Teoría de las situaciones didácticas

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Teoría de las situaciones didácticas

  1. 1. en,... c. ••••••••• :::::sC tD ••••aJn r-- .... n•••• aJ aJo,...n::stD 0 tD 0: :::::sen ~c.. •.• aJ•••• aJ r--c..c..tDQh tD enn ,...,... aJ Cn· r-- c..aJ en ••••en 0
  2. 2. Brousseau. Guy INDICE Iniciaei6n al estudio de la teoria de las situaeiones didcktieas - 1a ed. - Buenos Aires: Libros del Zorzal, 2007. 128 p. ; 21x14 em. Tradueido por: Dilma Fregona ISBN 978-987-599-035-7 1. Metodos de Ensenanza. I. Fregona, Dilma, trad. II. Titulo CDD 371.3 PRO LOGO ..................................................................................•... 7 INTRODUCCION ..........................................................................•. 11 Orfgenes de la teorfa de las situaciones 13 A. LA MODELIZACION DE LAS SITUACIONES EN DIDACTICA .............•. 17© Libros del Zorzal, 2007Buenos Aires, Argentina 1. Las situaciones 17 2. Una primera aproximaci6n a la clasificaci6n de las situaciones didacticas 20 3. Tipologfa de las situaciones en didactica 23 4. Situaci6n didactica, situaci6n adidactica, situaci6n fundamental 30 5. La adaptaci6n de las situaciones a los alumnos: laLibros del Zorzal optimizaci6n 39Printed in Argentina 6. La adaptaci6n de los alumnos alas situaciones: losHecho el deposito que previene la ley 11.723 saltos y los obstaculos 40Parasugerencias 0 comentarios acerca del contenido de 7. Resultados y primeras conclusiones 47fniciaci6n af estudio de fa teoria de fas situaciones did,kticas, B. LA TEORfA DE LAS SITUACIONES DIDACTICAS ...........................•. 49escribanos a:info@delzorzal.com.ar 1. Modelizaci6n de la ensenanza 49 2. Las difusiones de los conocimientos sin intenci6n didactica 56 3. Los contratos debilmente didacticos que se ocupan de un saber "nuevo" 59
  3. 3. 4. Estudio te6rico del contrato didactico 68 5. Algunos efectos del contrato didactico 74C. LAs SITUACIONES DIDA.CTICAS: COMPONENTES Y ESTRATEGlAS ..... 85 1. Componente esencial del contrato didactico: la de- voluci6n 85 2. La institucionalizaci6n: otra componente esenc.ial 96 3. Las estrategias fuertemente didacticas que tratan un saber "nuevo" 99 4. Contratos basados en la transformaci6n de los sabe- res "antiguos" 107 5. Los efectos de las refonnas a largo plaza 110CONCLUSl6N 113 En los ultimos aiios, el nombre de Guy Brousseau se asocia a la enseiianza de la matematica, tanto en la formacion de alumnos de diferentes niveles de escolaridad como de pro- fesores de matematica. En America Latina, en particular, su obra comenzo a difundirse a partir de los aiios 80, a traves de espacios de interaccion entre estudiantes e investigado- res de diferentes pafses y la comunidad francesa de didacti- ca de la matematica. Sin embargo, la produccion original de Brousseau habfa comenzado al menos una decada atras. Desde los aiios 70, en Francia se 10 reconoce como uno de los principales in- vestigadores del campo -entonces nuevo- de la didactica de la matematica. Su contribucion teorica esencial es Lateorla de Las situaciones didacticas, iniciada en un momenta en que la vision dominante sobre la enseiianza y el aprendizaje de la matematica era una vision cognitiva, fuertemente in- f1uenciada por la epistemologfa piagetiana. La teorfa de las situaciones propuso otro enfoque: el de una construccion que permite comprender las interacciones sociales entre alumnos, docentes y saberes matematicos que se dan en una cIase y condicionan 10 que los alumnos aprenden y como
  4. 4. 10 aprenden. Esta construccion fue un trabajo colectivo en conoce la contribucion esencial de sus aportes al desarrollo el que participaron investigadores, estudiantes de grade y de la didactica de las matematicas como area de investiga- postgrado, docentes y tambien alumnos de distintos niveles cion y recompensa 10s esfuerzos permanentes que realizo de escolaridad. durante mas de cuarenta afios para que sus investigaciones Podemos hallar una primera version de algunas de las contribuyeran al mejoramiento de la formacion matemMica nociones basicas de esta teorfa en un artfculo publicado en tanto de alumnos como de profesores. 1970 porIa revista de la Asociacion de Profesores de Mate- En los ultimos afios, una publicacion de Kluwer di- mMica de la Ensefianza Publica (APMEP) de Francia. Allf, vulgo 10s articulos fundamentales de la teorla de situa- Brousseau formula los primeros resultados de sus reflexio- ciones en el mundo anglosajon, mediante la traduccion al nes sobre el aprendizaje y la ensefianza de la matemMica, ingles de los principales artfculos del Prof. Brousseau de sobre la base de su propia experiencia como maestro rural los afios 70 y 90. Despues de 1990, otros textos, artfculos en una pequefia escuela de "clase unica" y de sus estudios y conferencias precisaron, ampliaron y a veces modificaron universitarios de matematica y psicologfa. el cuerpo de la teorfa. En 1972, dentro del marco del Instituto de Investiga- EI texto que aquf presentamos -que sigue siendo fun-cion en Ensefianza de la MatemMica (IREM) de la Uni- damental para comprender la teoria- es la traducci6n deversidad de Bordeaux, creo una institucion original: el un curso dictado por Brousseau en el ano 1997, cuandoCentro para la Observacion e Investigacion en Ensefianza la Universidad de Montreal Ie otorgo el titulo de Doctorde la MatemMica (COREM). EI centro, montado en un Honoris Causa. Conservamos la primera persona del sin-establecimiento publico -Ia Escuela Jules Michelet de Ta- gular, como discurso pronunciado por el autor, e inclui-lence-, era un laboratorioque permitfa observar a docen- mos en nota al pie numerosas referencias bibliograficas.tes y alumnos en sus interacciones en clase y desplegar Lamentablemente, muy pocos de esos materiales estanexperiencias de ensefianza desarrolladas y llevadas a cabo disponibles en castellano, pero se puede acceder a algunospOl el trabajo conjunto de personas vinculadas al IREM de ellos a traves del sitio: http://perso.wanadooJr/daesti-investigadores y estudiantes de los postgrados en didac- Pages % 20perso/B rousseau .htmtica de la matematica de la Universidad de Bordeaux- y EI tt~xtoque presentamos se divide en tres secciones,docentes de la escuela. Brousseau dirigio el centro durante senaladas como A, B YC, y cada una de ellas contiene, a sumas de 25 afios. En ese ambito y con la colaboracion de vez, varios apartados:numerosas personas, realizo una investigacion fundamen- A. La modelizaci6n de [as situaciones en diddcticatal -y tambien experimental- ligada a la ensefianza efecti- B. La teorfa de [as situaciones diddcticasva de la matemMica. C. Las situaciones diddcticas: componentes y estrategias En el afio 2003, el Prof. Brousseau fue galardonado conla primera medalla Felix Klein, otorgada porIa Comision Se inaugura asf, desde una empresa editorial argenti-Internacional de Instruccion MatemMica. Dicha medalla re- na, la difusion en castellano de la teorfa de las situaciones
  5. 5. didacticas de Guy Brousseau. Y es un hecho para celebrarvivamente. Constituye un modo significativo de difundirtrabajos realizados en un area de investigaci6n relativamen-te reciente y que permitira -al menos a eso apostamos- afortalecer la comunidad que, desde distintos campos, traba-ja en el mejoramiento de la ensenanza de la matematica yen la profesionalizaci6n de sus docentes. Siempre nos hemos preguntado cuales son los conocimien- tos matematicos "necesarios" para la educaci6n y la socie- dad y c6mo IIevar a cabo su difusi6n. Los textos acerca de la finalidad de la matematica abundan: e~tos explican la necesidad, en una sociedad, de que cada ciudadano dis- ponga de una cultura matematica suficiente y, a la vez, de contar con una cantidad suficiente de tecnicos y cientfficos para enfrentar los desafios del futuro. Todo tiende a con- vencernos de que las matematicas desempenaran en eIIo un papel importante, Dichos textos explican tambien la importancia de las propiedades formativas inherentes a la matematica, tanto a nivel individual, por las capacidades que parece desarrolIar, como a nivel de la vida colecti- va. EI comportamiento racional de una sociedad, es decir, su relaci6n tanto con la verdad como con la realidad, no descansa unicamente en las virtudes individuaJes de sus miembros. Exige una practica social y una cultura que de- ben ensenarse en la escuela. La matematica constituye el campo en el que el nino puede iniciarse mas temprana- mente en la racionalidad, en el que puede forjar su raz6n en el marco de relaciones aut6nomas y sociales.
  6. 6. Tambien nos cuestionamos acerca de los medios que he- das a la transmisi6n de un saber dado y, de este modo, la mos creado para responder a tal demanda social: en que me- relaci6n didactica se interpreta como una comunicacion de dida el exito de la difusi6n de los conocimientos matematicos informaciones. depende de las ciencias de la educaci6n, la psicologfa 0 las propias matematicas; que lugar ocupan, en dicha difusi6n, los conocimientos de didactica y, mas precisamente, de di- dactica de la matematica; que instituciones pueden asegurar la coherencia y la pertinencia de esos conocimientos. En las ultimas decadas, se ha desarrollado en todo el mundo una amplia gama de trabajos experimentales y de elaboraci6n de teorfas en relaci6n con la educaci6n mate- matica. EI enfoque que abordamos en este texto, el de la teorfa de Las situaciones diddcticas, se presenta en la ac-tualidad como un instrumento cientffico. Tiende a unificare integrar los aportes de otras disciplinas y proporciona unamejor comprensi6n de las posibilidades de mejoramientoy regulaci6n de la ensefianza de las matemciticas. Si bien Habitualmente, este esquema es asociado a una concep-algunos resultados de investigaci6n han sido tornados como ci6n de la ensefianza en la que el profesor organiza el sabernuevos metodos de ensefianza, no es mi intenci6n hacer a ensefiar en una serie de mensajes, de los cuales el alumnoproselitismo en ese senti do. Me parece que, en el siglo XX, toma 10 que debe adquirir. Este esquema facilita la determi-no han faltado profetas ni innovadores en el campo de la naci6n de los objetos a estudiar, el papel de los actores, y laeducaci6n. Personal mente, y en primer lugar, deseo propi- asignaci6n del estudio de la ensefianza a diversas discipli-ciar una reftexi6n acerca de las relaciones entre los "con- nas. Por ejemplo, la matemcitica tiene la responsabilidad detenidos" de la ensefianza y los metodos de la educaci6n. Y legitimar el saber escolar, las ciencias de la comunicaci6nluego, de un modo mas amplio, abordar la didactica como se responsabilizan por la traducci6n en mensajes adapta-un area de investigaci6n cuyo objeto es la comunicaci6n de dos, la pedagogfa y la psicologfa cognitivas por comprenderlos saberes matemciticos y sus transformaciones. y organizar las adquisiciones y los aprendizajes del alum- no, etc. EI prop6sito de dichos mensajes es, esencialmente, la enculturaci6n del alumno por parte de la sociedad. Por supuesto, este modelo no excluye la intervenci6n de atras disciplinas complementarias en el esclarecimiento de algun Con frecuencia, la ensefianza es concebida como las aspecto del proceso, sino que el esquema jerarquiza el im-relaciones entre el sistema educativo y el aLumno vincula- pacto que puedan tener.
  7. 7. Ahora bien, los psicologos han demostrado, respecto de necesidad de un conocimiento matematico determinado para10s fenomenos de aprendizaje y desde diferentes perspecti- tomar ciertas decisiones? y l,como explicar de antemano lavas, la importancia de la tendencia natural de los sujetos a razon por la cuallo harfa? La ensenanza tradicional ya teniaadaptarse a su medio: Skinner estudia el papel de los esti- una respuesta: ensenar y ejercitar.mulos y propone construir un model0 del sujeto1; Piaget se Los dispositivos piagetianos mostraron que los ninosocupa esencialmente de la genesis no escol,ar de los cono- podfan adaptarse desarrollando conocimientos matemati-cimientos y, para ello, concibe -des de su formacion cienti- cos que no habian sido ensenados.fica- dispositivos experimentales donde el nino revela sus Estudiar los problemas y los ejercicios que hac.en quemodos de pensamiento y el investigador reconoce, en sus se utilice una nocion matematica es un trabajo habitual paracomportamientos, las estructuras y Ios conocimientos ma- los matematicos, tanto como presentar 10s saberes cons i-tematicos de su eleccion; Vigotski estudia las modalidades derados necesarios. Sin embargo, como para cada nocionde la inftuencia del medio sociocultural en el aprendizaje de existe todo un conjunto de problemas y ejercicios que Ie sonlos alumnos y el estudio del medio en si mismo da lugar, en especfficos, podia pensarse que esta via de investigacionconsecuencia, a un ambito ideologico 0 cientifico. tenia pocas oportunidades de aportar informacion sobre la Desde estas perspectivas, Ia ensenanza se co nvierte, adquisicion de saberes mas generales.pues, en una actividad que concilia dos procesos: uno de En esta perspectiva, son 10s comportamientos de 10senculturaci6n y otro de adaptaci6n independiente. alumnos los que revelan el funcionamiento del medio, con- En los afios 60, cuando era estudiante de matematica y siderado como un sistema. Lo que se necesita modelizar,contaba ya con algunos anos de experiencia como maestro de pues, es el medio. Asi, un problema 0 un ejercicio no puedenescuela primaria, un profesor me mando a estudiar psicologia considerarse como una simple reformulacion de un saber,cognitiva con Pierre Greco. Greco me impresiono por su ha- sino como un dispositivo, como un medio que "responde albilidad para concebir dispositivos experimentales destinados sujeto" siguiendo algunas reglas. l,Que juego debe jugar ela poner en evidencia la originalidad del pensamiento matema- sujeto para necesitar un conocimiento determinado? l,Que tico de los ninos en las etapas de su desarrollo. Sin embargo, aventura -sucesion de juegos- puede llevarlo a concebirlo 0 me daba cuenta de que no entraban entre sus preocupaciones a adoptarlo? Desde este enfoque, se describe al sujeto como analizar los dispositivos en si mismos ni explicitar la relacion si fuera un jugador de ajedrez que actua teniendo en cuenta entre estos y la nocion matematica cuya adquisicion estudia- solo sus conocimientos y el estado del juego. l,Que infor- ba. Comence a plantearme algunas preguntas: l,en que condi- macion, que sancion pertinente debe recibir el sujeto por ciones puede propiciarse que un sujeto -cualquiera- tenga la parte del medio para orientar sus elecciones y comprometer tal conocimiento en lugar de tal otro? Estas preguntas con- ducen, pues, a considerar el medio como un sistema auto- Sus criticos, como Chomsky primero, y Nelson 0 Arbib despues, nomo, antagonista del sujeto, y es de este del que conviene y sus seguidores, como Suppes, realizan modelos del sujeto por hacer un modelo, en cuanto especie de automata. medio de aut6matas formales.
  8. 8. Hemos llamado situacion a un modele de interaccion de A. LA MOOELIZACIONun sujeto con cierto medio que determina un conocimiento OE LAS SITUACIONES EN OWACTICAdado, como el recurso del que dispone el sujeto para alcanzaro conservar en este medio un estado favorable. Algunas deestas situaciones requieren la adquisicion "anterior" de todoslos conocimientos y esquemas necesarios, pew hay otras queIe ofrecen al sujeto la posibilidad de construir pOIsf mismoun conocimiento nuevo en un proceso de genesis artificiaF. Observese que la misma palabra "situacion" sirve, ensu sentido ordinaria, para describir tanto al conjunto (nonecesariamente determinado) de condiciones que enmarcanuna accion, como uno de los modelos (eventual mente for-males) que sirven para estudiarla. En 1970, en la Universidad de Bourdeux, se dan lascondiciones institucionales para plantear el proyecto cientf- Una "situacion" es un modele de interaccion entre unfico de construir modelos de las situaciones utilizadas en la sujeto y un medio determinado. EI recurso· de que disponeensefianza -para analizarlas y, eventualmente, criticarlas- y el sujeto para alcanzar 0 conservar en este medio un estadoproponer otras mas apropiadas. Planteado el estudio de esta favorable es una gama de decisiones que dependen del usomanera, es posible introducir en el anaIisis argumentos de de un conocimiento preciso. Consideramos el medio comola organizacion del saber matematico y otros de tipo eco- un subsistema autonomo, antagonista del sujeto. Al tamarnomico y ergonomico, asf como tomar en cuenta otras res- como objeto de estudio las circunstancias que presiden latricciones, en especial aquellas que podrfan aparecer como difusion y la adquisicion de los conocimientos, nos intere-conclusiones de trabajos de psicologfa 0 sociologfa, con saremos, pues, pOIlas situaciones.la condicion de volverlas funcionales, es decir, de precisar En los inicios de los 70 las situaciones didticticas erancomo intervienen efectivamente. las situaciones que sirven para ensefiar sin que se considere el rol del profesor. Para ensefiar un conocimiento determi- nado se utilizan "medios" (textos, materiales, etc.). La inge- nierfa didactica estudia y produce dichos medios.._-._-- La situacion es, entonces, un entorno del alumno dise-2 N. de T.:La bUsqueda de las condiciones necesarias para producir fiado y manipulado pOIel docente, que la considera como un aprendizaje condujo a Brousseau a desarrollar la noci6n de in- una herramienta. Mas adelante, identificamos como situa- genierfa didactica como una metodologfa de investigaci6n y como producci6n de situaciones de ensefianza. Yease Brousseau (1982); ciones matemtiticas a aquellas que provocan una actividad y tambien Chevallard (1982) y Artigue (1990). matematica en el alumno sin intervencion del profesor. He-
  9. 9. mos reservado el termino de situaciones didacticas para los EI objetivo de la clase era introducir un repaso de lamodelos que describen la actividad del profesor y tambien division con un sentido de la operacion no acorde con los la del alumno. aprendizajes anteriores y favorecer -en los nifios- el descu- Desde la segunda acepcion, que sera estudiada en la brimiento y la demostracion de una serie de teoremas.seccion B, la situacion didactica es todo el entorno delalumno, incluidos el docente y el sistema educativo. Consideremos un dispositivo disefiado por una per-sona que quiere ensefiar un conocimiento 0 controlar suadquisicion. Este dispositivo comprende un medio mate- Se trata de que cada uno de los dos adversarios querial -las piezas de un juego, un desaffo, un problema, in- juegan llegue a decir 20 agregando, alternativamente, 1 0 2cluso un ejercicio, una ficha, etc.- y las reglas de interac- al mlmero dicho por el otro. EI jugador que comienza dicecion con ese dispositivo, es decir, el juego propiamente I 0 2, el que continua agrega 1 0 2 a ese numero, a su vezdicho. Pero solamente el funcionamiento y el desarrollo el primero agrega 1 0 2 y asf sucesivamente hasta que unoefectivo del dispositivo, las partidas efectivamente juga- llega a decir 20 y entonces gana4•das, la resolucion del problema, etc., pueden producir un La estrategia ganadora consiste en tomar tan prontoefecto de ensefianza. Es necesario, por 10 tanto, incluir el como sea posible la sucesion 2, 5, 8,11,14,17,20. Masestudio de la evolucion de la situacion, ya que asumimos tarde se analizara que se debe aplicar desde el comienzo decomo supuesto que el aprendizaje se logra por medio de la partida la serie de numeros congruentes con 20, modulo 3una adaptacion del sujeto que aprende al medio creado (numeros que tienen igual resto al dividirlos por 3)5.por esta situacion, haya 0 no intervencion de un docenteen el transcurso del proceso. Los conocimientos se ma-nifiestan esencialmente como instrumentos de control delas situaciones. Para ilustrar el papel que desempefian las relaciones EI profesor explica la regIa del juego y comienza unaentre el funcionamiento de los conocimientos del alumno partida en el pizarron contra un nifio, luego cede su lugar a-manifestadas a traves de sus comportamientos- y las ca- otro alumno.racterfsticas de las situaciones, vamos a tomar el ejemplo dela leccion denominada "La carrera a 20" 3. N. de T.: veanse Brousseau (1978) y (1998).---- La leccion de "La carrera a 20" es la primera de una serie que3 N. de T.: Perrin-Glori an (1994: 106) afirma: "Esta situacion va a continuani con "La carrera a 25", luego con "La carrera a 37" y desempefiar un papel importante en 10s primeros fundamentos de despues "La carrera a 354, agregando numeros comprendidos en- la teorfa. Fue objeto de nurnerosos estudios experimentales y teo- tre 1 y 13", etc. De este modo, los alumnos son lIevados a construir ricos basados en las probahilidades y la estadfstica y permitini, a la un metodo para encontrar el resto de las restas sucesivas antes de vez, desarrollar la teona e ilustrarla durante 10s afios 70", darse cuenta de que reinventaron la division, que ya conocfan.
  10. 10. Los nifios juegan varias partidas de ados y anotan los nu- La primera fase del juego corresponde a una situacionmeros que van eligiendo. Al realizar una serie de partidas, se tfpica de accion: a cada paso, los alumnos toman decisionesdan cuenta de que responder al azar no es la mejor estrategia, proponiendo cada uno a su turno un mlmero despues de ha-algunos descubren nipidamente la ventaja de decir 17. ber realizado una apreciacion del estado del juego. Al cabo de algunos pasos, sobreviene la sancion: la partida se gana o se pierde. A medida que el nifio juegue mcis partidas, desarrollani nuevas estrategias, es decir, razones por las cuales va a elegir Los alulllllos son agrupados en dos equipos que compi- un numero antes que otro. Por ejemplo, preferini lOa 9 por-ten uno contra otro. EI profesor designa al azar a un alumno que cree, equivocadamente, que de alguna manera el juegode cada equipo para que juegue una partida en el frente, de- tiene que ver con la numeracion decimal. 0 17 en lugar de 16lante de suscompafieros. Mientras se juega esa partida, Ios porque se dio cuenta intuitivamente de que ya habfa ganadorestantes alumnos no pueden intervenir. El que gana aporta despues de haberlo jugado. A partir de ese momento, todoun punto a su equipo. Los nifios se dan cuenta de la necesi- sucede como si supiera el teorema en acto 6.-"hay que decirdad de discutir y concertar estrategias. 17"- 0 como si tuviera una tactica "completa" (ambos son indiscernibles). Pero, en realidad, pudimos observar que se necesitan varias partidas antes de que sean capaces de formu- lar esta tactica, justificarla y finalmente sacar conclusiones. En general, una estrategia se adopta rechazando intuiti- El profesor propone que cada equipo enuncie los des- vamente 0 racionalmente una estrategia anterior. Una estra-cubrimientos que ha hecho y que Ie han permitido ganar. tegia nueva se somete ala experiencia y puede ser aceptadaAhora el juego consiste en demostrar la verdad de Ios enun- o rechazada segun la apreciacion que tenga eI alumno sobreciados propuestos 0 criticar y eventual mente probar la fal- su eficacia. La sucesion de situaciones de acci6n constituyesedad de Ias declaraciones del equipo contrario. el proceso por el cual el alumno va a "aprenderse" un meto- do de resolucion de su problema.2. Una primera aproximad6n a la clasificad6n Por ejemplo: en el comienzo del juego todos los nume-de las situadones didacticas ros Ie parecen igualmente importantes. Al finalizar esta fase, N. de T.: EI concepto de "teorema en acto" fue introducido por G. A partir de las fases descriptas en "La carrera a 20", ha- Vergnaud. Una presentaci6n detallada de la teorfa de Los camposremos una primera entrada a la clasificacion de Ias situacio- conceptuaLes, de donde proviene este concepto, puede encontrarsenes y, en la proxima seccion, una caracterizacion general. en Vergnaud (1990).
  11. 11. cuando comienza a darse cuenta de que si juega 17 puede ta, por parte del medio, cuando, en caso de ser aplicada enganar, la eleccion del 18 0 del 19 no Ie parece pertinente. una partida concreta, la estrategia resulta ganadora 0 no. Este conjunto de relaciones ("si juego 14 0 17, puedo Se observo que la simple formulacion no tenfa ninguna in-ganar") permanece tal vez completamente implfcita: el nifio f1uenciasobre los conocimientos y las convicciones de los alum-juega segun este modele antes de ser capaz de formularIo. nos, pero impedfa la desaparicion de los teoremas en acto.Llamaremos modelo implfcito al conjunto de relaciones 0reglas segun las cuales el alumno toma sus decisiones sintener conciencia de ell as y a posteriori de formularlas. En la tercera fase cada equipo elabora y luego propone, por turno, un enunciado "utiI para lIegar a decir 20" 0 inten- ta establecer que el enunciado del adversario es falso. En la segunda fase se pueden observar dos momentos En este nuevo tipo de situacion, los alumnos organi-diferentes: zan enunciados en demostraciones, construyen teorfas -en a) cuando el representante del equipo esta en el frente cuanto conjuntos de enunciados de referencia- y aprenden yjuega,y como convencer a los demas 0 como dejarse convencer sin b) cuando el equipo discute. ceder ni a argumentos retoricos ni a la autoridad, la seduc- cion, el amor propio, la intimidacion, etc. Las razones que En el caso a) un nifio que no esta en el frente recoge un alumno pueda dar para convencer a otro, 0 las que puedatoda la informacion mirando 10 que escriben los dos repre- aceptar para cambiar de punto de vista, seran elucidadassentantes, pero el no puede actuar ni intervenir. El que juega progresivamente, construidas, puestas a prueba, debatidasen el pizarron esta en situacion de accion. y convenidas. El alumno no solo tiene que comunicar una En el caso b), el medio para cada uno de los alumnos informacion sino que tambien tiene que afirmar que 10 queesta constituido por el conjunto de partidas jugadas, en dice es verdadero en un sistema determinado, sostener suespecial por la ultima7• Para ganar no alcanza con que un opinion 0 presentar una demostracion.alumno conozca como ganar, tambien debe poder comu-nicar a sus compafieros la estrategia que propone, ya queesta es fa unica manera que tiene de actuar sobre la situa-cion. Dicha comunicacion esta sometida ados tipos de re- Cuando un sujeto intenta controlar su entorno, no todastroacciones: una inmediata, por parte de sus compafieros, sus acciones manifiestan sus conocimientos de la mismaque la comprenden 0 no (la comparten 0 no), y una media- manera. Las relaciones de un alumno con el medio pueden----- ser clasificadas, al menos, en tres grandes categorfas8:7 N. de T.: Notese que el media se modifica en las sucesivas partidas y cada alumno realiza sus fbrmulaciones en funcion de su interpre- ---- tacion de los resultados de las partidas anteriores. 8 N. de T.: Vease Brousseau (I 986a, cap. 6).
  12. 12. - intercambios de informaciones no codificadas 0 sin lenguaje (acciones y decisiones); - intercambios de informaciones lenguaje (mensajes); codificadas en un - intercambios de juicios (sentencias que se refieren a un conjunto de enunciados que tienen un-rol de teoria). ~--_. Informacion Desde la perspectiva de la teorfa de las situaciones, losalumnos se convierten en los revel adores de las caracterfs- Sujeta --> Mediaticas de las situaciones a las que reaccionan (es importantesefialar esta inversion de posicion con respecto alas aproxi-maciones de la psicologfa, donde las situaciones suelen es-tudiarse como dispositivo para revelar los conocimientosdel alumno). EI repertorio de los modelos implfcitos de accion y los modos en que se establecen son muy complejos. Se puede suponer, con Bateson, que la formulacion de un co- Para un sujeto, "actuar" consiste en elegir directa- nacimiento implfcito cambia a la vez sus posibilidades demente los estados del media antagonista en funcion de sus tratamiento, aprendizaje y adquisicion. La formulaci6n depropias motivaciones. Si el medio reacciona con cierta re- un conocimiento corresponderia a una capacidad del suje-gularidad, el sujeto puede llegar a relacionar algunas in- to para retomarlo (reconocerlo, identificarlo, descornpo-formaciones con sus decisiones (retroalimentacion), a an- nerlo y reconstruirlo en un sistema lingiifstico). EI mediaticipar sus reacciones y a tenerlo en cuenta en sus propias que exigira al sujeto usar una formulacion debe entoncesacciones futuras. Los conocimientos permiten producir y involucrar (ficticia 0 efectivamente) a otro sujeto, a quiencambiar estas "anticipaciones". EI aprendizaje es el pro- el primero debeni comunicar una informacion. La situa-ceso por el cual se modifican los conocimientos. Podemos cion puede entonces describirse can el esquema de Osgo-representar estos conocimientos por medio de descripcio- od (1957). Pero si queremos determinar el contenido de lanes de tactic as (0 procedimientos) que parece seguir el comunicacion, tambien es necesario que los dos interlocu-sujeto 0 por las declaraciones de 10 que parece tener en tores cooperen en el control de un medio externo, de modocuenta, pero solo se trata de proyecciones. La manifesta- que ni uno ni otro puedan hacerlo solos, y que la unicacion observable es un patron de respuesta explicado por manera de triunfar sea obteniendo del otro la formulacionun modelo implfcito de accion. de los conocimientos en cuestion.
  13. 13. do hay dudas. Se ocupan juntos de las relaciones formuladas entre un medio y un conocimiento relativo a ese medio. Cada uno puede tomar posici6n con respecto a un enunciado y, si hay desacuerdo, pedir una demostraci6n 0 exigir que el otro Q aplique sus declaraciones en la acci6n con el medio. ~artidas ~ JUgi" ~ p:;::le goponenle La formuIaci6n de Ios conocimientos pone en juego re-pertorios Iingtifsticos diversos (sintaxis y vocabulario). Laadquisici6n de tales repertorios acompafia a Ia de los conoci-mientos que enuncian, pero ambos procesos son distintos. En otro momento, crefmos que, al considerar las situa- ciones de acci6n, formulaci6n y validaci6n, ya tenfamos todas las clases posibles de situaciones. Tenfamos situacio- Los esquemas de Ia acci6n y de la formulaci6n con lle- nes de aprendizaje -en el sentido de los psic610gos- y sevan procesos de correcci6n, ya sea empfrica 0 apoyada en podfa pensar que habfamos reducido la ensefianza a suce-aspectos culturales, para asegurar la pertinencia, adecuaci6n, siones de aprendizaje. Pero en el transcurso de Ias expe-adaptaci6n 0 conveniencia de los conocimientos moviliza- riencias desarrolladas en la escuela Jules Michelet, vimosdos. Pero la modelizaci6n en terminos de situaci6n permite que los maestros, al cabo de un tiempo, necesitaban ordenardistinguir un nuevo tipo de formulaci6n: el emisor ya no es un un espacio, no querfan pasar de una lecci6n a la siguiente,informante, sino un proponente, y el receptor, un oponente. querfan detenerse para "rever 10 que habfan hecho" ... NosSe supone que poseen Ias mismas informaciones necesarias vimos obligados a preguntarnos por que se daba esa resis-para tratar una cuesti6n. Cooperan en la busqueda de la ver- tencia de los docentes a reducir el aprendizaje a los proce-dad, es decir, en vincular de forma segura un conocimiento a sos que habfamos concebido. Nos tom6 un tiempo darnosun campo de saberes ya establecidos, pero se enfrentan cuan- cuenta de que los docentes realmente estaban obligados "a
  14. 14. hacer algo": debian dar cuenta de 10 que habfan hecho los ci6n no tiene las mismas propiedades como conocimientoalumnos, describir 10 que habia sucedido y 10 que estaba que como saber, ni funciona del mismo modo como he-vinculado con el conocimiento en cuesti6n, brindarles un rramienta de indagaci6n, ni da las mismas posibilidadesestado a los eventos de la clase en cuanto resultados de los de expresi6n, ni actua igual como instrumento de convic-alumnos y resultados de laensefianza, asumir un objeto de ci6n 0 como argumento y tampoco ha side aprendida deensefianza, identificarlo, acercar las producciones de los co- la misma manera.nocimientos a otras creaciones (culturales 0 del programa),indicar cuales podian ser reutilizadas nuevamente. En primer lugar, esos hechos y luego los razonamien-tos -el hecho de asegurar la consistencia del conjunto delas modelizaciones eliminando las que son contradictorias Cada situaci6n puede hacer que el sujeto evolucione,exige un trabajo te6rico- mostraron la necesidad de tener en y por ello tambien puede evolucionar a su vez de modo talcuenta fases de institucionalizaci6n que dieran a determina- que la genesis de un conocimiento puede ser el fruto de unados conocimientos el estado cultural indispensable de sabe- sucesi6n (espontanea 0 no) de nuevas preguntas y respues-res9• Del mismo modo que los teoremas en acto desapare- tas en un proceso que he calificado como "dialectica". Encian rapidamentc ante la ausencia de una formulaci6n y una tales procesos, las sucesiones de situaciones de acci6n, for-prueba, los conocimientos privados e incluso los publicos mulaci6n y validaci6n pueden conjugarse para acelerar lospermanecerian contextualizados y tenderian a desaparecer aprendizajes (tanto si se presentan espontaneamente comoen la marea de recuerdos cotidianos si no se los reubicara si se provocan voluntariamente).dentro de un repertorio especial cuya importancia y uso no La acci6n y luego la formulaci6n, la validaci6n cultural yfueran confirmados por la cultura y la sociedad. la institucionalizaci6n parecen constituir un orden razonable El funcionamiento de los conocimientos es diferente para la construcci6n de los saberes. Este orden suele ser obser-al de los saberes, tanto en las relaciones entre las institu- vado en la genesis hist6rica de las nociones donde vemos su-ciones como en la actividad aislada de los sujetos. Una no- cederse formas protomatenuiticas y paramatenuiticas que pre- ceden alas formas matematicas propiamente dichaslO• Dicho orden parece oponerse a aquel donde los saberes son primero9 N. de T.: "Los conocimientos son los medias transmisibles (por imi- reorganizados en discursos comunicables segUn el destinata- taci6n, iniciaci6n, comunicaci6n, etc.), aunque no necesariamente rio y luego solamente "aplicados" a situaciones personales y explicitables, de controlar una situaci6n y obtener de ella determina- do resultado conforme a una expectativa y a una exigencia social. EI "convertidos" en decisiones. En realidad, no hay una ley ge- saber es el producto cultural de una instituci6n que tiene por objeto neral que califique 0 descalifique uno u otro de estos procesos, identificar, analizar y organizar los conocimientos a fin de facilitar sino que hay que examinar las propiedades de cada uno. su comunicaci6n." (Brousseau y Centeno, 1991). Esta distinci6n en- tre conocimiento y saber se ilustra con un ejemplo en la descripci6n ---- de la situaci6n sobre el conteo (vease la secci6n 4). 10 N. de T.: Vease Chevallard (1985, ed. en espanol: 1997), cap. 4.
  15. 15. 4. Situadon didactica, situadon adidactica, Este proceso psicogenetico piagetiano se opone al dog-situation fundamental matismo escolastico: mientras que para el primero el apren- dizaje se da "naturalmente", sin intenci6n didactica, para el En la concepci6n mas general de la ensefianza, la marca segundo todo se atribuye al arte de ensefiar. Asf, la teorfa dede un saber es una asociaci6n entre las buenas preguntas y Piaget corre el riesgo de aliviar al docente de toda respon-las buenas respuestas. EI docente plantea un problema que el sabilidad didactica, 10 cual constituye una vuelta paradojalalumno debe resolver: si el alumno responde, demuestra que a una especie de empirismo. Pero un medio sin intencionessabe; si no, se manifiesta una necesidad de saber que requiere didacticas es incapaz de inducir en el alumno todos los co-una informaci6n, una ensefianza. A priori, todo metodo que nocimientos culturales que se desea que adquiera.perrnita memorizar las asociaciones favorables es aceptable. Concepciones actuales de la ensefianza van a exigir al La mayeutica socrMica limita estas asociaciones a aque- maestro que provoque en el alumno -por medio de la elec-Has que el alumno puede efectuar por sf rnismo. Esta restric- ci6n sensata de los "problemas" que propone- las adapta-ci6n tiene por objeto garantizar la comprensi6n del saber en ciones deseadas. Esos problemas, elegidos de modo tal queel alumno, porque el rnismo 10 produce. Pero entonces nos el alumno pueda aceptarlos, deben lograr, por su propio mo-vemos obligados a suponer que el alumno ya posefa ese saber, vimiento, que actue, hable, reflexione y evolucione. Entre elya sea que siempre 10hubiera tenido (rerniniscencia) 0 que 10 momento en que el alumno acepta el problema como suyoconstruyera el mismo por medio de su actividad propia y ais- y aquel en que produce su respuesta, el profesor se rehusa alada. Todos los procedimientos donde el maestro no da la res- intervenir en calidad de oferente de los conocimientos quepuesta son aceptables para engendrar ese saber en el alumno. quiere ver aparecer. El alumno sabe que el problema fue ele- El esquema socratico puede ser perfeccionado si se gido para hacer que adquiera un conocirniento nuevo, perosupone que el alumno es capaz de obtener su saber de las debe saber tam bien que este conocimiento esta enteramentepropias experiencias, de las propias interacciones con el justificado por la 16gica interna de la situaci6n y que puedemedio, aun si ese medio no esta organizado con fines de construirlo sin tener presentes razones didacticas. No s610aprendizaje: el alumno aprende viendo el mundo (hip6tesis puede, sino que tambien debe, porque no habra adquiridoempirista-sensualista) 0 haciendo hip6tesis entre las quesu verdaderamente este conocimiento hasta no ser capaz deexperiencia Ie permite elegir (hip6tesis aprioristas) 0 aun en utilizarlo en situaciones que encuentre fuera de todo con-una interacci6n mas compleja conformada por asimilacio- texto de ensefianza y en ausencia de cualquier indicaci6nnes y acomodaciones tales como las que describe Piaget. intencional. Tal situaci6n es Hamada situacion adiddctica. EI alumno aprende adaptandose a un medio que es Suponemos que cada conocimiento matemMico poseefactor de contradicciones, dificultades y desequilibrios, un al menos una situaci6n que 10caracteriza y 10diferencia depoco como 10hace la sociedad humana. Este saber, fruto de los demas. Por otra parte, conjeturamos que el conjunto dela adaptaci6n del alumno, se manifiesta por medio de nue- situaciones que caracterizan una misma noci6n esta estruc-vas respuestas, que son la marca del aprendizaje. turado y puede ser engendrado a partir de un pequefio nu-
  16. 16. mero de situacioneflllamadasjundamentales, a traves de un dizaje del conteo tiene que poder comunicarse a un nifio quejuego de variantes, variables y cotas sobre estas variables 11. no sabe contar, pero que debe poder aprender a resolverla Como el alumno no puede resolver de entrada cualquier sin que el profesor intervenga indicandole cual es el conoci-situaci6n adid,ktica, el maestro Ie procura aquellas que es- miento a utilizar. La realizaci6n efectiva en un aula reclamaratan a su alcance. Las situaciones adidacticas preparadas con intervenciones didacticas importantes de otro tipo.fines didacticos determinan el conocimiemo ensefiado enun momento dado y el senti do particular que este conoci-miento va a tomar porefecto de las restricciones y deforma-ciones aportadas a la situaci6n fundamental. MAMA:(,Sabe que, abuelo? jEl nene sabe contar! Esa situaci6n 0 ese problema elegido pOlel docente 10 ABUELO: serio? (,A ver? (,Eninvolucra a el mismo en un juego con el sistema de interac- MAMA:jMuestrale al abuelo c6mo sabes contar!ciones del alumno con su medio. Este juego mas amplio es EL NENE(cuatro afios): Uno, dos, tres, cuatro, cinco,la situacion didactica. seis, siete, ocho, diez, quince, eh ... Es importante considerar por el momenta que una situa- ABUELO (admirado): iAh! jMuy bien! iTienesque continuar!ci6n fundamental no es a priori una situaci6n "ideal" para laensefianza, ni siquiera una soluci6n mas eficaz. Su valor parala ensefianza se aprecia en funci6n de un gran numero de otros Pero "contar", no cuenta: contar (saber cuantos hay) como proyecto escolarpanlmetros extemos, tales como la posibilidad efectiva de rea-lizaci6n en un ambiente psicosociocultural determinado. La familia incluye tambien a la tfa Mimf que es una Para ilustrar el concepto de situaci6n fundamental voy docente jubilada.a tomar como ejemplo el que exige la medida de conjuntos TfA MIMi: Pero no abuelo, para saber si el nene sabefinitos y genera en consecuencia el numero natural. El co- con tar hay que mostrarle los dedos y preguntarle cuantosnocimiento de los primeros numeros naturales se manifiesta hay, y luego pedirle que el muestre 10s dedos. jNo alcanzapOImedio del conteo. La situaci6n "fundamental" de apren- con recital los numeros! Y si el nene no 10sabe, la mama no----- tiene que decepcionarse. A los cuatro afios, Ia mayorfa deII Se puede buscar por medius matem<hicos y experimentales que 310- res de esas variables pueden determinar las condiciones 6ptimas de 10schicos casi no puede comprender realmente 10snumeros difusi6n de determinados conocimientos, 0 explicar los que aparecen mas alla de 5, Ios psic610gos 10pueden decir. como respuestas (te6ricamente) optimas a las condiciones propuestas MAMA.: Pero nuestra vecina, Olga, que tiene cinco allos, al alUIlliio.Para algunos valores de esas variables existe al menos una cuenta hasta 70. estrategia optima (desde el punta de vista de su costa en diseno, fia- TfA MIMi: Sf, tambien puede recital "La farolera trope- biIidad,costo de aprendizaje, etc.) y uno 0 varios conocimientos que Ie corresponden. LIamamos variable cognitiva a una variable de la Z6..."12, que tiene mas de setenta palabras, ipero cree que Ia situacion tal que por la elecci6n de vaJores diferentes puede provocar --- cambios en el conocimiento 6ptimo. Entre las variables cognitivas, las 12 N. de T.: Cancion infantil tradicional en Argentina, much as veces variables didacticas son las que puede fijar eI docente. ensefiada para reforzar el aprendizaje de cierta sucesion numerica.
  17. 17. farolera es una especie de estrella de la television! No es grave, de conteo y tambien clasificar y comparar todas Ias practicaspero una colegajoven me conto que los padres ejercen actual- de conteo y aprendizaje del conteo. Las practicas habituaIes demente una fuerte presion sobre sus hijos para "hacerlos con- conteo que acabarnos de presentar se obtienen, a partir de la si-tar" precozmente. Y comprobo que bajo la influencia de ese tuacion fundamental, pOIsupresion 0 transferencia al aduIto demachaqueo, algunos ninos se ponen a contar desde el mismo ciertas tareas. En Ia primera, que podrfamos llamar, pOIejernplo,momento en que escuchan la palabra "numerp" sin reflexionar "el conteo popular", el nino reproduce una serie de palabras bajosobre la pregunta que se les planteo. En su clase, esta colega el control del adulto. En la segunda, "el conteo escolar clasico",tiene alumnos de tres y cuatro anos en el nivel inicial, ninos mas evoIucionado, es responsabilidad del nino hacer que un nu-que cuentan mecanicamente mas alla de 50, y pOIeso no pue- mero corresponda a un conjunto de vasitos (trabajo de emisor) 0de -ni con elIos, ni con los que no pasan de 5- organizar una formar una coleccion que lenga un numero dado de pinceles.actividad matematica en comun apropiada para la edad.i Cuantos hay? Una situaci6n espedfica Aprender separadamente estas practicas parciales implica Ahora tomemos la siguiente situacion, que puede ser tra- que eI aduIto las ensena, Ias exige, las corrige, Ias hace irnitarducida en una consigna adaptada a ninos de cinco 0 seis anos: y repetir. En ningun momenta el nino esrn en condiciones de En estos vasitos tenemos pinturas. Debes ir alla a buscar establecer pOIsf mismo Ia finalidad de la accion y corregir suspinceles y poneI uno y solo uno en cada vasito. Debes traer errores. Sin embargo, padres y docentes utilizan con cierto exitotodos los pinceles de una sola vez y no tienen que sobrar todas esas formas "degeneradas" de la situacion fundamental,ni pinceles sin vasito, ni vasitos sin pincel. Si te equivocas, aun en el caso extrema del aprendizaje formal de la sucesion derecoges todos los pinceles, los llevas alIa y recomienzas de numeros. No se trata de rechazar ciertas practicas, sino de apro-nuevo. Sabras contar cuando puedas hacer esto, aun cuan- vecharlas al maximo segun sus caracterfsticas particulares. Lasdo haya muchos vasitos. principales desventajas de esos aprendizajes parciales son: Mas precisamente, el nino sabra cuantos hay cuando - impedir que el nino asuma la responsabilidad delpueda desempenar ambos papeles: solicitar (como emisor) juicio sobre el valor de sus respuestas, conozca ela alguien (un receptor), oralmente 0 por escrito, la cantidad proyecto de aprendizaje en el que esta involucrado yde pinceles necesarios verificando la operacion e, inversa- pueda evaluar los progresos por sf mismo; ymente, suministrar una cantidad solicitada. - que el nino tiene que haber aprendido previamente Tal situacion presenta una caracterfstica fundamental por- la respuesta de una u otra manera para comprenderque, desde el punto de vista didactico y haciendo variar sus va- 10 que se Ie pide que haga.riables cognitivas13, se pueden describir "todas" las situaciones----- los pinceles de una vez, no poner a disposici6n de los ninos mate-13 N. de T.: Por ejemplo, la naturaleza y tamano de la colecci6n, Ja riales para registrar, anticipar cwintos paquetes de 5 pinceles senin posibilidad de desplazar los objetos, Jas circunstancias (traer todos necesarios para tal cantidad de vasitos), etc.
  18. 18. La "definici6n" didactica es diferente: vuelve a ubicar - en un proceso constructivista, completando las res-las tt~cnicas dentro de una acci6n global inteligible. Ya no puestas espontaneas 0 provocadascon las institucio-exige que el nino sepa contar para comprenderla. Solamen- nalizaciones indispensables,te es necesario que pueda resolver el juego con algunos va- - 0 en ensenanzas mas clasicas, mayeutica 0 aun axio-sitos. Tambien es precise que sepa verificar la correspon- mMica, con lecciones seguidas de ejercicios, en res-dencia uno a uno. ASI, el aprendizaje puede comenzar, no puesta a problemas bien identificados por eI aIumno.por la imitaci6n 0 la reproducci6n, sino por la invenci6n desoluciones estables, cualquiera sea el recurso. Asimismo, Ia situaci6n fundamental no desacredita nin- guna forma de aprendizaje. Las admite todas y permite con- jugarlas: compIeta Ios aprendizajes parciaIes que son tItHes y probabIemente necesarios y, sobre todo, Ies da sentido. Finalmente, para aprender los numeros sera necesario EI uso puramente numeral de Ios numeros (para iden-que el alumno enumereJ4 las colecciones (que nombre los tificar 0 designar un objeto, por ejempIo eI numero de unobjetos uno despues de otro, todos los objetos y sin repe- canal de teIevisi6n, de un telefono 0 un autom6viI) no pare-tidos), al mismo tiempo que determine cuantos hay (que ce presentar problemas. ProbabIemente porque la dificultadevalue su cardinal por correspondencia con otra colecci6n), principal no se encuentra en 10 fundamental en eI aprendi-que las cuente (que ponga en correspondencia sus elemen- zaje de Ios automatismos,sino en eI conocimiento de Iastos con las palabras) y luego, si el conteo es por partes, que propiedades de Ias coIecciones, Ios numeros y sus opera-enuncie (expresando oralmente el numero utilizando un sis- ciones. Estas deben ser "conocidas" obIigatoriamente par eItema de numeraci6n) el resultado de su conteo y luego es- alumno, para que pueda controlar sus usos compIejos. Ademas de usar, tarde 0 temprano habra que eIucidar,criba ese numerol5• Sera necesario tambien que se apropie formular, discutir las propiedades y Ias estructuras numeri-de los usos de los ordinales de la sucesi6n numeric a, etc. cas. Estas eIucidaciones son necesarias para eI aprendizaje Pero estos aprendizajes podran producirse por una con- mismo y deben acompanarlo. (,C6mo y cuando?junci6n de metodos, por ejemplo:----14 N. de T.: En espanolla palabra "enumerar" remite al conteo, y en consecuencia, al uso de los numeras. Pera en otras idiom as, pOl ejemplo en frances, "enumerar" significa enunciar uno a uno los objetos, hacer una ista. POlejcmplo, alllevar una lista para hacer En Ia ensenanza cIasica, eI hecho de comprender cuan- las compras en el supermercado, en algun momenta se controla do eI conteo puede dar respuesta a un problema IIega des- si "ya esta todo". Es comun decir: "faha" tal 0 cual producto, se pues. Para convencerse, hay que hacer preguntas durante enumera, sin necesidad de contar.15 Para los lectores interesados en est os temas, se sugiere: Briand eI aprendizaje (clasico) a Ios ninos que ya "saben" cantar (1993), Bahra (1995), Quevedo (1986) y Cauty. una coIecci6n cuando se 10 soIicitan (digamos hasta trein-
  19. 19. ta), pero que no saben resolver el problema de los vasitos ypinceles en la posici6n de emisor 0 de receptor. Quevedo (1986) pudo observar el siguiente compor- Esta confianza en sus metodos exige a la vez una posi-tamiento: ci6n reflexiva con respecto a ellos, un "metaconocimiento", El alumno va a buscar un pufiado de pinceles y los dis- palabras para expresar los conocimientos adquiridos, untribuye en los vasitos. metaJenguaje y, finalmente, todo 10 que constituye la con- -jAh! jMe sobraron tres! versi6n de algunos conocimientos en saberes. -(,Ganaste? Con respecto a los metodos clasicos, la situaci6n de con- -No, porque me quedaron tres. teo puede resultar util en diversos momentos del aprendiza- -B ueno, recoge todos los pinceles y empieza otra vez. je y sobre todo para analizar con los profesores que quiere Los otros compafieros de la clase Ie sugieren: decir "contar" en terminos "concretos". No es verdad que el -jCuenta! jCuenta! aprendizaje a traves del uso exclusivo de la situaci6n funda- El nifio cuenta los vasitos, recoge los pinceles distribui- mental sea mas rapido 0 mas eficaz, esa situaci6n puede serdos en los vasitos y reinicia la actividad. Toma un pufiado inutilmente pesada cuando el alumno ya comprendi6 que esde pinceles y regresa a los vasitos. El hecho de contar no Ie 10 que se Ie quiere ensefiar.sirve de nada. Los otros nifios tratan de ayudarlo: -jNo, no! jConta los pinceles! El nifio cuenta todos los pinceles y vuelve ... 5. La adaptacion de las situaciones a los alumnos: la optimizacion Este ejemplo pone en evidencia una diferencia entre elconteo como saber cultural habitual y el conteo como cono-cimiento para resolver la situaci6n fundamental. Es inevitable el uso de un medio (abaco, contador, lapiz y papel, etc.) para efectuar ciertos calculos. Con una volun tad de transparencia democrc:itica, la Convenci6n de 1792 que es- tableci6 el sistema decimaJl6 rechaz6 el uso de aparatos "mis- (,Podemos afirmar que el alumno sabe con tar cuando teriosos" y propici6 una ensefianza obligatoria del calculoes capaz de formal colecciones adecuadas, bastante nume- con lapiz y papel. La elecci6n de los "algoritmos" a ensefiarrosas, en Ias condiciones previamente descriptas? No pOI planteaba un compromiso entre la fiabilidad y la rapidez decompleto. Tambien debe sentirse suficientemente seguro de ejecllci6n -exigidas pol las actividades calclliatorias intensas,su conteocomo para identificar las fuentes de elTor y, si es necesarias para la sociedad industrial y comercial emergen-necesario, discutirlas. Por ejemplo, si en el momento en queva a buscar los pinceles alguien Ie roba un vasito, al regresar N. de T.: se refiere a la universalizaci6n del sistema decimal de medi-y distribuir los pinceles debe ser capaz de decirle: da, una de las reformas exigidas en la Revoluci6n Francesa de 1789.
  20. 20. te- y las capacidades de aprendizaje del sector de poblacion mientos y saberes. Como acabamos de ver, las variantes de afectado (y tambien la herencia de practicas antiguas). Se una situacion relativa a un mismo saber matematico puedenpueden concebir otras disposiciones para hacer las cuentas y, presentar gran des diferencias de complejidad y en conse-por d.lculos de ergonomfa, comparar sus ventajas. cuencia conducir a estrategias optimas diferentes y tambien He demostrado, primero a traves de calculos realizados a maneras diferentes de conocer un mismo saber.con modelos matematicos y luego por medio de la experien- Una metafora simple permitira ilustrar esta declara-cia, que la ejecucion a la francesa de la multiplicacion y sobre cion: no reconocemos y no tratamos todos los numerostodo de la division era muy sensible a variables sobre las que naturales de la misma manera. Por ejemplo hasta el 3, losse podfa actuar facilmente y que inutilmente llevaba a fraca- comprendidos entre 4 y 7, entre 15 y 40, entre 100 Y 1000,sos -a menudo costosos, a veces irremediables- siempre dis- y 18471847. No resolvemos un sistema lineal de dimensioncriminatorios. Propuse disposiciones mejor adaptadas, prevf n con los mismos metodos para n = 2, 5, 10 0 100.(calcule) y mostre (es decir, verifique) la ganancia (en resul- EI costa del reconocimiento directo (a ojo/a primeratados obtenidos y en tiempo) que se podia obtener a traves de vista) del numero de elementos de una coleccion crece muyesas modificaciones faciles de ensefiar17• rapidamente. Mas aHa de 5 hay que estructurar y enumerar Estos dos ejemplos me ensefiaron que el saber no se la coleccion. La estructura aditiva encuentra bastante rapida-difunde natural mente, ni siquiera cuando una investigacion mente sus lfmites y si uno debe utilizar con frecuencia gran-didactic a ofrece una solucion practica -a traves de un me- des cantidades, hay que adaptar el sistema de numeraci6n.todo cientifico y bastante universalmente convincente- a un La ensefianza debe seguir esta ley. Comenzamos porproblema efectivo. aprender a usar pequefios numeros y los usamos para cons- truir otros mas grandes. La funcion de Peano (agregar uno cada vez) parece la mas simple. Pero, enrealidad, como esta6. La adaptacion de Los aLumnos a Las situaciones: creacion recursiva es demasiado costosa para ser efectiva,Los saLtos y Los obstacuLos los nifios desarrollan modos de reconocimiento (concepcio- nes) apropiados. l.Pueden pasar de un modo a otro siguiendo el orden natural 0 se van a encontrar con dificultades? l.No Los sujetos (y las instituciones) se adaptan alas situa- serfa preferible favorecer la creacion de estas estrategias,ciones con que se encuentran y fabric an para ello conoci- si es preciso eligiendo con tar de entrada cantidades muy grandes, para desalentar el prolongamiento desesperado de N. de T.: $e refiere al estudio de los algoritmos de la multiplicaci6n "per un metodo de reconocimiento cada vez mas inadaptado? gelaSIa" y de la division (par aproximaciones sucesivas al dividendo a La respuesta depende de la forma en que se distribuyen traves de multiplos del divisor). A pesar de que ambos resultados tue- los costos para cada concepcion de los numeros naturales. ron difundidos en publicaciones y jornadas destinadas a docentes, no se introdujeron en el sistema educativo por vias institucionales. Veanse Veamos un ejemplo: supongamos que hemos combinado Brousseau (1973) y Briand, N. Brousseau, Greslard et al. (1985). todos los costos (uso, fiabilidad, aprendizaje, ... relativos a
  21. 21. frecuencias de empleo usuales), en una sola variable fi que Costo del representa el precio medio del tratamiento de un numero n; conocimiento f1 representa el costa del reconocimiento visual, f2 el de la estructuracion aditiva, f3 el de la estructuracion multi plica- tiva, f4 el de la numeracion decimal. Cada funcion tiene un minimo. Para val ores inferiores de las abscisas, el rendimiento baja: el metoda de conteoes inutilmente complejo para tratar una coleccion dema- siado pequefia, la concepcion es demasiado sofisticada, el aprendizaje demasiado largo, etc. Para una coleccion masgrande, el conteo se queda sin aliento, el costa de ejecucion Variable depara reconocer el numero se convierte en preeminente, el complejidadrendimiento de la concepcion se derrumba. El aprendizajepor adaptacion supone que se elijan las variables de modotal que el conocimiento que se quiere "hacer descubrir" seasignificativamente mas ventajoso que cualquier otro. La figura anterior representa la hipote~is favorable de Cada metoda (reconocimiento visual, estructuracion una progresion regular de la ensefianza. El pasaje progresi-aditiva y multiplicativa, etc.) se vuelve rapidamente com- vo de una concepcion a otra no presenta dificultades debi- das a los saltos de complejidad informacional.plejo e incierto cuando aumenta el tamafio de la coleccion,mientras que el metodo siguiente no presenta todavia unaeficacia evidente. Los campos de utilizacion justificada yfacil estan separados. Si bien el "descubrimiento" por par-te de los alumnos de una nueva estrategia es po sible, ese Cada manera organizada pero particular de tratar una no-hallazgo esta mas motivado cuando las condiciones de la cion matematica constituye 10 que llamamos una concepcion.situacion corresponden a una ventaja mayor del nuevo me- Par ejemplo, distinguimos varias concepciones diferentes detodo en relacion con el anterior. Y este ultimo, por 10 tanto, la divisionl8• El pasaje de un conocimiento a otro dentro dese muestra inmediatamente ineficaz. una misma concepcion no es costoso, el aprendizaje tampo- Este caso sugiere evitar las dificultades mencionadas co, porque corresponde a 10 que Piaget identifica como unaefectuando una progresion a traves de saltos informacio- asimilacion. EI pasaje de una concepcion a otra es mas diffcilnaZes, es decir, a traves de modificaciones de una variable porque corresponde a un cambio importante de repertorio. Sudidactica donde se proponen caracteristicas informaciona- ---les 10 suficientemente diferentes como para que surja un 18 N. de T.: Yeanse Brousseau y Brousseau (1987) Y Brousseau (1988)cambio de metodo. y (1990).
  22. 22. aprendizaje exige cierta reorganizacion de los conocimientos - Un obstaculo es un "conocimiento" en el senti doanteriores (una acomodacion). Estas concepciones, pues, es- que Ie hemos dado de "manera regular de tratar untin determinadas por su estructura logica interna pero tambien conjunto de situaciones".por la frecuencia y la eficacia con las que son titiles. Las con- - Este conocimiento da resultados correctos 0 venta-cepciones pueden determinarse teoricamente como conjuntos jas apreciables en determinado ambito, pero se reve-de conocimientos y de saberes, frecuentemente requeridos en la falso 0 completamente inadaptado en un ambitosimultaneo para resolver situaciones, y pueden determinarse nuevo 0 mas amplio.empfricamente como patrones de respuestas coherentes dadas - El conocimiento nuevo, verdadero 0 valido sobrepor gran parte de los sujetos a un tipo de situacion. un ambito mas amplio no se establece "a partir" del Es interesante recalcar que la adaptacion optima de un conocimiento anterior sino contra el: utiliza otrossujeto (0 una institucion) a un conjunto de condiciones con- puntos de vista, otros metodos, etc. Entre ell os noduce a este sujeto a concepciones diferentes para una mis- existen relaciones "logicas" evidentes que permiti-ma nocion matemMica. Esto se encuentra en la base de h rfan desacreditar facilmente el error antiguo a travesteorfa de la transposici6n didactica. Inversamente, las con- del conocimiento nuevo. Por el contrario, compitencepciones determinan ambitos donde la nocion matemMica en el antiguo ambito.es eficaz, ambitos -la mayorfa de las veces- separados. - Estos conocimientos no son construcciones persona- El aprendizaje presenta frecuentes rupturas que pueden les variables. Son respuestas "universales" en ambi-tener formas y orfgenes variados: saltos informacionales, cam- tos precisos. Aparecen entonces casi necesariamentebios en la forma de control (proto, para 0 matemMico), origen en la genesis de un saber, ya sea en una genesis his-ontogenetico, eleccion didactica, contingencia epistemologica, torica 0 didactica.etc. Algunas de las concepciones adquiridas no desapareceninmediatamente en provecho de una concepcion mejor: resis- De esta "definicion" se pueden deducir algunas caracte-ten, provocan errores y se constituyen asf en "obstaculos". rfsticas observables de los obstaculos: Un obstaculo se manifiesta a traves de errores, pero esos errores en un mismo sujeto estan unidos entre sf por una fuente comtin: una manera de conocer, una concepcion Debemos el concepto de "obstaculo epistemologico" a caracterfstica, coherente aunque no correcta, un "conoci-Bachelard19, quien explicito que ese tipo de obstaculo no miento" anterior que tuvo exito en todo un dominio de ac-se producfa en matematicas. La modelizacion de las situa- ciones. "No se trata de considerar los obstaculos externosciones me condujo a pensar 10 contrario y a proponer una como la complejidad 0 la fugacidad de los fenomenos, nidefinicion apropiada: de incriminar la debilidad de los sentidos 0 del espfritu hu- mana: es en el acto mismo de conocer, fntimamente, donde---19 N. de T.: Bachelard (1938). aparecen, por una especie de necesidad funcional, los entor-
  23. 23. pecimientos y las confusiones. [...] se conoce en contra deun conocimiento anterior"20. De este modo, el obstaculo no desaparece con el apren- La puesta en evidencia de Ia necesidad de Ia institucio-dizaje de un nuevo conocimiento. Por el contrario, opone nalizaci6n y luego la existencia de Ios obstaculos de origenresistencia a su adquisicion, a su comprension, frena su epistemologico 0 didactic022tuvo consecuencias importan-aplicacion, subsiste en estado latente y reaparece de forma tes sobre el estado cientffico de la modelizacion de las situa-imprevista, en especial en su ambito anterior, cuando las ciones en didactica:circunstancias 10permiten. 1. La modelizacion de Lassituaciones en didactica -en Es inutil, pues, ignorar un obstaculo. Hay que recha- Ias cuales el docente se limita a crear y mantenerzarlo explfcitamente, integrar su negacion en eI aprendi- las situaciones sin intervenir sobre el proceso cog-zaje de un conocimiento nuevo, particularmente bajo la nitivo- permite identificar, concebir y mejorar Lasforma de contraejemplos. En este sentido, es constitutivo condiciones espedficas de la construccion autono-del saber. ma de Los conocimientos matematicos. Esto parece Algunos ejemplos: los obstaculos no siempre son co- justificar las tesis constructivistas.nocimientos "falsos", como el tratamiento separado de la 2. Pero el funcionamiento natural de Las situacionesparte entera y Ia parte decimal de los numeros decimales, "constructivistas" conduce al alumno a conocimien-o indebidamente extendidos, como la IineaIidad. EI alum- tos localmente adaptados, pero que la mayoria de Lasno que tuvo que comprender que el producto de numeros veces se revelaron, mas adelante, insuficienteso inclu-naturales mayores que 1 es una repeticion de sumas -y, en so falsos y algunos se constituyeron en obstaculos.consecuencia, es mas grande que cada factor- no accede 3. Ademds, esta construccion autonoma no puede darfacilmente a interpretar y utilizar 0,2 x 0,3 = 0,6 ni distin- el estado de saber a Losconocimientos desarrollados.gue el numero natural 4 que tenia un antecesor, del "mis- Los conocimientos canonicamente constituidos sonmo" 4 pero ahora decimal que no 10 tiene. EI obstaculo aquellos inteligibles para los otros, compartidos, con-es, por 10 tanto, un conocimiento perfectamente legftimo formes a la voluntad didactica de Ia sociedad, cuyae inevitable. importancia esta garantizada por la historia y Ia cul- La existencia de obstaculos en la continuidad de las tura y que seran reutilizados mas adelante. La inter-funciones fue estudiada por EI Bouazzaoui (1988) y en un vencion didactica del docente es la que permite iden-coloquio realizado en Montreal presento como objeto de tificar conocimientos canonicos en 10que el alumnoestudio algunas cuestiones relativas a los obstacuIos y losconflictos sociocognitivos21. N. de T.: Los obstaculos de origen epistemol6gico son aquellos que no se pueden ni se deben evitar porque son constitutivos del20 N. de T.: Ibidem (edici6n 1985, p. 15) conocimiento mismo; los de origen didactico son los que parecen21 N. de T.: Yeanse Brousseau (1983), (1989) y (1989a). depender de las elecciones que se hacen en la enseiianza.
  24. 24. o los alumnos han concebido en las situaciones auto- nomas. Este estado de conocimiento institucionaliza- do no puede surgir de las situaciones, ya que en ellas -para el alumna- se disimula la intencion didactica.4. Las afirmaciones 2 y 3 no contradicen la hipotesis se- gun la cual solamente los funcionamientos autonomos del alumno son el indicador de que adquirio conoci- mientos utilizables. Pero tampoco alivian !as crfticas de las pedagog£as que no permiten el funcionamiento 10- calmentejustificado de los conocimientos del alumno.5. Por el contra rio, esas afirmaciones hacen aparecer como indispensable la inmersion de los mode/os de situaciones en didactica en modelos mas amplios, que incluyan las accionesdel profesor.6. Finalmente, a pesar de que tome una evidente po- sicion de realismo y positivismo racionalista (una Si consideramos la ensefianza como "el proyecto y accion especie de vuelta alas exigencias del conductismo), social de que un alumno se apropie de un saber constituido 0 en las especulaciones teoricas se amplfan y la exten- vIas de constitucion", la didactica de la matemlitica seconvier- sion de los estudios plantea el problema de la con- te en "la ciencia de las condiciones de difusion y apropiacion sistencia general de este enfoque. ;,Hay que aceptar de los conocirnientos matemliticos utiles a los hombres y asus una teorfa de las situaciones didacticas? instituciones". La modelizacion de esta difusion conduce a uti- lizar el terrnino "situacion didactica" en el sentido de "entorno del alumno, que induye todo 10 que coopera especfficamente en la componente matematica de su formaci on" . Recordemos que al inicio del texto presentamos las situaciones· didacticas desde dos puntos de vista23: en la seccion A utilizamos el pri- mero y ahora nos conviene pensar desde el segundo. Una interaccion se vuelve didactica si y solo si uno de los sujetos exhibe la intencion de modificar el sistema de co- nocimientos de otro (los medios de decision, el vocabulario, los modos de argumentacion, las referencias culturales). ----- 23 N. de T.: Vease item 1, seccion A.
  25. 25. Muchas obras esquematizan la situacion de ensefianza Por 10 tanto, la primera cuestion teorica que se planteapor el "triangulo" representado en la figura 6, que solamen- es: el profesor wuede no tener en cuenta ese medio? Late toma en cuenta las relaciones del sistema "profesor" con segunda es: Gqueestructura hay que atribuirle?el sistema "alumno". EI estudio de las situaciones como herramientas didac- ticas (es decir en el primer sentido) conduce a aceptar las siguientes proposiciones: - La comunicacion "didactica" tiene por fin dar a su destinatario un instrumento de control 0 de regula- cion sobre cierto media. Llamamos madela implici- Este esquema tiene el inconveniente de reducir el en- to de acci6n a la capacidad minima de controF4. Latorno did,ktico a la accion del profesor y oculta comple- conciencia que puede tener el sujeto que aprendetamente las relaciones del sujeto con todo media adidac- de su capacidad de control sobre una situacion 0 untica. GA que nos referimos? La intervencion del profesor medio dado es identificada como "su" conocimien-evoca necesariamente, para los conocimientos que ensefia, to. Tomar conciencia de sus conocimientossupone,un funcionamiento posible en otras circunstancias, no so- por parte del que aprende, la pnktica (efectiva 0lamente en las "situaciones de uso didactico" (ejercicios ficticia) de ciertos tipos de interacciones socialeso problemas) que plantea. Crea, entonces, ficticia 0 ~fec- (formulaci6n, prueba) y, ademas, el uso de un re-tivamente, otro "medio" donde el alumno actua de forma pertorio cultural determinado. Este bagaje de cono-autonoma. Esto conduce entonces a un esquema como el cimientos culturales (formulables 0 comunicablesque muestra la figura 7. al menos a traves de procedimientos no verbales) es objeto de un reconocimiento por medio de un sistema de saberes (que incluye la sintaxis) mas 0 ·1 ALumnOrS menos especffico. Los instrumentos culturales de reconocimiento y or- Situaci6n didactica (como herramienta) ganizaci6n de los conocimientos son los saberes, ob- jetos de una actividad especffica de las instituciones N. de T.: Ya se hizo una referencia a esta nocion en el item 2 de la seccion A, aJ describir las situaciones de accion.
  26. 26. o de una actividad de instituciones especfficas25• La Para un observador, las posiciones del profesor y del comprensi6n es la movilizaci6n concomitante de sa- alumno frente a un medio pueden ser muy diferentes. En beres y conocimientos y la evocaci6n de situaciones, 198626, introduje una nueva noci6n de la teorfa de las situa- no directamente necesarias para la decisi6n en la ac- ciones: la estructuraci6n del medio. ci6n en curso, pero que se suponen utiles para el con- Esta estructura, presentada hace unos afios, fue estudia- trol de los conocimientos que regulan esa decisi6n. da y profundizada, entre otros, por Margolinas27• EI sujeto El equilibrio general de los diferentes repertorios a profesor puede identificarse segun dos posiciones (profesor traves de los cuales un sujeto regula sus relaciones que prepara su clase, profesor ensefiando) y el alumno pue- con un medio obedece a principios de ergonomfa. de adoptar cinco posiciones diferentes, de modo que pue- El "sentido" de un conocirniento es una imagen cultural den distinguirse cinco medios con los que puede interactuar de la comprensi6n, un medio de reconocerla y gestio- segun diferentes modos. Las interacciones de un sujeto -sea narla, asf como el saber es un medio de reconocimiento profesor 0 alumno- en los diferentes niveles de un medio y gesti6n de los conocimientos, medio personal 0 insti- son distintas: toma decisiones (segun reglas, estrategias, tucional y por 10 tanto variable segun las instituciones. conocimientos), actua en funci6n de las informaciones que El sentido puede entonces descomponerse segun "tipos recibe e interpreta, etc. didacticos" de conocirnientos en una componente se- La lectura de la figura 8 comenzando por el interior per- nuintica, por la cual el conocirniento movilizado est~ mite distinguir que la situaci6n de un nivel se convierte en relacionado con un campo de situaciones, una compo- el medio para un sujeto exterior. Asf, el medio material yel nente sintactica que la relaciona con diferentes reper- actor objetivo constituyen la situaci6n objetiva, la cual se torios (en particular, 16gicos y cientfficos) que rigen la convierte en medio objetivo para el sujeto que actua (S4). manipulaci6n, y en una componente pragmatica que describe las caracterfsticas de utilizaci6n. 55 actor objetivo - La acci6n de un profesor comprende una fuerte 54 sujeto que actlia Medio material S1 53 sujeto del aprendizaje componente de regulaci6n de los procesos de adqui- Situaci6n objetiva 52 alumno generico sici6n del alumno. EI alumno mismo aprende por re- Sit. de referencia 51 sujeto universal gulaciones de sus relaciones con su medio. Las regu- Sit. de aprendizaje P2 profesor enseiiando laciones cognitivas conciernen un medio adidactico Sit. didktica l l SZ0f-70 PZ P1 profesor que pre para su clase donde una parte de la estructura esta determinada Sit. metadidactica - ~ observa 0 actlia sabre por la organizaci6n que decide el profesor.----25 N. de 1~: Vease item 3, secci6n A. La distincion entre "conocimien- N. de T.: Yease Brousseau (1986b). tos" y "saberes" se introdujo cuando se planteo la necesidad de las N. de T.: Yease Brousseau (1988b y 1990b), Margolinas y Stein- situaciones de institucionalizacion. bring (1994), Fregona y Orus (2005).

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