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modelamiento

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  1. 1.  Resumen-- Una secuencia que surge en la ecología como un modelo de crecimiento de la población está definida por la ecuación logística en diferencia: Pn+1 = kPn(1 - Pn), donde Pn, mide el tamaño de la población de la enésima generación de una sola especie. La forma de esta sucesión es similar a la ecuación diferencial logística: dP/dt = kP(1 - P/k). El modelo discreto -con sucesiones en lugar de una función continua- es preferible para modelar las poblaciones de insectos, donde el apareamiento y la muerte se presentan de una manera periódica. Por medio de una modelización con MATLAB, se ha logrado que la sucesión logística actúe como un modelo con bifurcaciones que muestran el comportamiento de un sistema caótico. Palabras clave. Ecuación logística, sistema caótico, bifurcación. Abstract. A sequence that arises in ecology as a model for population growth is defined by the logistic difference equation: Pn+1 = kPn(1 – Pn), where Pn, measures the size of the population of the nth generation of a single species. The form of this sequence is similar to the logistic differential equation: dP/dt = kP(1 – P/k). The discrete model –with sequences instead of continuous function– is preferable for modeling insect populations, where mating and death occur in a periodic fashion. By means of the modeling with MATLAB, it has been that the logistic sequence acts as a model with bifurcations that show the behavior of a chaotic system. KeyWords: Logistic equation, chaotic system, bifurcation. 1 INTRODUCCIÓN En el transcurso de muchos años, en el estudio que varias ciencias han hecho de diferentes fenómenos se han hallado situaciones que no ha sido posible describir de manera satisfactoria. Por ejemplo, en el caso de la meteorología: un problema importante es poder predecir el clima, no sólo del día siguiente, sino en una semana, un mes, o un año después. Sin embargo, a pesar de que esta ciencia se ha desarrollado con celeridad y muchos científicos han trabajado en ella durante más de un siglo, esta clase de predicciones no han podido llevarse a cabo de manera satisfactoria [3]. H.Pabón, Docente de la Universidad De Cundinamarca, Ingeniería de Sistemas, Fusagasugá, Colombia. hipa2450@yahoo.com Se puede mencionar el fenómeno de la turbulencia en física. Cuando un fluido se mueve a lo largo de un tubo, en determinadas condiciones, el fluido lo hace de manera muy tranquila y regular. Se dice entonces que el flujo es laminar y que sus propiedades han podido ser determinadas. Sin embargo, en otras circunstancias, el flujo se vuelve turbulento: empiezan a aparecer primero pequeños remolinos, después remolinos más y más grandes y el movimiento del fluido se vuelve muy irregular. Se dice que el flujo ha entrado en turbulencia. Este efecto no se había podido entender en más de cien años de estudio de la hidrodinámica [3]. Tampoco se han podido entender en economía los motivos por los cuales en cierto momento el índice de la Bolsa de Valores empieza a subir y luego baja. En diferentes ocasiones parece ser un fenómeno del azar. Los anteriores casos ilustran algunos de los problemas que habían quedado sin solución. Sin embargo, con el advenimiento de la Teoría del Caos se han podido entender diferentes aspectos de estos fenómenos, antes incomprensibles [3]. Algo importantísimo, común a diferentes fenómenos, es la posibilidad de que se puedan hacer predicciones. Por ejemplo, si dado que hoy está lloviendo, sería bueno predecir si lloverá mañana o si lloverá un día después. Es decir, una cuestión interesante es poder predecir lo que ocurrirá en el futuro, si se sabe cuál es la situación actual. Hace no más de veinte años que se ha desarrollado una novedosa forma de abordar este tipo de situaciones. Resulta, que muchos fenómenos completamente distintos, como la turbulencia, el clima, el índice de la bolsa de valores, las señales electrónicas, ciertas reacciones químicas y muchas situaciones más, tienen comportamientos que, vistos desde perspectivas apropiadas, son muy parecidos. Debido a este hecho, se tratará un caso muy especial para ilustrar el fenómeno del así llamado caos. Se va a considerar un problema importante en ecología, a saber: cómo evoluciona en el transcurso del tiempo una población determinada, por ejemplo de insectos. Si se conoce el número de individuos este ciclo de reproducción, cabe preguntar: ¿Cuántos insectos habrá el próximo periodo, el siguiente, y subsiguientes? [3] 2 FENÓMENO LINEAL En el desarrollo de este trabajo, se desea encontrar un modelo que exprese el crecimiento de una población de insectos según las observaciones hechas por un investigador anotadas en la siguiente tabla (Tabla 1). Modelamiento De Un Sistema Dinámico Caótico Con Matlab: La Ecuación Logística H. Pabón ENGI Revista Electrónica De La Facultad De Ingeniería Vol. 1 No. 1 Julio Año 1 ISSN 2256-5612
  2. 2. Tabla 1. Observación de número de insectos durante cuatro periodos (años) Fuente: el autor Si se puede descubrir la relación anterior (Tabla 1), entonces aplicándola para un determinado periodo n se podrá conocer la población de insectos en cualquier periodo futuro. En matemáticas, una regla de este tipo se llama función. ¿De qué depende dicha función? Pues, debería hacerlo de las consideraciones en que vive la población. No dará lo mismo si se trata de un lugar desértico o de una selva o de si la población dispone de muchos alimentos o más bien son escasos. Es decir, de alguna manera en la función tiene que aparecer esta información. Además, la población que vaya a haber el periodo siguiente dependerá de la población que existe este en este período. Encontrar esta función se llama hacer o construir el modelo [11]. La función más sencilla es la siguiente. Supóngase que la población en el año 2005 empezó con 10000 insectos y que en 2006 transcurrido un año se observó una población de 12000 insectos, y así en los demás períodos, hasta el año 2008 como se ve en la Tabla 1. Utilizando regresión lineal con MATLAB se obtienen los siguientes resultados [9]. >> x=[5 6 7 8]; % años 2005, 2006, 2007 y 2008 >> y=[10 12 14.4 17.28]; % observaciones de los años 2005, 2006, 2007 y 2008 en miles >> p1=polyfit(x,y,1) % obtiene coeficientes de función lineal p1 = 2.4240 -2.3360 % coeficientes de la función lineal >> y1=2.4240*x-2.3360 % función lineal y1 = 9.7840 12.2080 14.6320 17.0560 % función lineal calculada para los cuatro años o periodos >> p2=polyfit(x,y,2) % obtiene coeficientes de función cuadrática p2 = 0.2200 -0.4360 6.6840 % coeficientes de función cuadrática >> y2=0.2200.*x.^2-0.4360.*x+6.6840 % función cuadrática y2 = 10.0040 11.9880 14.4120 17.2760 % función cuadrática calculada para los cuatro años >> plot(x,y1,'-*',x,y2,'-o',x,y,'o'), grid % grafica la función lineal, cuadrática y los valores observados Fig. 1. Funciones lineal y cuadrática para la población de insectos entre los años 2005 y 2008 Se ha podido representar la información contenida en las expresiones y1 (lineal) y y2 (cuadrática) de manera gráfica. En las abscisas se miden los valores del periodo n, y en el otro eje (ordenadas) los valores de y1 y y2 en Fig. 1. Debido a que la gráfica de la función y1 es una línea recta se dice que dicha función es lineal o que el fenómeno está representado por un modelo lineal. Por lo que se acaba de hacer, se puede observar que si se conoce la función, entonces es posible determinar con precisión la población en cualquier período futuro, lo cual se llama extrapolación. Con MATLAB se ejecutan las siguientes instrucciones [9]: >> polyval(p1,15) % evalúa la función lineal en el año 2015 ans = 34.0240 >> polyval(p2,15) % evalúa la función cuadrática en el año 2015 ans = 49.6440 Se observa que hay una diferencia para este ciclo de más de 15000 insectos, que es una diferencia considerable. Se puede notar también que la función cuadrática describe mejor el fenómeno ya que coincide en todos los puntos dados, con los valores observados como se ve en la Fig. 1, de manera que posiblemente el modelo lineal no sea el más adecuado para representar dicho fenómeno. 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Nº AÑO Nº INSECTOS INCREMENTO TOTAL 0 2005 10000 2000 12000 1 2006 12000 2400 14400 2 2007 14400 2880 17280 3 2008 17280 3456 20736 MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA
  3. 3. Fig. 2. La población de insectos y1 determinada para el período dado. Una consecuencia de la aplicación de esta función es que, al transcurrir el tiempo, la población crecerá de manera indefinida, llegará un momento en que sería tan grande que el número de individuos de la especie no cabría en el planeta Tierra. Está claro que un modelo como el que se acaba de presentar -lineal o cuadrático- no puede describir de manera correcta las variaciones reales de una población. Si esta crece mucho, llegará un momento en que los alimentos escaseen y no alcancen para todos los individuos y, por tanto, la población empezará a decrecer. Este efecto debe considerarse, por lo que la función dada en mención se deberá modificar para que tome en cuenta que una población puede crecer, pero hasta cierto límite, más allá del cual deberá reducirse. Por otro lado, si la población es pequeña, entonces tendrá mucho alimento disponible y crecerá aceleradamente. 3 FENÓMENO NO LINEAL Las consideraciones anteriores significan que la Fig. 2 deberá ser reemplazada por otra en la que para valores pequeños de p, o sea de la población, la curva ascienda, mientras que para valores muy grandes de p la curva descienda. Esta gráfica se deberá ver como se muestra en la Fig. 3. Para que la curva descienda, necesariamente tendrá un máximo, es decir, la curva deberá tener la forma de una parábola invertida. El lector se dará cuenta de que esta curva ya no es una línea recta. Por tanto, a esta situación se le llama no lineal. La construcción de modelos matemáticos para describir la dinámica de una población puede ser valiosa, tanto para predecir el comportamiento de la población durante períodos de tiempo largos o cortos, como para ver el resultado de manipulaciones artificiales de la población, y para descubrir principios biológicos que pueden ser hasta ahora desconocidos. A fin de tratar de predecir el futuro de poblaciones se puede introducir una función matemática que permite calcular la población de insectos en cierto período, a partir de la existente en el período anterior de forma secuencial discreta como debe ser. Para tal caso se tiene: Pn+1 = kPn (1) Donde Pn+1 es la población del próximo período y Pn es la población actual o del período n. También, k representa la tasa de crecimiento y el subíndice n representa la iteración n-ésima de la función o la generación de turno n-ésimo. Por ejemplo, al cabo del primer período (2005), la población de insectos se ha incrementado en un 20%, o sea la población ahora es de 12,000 insectos que se obtiene de multiplicar la población inicial P0 por k = 1.2. Para el período siguiente (2006), se toma de la misma manera, multiplicando 12000 por 1.2 y al cabo del segundo período (2007) se tiene una población de insectos de 14400 y así sucesivamente. Fue P. Verhulst (1804–1849), matemático y biólogo belga quien, en 1845, interesado en cómo describir matemáticamente el crecimiento demográfico, introdujo un nuevo e ingenioso término (1–Pn) a la ecuación anterior y dio origen a una nueva ecuación hoy conocida como la ecuación logística [11]. Pn+1 = kPn (1–Pn) (2) Donde Pn+1 representa la población del siguiente periodo (o año); Pn representa la población del período actual (o en mención) y k la tasa de natalidad. Pn es una medida del tamaño de la población de la n-ésima generación de una sola especie de insectos. Con el propósito de que los números sean manejables, Pn es una fracción del tamaño máximo de la población, de modo que 0  Pn  1. Para elaborar un modelo de la población de insectos, es preferible el modelo discreto, con sucesiones como (2), en vez de funciones continuas como en la Fig. 2. La anterior sucesión representa un modelo matemático para predecir a largo plazo el comportamiento de una población de tal manera que dependa de la totalidad del ambiente. Este término (1–Pn), vuelve no lineal a la sucesión y deja que se afecte por las consecuencias de estar en un medio cerrado. En el lado derecho de la sucesión, los términos Pn y (1–Pn), son contrarios en la forma cómo actúan, pues el primero intenta expandir la población mientras que el segundo intenta reducirla (Fig. 3)[11]. Los valores de la población para 20 períodos consecutivos son: Tabla 2. Valores de la población de insectos para 25 períodos consecutivos con k = 2.5 y P0 = 0.7 0.7000 0.5250 0.6234 0.5869 0.6061 0.5968 0.6016 0.5992 0.6004 0.5998 0.6001 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 Fuente: el autor 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 periodos milesdeinsectos PABÓN
  4. 4. Fig. 3. Modificación del modelo de la Fig. 2. La población no puede crecer indefinidamente. Esta sucesión implica que, dado el valor de la población en el presente período Pn, se obtendrá el valor Pn+1 de la población para el periodo siguiente. Por conveniencia se han tomado Pn y Pn+1 como la fracción entre los valores cero y uno, por tanto 0  Pn  1 . El valor 0 representa la extinción de la población y el valor 1 el valor máximo posible de la población. Estos resultados muestran que a partir de cierto momento la población llega a un valor que ya no cambia con el tiempo. En este caso, la población llega al valor de 0.6000 y se estabiliza. En el caso que se acaba de tratar, se empezó con la población inicial de Pn = 0.7 y se terminó con 0.6000. Si en lugar de haber empezado con 0.7 se hubiera empezado con el valor inicial de Pn = 0.25 (para el mismo valor de k = 2.5), siguiendo el mismo procedimiento iterativo se habrían obtenido los siguientes valores: Tabla 3. Valores de la población de insectos para 20 periodos consecutivos con k = 2.5 y P0 = 0.25 0.2500 0.4688 0.6226 0.5874 0.6059 0.5970 0.6015 0.5992 0.6004 0.5998 0.6001 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 0.6000 Fuente: el autorSe llega al mismo valor final de 0.6000. O sea, si se empieza con otra condición inicial se llega al mismo valor final. Así se comience con el valor que sea, para este caso de k = 2.5, siempre se llegará al mismo resultado final de 0.6000. Este resultado indica varias cosas acerca de la sucesión de la Tabla 3. En primer lugar, la población no crece indefinidamente por más iteraciones que se hagan. En segundo lugar, después de algunos períodos se alcanza un valor que NO depende de cuál haya sido el valor de la población escogido inicialmente. Es decir, el valor 0.6000 no depende de la condición inicial. Se logra así una población estacionaria: la misma, período tras período [11]. Si se vuelve a repetir este procedimiento pero para otro valor de k en (2) se obtendrá otro valor final. Por ejemplo, si se usa para k el valor de 2.7, el valor final que se obtiene es 0.6296. Nótese que para k = 2.5 se obtuvo como valor final 0.6000 Tabla 4. Para k = 2.7 y Po = 0.7 se obtiene como valor final 0.6296 0.7000 0.5670 0.6629 0.6034 0.6431 0.6173 0.6378 0.6237 0.6337 0.6267 0.6316 0.6282 0.6306 0.6289 0.6301 0.6293 0.6299 0.6295 0.6297 0.6295 0.6297 0.6296 0.6297 0.6296 0.6296 0.6296 0.6296 0.6296 0.6296 0.6296 Fuente: El autor Fig. 4. Representación gráfica de los valores de la tabla 4. A medida que k aumenta de valor, el valor final también aumenta su valor. Tómese otro valor extremo, para k pequeño, por ejemplo 0.4. Si se empieza con un valor de población de 0.3, entonces los valores de la población que se van obteniendo son los siguientes: Tabla 5. Valores iniciales de k = 0.4 y Po = 0.3 0.3000 0.0840 0.0308 0.0119 0.0047 0.0019 0.0007 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 Fuente: el autor El valor final al que se llega es cero. ¡La población se extingue! De hecho, para los valores de k menores o iguales que 1, la población se extingue con el tiempo, sin importar cuál sea su valor inicial. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA
  5. 5. Figura 5. Representación gráfica de la tabla 5 Ahora tómese el extremo de valores grandes de k. Por ejemplo, se puede usar para k el valor 3.3 y el inicial de la población de 0.6. Así se obtienen los siguientes valores: Tabla 6. Valores iniciales de k = 3.3 y Po = 0.6 0.6000 0.7920 0.5436 0.8187 0.4898 0.8247 0.4772 0.8233 0.4801 0.8237 0.4792 0.8236 0.4795 0.8236 0.4794 0.8236 0.4794 0.8236 Fuente: el autor Fig. 6. Representación gráfica de los valores de la Tabla 6 Ahora no se obtiene un solo valor final que se vaya repitiendo período tras período, sino que tiene dos tendencias que se observan claramente en Tabla 6: los valores 0.8236 y 0.4794. Es decir, ahora la población en un período tendrá el valor de 0.4794 y el período siguiente el de 0.8236 y así sucesivamente. Esto significa que ahora se tienen dos tendencias finales posibles y que el valor 0.4794 se alcanza no cada período sino cada dos períodos. Lo mismo ocurre con el otro valor de 0.8236. Es decir, el ciclo ahora dobló su valor de un período a dos, o sea, aparece ahora una secuencialidad de dos períodos. Nótese que los valores 0.8236 y 0.4794 no dependen del valor inicial que se escogió para P0. Si en lugar de 0.6 se hubiera tomado otro valor, se llegaría a los mismos valores finales 0.8236 y 0.4794; esto siempre y cuando se mantenga el mismo valor de k, o sea 3.3. Se dice entonces que se está en condiciones de período dos. Para el valor de k = 3.5, con la condición inicial de P0 = 0.6 se obtienen, después de varias iteraciones, no dos valores finales sino cuatro, ver Tabla 7 [11]. Tabla 7. Valores iniciales de k = 3.5 y Po = 0.6 0.6000 0.8400 0.4704 0.8719 0.3908 0.8333 0.4862 0.8743 0.3846 0.8284 0.4976 0.8750 0.3829 0.8270 0.5008 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 Fuente: El autor Estos cuatro valores se van repitiendo, en el orden dado. Ahora esta secuencia corresponde al período 4 como se muestra en Fig. 7. Fig. 7. Representación gráfica de los valores de la Tabla 7. Si se sigue aumentando el valor de k, se obtienen ocho valores finales. Para k = 3.55 por ejemplo, éstos se muestran en la Tabla 8 [11]. Tabla 8. Valores iniciales de k = 3.55 y Po = 0.6 0.600 0 0.852 0 0.447 6 0.877 8 0.380 9 0.837 1 0.484 0 0.886 6 0.356 9 0.814 8 0.535 6 0.883 0 0.366 8 0.824 5 0.513 8 0.886 8 0.356 3 0.814 2 0.537 1 0.882 6 0.367 8 0.825 4 0.511 5 0.887 0 0.355 7 0.813 6 0.538 3 0.882 3 0.368 7 0.826 3 0.509 5 0.887 2 0.355 3 0.813 2 0.539 3 0.882 0 0.369 4 0.826 9 0.508 0 0.887 3 0.355 1 0.812 9 0.539 8 0.881 9 0.369 8 0.827 4 0.507 1 0.887 3 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 PABÓN
  6. 6. 0.354 9 0.812 8 0.540 2 0.881 8 0.370 1 0.827 6 0.506 5 0.887 3 0.354 9 0.812 7 0.540 3 0.881 7 0.370 2 0.827 7 0.506 3 0.887 4 0.354 8 0.812 7 0.540 4 0.881 7 0.370 3 0.827 8 0.506 1 0.887 4 0.354 8 0.812 7 0.540 4 0.881 7 0.370 3 0.827 8 0.506 1 0.887 4 Fuente: El autor Esta situación corresponde al período 8 como se muestra en Fig. 8. Para k = 3.651, ahora los valores finales serán 16, que ya no se anotarán (ejercicio para el lector). Al seguir aumentando k se obtienen, sucesivamente, 32, 64, 128, ... tendencias finales. Si ahora se escoge para k el valor de 3.6, resulta que por más iteraciones que se hagan no se llega a un valor final, en el sentido de que este valor (o valores) se repita como en los casos mencionados anteriormente. Ahora se encuentra una sucesión de números que no se repiten y que tienen toda la apariencia de una sucesión escogida al azar. Si se cambia la condición inicial, pero se mantiene el valor de k = 3.6, se obtiene otra sucesión con números distintos a los anteriores y que tampoco adquiere valores finales que se repiten constantemente. Fig. 8. Representación de los valores de la Tabla 8. Estos resultados pueden observarse haciendo la siguiente gráfica (Fig. 9). En el eje horizontal se medirán los valores de k; en el eje vertical se medirá(n) el (los) valor(es) final(es) que se obtenga(n) para el correspondiente valor de k. Así: Tabla 9. Valores iniciales de Pn = 0.6; k varía entre 0.1 y 4.06 0.1 0.0000 0.2 0.0000 0.3 0.0000 0.4 0.0000 0.5 0.0000 0.6 0.0000 0.7 0.0000 0.8 0.0000 0.9 0.0000 1.0 0.0000 1.1 0.0909 1.2 0.1666 1.3 0.2308 1.4 0.2857 1.5 0.3333 1.6 0.3750 1.7 0.4118 1.8 0.4444 1.9 0.4737 2.0 0.5000 2.1 0.5238 2.2 0.5454 2.3 0.5652 2.4 0.5830 2.5 0.6000 2.6 0.6154 2.7 0.6296 2.8 0.6429 2.9 0.6552 3.0 0.6502 3.0 0.6823 3.1 0.5580 3.1 0.7646 3.2 0.5130 3.2 0.7995 3.3 0.4794 3.3 0.8236 3.4 0.4520 3.4 0.8422 3.5 0.3828 3.5 0.5009 3.5 0.8269 3.5 0.8750 3.55 0.3548 3.55 0.3703 3.55 0.5405 3.55 0.8127 3.55 0.8278 3.55 0.8817 3.55 0.8874 3.56 8 val. 3.57 16 val. 3.58 32 val. 3.59 ¿? 3.60 64 3.61 ¿? 3.62 6?!val. 3.63 ¿? 3.64 ¿? 3.65 ¿? 3.66 ¿? 3.67 ¿? 3.68 ¿? 3.69 ¿? 3.70 ¿? 3.71 ¿? 3.72 ¿? 3.73 ¿? 3.74 5?!val. 3.75 ¿? 3.76 ¿? 3.77 ¿? 3.78 ¿? 3.79 ¿? 3.80 ¿? 3.81 ¿? 3.82 ¿? 3.83 3?!val. 3.84 5?!val. 3.85 12?val. 3.86 ¿? 3.87 ¿? 3.88 ¿? 3.89 ¿? 3.90 ¿? 3.92 ¿? 3.93 ¿? 3.94 ¿? 3.95 ¿? 3.96 ¿? 3.97 ¿? 3.98 ¿? 3.99 ¿? 4.00 ¿? 4.01 …. 4.02 …. 4.03 …. 4.04 …. 4.05 …. 4.06 …. Fig. 8. Modelo de Mandelbrot dado por la sucesión logística Pn+1 = k Pn(1 - Pn) con el valor inicial P0= (0.1, 0) en el área rectangular definida por xmin = -2.5, xmax = 4.5, ymin = - 2.5, ymax = 2.5 Fuente: http://www.willamette.edu/~sekino/fractal/gallery.htm En la Fig. 8 se puede observar que: - Si 0 < k < 1 entonces Pn converge a 0, o sea hay extinción de la población. - Si 1  k <3 entonces Pn converge a 1 – 1/k, y tiende a un sólo valor estacionario. - Si 3  k < v entonces Pn eventualmente se vuelve periódico con periodo 2. - Si v < k < w entonces Pn eventualmente se vuelve periódico con un período de la forma 2k , y cada vez que k crece, el periodo crece de una forma ordenada de 22 , 23 , 24 , etc. sin acotamiento; así, de k = 1 hasta cerca de 3.58, el comportamiento de Pn muestra el fenómeno llamado bifurcación. - Si w < k < 4 entonces el comportamiento de Pn llega a ser caótico y totalmente impredecible como en la Fig. 9. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA
  7. 7. Fig. 9. Valores iniciales de k = 3.8 y Pn = 0.8 unidos los puntos con segmentos de recta. Como se puede apreciar en la Fig. 10, dentro de la región caótica aparecen regiones que sí tienen valores fijos. Estas son las regiones blancas. En efecto, para k alrededor del valor 3.84 aparece una región con valores finales bien determinados. Ahora se obtienen tres tendencias: 0.1494, 0.4879 y 0.9594. Al seguir aumentando k hay una bifurcación y por ejemplo, para k = 3.846, ahora hay seis tendencias finales. Al seguir aumentando k siguen bifurcaciones, hasta que se llega a una nueva región caótica [11]. Fig. 10. Valores iniciales de k = 3.84 y Pn = 0.8 señalados los puntos con asteriscos Se puede entonces afirmar que al ir aumentando k, se pasa por los siguientes estadios: Extinción  Un solo valor final  Secuencial, con periodicidades de 2n , n = 1, 2, 3,...  Caótico  Secuencial con periodicidades 3, 6, ...  caótico  ... 4 CONCLUSIONES - El modelo matemático lineal de reproducción y muerte de una especie de insectos bajo condiciones dadas no es el modelo que describe este fenómeno, porque la población de insectos crecería en forma lineal y tendería a ser infinita. - El modelo matemático de la sucesión logística describe adecuadamente el ciclo de reproducción y muerte de una especie de insectos bajo condiciones limitadas de espacio y alimento. - Se analizó que si el valor del parámetro k de (2) es suficientemente pequeño, entonces, sea cual sea el valor inicial de la población, después de cierto número de iteraciones se llega a un valor final que ya no cambia al seguir iterando. Recordando que cada iteración da el valor de la población un período después, se concluye que si k es suficientemente pequeño, después de cierto tiempo se llega a una población final que ya no varía en el transcurso del tiempo. - Si k aumenta, ocurre que después de ciertas iteraciones la cantidad Pn adquiere dos valores. En una iteración adquiere el primero, y en la siguiente, el segundo, y estos valores suceden alternadamente. Esto significa que después de cierto tiempo, en un período la población tiene un valor y al siguiente el segundo valor. En el tercero la población vuelve a tener el primer valor, en el cuarto el segundo valor, y así sucesivamente. Por lo tanto, el primer valor final lo adquiere la población cada dos períodos; lo mismo ocurre con el segundo valor, la población lo va adquiriendo cada dos períodos. Éste es el régimen que se llama periodicidad dos. - Al seguir aumentando el valor de k se llega a un régimen final en el que hay cuatro posibles valores finales de la población, que se van alternando. Por tanto, cada uno de estos valores se va adquiriendo cada cuatro períodos. Se está en el caso de la periodicidad cuatro. - Se puede continuar así, hasta que se llegue al régimen caótico, en que cada período la población va adquiriendo cierto valor que ya no se repite. - Ahora bien, antes de entrar en el régimen caótico, el período va aumentando de 1 a 2 períodos, de 4 a 8 períodos, etc., a medida que el valor de k va aumentando. Llega un cierto momento en que ya no se puede hablar de periodicidad, se ha entrado en el régimen caótico. APÉNDICE Archivo .M de MATLAB, para calcular la convergencia o divergencia de la sucesión estudiada. % Laboratorio de Matematicas Especiales con MATLAB % Tema: sucesiones logísticas clc k=input('Entre un valor de k, del intervalo abierto (0,4): '); disp(' ') pn=input('Entre el valor de p0, del intervalo cerrado [0,1]: '); disp(' ') n=input('¿Cuantos terminos de la sucesion quiere calcular? '); disp(' ') x=linspace(1,n,n); p=ones(size(x)); 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ECUACION LOGISTICA EN DIFERENCIAS n Sn 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ECUACION LOGISTICA EN DIFERENCIAS n Sn PABÓN
  8. 8. p(1)=pn; for i=1:n-1 pn1=k*pn*(1-pn); p(i+1)=pn1; pn=pn1; end format rat %p %si se habilita escribe el vector de valores calculados %plot(x,p,'*');grid %marca asteriscos plot(x,p,'-o'); grid %habilita linea poligonal con puntos title('ECUACION LOGISTICA EN DIFERENCIAS') xlabel('n') ylabel('Sn') REFERENCIAS [1] Banks, John. Et al. Chaos. A Mathematical Introduction. First Edition, Cambridge: Cambridge University Press. 2003. [2] Bertuglia, Cristoforo Sergio and Vaio, Franco. Nonlinearity, Chaos & Complexity. The Dynamics of Natural and Social Systems. First Edition, New York: OXFORD University Press. 2005. [3] Braun, Eliezer. Caos, Fractales y Cosas Raras. Tercera Edición, México D. F. Fondo de Cultura Económica. 2003. [4] Butt, Rizwan. Introduction to Numerical Analysis Using MATLAB®. Infinity Science Press. Hinghm, Massachusetts New Delhi. 2008. [5] Chapman, Stephen J. MATLAB Programming for Engineers. Third Edition, Toronto: THOMSON. 2005. [6] Devaney, Robert L. A first Course in Chaotic Dynamical Systems. Theory and experiments. First Edition. Perseus Books Publishing, L.L.C. Boston University. 1992. [7] Hanselman, Duane and Littlefiel, Bruce. Mastering MATLAB 7. First Edition. N. J. Pearson Education. 2005. [8] Hayles, Katherine N. La Evolución del Caos. El Orden dentro del Desorden en las Ciencias Contemporáneas. Primera Edición, Barcelona: Gedisa Editorial. 2000. [9] Kalechman, Misza. Practical MATAB® Basic for Engineers. CRC Press. Taylor & Francis Group. Boca Raton London N.Y. 2009. [10] Kalechman, Misza. Practical MATAB® Applications for Engineers. CRC Press. Taylor & Francis Group. Boca Raton London N.Y. 2009. [11] Maldonado, Carlos Eduardo. Termodinámica y complejidad. Una introducción para las ciencias sociales y humanas. Primera Edición, Bogotá: Universidad Externado de Colombia. 2005. [12] Moore, Holly. MATLAB para ingenieros. Primera Edición, México D. F. Pearson Educación. 2007. [13] Pérez,César. Matlab y sus Aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería. Primera Edición, Madrid: Prentice Hall. 2002. [14] Rubiano, Gustavo. FRACTALES para Profanos. Primera Edición, Bogotá: Editorial Unilibros. 2000. [15] Smith, David M. Engineering Computation with MATLAB®. Georgia Institute of Technology. Addison – Wesley. Pearson Edition. Roston. 2010. [16] Stewart, James. Calculus. Early Transcendentals. Fiveth Edition, USA: THOMSON. 2003. [17] Tung, K. K. Topics in Mathematical Modeling. First Edition, Princeton N. J.: Princeton University Press. 2007. [18] http://www.villamette.edu/~sekino/fractal/ index.html/#stories En: Stories about Fractal Plotting [19] http://www.willamette.edu/~sekino/fractal/ gallery.html AUTOR Hector Jose Pabón Ángel. Docente Ingeniera de Sistemas, Universidad de Cundinamarca, Seccional Ubate – Colombia. hipa2450@yahoo.com Fecha Recepción: 30 de Noviembre 2011 Fecha Aprobación: 21 de Marzo 2012 MODELAMIENTO DE UN SISTEMA DINÁMICO CAÓTICO CON MATLAB: LA ECUACIÓN LOGÍSTICA

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