Trayectorias Ortogonales

2. TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. TRAYECTORIAS ORTOGONALES DEFINICI ´ON
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
DEFINICI ´ON
Una curva que es ortogonal a cada miembro de una familia de curvas es
llamada una trayectoria ortogonal a la familia.
EJEMPLO
La familia de parabolas y = C1x2 es ortogonal a la familia de elipses
x2 + 2y2 = C2.
FIGURA: En la figura de la izquierda se observan la familia de parabolas y = C1x2
(familia1) y la familia de elipses
x2
+ 2y2
= C2 (familia 2). A la derecha se detalla un punto de cruce entre dos elementos de cada familia.

4. TRAYECTORIAS ORTOGONALES DEFINICI ´ON
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Si la familia de trayectorias dada, satisface la ecuaci´on diferencial
dy
dx
= f(x, y)
entonces, la familia de trayectorias ortogonales a esta debe satisfacer la
ecuaci´on diferencial
dy
dx
= −
1
f(x, y)
ya que cada una de estas ecuaciones describe la pendiente de cada elemento
de la familia en alg´un punto. y las curvas ser´an ortogonales ya que el producto
de las pendientes es −1.

5. TRAYECTORIAS ORTOGONALES EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
Encontrar una familia de trayectorias ortogonales a la familia de
circunferencias x2 + y2 = C
Primero debemos encontrar una ecuaci´on diferencial tal que la familia dada
sea soluci´on de dicha ecuaci´on. para esto, derivamos en este caso
implicitamente para obtener:
2x + 2y
dy
dx
= 0
despejamos y que representa la pendiente de cada miembro de la familia
dy
dx
=
−x
y

6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
Entonces, las trayectorias ortogonales deben satisfacer dy/dx = −1/f(x, y),
en este caso la ecuaci´on diferencial que cumple la condici´on es:
dy
dx
=
y
x
que es una ecuaci´on de variable separable, solucionandola obtenemos la
familia de trayectorias ortogonales:
y = Cx

7. TRAYECTORIAS ORTOGONALES EJEMPLOS
EJEMPLOS
EJEMPLO
FIGURA: En la figura se observan la familia de circunferencias dada en el ejercicio y la familia de rectas obtenidas como trayectorias
ortogonales.

8. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
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