para el cual el periodo es un mรญnimo es h = R/โˆš 2 C. Representarel periodoenfunciรณnde h. P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš ยฝ( ๐‘…2+โ„Ž2) ๐‘”โ„Ž cuando h= ๐‘… โˆš2 P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš ยฝ( ๐‘…2+( ๐‘… โˆš2 ) 2 ) ๐‘”( ๐‘… โˆš2 ) P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš ยฝ( ๐‘…2+ ๐‘…2 2 ) ๐‘”( ๐‘… โˆš2 ) P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš ยฝ( 2๐‘…2+๐‘…2 2 ) ๐‘”( ๐‘… โˆš2 ) P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš ยฝ( 3๐‘…2 2 ) ๐‘”( ๐‘… โˆš2 ) P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš ( 3๐‘…2 4 ) ๐‘”( ๐‘… โˆš2 ) P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš 3๐‘…2 โˆš2 4๐‘”๐‘…
  21. 21. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 21 de 49 P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš 3๐‘… โˆš2 4๐‘” P(h)= 2 ๐œ‹ โˆš (โˆš2 ๐‘…) ๐‘” P(h)=2 โˆšยฝ R2+h2/ghcuando h = R/โˆš 2 P(h)=2 โˆš โˆš2R/g EJERCICIO 12.31 libro de ondas de Alonso Finn Una varilla de longitud L, oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por el extremo, un cuerpo de igual masa que la varilla estรก situado sobre la varilla a una distancia h del eje. a) Obtener el periodo del sistema en funciรณn de h y de L. b) ยฟHay algรบn valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa? Soluciรณn. a). Lo primero que haremos serรก encontrar el centro de masa de la masa 2 que en este caso es igual a la masa de la varilla, aplicando la siguiente formula.
  22. 22. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 22 de 49 ๐‘ช๐’Ž = ( ๐‘ณ ๐Ÿ ) ๐’Ž+๐’‰(๐’Ž) ๐Ÿ๐’Ž = ๐‘ณ ๐Ÿ +๐’‰ ๐Ÿ = ๐‘ณ+๐Ÿ๐’‰ ๐Ÿ’ Luego calculamos el momento de inercia con la siguiente ecuaciรณn. ๐ผ = 1 3 m๐ฟ2 + ๐‘šโ„Ž2 factorizando m quedarรญa de la siguiente forma. ๐ผ = [ ๐ฟ2 3 + โ„Ž2] ๐‘š Expresando el periodo con respecto al momento de inercia y al centro de masa, se tiene la siguiente ecuaciรณn: ๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš ๐ผ ๐‘๐‘”๐‘š Donde: b=centro de masa. g=gravedad m=masa Reemplazando el centro de masa y el momento de inercia se obtiene que: ๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš [ ๐ฟ2 3 + โ„Ž2]๐‘š ๐‘ณ + ๐Ÿ๐’‰ ๐Ÿ’ ๐’Ž๐’ˆ Simplificando: ๐‘ƒ = 4๐œ‹โˆš ๐ฟ2 + โ„Ž2 3( ๐‘ณ+ ๐Ÿ๐’‰) ๐‘” b). No hay ningรบn valor. EJERCICIO 12.33 libro de ondas de Alonso Finn Un pรฉndulo de torsiรณn consiste de un bloque rectangular de madera de 8cm x 12cm x 3cm con una masa de 0.3 Kg, suspendido por medio de un alambre que pasa a travรฉs de su centro y de tal modo que el lado corto es vertical. El periodo de oscilaciรณn es de 2.4 s. ยฟCuรกl es la constante de torsiรณn K del alambre?
  23. 23. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 23 de 49 Soluciรณn: Antes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular (cubo de madera), para lo cual se utilizarรก la siguiente ecuaciรณn. ๐ผ = [๐‘š( ๐‘Ž2+๐‘2 12 )] Donde: M=masa del objeto, 0.3Kg. ๐‘Ž2 = la dimensiรณn horizontal del objeto para este caso 8cm=0.08m ๐‘2 = la profundidad del objeto en este caso 12cm=0.12m Como en el ejercicio nos piden encontrar la constante K=Kappa, Utilizamos la siguiente ecuaciรณn que relaciona el momento de inercia con la constante. ๐พ = (2๐œ‹)2 ๐ผ ๐‘‡2 Donde: ๐‘‡2 es igual al periodo de oscilaciรณn al cuadrado, siendo I el momento de inercia y 2ฯ€ al cuadrado una constante. Haciendo la relaciรณn entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que: ๐พ = (2๐œ‹)2 [๐‘š( ๐‘Ž2 + ๐‘ 2 12 )/๐‘‡2 ] Reemplazando valores tenemos que: ๐พ = (2๐œ‹)2 [0.3๐‘˜๐‘”( 0.08๐‘š2 + 0.12๐‘š2 12 )/2.42 ] K=3.564X10โˆ’3 N.m [Newton por metro] OTRA FORMA DE RESOLVERLO
  24. 24. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 24 de 49 EJERCICIO 12.38 libro de ondas de Alonso Finn Encontrar la ecuaciรณn resultante de la superposiciรณn de dos movimientos armรณnicos simples paralelos cuyas ecuaciones son: ๐‘ฅโ‚ = 2๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ”๐‘ก + ๐œ‹ 3 ) ๐‘ฅโ‚‚ = 3๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ”๐‘ก + ๐œ‹ 2 ) Hacer un grรกfico de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus respectivos vectores rotantes. SOLUCIร“N: Es una superposicion de M.A.S. Paralelos de igual frecuencia ๐‘ฅโ‚ = ๐ดโ‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ”๐‘ก + ๐›ฟโ‚) ๐‘ฅโ‚‚ = ๐ดโ‚‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ( ๐œ”๐‘ก + ๐›ฟโ‚‚) Con resultante ๐‘ฅ = ๐ด sen( ๐œ”๐‘ก + ๐›ฟ) Donde: ๐ด = (๐ดโ‚ยฒ + Aโ‚‚ยฒ + 2Aโ‚ Aโ‚‚ cosฮฑ)^0.5 ๐›ผ = ๐›ฟโ‚‚ โˆ’ ๐›ฟโ‚ y tan ๐›ฟ = ๐ดโ‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐›ฟโ‚ + ๐ดโ‚‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐›ฟโ‚‚ ๐ดโ‚ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฟโ‚ + ๐ดโ‚‚ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฟโ‚‚ Estas ecuaciones estรกn demostradas en el libro de Alonso โˆ’ Finn (pag.372),por ejemplo. Valores ๐›ผ = ๐›ฟโ‚‚ โˆ’ ๐›ฟโ‚ = ๐œ‹ 2 โˆ’ ๐œ‹ 3 = ๐œ‹ 6 ๐ด = ( ๐ด12 + A22 + 2A1 A2 cosฮฑ)0.5 ๐ด = (22 + 32 + 2.2.3cos ฯ€ 6 ) 0.5
  25. 25. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 25 de 49 ๐ด = 4.73 tan ๐›ฟ = ๐ดโ‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐›ฟโ‚ + ๐ดโ‚‚ ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐›ฟโ‚‚ ๐ดโ‚ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฟโ‚ + ๐ดโ‚‚ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฟโ‚‚ tan ๐›ฟ = 2 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ‹/3 + 3 ๐‘ ๐‘’๐‘› ๐œ‹/2 2 ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œ‹/3 + 3 ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œ‹/2 tan ๐›ฟ = 4.732 ๐›ฟ = 1.36 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ Luego: ๐‘ฅ = ๐ด sen( ๐œ”๐‘ก + ๐›ฟ) ๐‘ฅ = ๐ด cos(๐œ”๐‘ก + ๐œ‹ 2 โˆ’ ๐›ฟ) ๐‘ฅ = 4.732 cos( ๐œ”๐‘ก + 0.2) EJERCICIO 12.39 libro de ondas de Alonso Finn Encontrar la ecuaciรณn de la trayectoria del movimiento resultante de dos movimientos armรณnicos simples perpendiculares, cuyas ecuaciones son x = 4senฯ‰t y y = 3sen (ฯ‰t + ฮฑ), cuando ฮฑ = 0, ฯ€/2 y ฯ€. Hacer un grรกfico de la trayectoria de la partรญcula en cada caso y seรฑalar el sentido en el cual viaja la partรญcula.
  26. 26. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 26 de 49 EJERCICIO 12.49 libro de ondas de Alonso Finn Un pรฉndulo simple tiene un periodo de 2 ๐‘  y un amplitud de 2ยฐ, despuรฉs de 10 oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a 1,5ยฐ encontrar la constante de amortiguamiento ๐›พ. Soluciรณn Datos: ๐‘ก = 2 ๐‘ ๐‘’๐‘” ; ๐œƒ๐‘œ = 2ยฐ; ๐œƒ = 1.5ยฐ La ecuaciรณn para este movimiento toma la forma, donde la amplitud del movimiento viene dada por, ๐œƒ= ๐œƒ0 ๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก 1 ๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก = ๐œƒ0 ๐œƒ ๐‘’ ๐›พ๐‘ก = ๐œƒ0 ๐œƒ ๐›พ๐‘ก = ln( ๐œƒ0 ๐œƒ )
  27. 27. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 27 de 49 ๐›พ = 1 ๐‘ก ln( ๐œƒ0 ๐œƒ ) ๐›พ = 10 2 seg ln( 2ยฐ 1.5ยฐ ) ๐›พ = 1,43 ๐‘ โˆ’1 EJERCICIO 12.53 libro de ondas de Alonso Finn En el caso de un oscilador amortiguado, la cantidad ๐œ = 1 2๐›พ se denomina tiempo de relajaciรณn. a) Verificar que tiene unidades de tiempo. b) ยฟen cuรกnto ha variado la amplitud del oscilador despuรฉs de un tiempo ๐œ? c) Expresar como una funciรณn de ๐œ, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial. d) ยฟCuรกles son los valores de la amplitud despuรฉs de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)? Soluciรณn a) Verificamos que tiene unidades de tiempo haciendo un anรกlisis dimensional. ๐œ = 1 2๐›พ ๐œ = 1 2 ฮป 2m ๐œ = m F v ๐œ = m โˆ— v ๐น ๐œ = [๐พ๐‘”] โˆ— [๐‘š/๐‘ ] [๐พ๐‘” โˆ— ๐‘š ๐‘ 2] ๐œ = ๐‘  b) la amplitud del oscilador despuรฉs de un tiempo ๐œ ha variado, ๐ดยด (๐‘ก) = ๐ด๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก ๐ดยด ( 1 2๐›พ ) = ๐ด๐‘’ โˆ’๐›พ 1 2๐›พ ๐ดยด ( 1 2๐›พ ) = ๐ด๐‘’ โˆ’ 1 2 ๐ดยด ( 1 2๐›พ ) = 0,6 ๐ด
  28. 28. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 28 de 49 c) Expresar como una funciรณn de ๐œ, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial. ๐ดยด (๐‘ก) = ๐ด๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก ๐ด 2 = ๐ด๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก 1 2 = ๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก โˆ’ 1 2๐œ ๐‘ก = ๐ฟ๐‘› (1/2) โˆ’๐‘ก = 2๐œ ๐ฟ๐‘› (1/2) โˆ’๐‘ก = โˆ’1,38 ๐œ ๐‘ก = 1,38 ๐œ d) ยฟCuรกles son los valores de la amplitud despuรฉs de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)? ๐ดยด (๐‘ก) = ๐ด๐‘’โˆ’๐›พ๐‘ก ๐ดยด(1,38 ๐œ ) = ๐ด 2 ๐ดยด(2 โˆ— 1,38 ๐œ ) = ๐ด 4 ๐ดยด(3 โˆ— 1,38 ๐œ ) = ๐ด 8 ๐ดยด( ๐‘› โˆ— 1,38 ๐œ ) = ๐ด 2 ๐‘› EJERCICIO 12.57 libro de ondas de Alonso Finn Escribir la ecuaciรณn del movimiento de un oscilador armรณnico simple sin amortiguamiento al cual se le aplica la fuerza ๐น= ๐น0 Cos wft. Verificar que su soluciรณn es ๐‘ฅ= [๐น0 /๐‘š (w0 2-wf 2) ] Cos wft Soluciรณn: ๐’… ๐Ÿ ๐’™ ๐’…๐’• ๐Ÿ + ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ ๐’™ = ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’Ž )(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’•) ๐’™ = [ ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’Ž ( ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ) ] ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• ๐’…๐’™ ๐’…๐’• = โˆ’๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’˜ ๐’‡ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• ๐’Ž (๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ )
  29. 29. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 29 de 49 ๐’… ๐Ÿ ๐’™ ๐’…๐’• ๐Ÿ = โˆ’๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• ๐’Ž (๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ) Reemplazando en la ecuaciรฒn inicial: ๐’… ๐Ÿ ๐’™ ๐’…๐’• ๐Ÿ + ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ ๐’™ = ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’Ž )(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’•) ( โˆ’๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• ๐’Ž ( ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ) ) + ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• ๐’Ž ( ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ) ) = ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’Ž )(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’•) Reorganizando tรฉrminos: ( ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• ๐’Ž ( ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ) ) โˆ’ ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• ๐’Ž ( ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ) ) = ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’Ž )(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’•) Sacando factor comรบn : ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• ๐’Ž ) [ ( ( ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ) ( ๐’˜ ๐ŸŽ ๐Ÿ โˆ’ ๐’˜ ๐’‡ ๐Ÿ ) )] = ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’Ž )(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’•) Y se cumple con la igualdad llegando la demostraciรณn: ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• ๐’Ž ) = ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’Ž ) ( ๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’•) EJERCICIO 12.59 libro de ondas de Alonso Finn Una partรญcula se deslizahaciaadelante yhaciaatrรกsentre dosplanosinclinadossinfricciรณn a) Encontrar el periodode oscilaciรณndel movimientosi hesla alturainicial b) ยฟEs el movimientooscilatorio? c) ยฟEs el movimientoarmรณnicosimple? Soluciรณn a) La aceleraciรณnserรก: a= g Cosฯด La longitud del plano=L= ๐’‰ ๐‘บ๐’†๐’ ๐œฝ Partiendodel reposoalaaltura h se tiene: L=1/2 a t2 t= โˆš 2๐ฟ ๐‘Ž Para descenderdel planoyentonces:
  30. 30. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 30 de 49 t= โˆš 2๐ฟ ๐‘Ž T= 4 t T= 4 (โˆš 2๐ฟ ๐‘Ž ) T= 4 (โˆš 2( ๐’‰ ๐‘บ๐’†๐’ ๐œฝ ) ๐‘” ๐ถ๐‘œ๐‘ ๐œƒ ) T= 4 (โˆš 4( ๐’‰ ๐’ˆ ) 2๐‘บ๐’†๐’ ๐œฝ๐ถ๐‘œ๐‘ ๐œƒ ) Teniendoencuentaunade lasidentidadesfundamentalesde latrigonometrรญa: 2 Senฯด Cos ฯด = Sen2 ฯด Y operando resulta: T= 4x2 (โˆš ( ๐’‰ ๐’ˆ ) ๐‘บ๐’†๐’ ๐Ÿ๐œฝ ) T= 8 (โˆš ( ๐’‰ ๐’ˆ ) ๐‘บ๐’†๐’ ๐Ÿ๐œฝ ) b) Sรญ, esoscilatorio; c) NO,no esarmรณnicosimple porque nosigue unavariaciรณnsenoidal ocosenoidaldel tipo: x = A cos (wt+delta) EJERCICIO 12.60 libro de ondas de Alonso Finn Una partรญcula de masa m situada en una mesa horizontal lisa (Fig.12-49) esta sostenida por dos alambres estirados de longitud l0 cuyos extremos estรกn fijos en P1 y P2. La tensiรณn de los alambres es T. Si la partรญcula se desplaza lateralmente una cantidad X0 pequeรฑa comparada con la longitud de los alambres, y luego se suelta, determinar el movimiento subsiguiente. Encontrar su frecuencia de oscilaciรณn y escribir la ecuaciรณn de su movimiento. Suponer que la longitud de los alambres y la tensiรณn permanecen inalterables
  31. 31. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 31 de 49
  32. 32. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 32 de 49
  33. 33. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 33 de 49 EJEMPLO 12.6 libro de ondas de Alonso Finn de los ejemplos hechos por el mismo autor del libro pagina370 12.6 Un anillo de 0,1 m de radio esta suspendido de una varilla como se ilustra determinar el periodo de oscilaciรณn hallar el equivalente a un pรฉndulo simple. a. ๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš ๐‘˜2 ๐‘”๐‘ P= 2ฯ€ โˆš k2 / gb K2 = I/m Ic=mR2 Teorema de Steiner I=Ic+ma2 I=mR2 +mR2 =LmR2 K2 =2m R2 /m K2 =2R2 ๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš 2๐‘…2 ๐‘”๐‘Ÿ ๐‘ƒ = 2๐œ‹โˆš 2๐‘… ๐‘” ๐‘ƒ = (6.28)โˆš 2(๐‘‚. 1) (9.8) ๐‘ƒ = 0.89 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘  b. L=k2 / b L=2R2 /2 L=2R= 2 (0,1)= 0,2 m MOVIMIENTO ARMร“NICO SIMPLE EJERCICIO 16 Cuando una masa de 0.750 ๐‘˜๐‘” oscila en un resorte ideal, la frecuencia es de 1.33 ๐ป๐‘ง. a) ยฟCuรกl serรก la frecuencia si se agregan 0.220 ๐‘˜๐‘” a la masa original, y b) y si se restan de la masa original? Intente resolver este problema sin calcular la constante de fuerza del resorte. Soluciรณn
  34. 34. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 34 de 49 EJERCICIO 17 Un oscilador armรณnico tiene unamasa de 0.500 ๐‘˜๐‘” unida a un resorte ideal con constante de fuerza de 140 ๐‘/๐‘š. Calcule a) el periodo, b) la frecuencia y c) la frecuencia angular de lasoscilaciones. Soluciรณn EJERCICIO 18 Sobre una pista de aire horizontal sin fricciรณn, un deslizador oscila en el extremode un resorte ideal, cuya constantede fu erza es2.50 ๐‘/๐‘๐‘š. En la figura, la grรกfica muestra la aceleraciรณn del deslizador en funciรณn del tiempo. Calcule a) la masa del deslizador; b) el desplazamiento mรกximo del deslizador desde el punto de equilibrio; c) la fuerza mรกxima que el resorte ejerce sobre el deslizador. Soluciรณn
  35. 35. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 35 de 49 Energรญa en el movimiento armรณnico simple EJERCICIO 19 Una porrista ondea su pompรณn en MAS con amplitud de 18.0 ๐‘๐‘š y frecuenciade 0.850 ๐ป๐‘ง. Calcule a) la magnitud mรกxima de laaceleraciรณny de la velocidad; b) la aceleraciรณn y rapidez cuando la coordenada del pompรณn es ๐‘ฅ = +9.0 ๐‘๐‘š; c) el tiempo que tarda en moverse directamente de la posiciรณn de equilibrio a un punto situado a 12.0 cm de distancia. d) ยฟCuรกles de las cantidades pedidas en los incisos a), b) Soluciรณn EJERCICIO 19 Un juguete de0.150 ๐‘˜๐‘” estรก en MASen el extremode un resorte horizontal conconstante defuerza ๐‘˜ = 300 ๐‘/๐‘š. Cuando el objetoestรก a 0.0120 ๐‘š de su posiciรณn de equilibrio, tieneunarapidez de 0.300 ๐‘š/๐‘ . Calcule a) la energรญa total del objetoen cualquier puntode su movimiento; b) la amplitud del movimiento; c) la rapidez mรกxima alcanzada por el objeto durante su movimiento. Soluciรณn Aplicaciones del movimiento armรณnico simple EJERCICIO 20
  36. 36. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 36 de 49 Un orgulloso pescador de alta mar cuelgaun pez de 65.0 ๐‘˜๐‘” de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte 0.120 ๐‘š. a) Calcule la constante de fuerza del resorte. Ahora se tira del pez 5.00 ๐‘๐‘š hacia abajo y luegose suelta. b) ยฟQuรฉ periodo de oscilaciรณn tiene el pez? c) ยฟQuรฉ rapidez mรกxima alcanzarรก? Soluciรณn EJERCICIO 21 Una esfera de 1.50 ๐‘˜๐‘” y otra de 2.00 ๐‘˜๐‘”se pegan entre sรญ colocando la mรกs ligera debajo de la mรกs pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 165 ๐‘/๐‘š, y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15.0 ๐‘๐‘š. El pegamento que une las esferas es dรฉbil y antiguo, y de repente falla cuando las esferas estรกn en la posiciรณn mรกs baja de su movimiento. a) ยฟPor quรฉ es mรกs probable que el pegamento falle en el punto mas bajo, que en algรบn otro punto del movimiento? b) Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones despuรฉs de que la esfera inferior se despega. Soluciรณn EJERCICIO 22 Un disco metรกlico delgadocon masa de 2.00 3 1023 kg y radio de 2.20 cm se une en su centro a una fibra larga como se ve en la figura. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1.00 s. Calcule laconstantede torsiรณn de la fibra.
  37. 37. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 37 de 49 Soluciรณn EJERCICIO 24 Imagine quequiere determinar el momentode inerciade una pieza mecรกnicacomplicada,con respecto a un eje quepasa por su centro de masa, asรญ que la cuelga de unalambre a lo largode ese eje. El alambre tieneuna constante de torsiรณnde . Usted gira un poco la p ieza alrededor del eje y la suelta, cronometrando 125oscilacionesen 265 s. ยฟCuรกnto vale el momento de inerciabuscado? Soluciรณn El pรฉndulo simple EJERCICIO 25 En San Francisco un edificiotiene aditamentosligerosque consisten en bombillaspequeรฑasde 2.35 ๐‘˜๐‘” con pantallas, que cuelgandel techo en el extremo de cordones ligeros y delgados de 1.50 de longitud. Si ocurre un terremoto leve, ยฟcuรกntas oscilaciones por segundo ha rรกn tales aditamentos? Soluciรณn
  38. 38. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 38 de 49 EJERCICIO 26 Un pรฉndulo en Marte. En la Tierra cierto pรฉndulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ยฟQuรฉ periodo tendrรก en Marte, donde ๐‘” = 3.71 ๐‘š ๐‘ 2 ? Soluciรณn El pรฉndulo fรญsico EJERCICIO 27 Una biela de 1.80 ๐‘˜๐‘” de unmotor de combustiรณnpivotaalrededor de unfilo denavaja horizontal como se muestra en lafigura.El centro de gravedad de la biela se encontrรณ por balanceo y estรก a 0.200 ๐‘š del pivote. Cuando la biela se pone a oscilar con amplitud corta, completa 100 oscilaciones en 120 ๐‘ . Calcule el momento de inercia de la biela respecto al eje de rotaciรณn en el pivote. Soluciรณn EJERCICIO 28 Dos pรฉndulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El pรฉndulo A es una esfera muy pequeรฑa que oscila en el extremo de una varilla uniforme sin masa. En el pรฉndulo B, la mitad de la masa estรก en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada pรฉndulo para oscilaciones pequeรฑas. ยฟCuรกl tarda mรกs tiempo en una oscilaciรณn? Soluciรณn
  39. 39. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 39 de 49 EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Una masa m=1kg vibra verticalmente a lo largo de un segmento de 20cm de longitud con MAS y un perรญodo de T= 4 s. Determinar: a) Velocidad y aceleraciรณn del cuerpo en el punto medio de su trayectoria. b) La velocidad y aceleraciรณn en los extremos del segmento. c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de la trayectoria. d) ยฟEn que tiempo la partรญcula se encuentra en 8cm? SOLUCION
  40. 40. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 40 de 49 W= 2๏ฐ /4 W= ๏ฐ /2 A=10 cm= 0,1m a) Velocidad y aceleraciรณn del cuerpo en el punto medio de su trayectoria. a= - wx si x=0 a= - (๏ฐ /2)(0m) = 0 m/ s2 a= 0 m/ s2 Vmax= Aw Vmax= (0,1m )(๏ฐ /2 ) = 0,157 m/s b) La velocidad y aceleraciรณn en los extremos del segmento. En los extremos v=0 a= - w2 x a= - (๏ฐ /2)2 (0,1 m) a= - (๏ฐ 2 /4) (0,1 m) = -0,2467 m/ s2 c) La fuerza restauradora cuando pasa por el punto medio de su trayectoria. Y en los extremos de la trayectoria. En el punto medio de su trayectoria F= - k x Si x = 0 F = 0 En los extremos de la trayectoria F= - k x Si x = 0,1 m F = ? w =โˆš ๐‘˜/๐‘š w2 =k/m k= w2 m F= - k x F= - (w2 m) (0,1m)= F= - ( (๏ฐ 2 /4) (1 kg) ) (0,1m)= -0,247 d) ยฟEn que tiempo la partรญcula se encuentra en 8cm? A= 8 cm= 0,8m W= ๏ฐ /2 X=A Sen( Wt)
  41. 41. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 41 de 49 (0,8m)= (0,8m) Sen((๏ฐ /2 ) t (0,8m)/(0,8m) =Sen((๏ฐ /2 ) t 1=Sen((๏ฐ /2 ) t Sen-1 (1) / (๏ฐ /2 ) = t (๏ฐ /2 ) / (๏ฐ /2 ) = t t= 1 segundo e) En que lugar esta la particula para un tiempo de t=4segundos ? W= ๏ฐ /2 A=10 cm= 0,1m X=A Sen( Wt) X= (0,1m) Sen((๏ฐ /2 ) (4 segundos)) X= (0,1m) Sen((๏ฐ /2 ) (4 segundos)) X= (0,1m) (4 ) X= 0,4m EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS Y FORZADAS EJERCICIO DEL libro de Ohanian pag 490 y470 1. Suponga que un astronauta tiene una masa de 60kg, incluido del dispositivo de silla al que se amarra. El y la silla se mueven bajo la influencia de la fuerza de un resorte con K=3.1 x 102 N/m. No hay otras fuerzas actuantes. El desplazamiento mรกximo desde el equilibrio del dispositivo de mediciรณn de masa corporal es de 0,200m . Suponga que debido a la fricciรณn la amplitud un ciclo mรกs tarde es de 0,185m. ยฟCuรกl es el factor de calidad para este oscilador armรณnico amortiguado? M= 60kg k1=3,1x10 2 N/m
  42. 42. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 42 de 49 A=0,200m Aโ€™ =0,185 m ๐‘ž = 2 ๐œ‹๐ธ โˆ†๐ธ โˆ†๐ธ = ( 2๐œ‹ ๐‘ž ) E E=? ฮ”E=? q=? En el desplazamiento mรกximo , la energรญa totales toda energรญa potencial: ๐ธ = 1 2 ๐พ๐ด2 Si A=0,200m ๐ธ = 1 2 ๐พ๐ด2 ๐ธ = 1 2 (3,1๐‘ฅ102)(0,200)2 = 6,2 Julios Si Aโ€™ =0,185 m ๐ธ = 1 2 ๐พ๐ด2 ๐ธโ€ฒ = 1 2 (3,1๐‘ฅ102)(0,185)2 = 5,3 Julios โˆ†๐ธ = ๐ธโ€ฒ โˆ’ ๐ธ โˆ†๐ธ = (5,3 ๐ฝ๐‘ข๐‘™๐‘–๐‘œ๐‘ ) โˆ’ (6,2 Julios) = โˆ’0,9 Julios ๐‘ž = 2 ๐œ‹๐ธ โˆ†๐ธ ๐‘ž = 2 ๐œ‹(6,2 ๐ฝ๐‘ข๐‘™๐‘–๐‘œ๐‘ ) (0,9 ๐ฝ๐‘ข๐‘™๐‘–๐‘œ๐‘ ) = 43,2 oscilaciones El factor de calidad es: q=43,2 oscilaciones 2. Una masa m=1 kg cuelga de un resorte de contante de resistividad k=200 N/m. La constante de amortiguamiento es ฮป=1 kg/s.
  43. 43. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 43 de 49 En el instante t=0 comienza a actuar sobre la masa una fuerza F= F0 Sen(wf t) con F0 =2N y wf =10 rad/segundos. Si en t=0 x(0)=0 y v(0)=0. Encuentre la posiciรณn de la partรญcula en funciรณn del tiempo para t=1 segundo, t=10 s, t=100s , t=1000 s. SOLUCION: M1 =1 kg K= 200 N/m ฮป=1 kg /s f0 =2N wf = 10 rad/s t=0 x=0 x(t)=? t =1 ,10 ,100 , 1000 ๐‘ค0 = โˆš ๐‘˜ ๐‘š ๐‘ค0 = โˆš 200 N/m 1 kg = 14,142 2๐›พ = ๐œ† ๐‘š ๐›พ = ๐œ† 2๐‘š ๐›พ = (1๐‘˜๐‘”/๐‘ ) 2(1๐‘˜๐‘”) = 0,5 ๐‘ ๐‘’๐‘”๐‘ข๐‘›๐‘‘๐‘œ๐‘ โˆ’1 LA ECUACION DIFERENCIAL E.D ๐’… ๐Ÿ ๐’™ ๐’…๐’• ๐Ÿ + ๐Ÿ๐œธ ๐’…๐’™ ๐’…๐’• = ( ๐‘ญ ๐ŸŽ ๐’Ž )(๐‘ช๐’๐’” ๐’˜ ๐’‡ ๐’• + ๐œน) SOLUCION A LA ECUACION DIFERENCIAL E.D ๐‘ฟ = ๐‘จ ๐‘บ๐’†๐’( ๐’˜ ๐’‡ ๐’• โˆ’ ๐œน) Entonces: ๐ด = ๐น0 ๐‘š (๐‘ค1 2 โˆ’ ๐‘ค0 2)2 + 4๐›พ2 + ๐‘ค1 2
  44. 44. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 44 de 49 ๐ด = (2 ๐‘) (1 ๐‘˜๐‘”) ((10)2 โˆ’ (14,14)2)2 + 4(0,5)2 + (10)2 ๐ด = (2 ๐‘) (1 ๐‘˜๐‘”) ( (100)โˆ’ (199.9396))2 + 4(0,25)+ (100) ๐ด = (2 ๐‘) (1 ๐‘˜๐‘”) ( โˆ’99.9396)2 + 4(0,25)+ (100) ๐ด = (2 ๐‘) (1 ๐‘˜๐‘”) (9987.9236)+ (1)+ (100) ๐ด = (2 ๐‘) (1 ๐‘˜๐‘”) (9987.9236)+ (1)+ (100) ๐ด = 1.9823 ๐‘ฅ 10โˆ’4 ๐ด = 0.000198237 ๐›ฟ = ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โˆ’1 ( ๐‘ค ๐‘“ 2 โˆ’ ๐‘ค0 2 2 ๐›พ ๐‘ค ๐‘“ ) ๐›ฟ = ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โˆ’1 ( (10)2 โˆ’ (14,14)2 2 (0,5)(10) ) ๐›ฟ = ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โˆ’1 ( โˆ’99.9396 10 ) ๐›ฟ = ๐‘ก๐‘Ž๐‘›โˆ’1 (โˆ’9.99396) ๐›ฟ = โˆ’1.47106 3. Demuestre por sustituciรณn directa que las funciones: X1 = A1 Sen (w1 t +ฮฑ1 ) y X2 = A1 Sen (w1 t +ฮฑ1 ) Para un oscilador acoplado son soluciones de las ecuaciones de movimiento
  45. 45. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 45 de 49 ๐’… ๐Ÿ ๐’™ ๐’…๐’• ๐Ÿ + ๐’Œ ๐Ÿ + ๐’Œ ๐’Ž ๐’™ ๐Ÿ = ( ๐’Œ ๐’Ž ) ๐’™ ๐Ÿ Siempre que: ๐‘ค1 = โˆš ๐‘˜1 ๐‘š1 4. Considere el sistema dela fig. La pizarra Z, de masa 500 g cuelga de un resorte cuya cte. elรกstica es K=50N/m. Se sabe ademรกs que la cte. de amortiguamiento B=5 s-1 . En un cierto momento, se tira de la pizarra hacia abajo, haciendo que el resorte se estire 3cm , y se acerca la punta entintada P a la pizarra. A continuaciรณn, la pizarra se suelta. Considere este instante como el inicial y analice el movimiento de la punta respecto al centro de la pizarra โ€œoโ€. A partir de las condiciones iniciales, calcule la ecuaciรณn que describe el movimiento de la punta respecto a โ€œOโ€ direcciรณn del eje โ€œOyโ€.
  46. 46. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 46 de 49 M = 500g K = 50 N/m B = 5 s-1 X = 3x 10-2 = 0,03 metros X = A e-Bt Sen (wt + ฮด ) ๐‘ค = โˆš๐‘ค0 2 โˆ’ ๐ต2 ๐‘ค = โˆš(10)2 โˆ’ (5 ๐‘†โˆ’1)2 ๐‘ค = โˆš100โˆ’ 25 ๐‘ค = โˆš75 ๐‘ค = 8.66 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ ๐‘’๐‘” ๐‘ค0 = โˆš ๐พ ๐‘š
  47. 47. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 47 de 49 ๐‘ค0 = โˆš (50) (0,5) ๐‘ค0 = โˆš100 ๐‘ค0 = 10 ๐‘Ÿ๐‘Ž๐‘‘ ๐‘ ๐‘’๐‘” X = A e-Bt Sen (wt + ฮด ) Derivamos la ecuacion x: v = Aw e-Bt Cos (wt + ฮด ) v = Aw e-B(0) Cos (wt + ฮด ) v = Aw (1) Cos (wt + ฮด ) v = Aw Cos (wt + ฮด ) si v=0 0 = Aw Cos (wt + ฮด ) 0 = A(8,6 rad/seg) Cos ( (8,6 rad/seg) t + ฮด ) Ahora para la ecuacion X, mientras: Si t=0 x=0,003 metros X = A e-Bt Sen (wt + ฮด ) (0,003 metros) = A e-(5)(0) Sen ((8,6 rad/seg)(0 seg)+ ฮด ) (0,003 metros) = A(1) Sen ((0 )+ ฮด )
  48. 48. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 48 de 49 (0,003 metros) = A Sen ((0 )+ ฮด ) Debemos hallar la amplitud, por lo que debemos encontrar primero delta ฮด = ? X = A e-Bt Sen (wt + ฮด ) ๐’…๐’™ ๐’…๐’• = ๐’— = ๐‘จ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’•(โˆ’๐‘ฉ) ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐’˜๐’• + ๐œน) + ๐‘จ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’•( ๐’˜) ๐‘ช๐’๐’” ( ๐’˜๐’• + ๐œน) ๐’…๐’™ ๐’…๐’• = ๐’— = โˆ’๐‘จ๐‘ฉ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐’˜๐’• + ๐œน) + ๐‘จ๐’˜ ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘ช๐’๐’” ( ๐’˜๐’• + ๐œน) Si v=0 B=5 t=0 w= 8,6 rad/seg ๐’— = โˆ’๐‘จ๐‘ฉ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐’˜๐’• + ๐œน) + ๐‘จ๐’˜ ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘ช๐’๐’” ( ๐’˜๐’• + ๐œน) ๐ŸŽ = โˆ’๐‘จ๐‘ฉ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐’˜๐’• + ๐œน) + ๐‘จ๐’˜ ๐’†โˆ’๐‘ฉ๐’• ๐‘ช๐’๐’” ( ๐’˜๐’• + ๐œน) ๐ŸŽ = โˆ’๐‘จ( ๐Ÿ“) ๐’†โˆ’( ๐Ÿ“)( ๐ŸŽ) ๐‘บ๐’†๐’ ((8,6 rad seg ) (0 seg) + ๐œน) + ๐‘จ(๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐’“๐’‚๐’… ๐’”๐’†๐’ˆ )๐’†โˆ’( ๐Ÿ“)( ๐ŸŽ) ๐‘ช๐’๐’” ((8,6 rad/seg)(0 seg) + ๐œน) ๐ŸŽ = โˆ’๐‘จ( ๐Ÿ“) ( ๐Ÿ ) ๐‘บ๐’†๐’ ( (0) + ๐œน) + ๐‘จ( ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐’“๐’‚๐’… ๐’”๐’†๐’ˆ ) ( ๐Ÿ) ๐‘ช๐’๐’” ((0 ) + ๐œน) ๐ŸŽ = โˆ’๐Ÿ“๐‘จ ๐‘บ๐’†๐’ ( (0) + ๐œน) + ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐‘จ ๐‘ช๐’๐’” ((0 ) + ๐œน) ๐ŸŽ = โˆ’๐Ÿ“๐‘จ ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐œน) + ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐‘จ ๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน) ๐ŸŽ = ๐‘จ(โˆ’๐Ÿ“ ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐œน) + ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน)) ๐ŸŽ = โˆ’๐Ÿ“ ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐œน) + ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน) ๐Ÿ“ ๐‘บ๐’†๐’ ( ๐œน) = ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน) ๐‘บ๐’†๐’( ๐œน) ๐‘ช๐’๐’” ( ๐œน) = ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐Ÿ“ ๐’•๐’‚๐’(๐œน) = ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐Ÿ“ ๐œน = ๐’•๐’‚๐’โˆ’๐Ÿ ( ๐Ÿ–, ๐Ÿ” ๐Ÿ“ ) ๐œน = ๐Ÿ, ๐ŸŽ๐Ÿ’ ๐’“๐’‚๐’… Como ya encontramos delta reemplazamos : X = A e-Bt Sen (wt + ฮด )
  49. 49. Una Universidadincluyente y comprometida con el desarrollo integral UNIVERSIDAD DE PAMPLONA 49 de 49 (0,003 metros) = A e-(5)(0) Sen ((8,6 rad/seg)(0 seg)+ ฮด ) (0,003 metros) = A(1) Sen ((0 )+ ฮด ) (0,003 metros) = A Sen ((0 )+ ฮด ) (0,003 metros) = A Sen ((0 )+ (1,04) ) ๐ด = 0,003 ๐‘†๐‘’๐‘› (1,04) A = 0,034 A = 3,4 x10-2 Entonces la ecuaciรณn quedarรญa: X = A e-Bt Sen (wt + ฮด ) X = (3,4 x10-2) e-5t Sen (8,6 t + 1,04 )

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