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正の奇数に対する
ゼータ定数の値について
Toshiki Takahashi
2015/10/31
dgbjdjg@hotmail.co.jp
.
6
)2(
2

ζ
第3回日曜数学会 2
オイラー
第3回日曜数学会 3
)3(ζ
)4(ζ
)17(ζ
)30(ζ
ゼータ関数に整数を
代入したもの
→ゼータ定数
第3回日曜数学会 4
小史
第3回日曜数学会 5
ヤコブ・ベルヌーイ 関孝和
第3回日曜数学会 6
.
)!1(
)1()1()( 1
n
B
nn nn

 
ζ
1n のときに限る
第3回日曜数学会 7
ラマヌジャン
第3回日曜数学会 8
第3回日曜数学会 9
ロジェ・アペリ
第3回日曜数学会 10
アペリの証明
ζ(2n)はすべてのnに対して
無理数(リンデマン 1882)
↓
ζ(2)とζ(3)は無理数である
(アペリ 1978)
第3回日曜数学会 11
ワディム・ズディリン
第3回日曜数学会 12
ズディリンの証明
ζ(2)とζ(3)は無理数である
を再証明
↓
ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)の
少なくとも1つは無理数
(ズディリン 2001)
第3回日曜数学会 13
辻 順平
第3回日曜数学会 14
ζ(s)を触った
ζ(s)を食べた
ζ(s)を印刷した
第3回日曜数学会 15
計算
第3回日曜数学会 16
.
)log(
)(
a
ni
iaia
n
e
nnn



θ
θθ
第3回日曜数学会 17
.
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)(
1
1
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









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



n
aa
n
a
ni
i
n
n
n
n
n
e
ia
θθ
θζ
θ
第3回日曜数学会 18
実験
第3回日曜数学会 19
Excelで計算
ζ(a+θi) の
a に自然数 2,3,...を
θ に 0 を 代入し
n=200,000 までの
総和をとった。
第3回日曜数学会 20
結果
第3回日曜数学会 21
3...1.00200839)9(
6...1.00407735)8(
7...1.00834927(7)
2...1.01734306)6(
5...1.03692775(5)
4...1.08232323(4)
3...1.20205690...
1...1.00000000)30(
8...1.00003058(15)
8...1.00006124(14)
3...1.00012271(13)
7...1.00024608(12)
9...1.00049418(11)
5...1.00...
結論
第3回日曜数学会 24
.1)(lim 

n
n
ζ
第3回日曜数学会 25
自然数から正の実数に
拡張しても成立する
第3回日曜数学会 26
71.00834927(7)
...1.01407286)(2
5...1.03692775(6)
4...1.08232323(4)
...81.17624173)(
3...1.20205690)3(
...41.26900960)(
.....
.1)(lim 

a
a
ζ
第3回日曜数学会 28
展開
第3回日曜数学会 29
.)(
x
n
n

ζ
第3回日曜数学会 30
).(logloglog nnx ζ 
第3回日曜数学会 31
.1)(lim 

n
n
ζ
第3回日曜数学会 32
.1lim)(lim 
 x
n
n
nn

ζ
第3回日曜数学会 33
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.1)( 
x
n
n
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ζ
第3回日曜数学会 34
.)(
x
a
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第3回日曜数学会 35
,0≫n
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x
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
ζ
第3回日曜数学会 36
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第3回日曜数学会 37
第3回日曜数学会 38
第3回日曜数学会 39
.1)(lim 

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ζ
第3回日曜数学会 40
,
2
1
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宿題
第3回日曜数学会 41
?)12( nζ
第3回日曜数学会 42
ヒント
第3回日曜数学会 43
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2
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)12(lim 







n
n
n
ζ
ζ
第3回日曜数学会 44
1...1.00000000)30(
8...1.00003058(15)
8...1.00006124(14)
3...1.00012271(13)
7...1.00024608(12)
9...1.00049418(11)
5...1.00...
3...1.00200839)9(
6...1.00407735)8(
7...1.00834927(7)
2...1.01734306)6(
5...1.03692775(5)
4...1.08232323(4)
3...1.20205690...
2.0023538614,n
2.0035429713,n
2.0053865512,n
2.0081881611,n
2.0125397310,n
2.019347969,n
2.030158448,n
2.047718427,n
2.077...
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1)2(
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
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n
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第3回日曜数学会 48
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
n
n
n
ζ
ζ
第3回日曜数学会 49
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正の奇数に対するゼータ定数の値について

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正の奇数に対するゼータ定数の値について

  1. 1. 正の奇数に対する ゼータ定数の値について Toshiki Takahashi 2015/10/31 dgbjdjg@hotmail.co.jp
  2. 2. . 6 )2( 2  ζ 第3回日曜数学会 2
  3. 3. オイラー 第3回日曜数学会 3
  4. 4. )3(ζ )4(ζ )17(ζ )30(ζ ゼータ関数に整数を 代入したもの →ゼータ定数 第3回日曜数学会 4
  5. 5. 小史 第3回日曜数学会 5
  6. 6. ヤコブ・ベルヌーイ 関孝和 第3回日曜数学会 6
  7. 7. . )!1( )1()1()( 1 n B nn nn    ζ 1n のときに限る 第3回日曜数学会 7
  8. 8. ラマヌジャン 第3回日曜数学会 8
  9. 9. 第3回日曜数学会 9
  10. 10. ロジェ・アペリ 第3回日曜数学会 10
  11. 11. アペリの証明 ζ(2n)はすべてのnに対して 無理数(リンデマン 1882) ↓ ζ(2)とζ(3)は無理数である (アペリ 1978) 第3回日曜数学会 11
  12. 12. ワディム・ズディリン 第3回日曜数学会 12
  13. 13. ズディリンの証明 ζ(2)とζ(3)は無理数である を再証明 ↓ ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)の 少なくとも1つは無理数 (ズディリン 2001) 第3回日曜数学会 13
  14. 14. 辻 順平 第3回日曜数学会 14
  15. 15. ζ(s)を触った ζ(s)を食べた ζ(s)を印刷した 第3回日曜数学会 15
  16. 16. 計算 第3回日曜数学会 16
  17. 17. . )log( )( a ni iaia n e nnn    θ θθ 第3回日曜数学会 17
  18. 18. . )logsin()logcos( )( 1 1 )log(                n aa n a ni i n n n n n e ia θθ θζ θ 第3回日曜数学会 18
  19. 19. 実験 第3回日曜数学会 19
  20. 20. Excelで計算 ζ(a+θi) の a に自然数 2,3,...を θ に 0 を 代入し n=200,000 までの 総和をとった。 第3回日曜数学会 20
  21. 21. 結果 第3回日曜数学会 21
  22. 22. 3...1.00200839)9( 6...1.00407735)8( 7...1.00834927(7) 2...1.01734306)6( 5...1.03692775(5) 4...1.08232323(4) 3...1.20205690)3( ...644929067.1)2(         ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ 第3回日曜数学会 22
  23. 23. 1...1.00000000)30( 8...1.00003058(15) 8...1.00006124(14) 3...1.00012271(13) 7...1.00024608(12) 9...1.00049418(11) 5...1.00099457)10(        ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ 第3回日曜数学会 23
  24. 24. 結論 第3回日曜数学会 24
  25. 25. .1)(lim   n n ζ 第3回日曜数学会 25
  26. 26. 自然数から正の実数に 拡張しても成立する 第3回日曜数学会 26
  27. 27. 71.00834927(7) ...1.01407286)(2 5...1.03692775(6) 4...1.08232323(4) ...81.17624173)( 3...1.20205690)3( ...41.26900960)( ...644929067.1)2(         ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ   e 第3回日曜数学会 27
  28. 28. .1)(lim   a a ζ 第3回日曜数学会 28
  29. 29. 展開 第3回日曜数学会 29
  30. 30. .)( x n n  ζ 第3回日曜数学会 30
  31. 31. ).(logloglog nnx ζ  第3回日曜数学会 31
  32. 32. .1)(lim   n n ζ 第3回日曜数学会 32
  33. 33. .1lim)(lim   x n n nn  ζ 第3回日曜数学会 33
  34. 34. ,0≫n .1)(  x n n  ζ 第3回日曜数学会 34
  35. 35. .)( x a a  ζ 第3回日曜数学会 35
  36. 36. ,0≫n .1)(  x a a  ζ 第3回日曜数学会 36
  37. 37. ?...)( sζ 第3回日曜数学会 37
  38. 38. 第3回日曜数学会 38
  39. 39. 第3回日曜数学会 39
  40. 40. .1)(lim   s s ζ 第3回日曜数学会 40 , 2 1 ≫s
  41. 41. 宿題 第3回日曜数学会 41
  42. 42. ?)12( nζ 第3回日曜数学会 42
  43. 43. ヒント 第3回日曜数学会 43
  44. 44. .? 2 )2( )12(lim         n n n ζ ζ 第3回日曜数学会 44
  45. 45. 1...1.00000000)30( 8...1.00003058(15) 8...1.00006124(14) 3...1.00012271(13) 7...1.00024608(12) 9...1.00049418(11) 5...1.00099457)10(        ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ 第3回日曜数学会 45
  46. 46. 3...1.00200839)9( 6...1.00407735)8( 7...1.00834927(7) 2...1.01734306)6( 5...1.03692775(5) 4...1.08232323(4) 3...1.20205690)3( ...644929067.1)2(         ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ 第3回日曜数学会 46
  47. 47. 2.0023538614,n 2.0035429713,n 2.0053865512,n 2.0081881611,n 2.0125397310,n 2.019347969,n 2.030158448,n 2.047718427,n 2.077193276,n 2.129252325,n 2.229305134,n 2.454433493,n 3.191819022,n              第3回日曜数学会 47
  48. 48. .2 1)12( 1)2( lim     n n n ζ ζ 第3回日曜数学会 48
  49. 49. . 2 1 2 )2( )12(lim         n n n ζ ζ 第3回日曜数学会 49

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