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### Dericavion e integracion de funciones

• 1. República Bolivariana de Venezuela. Ministerio del poder Popular para la Educación. I.U.P. Santiago Mariño. EXTENSIÓN BARCELONA EDO. ANZOÁTEGUI ESCUELA: INGENIERÍA MANTENIMIENTO MECÁNICO MATERIA: matemática 3 Profesor (a): Pedro Beltrán Alumno Algara, Diego CI 2730544 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
• 2. Índice 1. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3 2. Derivadas parciales 3. Diferencial total. 4. Gradientes 5. Divergencia y Rotor 6. Plano tangente y recta normal 7. Regla de la cadena 8. Jacobiano. 9. Extremos relativos 10. Multiplicadores de Lagrange 11. Integral en línea 12.Teorema de Gauss 13.Teorema de Ampere 14.Teorema de Stoke 15.Teorema de Green
• 3. Introducción Introducir al estudio de las funciones de varias variables, es decir, del tipo 𝑓 ∶ 𝑋 ⊂ 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚, donde R es el conjunto de números reales. Se distingue especialmente el caso m = 1, en el cual la función se llama escalar, del caso general, en el que la función se llama vectorial. Se ha buscado que la exposición sea clara evitando la abstracción innecesaria. Por ejemplo, en el caso de funciones escalares, se han preferido demostraciones para funciones definidas en subconjuntos de R 2 que permiten llamar a las variables x e y, en vez de pruebas en R n en general que obligan a usar subíndices y puntos suspensivos 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛. Creemos que esto ayuda a quienes estudian el tema por primera vez a concentrarse en las ideas que están en la demostración, minimizando las complicaciones que genera trabajar con notaciones más complicadas. Sin embargo, en todos los casos se dan los enunciados generales de los teoremas, para que se puedan aplicar en cualquier situación y no solo en R 2 . Es de notar que las mismas pruebas que vemos en R 2 valen en general, el lector interesado puede hacer el ejercicio de escribirlas por sí mismo
• 4. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3 𝑠𝑒𝑎 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ 𝑦 𝐿 ∈ ℝ, 𝑝 ∈ ℝ. 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 lim 𝑥→𝑝 𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑑𝑜𝜀 > 0 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥 − 𝑝 < 𝛿 Esto es una generalización del concepto de límite de funciones de una variable a funciones de varias variables, una vez se reemplace la distancia ∥ 𝑒𝑛 ℝ 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ∥∥ 𝑒𝑛 ℝ𝑛 .Se observa que la interpretación es la misma, 𝑒. 𝑗. , 𝑥 − 𝑦 es la distancia de x a y 𝑒𝑛 ℝ 𝑦 𝑥 − 𝑦 es la distancia de x a y en 𝑅𝑛 .
• 5. Sea 𝑓 ∶ 𝑅𝑛 ⟶ 𝑅 y supongamos que existen dos números, L1 y L2 que satisfacen la anterior definición de límite. Es decir, 𝐿1 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑝 𝑓(𝑥) y 𝐿2 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑝 𝑓(𝑥)Entonces L1 = L2 El cálculo de límites de funciones de varias variables es más complicado que el cálculo de límites de funciones con una sola variable Consideremos le función Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
• 6. Vamos a demostrar que En la definición de límite anterior tomamos 𝐿 = 0, 𝑝 = (0; 0) y tenemos que probar que dado " 𝜀 > 0 existe algún 𝛿 > 0 tal que 𝑓 𝑥, 𝑦 < 𝜀 𝑆𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥, 𝑦 < 𝛿 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝜀 > 0 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝛿 = 𝜀 > 0. 𝑠𝑖 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 0 < 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿 = 𝜀 Entonces 𝑥2 + 𝑦2 < 𝜀 𝑦 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 Ya que 𝑐𝑜𝑠(𝑧) ≤ 1 para cualquier 𝑧 ∈ ℝ. El razonamiento que acabamos de hacer demuestra que 𝑙𝑖𝑚𝑥;𝑦 → 0;0 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.
• 7. Derivadas parciales Las derivadas parciales son derivadas direccionales según las direcciones 𝑒1 = (1,0) 𝑦 𝑒2 = (0,1) representan la razón de cambio de una función f con respecto a una de sus variables independientes manteniendo constantes las demás. Este proceso es conocido con el nombre de derivación parcial. Definición (Derivadas parciales). Si 𝑧 = 𝑓 (𝑥 , 𝑦) es una función de dos variables se define la derivada parcial de f en el punto (a , b)  con respecto a x como  con respecto a y como siempre que los límites anteriores existan.
• 8. Ejemplo 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑃𝑎𝑙𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 1,1 𝑢 = 0,1 𝑥 = 1 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑃𝑎𝑙𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 1,1 𝑢 = 1,0 𝑥 = 1
• 9. Diferencial total Al igual que con las funciones de una variable, un incremento dx y dy en las variables independientes produce un cambio ∆z en la variable dependiente z. ) ∆𝒛 = 𝒇 (𝒙 + 𝒅𝒙 , 𝒚 + 𝒅𝒚) − 𝒇 (𝒙 , 𝒚 En analogía con la diferencial de una función de una variable independiente ( 𝑑𝑓 = 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥 ), definimos la diferencial de una función de dos variables. Sea z = f (x,y)una función para la cual existen las derivadas parciales 𝑓𝑥 𝑦 𝑓𝑦. Sean ∆𝑥 𝑦 ∆𝑦 cualquier par de números no cero. Entonces: 1) Las diferenciales de las variables independientes son 𝑑𝑥 = ∆𝑥, 𝑑𝑦 = ∆𝑦 2) La diferencial total de la función es 𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑑𝑦
• 10. Ejemplos 1. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙 + 𝒚 𝑋0 = 1 𝑌0 = 1 𝑓(1, 1) = 2 𝑑𝑥 = 0.5 𝑑𝑦 = 0.6 𝑓(1.5, 1.6) = 3.1 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎𝑧 ∶ 𝑓(𝑥𝑜 + 𝑑𝑥, 𝑦𝑜 + 𝑑𝑦) − 𝑓(𝑥𝑜, 𝑦𝑜) = 1.1 2. 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 𝑥𝑜 = 1 𝑌𝑜 = 1 𝑓(1, 1) = 0 𝑑𝑥 = 0.2 𝑑𝑦 = −0.3 𝑓(1.2, 0.7) = 0.6 ∆𝑧 = 𝑓(𝑥𝑜 + 𝑑𝑥, 𝑦𝑜 + 𝑑𝑦) − 𝑓(𝑥𝑜, 𝑦𝑜) = 0.6 𝑑𝑧 = 0.3𝑥 + 0.2(2𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑧 = 0.5 Este ejemplos se calculan ∆𝑧 𝑦 𝑑𝑧 sin graficar la superficie
• 11. 𝑆𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜. 𝑃𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑒𝑙 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)𝑒𝑠 Gradientes Se denota por ∇f . Es decir
• 14. El gradiente de f es, por tanto, una función vectorial5 de las mismas variables reales que f. Si una función vectorial es el gradiente de una función escalar, la función escalar se llama potencial de la función vectorial. Por tanto la función f es el potencial de la función vectorial 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 = 𝛻𝑓 . Con la nueva notación resulta que el operador 𝛻 se puede escribir con cualquiera de los tres miembros de la igualdad Y el gradiente de f con cualquiera de los siguientes cuatro miembros:
• 15. Divergencia y Rotor Divergencia Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto ∈ ⊆ ℝ𝒏 y consideremos sus coordenadas 𝑭 = (𝑭𝟏, 𝑭𝟐, . . . , 𝑭𝒏). Supongamos que F es diferenciable en un punto ∈ 𝛀, lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares 𝑭𝒌, 𝒄𝒐𝒏 𝒌 = 𝟏, 𝟐, . . . , 𝒏, sean diferenciables en el punto a. De hecho cada vector 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝛁𝑭𝒌(𝒂) es la k-ésima fila de la matriz jacobiana de F en a. Pues bien, la traza de dicha matriz es, por definición, la divergencia del campo F en el punto a, y se denota por divF(a). Así pues, se tendrá
• 16. Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de 𝛀 tenemos una función 𝒅𝒊𝒗𝑭 ∶ 𝛀 → ℝ que en cada 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒙 ∈ 𝛀 toma el valor div F(x) de la divergencia en dicho punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones, válida en todo punto de 𝛀:  Para un campo vectorial plano (𝒙, 𝒚) → 𝑭(𝒙, 𝒚) = 𝑷 𝒙, 𝒚 , 𝑸 𝒙, 𝒚 , que sea diferenciable en un punto (𝒙𝟎, 𝒚𝟎), tendremos
• 17. Cuando F sea diferenciable en un abierto ∈ ⊆ ℝ𝟐 podremos escribir • Análogamente, si 𝑭 = 𝑷𝒊 + 𝑸𝒋 + 𝑹𝒌 es un campo vectorial en el espacio, diferenciable en un 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎 ), tendremos y cuando F sea diferenciable en un abierto ∈ ⊆ ℝ𝒏 podremos escribir
• 18. Ejercicio Hallar la divergencia del siguiente campo vectorial Solución. Usando la fórmula de la divergencia en el plano
• 19. Rotor Rotacional en el espacio. 𝑺𝒆𝒂 𝑭 = (𝑷, 𝑸, 𝑹) un campo vectorial definido en un abierto 𝛀 ⊆ 𝑹𝟑 y diferenciable en un punto a ∈ 𝛀 . Del mismo modo que la divergencia div F(a) se obtiene como el producto escalar simbólico 𝛁. 𝑭(𝒂) , podemos pensar en el producto vectorial, también simbólico,𝛁. 𝑭 𝒂 . El vector que así se obtiene es, por definición, el rotacional del campo F en el punto a y se denota también por rot F(a). Así pues: Cuando F sea diferenciable en todo el abierto 𝛀 podremos escribir:
• 20. Ejercicio Hallar la rotacional del siguiente campo vectorial Solución. Usando la fórmula de la rotacional 𝐹 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 34𝑥𝑦 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑖 + 𝑥𝑧𝑗𝑗 + +(4𝑦 − 8𝑥)𝑘 𝑟𝑜𝑡𝐹 x, y, z = 𝛻 x 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 𝑗 𝑛𝑏𝑠𝑝𝑘; 𝑘 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝑧 34𝑥𝑦 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥𝑧 4𝑦 − 8𝑥
• 21. Plano tangente y recta normal Plano tangente Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P Plano Tangente a una superficie Sea z= f (x , y) una función escalar con derivadas parciales continuas en (a , b) del dominio de f . El plano tangente a la superficie en el punto P( a, b, f(a, b)) es el plano que pasa por P y contiene a las rectas tangentes a las dos curvas
• 22. Ecuación del Plano tangente Dirección de un vector normal del plano tangente a la superficie en P es:
• 23. Recta normal Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente Sea una función escalar con derivadas parciales continuas en (a, b) del dominio de f. La recta que pasa por el punto P( a, b, f (a, b)) en la dirección del vector Se conoce como recta normal a la superficie en el punto P.
• 24. Ecuación de la recta normal
• 25. Plano Tangente y recta normal a una superficie Sea S una superficie de ecuación dada por: Sea P (a, b, c) un punto de S Sea C una curva contenida en S que pasa por P, definida por la función vectorial Entonces F sobre los puntos de la curva vale: Si F es diferenciable y existen las derivadas de x, y, z con respecto a t, de la regla de la cadena se sigue:
• 26.
• 27. Sea F diferenciable en un punto P (a, b, c) de la superficie S dada por El plano que pasa por P y es normal aÑF (a,b, c) r se llama el plano tangente a S en P. La recta que pasa por P en la dirección de ÑF(a,b, c) r se llama la recta normal a S en P. Sea F diferenciable en un punto P (a, b, c), una ecuación del plano tangente a la superficie S dada por F(x, y, z) = 0 en (a, b, c) es F (a,b,c)(x−a)+F (a,b,c)(y−b)+F (a,b,c)(z−c) =0
• 28. Sea F diferenciable en un punto P (a, b, c), una ecuación de la recta normal a la superficie S dada por F(x, y, z) = 0 en (a, b, c) es 𝒙 − 𝒂 ) 𝑭𝒙(𝒂, 𝒃, 𝒄 = 𝒚 − 𝒃 𝑭𝒚(𝒂, 𝒃, 𝒄 = 𝒛 − 𝒄 ) 𝑭𝒛(𝒂, 𝒃, 𝒄
• 29. Regla de la cadena Para funciones de una variable la propiedad conocida como regla de la cadena nos decía que si z = f (y) e y = g(x) entonces z = f (g(x)), verificándose que La siguiente propiedad nos proporciona una generalización de la regla de la cadena para funciones de varias variables Sean las funciones 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑚𝑦 𝑓: 𝑉 ⊂ ℝ𝑚 → ℝ𝑝, 𝑐𝑜𝑚 𝑈 𝑦 𝑉 abiertos y tales que 𝑔 𝑈 ⊂ 𝑉 Consideremos la funcion ℎ: 𝑈 → ℝ𝑛 dada por ℎ 𝑋 = 𝑓 0 𝑔 𝑋 = 𝑓(𝑔 𝑋 ) Supongamos que g es diferenciable en 𝑋0 ∈ 𝑈 𝑦 𝑓 𝑒𝑠 diferenciable en 𝑌0 = 𝑔(𝑋0) ∈ 𝑉. Entonces ℎ = 𝑓 𝑜 𝑔: 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 → ℝ𝑝 es diferenciable en 𝑋0 𝐷ℎ 𝑋0 = 𝐷 𝑓 𝑜 𝑔 𝑥0 = 𝐷𝑓(𝑌0) ∙ 𝐷𝑔(𝑋0) Donde " ∙ " representa el producto de matrices
• 31.
• 32. Regla de la cadena. Primer caso particular Sea 𝑔: ℝ → ℝ3 dada por 𝑔 𝑡 = 𝑡, 𝑡2, 𝑡3 y sea 𝑓: ℝ3 → ℝ dada por 𝑓: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2. Verificar la regla de la cadena f o g Solución: Por el camino directo tenemos 𝒉 𝒕 = 𝒇 𝒐 𝒈 𝒕 = 𝒇 𝒈 𝒕 = 𝒇 𝒕, 𝒕𝟐, 𝒕𝟑 = 𝒕𝟐 + (𝒕𝟐)𝟐 + (𝒕𝟑)𝟐 = 𝒕𝟐 + 𝒕𝟒 + 𝒕𝟔 por lo que 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 2𝑡 + 4𝑡3 + 6𝑡5 Por otro lado, utilizando la regla de la cadena se tiene 𝑑ℎ 𝑑𝑡 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 ∙ 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 ∙ 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 2𝑥 ∙ 1 + 2𝑦 ∙ 2𝑡 + 2𝑧 ∙ 3𝑡2 = 2𝑥 + 2𝑦𝑡 + 6𝑧𝑡2 = 2𝑡 + 4𝑡3 + 6𝑡5 El siguiente caso de la regla de la cadena que vamos a estudiar es, tal vez, el que más se nos presente a lo largo del curso. Su aplicación es útil siempre que realicemos un cambio de variables en el espacio; por ejemplo, de cartesianas a esféricas o de cartesianas a cilíndricas
• 33. Regla de la cadena. Segundo caso particular Sea ahora 𝑓: ℝ3 → ℝ 𝑦 𝑔: ℝ3 → ℝ3 con 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑤(𝑥. 𝑦. 𝑧)) Sea ℎ: ℝ3 → ℝ la composición f o g definida por ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑤(𝑥. 𝑦. 𝑧)) entonces se tiene que de una aplicando el caso general de la regla de la cadena tenemos
• 34. Jacobiano. En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi Matriz Jacobiana La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera 𝐹: ℝ 𝑛 → ℝ 𝑚 continua, es decir 𝐹 ∈ 𝐶(𝑘) (ℝ𝑛 , ℝ𝑚 ) se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal 𝜆 ∈ ℒ(ℝ𝑛 , ℝ𝑚) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑙𝑖𝑚𝑥−𝑦 →0 𝐹(𝑥) − 𝐹 𝑦 ) − 𝜆(𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 = 0
• 35. Función escalar Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar 𝐹: ℝ𝑛 → ℝ𝑚 . En este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la matriz jacobiana como: 𝝀(𝒙) ≔ 𝛁𝑭 𝒙 = 𝛛𝑭 𝒙 𝛛𝒙𝟏 ⋯ 𝛛𝑭 𝒙 𝛛𝒙 𝒏 Funciones Paramétricas En algunos casos la ecuación de una función o de una relación no está dada en la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑜 𝑓(𝑥,𝑦) = 0, como en las igualdades 𝑦 = 5𝑥2 + 3𝑥 𝑜 𝑥2 + 𝑦2 = 4 sino que está determinada por un par de ecuaciones en términos de una misma variable
• 36. Función vectorial Supongamos 𝐹: 𝑅𝑛 → 𝑅𝑚 es una función que va del espacio euclidiano n- dimensional a otro espacio euclidiano m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones reales: ) 𝒚𝟏(𝒙𝟏, . . . , 𝒙𝒏), . . . , 𝒚𝒎(𝒙𝟏, . . . , 𝒙𝒏 Las derivadas parciales de estas (si existen) pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz Jacobiana de 𝐹: 𝜕𝑦1 𝜕𝑥1 ⋯ 𝜕𝑦1 𝜕𝑥𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕𝑦𝑚 𝜕𝑥1 ⋯ 𝜕𝑦𝑚 𝜕𝑥𝑛 Esta matriz esta notada de diversas maneras: 𝐽 𝐹 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 𝜕 (𝑦1, … , 𝑦𝑚 ) 𝜕( 𝑥11, … , 𝑥𝑛) 𝐷𝐹 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 𝛻𝐹(𝑥1, … , 𝑥 𝑛)
• 37. Extremos relativos Teorema: extremos relativos: Sean f una función de clase C2 en un abierto del plano que es entorno del punto a, siendo a un punto crítico. Llamamos a las derivadas parciales de f en a del siguiente modo: A=D1,1f(a) B=D1,2f(a) C=D2,2f(a) Y definimos el Hessiano de f en a como 𝑯 = 𝑨 ⋅ 𝑪 − 𝑩𝟐 El Hessiano es el determinante de la matriz Hessiana. Entonces se cumple que  Si H > 0 y A< 0, entonces f tiene un máximo local en a  Si H > 0 y A > 0, entonces f tiene un mínimo local en a  Si H < 0, entonces f tiene un punto de silla en a Un punto de silla es un punto donde el gradiente de la función es nulo. Es un punto donde la superficie presenta un máximo con respecto a una dirección y un mínimo con respecto a la dirección perpendicular.
• 38. Extremos relativos Una aplicación clásica del Teorema Local de Taylor es el estudio de los extremos relativos de una función escalar. Aunque la analogía con el caso de una variable es total, hay algunas diferencias que surgen de manera natural por el paso a una dimensión superior. Trabajaremos con funciones escalares, definidas sobre un conjunto A ⊂ R k . Se dirá que la función f : A ⊂ R k → R presenta un mínimo (máximo) absoluto en el punto a ∈ A si f(x) ≥ f(a) (f(x) ≤ f(a)) para todo x ∈ A. Y se dirá que f presenta extremo relativo en a, si existe un entorno V de a contenido en A, tal que la diferencia f(x)−f(a) no cambia de signo cuando x ∈ V : Máximo Si f(x) − f(a) ≤ 0. Mínimo Si f(x) − f(a) ≥ 0. Luego sólo cuando a ∈ o A, es decir cuando f esté definida en alguna bola centrada en a, podremos considerar la cuestión de si f presenta un extremo relativo en a
• 39. Multiplicadores de Lagrange En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero
• 40. EL METODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}. Se definen s restricciones 𝒈𝒌 (𝒙) = 𝟎, 𝒌 = 𝟏,...,s, y se observa (si las restricciones son satisfechas) que ℎ 𝑥, 𝜆 = 𝑓 − 𝑘=1 𝑠 𝜆𝑘𝑔𝑘 Se procede a buscar un extremo para h 𝜕ℎ 𝜕𝑥𝑖 = 0 lo que es equivalente a 𝜕𝑓 𝜕𝑥𝑖 𝑘 𝑠 𝜆𝑘 𝜕𝑔𝑘 𝜕𝑥𝑖 Los multiplicadores desconocidos λk se determinan a partir de las ecuaciones con las restricciones y conjuntamente se obtiene un extremo para h que al mismo tiempo satisface las restricciones (i.e. gk=0), lo que implica que f ha sido optimizada
• 41. Integrales dobles y triples. Integral en línea Integrales dobles Sea una función de dos variables f = f(x, y) , definida en un recinto cerrado S de R2, y consideremos que subdividimos este recinto S en pequeños rectángulos de longitudes Dxi, Dyi (se dice que hemos realizado una partición del recinto cerrado S). En cada uno de estos trocitos de superficie DSi, tomamos un punto interior, Pi(xi,yi); para definir la integral doble de f(x, y) sobre el recinto cerrado S, debemos hacer una partición muy fina, es decir, con todos estos elementos de superficie DSi tendiendo a anularse, y tendiendo su número a ser infinito, entonces:
• 43. Ejemplo 1: Hallar la integral 4 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Donde (S) es el dominio encerrado entre las líneas: Solución: La recta x=0 representa al eje vertical OY, la recta x = 1 es la vertical (línea verde en la gráfica). La recta y=0 es el eje horizontal OX, mientras que la recta y=3/2 es la de color violeta El recinto cerrado (S) sobre el que se realiza la integral es el cuadrilátero rectangular azul celeste de la figura. A la hora de hacer la integración fijémonos que la variable (primera) x varía entre los puntos 0 y 1, mientras que la variable (segunda) y varía entre las líneas: y=0, y=3/2: La integración es: En primer lugar se realiza la integral interior, en este caso la que es respecto a y (considerando las x como constantes), aplicando a la primitiva la regla de Barrow. Tras esto nos quedará una función dependiente de x que se integra y se aplica Barrow:
• 44. Integrales triples. Sea una función de tres variables f = f(x, y, z) , definida en un recinto tridimensional cerrado V de R3. Hacemos una partición muy fina de este recinto V, mediante pequeños elementos de volumen DVi, tomando en cada uno de ellos un punto interior Pi(xi, yi, zi) , tal como se aprecia en la figura Estos elementos DVi, al ser extremadamente pequeños pueden ser considerados como pequeñas 'cajitas' de volumen: DVi = Dxi. Dyi. Dzi, La integral de la función f(x, y, z) en el recinto V viene dada por la siguiente expresión:
• 45. Propiedades: Para la propiedad (3) hay que considerar el recinto volumétrico V subdividido en dos partes volumétricas disjuntas V1 y V2
• 46. Ejemplo 4: Hallar Donde (V) es el recinto limitado por las siguientes superficies: x = 0, y= 0, z = 0, x + y + z = 1. Solución: El recinto se halla dibujado a la izquierda: las superficies x = 0, y= 0, z = 0, son las tres paredes del triedro principal, mientras que la superficie x + y + z = 1 es el plano que corta a OX en x=1, al eje OY en y=1, al eje OZ en z=1. Este plano también se puede expresar en su forma segmentaria como: Entonces los límites de integración quedan delimitados así: Para la coordenada x (puntos): x = 0, x = 1. Para la coordenada y (líneas): y = 0, y = 1-x (recta x+y=1). Para la coordenada z (superficies): z = 0 (suelo), z = 1-x-y (plano inclinado). Por lo tanto, la integral será:
• 47. En primer lugar hacemos la integral de z: sustituimos este resultado en la integral de y e integramos: en esta última integral hemos llamado k a la expresión constante: 1-x Finalmente, el resultado obtenido en esta integral, (1-x)3/3, se junta a la integral de x:
• 48. Integral en línea En matemáticas, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva Integral de línea de un campo escalar Sea 𝐶 ⊂ ℝ𝑛 una curva suave a trozos parametrizada por una función 𝒓: 𝒂, 𝒃 ⟶ ℝ𝑛 , si 𝑓: 𝐶 ⟶ ℝ es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar 𝒇 sobre 𝑪 (también llamada integral de trayectoria), está definida como 𝑐 𝑓 𝑑𝑠 = 𝑎 𝑏 𝑓(𝑟 𝑡 ) ) 𝑟(𝑡 𝑑𝑡 La función 𝑟: 𝑎, 𝑏 ⟶ ℝ𝑛 es una parametrización biyectiva arbitraria de 𝐶 donde 𝒓 𝒂 𝒚 𝒓(𝒃) son los puntos iniciales y finales respectivamente. En particular, cuando 𝑓 = 1 entonces obtenemos la longitud de la curva 𝐶 esto es 𝐿 𝐶 = 𝑐 𝑑𝑠 = 𝑎 𝑏 ) 𝑟(𝑡 𝑑𝑡 Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de 𝐶 porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de 𝐶, esto es, si 𝐶 es una curva simple orientada y – 𝐶 denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces 𝑐 𝑓 𝑑𝑠 = −𝑐 𝑓 𝑑𝑠
• 49. Integral de línea de un campo vectorial Sean𝐹: 𝑈 ⟶ ℝ𝑛 un campo vectorial continuo en una región 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 𝑦 𝐶 ⊂ 𝑈 una curva suave a trozos parametrizada por una función 𝑟: 𝑎, 𝑏 ⟶ ℝ𝑛 , la integral de línea del campo vectorial F sobre C en la dirección de r, está definida como. 𝑐 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑎 𝑏 ) 𝐹(𝑟 𝑡 ) ∙ 𝑟(𝑡 𝑑𝑡. Donde ∙ es el producto escalar y la función 𝑟: 𝑎, 𝑏 ⟶ ℝ𝑛 es una parametrización biyectiva arbitraria de C donde 𝑟 𝑎 𝑦 𝑟(𝑏) son los puntos iniciales y finales respectivamente. Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de C, no son independientes de la orientación de C, para este tipo de integrales, si C es una curva simple orientada y −𝐶 denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces 𝑐 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = − −𝑐 𝐹. 𝑑𝑟
• 50. Teorema de Gauss El teorema de Gauss nos dice que las posibles raíces de un polinomio se obtienen mediante del cociente entre los divisores del término independiente y los divisores del coeficiente principal (coeficiente del término de mayor grado). Por ejemplo, imaginemos que tenemos un polinomio de grado 4: Sus posibles raíces serían todos los cocientes de cada divisor de el coeficiente e y cada divisor del coeficiente a Tendríamos que ir realizando los cocientes de todas las combinaciones de cada uno de los divisores del término independiente entre cada divisor del coeficiente principal. Para calcular cuales de estas posibles raíces corresponden a las raíces del polinomio, aplicamos el teorema del resto, es decir, serán raíces aquellas que hagan que el valor del polinomio sea cero. Donde a es el coeficiente principal y los diferentes x1, x2, x3… son las raíces del polinomio. Te recuerdo que el número de raíces de un polinomio coincide con el grado de ese polinomio.
• 51. Teorema de Ampere La ley que nos permite calcular campos magnéticos a partir de las corrientes eléctricas es la Ley de Ampère. Fue descubierta por André - Marie Ampère en 1826 y se enuncia: 𝐵𝑑𝑙 = 𝜇0𝐼𝑇 La integral del primer miembro es la circulación o integral de línea del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada, y:  μ0 es la permeabilidad del vacío  dl es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto  IT es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la trayectoria, y será positiva o negativa según el sentido con el que atraviese a la superficie
• 52. Teorema de Stoke El Teorema de Stokes establece que el cálculo de la integral de línea del campo vectorial F en la dirección tangencial de la curva C, es igual a la integral sobre la superficie S de la circulación del campo F alrededor de la frontera, en la dirección de la componente normal unitaria a la superficie, siendo la curva C es una curva orientada positivamente, de tal manera que es la frontera de la superficie orientada positivamente S. Este teorema establece una relación entre una integral de línea y una de superficie, En que S es una superficie abierta, y C es la cueva cerrada que limita a dicha superficie. La dirección de recorrido de la curva C determina la orientación del vector, normal a la superficie
• 53. Teorema de Green El teorema de Green relaciona la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva. Sea C una curva cerrada simple regular a trozos, positivamente orientada, en el plano ℝ𝟐 , y sea D la unión de la región interior a C con la propia curva C. Sea 𝐹 = (𝑃, 𝑄) ∶ 𝐷 ⟶ ℝ2 un campo vectorial de clase C1. Entonces se tiene que
• 54. Conclusión El término integral para funciones en múltiples variables es mucho más diverso que ese para funciones en una variable. La integral indefinida de una variable corresponde. en el caso multidimensional, la integración de un campo vectorial, en lugar de ciertos. Las integrales (reales o impropias) ocurren integrales de rango, integrales de curva y integrales de superficie. Una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática
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