Elementos astronomia de posicion primeraedicion

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Elementos de astronomía de posición.

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Elementos astronomia de posicion primeraedicion

  1. 1. Elementos de Astronom´ıa de Posici´on Jos´e Gregorio Portilla Barbosa
  2. 2. • Jos´e Gregorio Portilla B. El profesor Portilla actualmente es Profesor Asociado de Dedicaci´on Exclusiva adscrito al Observatorio Astron´omico Nacional de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia. Dicta regular- mente las c´atedras de Astronom´ıa General I, Mec´anica Celeste e Introducci´on a la Coheter´ıa y Astron´autica que se ofrecen a los estudiantes de pregrado y posgrado en la mencionada instituci´on. Su campo de inves- tigaci´on se dirige hacia la mec´anica celeste, en particular sobre el movimiento de sat´elites, estabilidad de ´orbitas, m´etodos de integraci´on y mec´anica celeste relativista.
  3. 3. . Elementos de astronom´ıa de posici´on Jos´e Gregorio Portilla B. Observatorio Astron´omico Nacional Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Bogot´a
  4. 4. Presente edici´on: mayo de 2001 c 2001, Observatorio Astron´omico Nacional Internet: http://www.observatorio.unal.edu.co/miembros/docentes/grek/grek.html Correo-e: gportill@ciencias.unal.edu.co No se permite la reproducci´on total o parcial de esta obra, ni su incorporaci´on a un sistema in- form´atico, ni su transmisi´on en cualquier forma o por cualquier medio, sea ´este electr´onico, mec´anico, por fotocopia, por grabaci´on u otros m´etodos, sin el permiso previo y por escrito del autor. Dise˜no y diagramaci´on en LATEX: Jos´e Gregorio Portilla B. Dise˜no de car´atula: Martha Chac´on Chac´on y M. Arturo Izquierdo Pe˜na. Car´atula: Concepci´on art´ıstica del paso de la nave Viajero II por el planeta J´upiter. ISSN: 0120-2758 Impreso en Colombia Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a
  5. 5. A mis padres: Mar´ıa Teresa y Jos´e Gregorio
  6. 6. .
  7. 7. . Prefacio Este libro constituye en su mayor´ıa las notas ordenadas, ampliadas y actualizadas de parte de los cursos de Astronom´ıa General I, Mec´anica Celeste e Introducci´on a la Coheter´ıa y Astron´autica que el autor ha tenido la oportunidad de dictar en varias ocasiones en la sede acad´emica del Observatorio Astron´omico Nacional. Pretende ser una exposici´on sencilla, clara y no demasiado t´ecnica de diversos t´opicos de la astronom´ıa esf´erica y la mec´anica celeste, pero procurando conservar cierto nivel de profundizaci´on necesario para abordar una ciencia que, como la astronom´ıa, depende enteramente de la medida y del c´alculo. Exceptuando tal vez los cap´ıtulos 12 al 15, el libro est´a enteramente al alcance de una persona que haya completado un bachillerato a conciencia. En una ´epoca clave para el desarrollo de la astronom´ıa en nuestro pa´ıs, con la conforma- ci´on de la RAC (Red Astron´omica Colombiana), la aparici´on y consolidaci´on de grupos y asociaciones de aficionados a lo ancho y largo del territorio nacional y el surgimiento, en el segundo semestre de 1999, de la Especializaci´on en Astronom´ıa en la Universidad Nacional de Colombia sede Bogot´a, es de esperarse un avance significativo de la astronom´ıa criolla en los a˜nos venideros. El autor estar´ıa plenamente satisfecho si esta obra contribuye en un infinit´esimo a dicho desarrollo. El autor agradece el apoyo de cada uno de los profesores que conforman el personal do- cente del Observatorio Astron´omico Nacional. En particular debo mencionar a tres de ellos: el profesor Eduardo Brieva, quien ley´o la totalidad del texto y realiz´o importantes y muy valiosas sugerencias; el profesor Fernando Otero, quien ley´o algunos de los cap´ıtulos e hizo significativas recomendaciones y el profesor Arturo Izquierdo, quien no s´olo me colabor´o con su profundo dominio de muchos programas en Linux sino tambi´en ayud´o en la elaboraci´on de la car´atula. Mi agradecimiento tambi´en se extiende a los monitores del Observatorio Germ´an Mon- toya y Daniel Izquierdo quienes estuvieron atentos a resolver las dudas que tuvo el autor con el manejo del sistema operativo Linux, el procesador de palabra cient´ıfico LATEX y varios programas graficadores; a Martha Chac´on Chac´on por su dise˜no de car´atula, y a los muchos estudiantes de pregrado de la Universidad y en particular de los de la Especializaci´on en Astronom´ıa sin quienes mucho del contenido de este libro estar´ıa oscuro e impenetrable. A todos, mi agradecimiento m´as profundo. Jos´e Gregorio Portilla B. Profesor, Observatorio Astron´omico Nacional Bogot´a, MMI
  8. 8. ´Indice General 1 INTRODUCCI´ON 15 1.1 La astronom´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1 Objeto de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 La astronom´ıa esf´erica y din´amica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 La astronom´ıa y la astrolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 TRIGONOMETR´IA ESF´ERICA 21 2.1 Relaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 EL PLANETA TIERRA 31 3.1 Forma de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Coordenadas de un observador en la superficie de la Tierra . . . . . . . . . . 35 3.2.1 Coordenadas geoc´entricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.2 Coordenadas geod´esicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.3 Coordenadas geogr´aficas (astron´omicas) . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Unidades de longitud y su relaci´on con las dimensiones terrestres . . . . . . . 40 3.4 Transformaci´on entre latitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4 LA B´OVEDA CELESTE 47 4.1 Conceptos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Observaci´on del cielo seg´un la latitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3 La ecl´ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4 Estaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5 Constelaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.6 Nombres de estrellas y designaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.7 Cat´alogos de estrellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5 COORDENADAS CELESTES 69 5.1 Coordenadas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Coordenadas ecuatoriales horarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3 Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas) . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.4 Coordenadas ecl´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.5 Coordenadas gal´acticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.6 Transformaci´on entre los sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . 76 9
  9. 9. 5.6.1 De horizontales a ecuatoriales horarias y viceversa . . . . . . . . . . . 76 5.6.2 Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa . . . . . . . 81 5.6.3 Ecuatoriales absolutas a ecl´ıpticas y viceversa . . . . . . . . . . . . . . 84 5.6.4 Ecuatoriales absolutas a gal´acticas y viceversa . . . . . . . . . . . . . 89 6 MOVIMIENTO APARENTE DE LOS CUERPOS CELESTES 93 6.1 Movimiento diurno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.2 La Luna y el Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.3 Los planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.3.1 Per´ıodo sin´odico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7 EL TIEMPO EN ASTRONOM´IA 107 7.1 El d´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.1.1 El d´ıa sideral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.1.2 El d´ıa solar verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.1.3 El d´ıa solar medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.2 Conversi´on entre tiempo sideral y tiempo solar medio . . . . . . . . . . . . . 110 7.3 El tiempo sideral local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.4 El tiempo solar verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.5 El tiempo solar medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.6 El tiempo universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.7 Husos horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.8 La ecuaci´on del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.9 El c´alculo del tiempo sideral local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.9.1 El c´alculo de la fecha juliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.9.2 El c´alculo del TSG0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.10 Sistemas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.10.1 Variaciones en la tasa de rotaci´on terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.10.2 El tiempo de las efem´erides (TE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.10.3 El tiempo din´amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.11 El tiempo at´omico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.12 Tiempos universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8 C´ALCULO DE ALGUNOS FEN´OMENOS ASTRON´OMICOS 135 8.1 Culminaci´on de cuerpos celestes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.2 Salida y puesta de un astro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 8.2.1 Una primera aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.2.2 Refinando el c´alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.2.3 El c´alculo especial del Sol y la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.3 Paso por el meridiano del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.4 Paso por el cenit del observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.5 Navegaci´on astron´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
  10. 10. 9 CALENDARIO 155 9.1 El calendario romano primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 9.2 El calendario juliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.3 Calendario y cristianismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.4 El calendario gregoriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.5 Cronolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.6 La determinaci´on de la fecha de Pascua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.6.1 Letra dominical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9.6.2 N´umero ´aureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.6.3 La Epacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.6.4 Otros ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.6.5 C´alculo de la fecha de Pascua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.7 Calendario colombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 10 CORRECCI´ON A LAS COORDENADAS 175 10.1 Precesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 10.2 Nutaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 10.3 Aberraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.3.1 Aberraci´on estelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.3.2 Aberraci´on planetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.4 Movimiento en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.5 Paralaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.5.1 Paralaje diurno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 10.5.2 Paralaje anual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.6 Refracci´on astron´omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 10.7 Deflecci´on gravitacional de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11 MEC´ANICA CELESTE: UNA INTRODUCCI´ON 205 11.1 Estado de las cosas en la antig¨uedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 11.2 Kepler y sus leyes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11.2.1 La elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 11.2.2 ´Areas y ´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.2.3 Per´ıodos y distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 11.3 El formalismo Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 11.3.1 Ley de atracci´on newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 11.3.2 La funci´on potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 12 EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS 223 12.1 Movimiento con respecto al centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 12.2 El movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 12.2.1 Aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 12.3 Elecci´on de un sistema de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 12.4 El momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 12.4.1 ´Areas y tiempos: otra vez la segunda ley de Kepler . . . . . . . . . . . 237 12.5 Momentum angular cero: la ´orbita rectil´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 12.6 Momentum angular diferente de cero: trayectorias c´onicas . . . . . . . . . . 242
  11. 11. 12.6.1 C´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 12.7 La energ´ıa total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 12.8 C´alculos de masa: otra vez la tercera ley de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . 249 12.9 Velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 12.10El c´alculo de la anomal´ıa verdadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 12.10.1 ´Orbita el´ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 12.10.2 ´Orbita hiperb´olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.10.3 ´Orbita parab´olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 13 LA DETERMINACI´ON DE LA POSICI´ON EN EL ESPACIO 265 13.0.4 Elementos orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 13.0.5 Posici´on en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 13.1 Velocidad en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 13.2 La posici´on con respecto a la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 13.3 Las coordenadas topoc´entricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 14 PERTURBACIONES 279 14.1 Modelo vs. realidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 14.2 El problema de los tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 14.2.1 El problema restringido circular de los tres cuerpos . . . . . . . . . . . 288 14.3 El problema de los n cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 14.4 Perturbaciones al problema de los dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 14.4.1 Presencia de un tercer cuerpo, o de m´as cuerpos . . . . . . . . . . . . 292 14.4.2 No esfericidad del cuerpo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 14.4.3 Perturbaci´on por rozamiento atmosf´erico . . . . . . . . . . . . . . . . 295 14.4.4 Perturbaci´on por presi´on de radiaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 14.4.5 Perturbaci´on por eyecci´on de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 14.4.6 Perturbaci´on por curvatura del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . 297 14.4.7 El efecto Poynting-Robertson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 14.4.8 El efecto Yarkovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 14.4.9 Resistencia por part´ıculas cargadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 14.5 Resolviendo las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 14.5.1 La integraci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 14.5.2 Teor´ıa de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 15 SAT´ELITES ARTIFICIALES Y COHETES 315 15.1 Una teor´ıa sencilla del sat´elite artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 15.2 El sat´elite Tierra-sincr´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 15.3 El sat´elite Sol-sincr´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 15.4 El sat´elite geoestacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 15.5 El sat´elite Molniya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 15.6 ´Orbitas de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 15.6.1 Transferencia tipo Hohmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 15.6.2 Cambio de inclinaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 15.7 Cohetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 15.8 La ecuaci´on de Tsiolkovsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
  12. 12. 15.9 Las condiciones de inyecci´on y la ´orbita inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 A Constantes astron´omicas 353 A.1 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 A.2 Sistema de Constantes Astron´omicas de la U.A.I. (1976) . . . . . . . . . . . . 354 B Posiciones geogr´aficas de algunas ciudades colombianas 355 C Cuerpos del sistema solar 359 C.1 Datos f´ısicos de los planetas (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 C.2 Datos f´ısicos de los planetas (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 C.3 Elementos orbitales osculatrices helioc´entricos referidos a la ecl´ıptica media y equinoccio de J2000.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 C.4 Datos del Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 C.5 Datos de la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 C.6 Algunos asteroides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 C.7 Algunos cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 D Refracci´on astron´omica a nivel del mar 363 E Estrellas 365 E.1 Las estrellas m´as cercanas al Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 E.2 Las estrellas m´as brillantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 F Fecha Juliana 367 G Calendario 369 G.1 Descansos remunerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 G.2 Fechas de Pascua para algunos a˜nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 G.3 Calendario Perpetuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
  13. 13. 14
  14. 14. Cap´ıtulo 1 INTRODUCCI´ON 1.1 La astronom´ıa La astronom´ıa es aquella rama del saber cient´ıfico que estudia el universo en su conjunto. El universo comprende cuerpos tan familiares como la Luna, el Sol, los planetas y las estrellas, hasta objetos ex´oticos tales como los agujeros negros, quasares, pulsares y enanas marrones. Entendemos aqu´ı por universo a todo el conjunto de cuerpos celestes que han existido, existen y existir´an. Por lo que sabemos hoy en d´ıa, el universo es extraordinariamente an- tiguo e inconmensurablemente enorme. La astronom´ıa busca explicar el universo (su composici´on, estructura, origen, evoluci´on, etc.) pero con un enfoque cient´ıfico, lo que significa que sus procedimientos y metodolog´ıas descansan en nuestros conocimientos de las leyes f´ısicas y qu´ımicas hasta ahora descubiertas y por lo tanto, de las bases matem´aticas que las sustentan. Los resultados que se derivan de las teor´ıas propuestas son continuamente comparados con la observaci´on; aquellas teor´ıas que no explican satisfactoriamente los fen´omenos observados son reevaluadas e incluso desaparecen si una nueva teor´ıa surge con mayor poder explicatorio y predictivo. Nuestro conocimiento del universo es a´un muy limitado. Es cierto que hemos avanzado mucho en su conocimiento, pero permanecen muchos interrogantes todav´ıa por esclarecer. 1.1.1 Objeto de estudio Son objetos de estudio de la astronom´ıa aquellos cuerpos que observamos en el cielo —por lo que los llamamos “celestes”—. En la antig¨uedad los astr´onomos y fil´osofos contemplaron y estudiaron aquellos objetos que son visibles a simple vista: el Sol, la Luna, planetas, estrellas, cometas y estrellas fugaces. Con la aparici´on de instrumentos y herramientas tales 15
  15. 15. 16 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON como telescopios y c´amaras fotogr´aficas se logr´o obtener por un lado, una visi´on m´as com- pleta y extraordinaria de todos aquellos cuerpos conocidos hasta entonces y, por otro, se descubrieron objetos y estructuras que hab´ıan pasado desapercibidas hasta entonces senci- llamente por la limitaci´on de nuestros sentidos. La astronom´ıa busca dar respuestas a la curiosidad innata del hombre por comprender lo que lo rodea desde el punto de vista c´osmico. Hombres curiosos, animados por motivos teol´ogicos, filos´oficos, o de otra clase, han dedicado sus vidas a la observaci´on, medida y comprensi´on de los cuerpos celestes. Muchos de ellos han legado sus observaciones, fruto de sus pacientes observaciones y medidas hechas en el transcurso de muchos a˜nos, para que los que vienen detr´as de ellos, m´as instruidos y con una experiencia ya heredada, intenten completar el panorama y contin´uen con ese anhelo de exploraci´on y entendimiento. El astr´onomo estudia el cielo de una manera sistem´atica y formal. Sus preguntas son del siguiente tenor:¿Cu´ando ser´a el pr´oximo eclipse de Sol? ¿A qu´e horas exactamente saldr´a el Sol para un d´ıa y lugar determinado? ¿Por qu´e los planetas describen trayectorias aparentes tan complicadas? ¿Qu´e tan antiguo es el Sol? ¿Qu´e composici´on qu´ımica tiene la Luna? ¿A qu´e distancia est´an las estrellas? ¿Por qu´e brillan ´estas? ¿Qu´e tan antiguo es el universo? Las respuestas a algunas de estas preguntas han costado mucho trabajo y dedicaci´on a hombres de ciencia en el transcurso de muchos siglos. Algunas de ellas todav´ıa no tienen una explicaci´on que podamos llamar satisfactoria, pero en el mundo entero miles de astr´onomos continuan desarrollando t´ecnicas observacionales e instrumentales, creando y optimizando nuevos m´etodos anal´ıticos y computacionales con el fin de seguir desentra˜nando los profun- dos misterios e interrogantes que a´un encierra el universo. La astronom´ıa es actualmente una ciencia supremamente extensa que cubre tan vastos campos de inter´es que se ha hecho necesario dividirla en ramas o especializaciones. Para la persona de la calle el astr´onomo es aquel sujeto que se dedica meramente a la observaci´on del cielo. Pero en la realidad es mucho m´as que eso. El astr´onomo, para los c´anones actuales, es un profesional altamente preparado con s´olidos conocimientos en matem´aticas, f´ısica, qu´ımica, biolog´ıa, geolog´ıa, computaci´on, etc. Dependiendo de su area de inter´es tendr´a mayor preparaci´on en algunas de esas ciencias m´as que en otras. Aquellos que se dedican por ejemplo al estudio de las propiedades de los agujeros negros son profesionales con una formaci´on muy s´olida en matem´aticas y f´ısica, pues sus herramienta de trabajo son la geometr´ıa diferencial, la teor´ıa de la relatividad general y la mec´anica cu´antica. Aquellos dedicados a la b´usqueda del origen y formaci´on de la Luna necesitan conocimientos muy profundos de geolog´ıa, qu´ımica y mec´anica celeste. Y as´ı ocurre con todas las dem´as ramas en las que se ha subdividido la astronom´ıa. 1.2 La astronom´ıa esf´erica y din´amica Este libro trata espec´ıficamente de dos ramas de la astronom´ıa que est´an intimamente rela- cionadas entre s´ı. La astronom´ıa esf´erica estudia la manera de como es posible relacionar las direcciones cambiantes de los cuerpos celestes con sus posiciones sobre la superficie de la
  16. 16. 1.3. LA ASTRONOM´IA Y LA ASTROLOG´IA 17 denominada esfera celeste. La astronom´ıa din´amica estudia todas aquellas explicaciones de orden fisicomatem´atico que tratan de dar cuenta del movimiento de los cuerpos celestes bajo la influencia de sus mutuas atracciones gravitacionales, aunque no se descartan otro tipo de fuerzas. La astronom´ıa esf´erica requiere el dominio b´asico de la trigonometr´ıa esf´erica; la astronom´ıa din´amica requiere el manejo de la mec´anica newtoniana, y en casos especiales y rigurosos, de la teor´ıa de la relatividad general. En un contexto m´as amplio, la astronom´ıa esf´erica y la astronom´ıa din´amica forman juntas lo que se conoce como astronom´ıa de posi- ci´on1 . 1.3 La astronom´ıa y la astrolog´ıa Es muy raro el texto de astronom´ıa que se atreva a dedicar si quiera unas l´ıneas dirigidas a dejar en claro la diferencia que existe entre la astronom´ıa y la astrolog´ıa. Sin embargo, el auge que cobran cada vez m´as las pr´acticas adivinatorias y ocultistas entre la poblaci´on, aun entre personas que se precian de ser ilustradas, amerita, a modo de responsabilidad con la sociedad, hacer las siguientes apreciaciones. Son muchas las personas en nuestra sociedad que piensan que la astronom´ıa y la astrolog´ıa son una misma cosa. La realidad es que son dos actividades completa y radicalmente dife- rentes. La astrolog´ıa parte del supuesto de que los astros (el Sol, la Luna y los planetas) y la posici´on aparente de ´estos en relaci´on con las estrellas, tienen una influencia marcada y directa en el destino y el car´acter de las personas, grupos humanos e incluso naciones enteras. Sin embargo, hoy por hoy, con el avance portentoso de la ciencia y la tecnolog´ıa, la astrolog´ıa es vista, por lo medios intelectuales y cient´ıficos, como una simple pr´actica adivi- natoria, a la misma altura de la quiromancia y otras actividades similares. Los creyentes y adeptos de la astrolog´ıa insisten en que su destino, su suerte (o la carencia de ella), sus gustos e instintos dependen y est´an determinados por la ubicaci´on relativa de los cuerpos celestes en instantes cruciales de su existencia, particularmente en el momento de su nacimiento. La astrolog´ıa, a diferencia de la astronom´ıa, no busca explicar el universo. En su trabajo diario y para el desempe˜no de su labor, al astr´ologo lo tiene sin cuidado la constituci´on de las estrellas; no pretende conocer el origen y la evoluci´on del universo, le es indiferente el estudio formal y excitante de la naturaleza del cosmos. Sus conocimientos en matem´aticas, f´ısica y qu´ımica son por lo tanto limitados, pues no es su intenci´on desentra˜nar los misterios del cosmos por lo que no requiere todas esas herramientas que son imprescindibles para el astr´onomo. Eso s´ı, le interesa conocer las efem´erides (las posiciones de los planetas con respecto a las estrellas) para alguna fecha dada, no con la exactitud y precisi´on que requiere el astr´onomo, despreocup´andose por el hecho de que ´estos utilizan en sus c´alculos la teor´ıa de la relatividad general (el funcionamiento, la estabilidad y el poder determinista de las 1No hay un consenso general sobre esta definici´on. En algunas referencias la astronom´ıa de posici´on se entiende como un sin´onimo de astrometr´ıa, esto es, aquella rama de la astronom´ıa que se ocupa de las medidas de las posiciones de los cuerpos celestes en el cielo, en particular en lo que tiene que ver con los conceptos y m´etodos observacionales involucrados en la realizaci´on de las medidas.
  17. 17. 18 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON teor´ıas planetarias no son su problema), pues su intenci´on es adivinar —no calcular— lo que puede ocurrir con el destino de las personas. La diferencia entre astronom´ıa y astrolog´ıa es equivalente, en sus justas proporciones, a la existente entre la hepatolog´ıa y la haruspimancia. La primera es el estudio cient´ıfico del higado, esto es, el estudio de ´este ´organo desde el punto de vista morfol´ogico, fisiol´ogico, etc.; la segunda es la pr´actica adivinatoria que consiste en leer el futuro interpretando la forma y los ligeros cambios de posici´on del higado de animales que se sacrifican con tal fin. El astr´ologo realiza predicciones sobre el destino de las personas basado no en las leyes de la naturaleza sino en recetas y formulaciones carentes por completo de fundamento. El origen de estas reglas puede trazarse hasta unos 2500 A.C. en la ´epoca de los antiguos caldeos, cuando la ciencia y la magia eran una misma cosa. Es justo decir, sin embargo, que hasta tiempos relativamente recientes los astr´onomos fueron tambi´en practicantes de la astrolog´ıa, en particular cuando necesitaban la protecci´on de pr´ıncipes y reyes a los cuales s´olo les interesaba saber lo que los astros les deparaban en el futuro. Es el caso de Johannes Kepler, famoso astr´onomo alem´an, posiblemente el ´ultimo de los grandes astr´onomos que cultiv´o tambi´en la astrolog´ıa. Sin embargo, ya para finales del siglo XVII, ambas actividades se separaron radicalmente hasta hacerse casi irreconocibles. Es muy normal encontrar hoy en d´ıa en pr´acticamente todos los peri´odicos y publicaciones seriadas dirigidas al gran p´ublico, secciones enteras sobre hor´oscopos y avisos publicitarios de astr´ologos “profesionales”. Que la poblaci´on vea a la astrolog´ıa como un pasatiempo o divertimento jocoso vaya y pase. Desdichadamente, son muchas las personas que creen firmemente lo que les indica su hor´oscopo gastando para ello enormes sumas de dinero en la consulta peri´odica de supuestos especialistas en astrolog´ıa. Esto lo que revela no es la eficiencia del astr´ologo en sus predicciones, ni la aprobaci´on de una pr´actica adivinatoria como una ciencia “cierta” o “verdadera” sino m´as bien la falta de cultura cient´ıfica, la inseguridad, y la crisis de identidad de muchos miembros de nuestra sociedad. LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Bakulin, P., Kononovich, E., Moroz, V. (1983) Curso de astronom´ıa general, Mir, Mosc´u. Texto de astronom´ıa que ofrece, sin demasiada profundidad t´ecnica, un amplio espectro de la tem´atica astron´omica. • Brieva-Bustillo, E. (1985) Introducci´on a la astronom´ıa: El sistema solar, Empresa Editorial Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a. Un texto breve y descriptivo de la mayor´ıa de temas de la astronom´ıa moderna, con ´enfasis en el sistema solar. • Culver, B., Ianna, P. (1994) El secreto de las estrellas, astrolog´ıa: ¿mito o realidad?, Tikal ediciones, Gerona. Excelente libro que expone con detalle las fallas conceptuales de la astrolog´ıa. Muy revelador para todos aquellos que no comprenden la diferencia entre la astronom´ıa y la astrolog´ıa. • Karttunen, H., et al. (1996) Fundamental Astronomy, Springer-Verlag, Heidelberg. Excelente texto de astronom´ıa a nivel universitario que cubre diversos aspectos de los moder- nas t´ecnicas observacionales y te´oricas.
  18. 18. 1.3. LA ASTRONOM´IA Y LA ASTROLOG´IA 19 • Sagan C. (1994) Cosmos, Planeta, Bogot´a. Inmejorable libro de divulgaci´on astron´omica, ampliamente ilustrado, con diversad de t´opicos sobre la historia y proyecci´on del pensamiento cient´ıfico. • Sagan, C. (1984) El cerebro de Broca, Grijalbo, M´exico. Una descripci´on autorizada sobre diversos t´opicos astron´omicos con algunos matices sobre la aplicaci´on del m´etodo cient´ıfico. • Sagan, C. (1997), El mundo y sus demonios, Planeta, Bogot´a. Un libro que llama la atenci´on sobre la necesidad de cultivar una visi´on esc´eptica del universo y de los peligros que entra˜na la difusi´on de pr´acticas ocultistas y seudociencias en nuestro mundo civilizado. • Senior, J.E. (1996) Epistemolog´ıa y divulgaci´on de la astronom´ıa, en Memorias del segundo encuentro nacional de astronom´ıa, Universidad Tecnol´ogica de Pereira. Excelente ensayo epistemol´ogico que plantea estrategias para la difusi´on de la astronom´ıa y en general del pensamiento racional en nuestro pa´ıs. • http://www.wsanford.com/~wsanford/exo/zodiac.htm Se encuentran varios comentarios referentes a la diferencia entre astronom´ıa y astrolog´ıa. • http://www.voicenet.com/~eric/astrology.htm En esta hoja electr´onica se encuentran multitud de consideraciones en contra de la astrolog´ıa con gran cantidad de enlaces y bibliograf´ıa.
  19. 19. 20 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON
  20. 20. Cap´ıtulo 2 TRIGONOMETR´IA ESF´ERICA Puesto que muchos problemas astron´omicos de inter´es se reducen al estudio de los tri´angulos esf´ericos, nos vemos en la necesidad de ver algunos conceptos m´ınimos en esta materia que nos ser´an de gran ayuda m´as adelante. La trigonometr´ıa esf´erica es aquella rama de las matem´aticas que trata con las relaciones num´ericas entre los lados y los ´angulos de tri´angulos esf´ericos. Definimos ´angulo diedro (ver figura 2.1) a aquel formado por dos planos que se cortan. Los planos reciben el nombre de caras del ´angulo diedro, en tanto que la recta de intersecci´on recibe el nombre de arista del ´angulo diedro. ARISTA Figura 2.1: ´Angulo diedro Definimos ´angulo triedro (ver figura 2.2) a aquel formado por la intersecci´on en un s´olo 21
  21. 21. 22 CAP´ITULO 2. TRIGONOMETR´IA ESF´ERICA punto de tres planos. El punto de intersecci´on es denominado v´ertice del ´angulo triedro. Los planos reciben el nombre de caras del ´angulo triedro. Las caras, tomadas de dos en dos, forman tres ´angulos diedros cuyas aristas OX, OY, OZ son las aristas del ´angulo triedro. Z O X Y Figura 2.2: ´Angulo triedro Ahora bien, cualquier intersecci´on de un plano con una esfera es una circunferencia. Llamamos circunferencia m´axima (ver figura 2.3) a aquella que resulta de la intersecci´on de la superficie de una esfera y un plano que pasa por el centro de dicha esfera. En el caso en que el plano no pase por el centro de la esfera, dar´a origen a una circunferencia menor. Definimos los polos (P y P’) de una circunferencia (m´axima o menor) a aquellos puntos sobre la superficie de la esfera que resultan de la intersecci´on de ella con una l´ınea perpendicular al plano que da origen a las circunferencias. P’ CIRCUNFERENCIA MENOR CIRCUNFERENCIA MAXIMA P O Figura 2.3: Circunferencia m´axima y circunferencia menor Miremos ahora la figura 2.4 en la que tenemos la circunferencia m´axima que pasa por los puntos CAB y tiene por polos P y P’. Perpendicularmente a ella tenemos dos arcos
  22. 22. 23 pertenecientes a circunferencias m´aximas que pasan por A y B respectivamente. Se llama ´angulo esf´erico a aquel ´angulo formado por dos arcos de circunferencias m´aximas. En nues- tro caso, el ´angulo esf´erico es el ´angulo APB. Los arcos conforman los denominados lados del ´angulo esf´erico, y el punto donde se interceptan los arcos es llamado el v´ertice, esto es, P (o P’). Importante en trigonometr´ıa esf´erica es definir la medida de un ´angulo esf´erico. Esta viene dada por el ´angulo diedro formado por los planos de las circunferencias m´aximas cuyos arcos hacen parte de los lados del ´angulo esf´erico. Debe ser claro para el lector que el ´angulo diedro APOB corresponde a la medida del ´angulo plano AOB que a su turno tiene por medida la del arco AB. P P’ O A B C Figura 2.4: ´Angulo esf´erico Un tri´angulo esf´erico (ver figura 2.5) es aquella regi´on sobre la superficie de una esfera que est´a limitada por los arcos de tres circunferencias m´aximas. Los arcos corresponden a los lados del tri´angulo esf´erico; los v´ertices de los tres ´angulos esf´ericos son los v´ertices del tri´angulo esf´erico. Siguiendo la notaci´on usual en trigonometr´ıa plana, los ´angulos se denotan con letras may´usculas (A, B, C) y los respectivos ´angulos opuestos con letras min´usculas (a, b, c). N´otese que al unir los v´ertices A, B y C con el centro de la esfera se forma un ´angulo triedro. Los lados a, b y c del tri´angulo esf´erico se miden por los ´angulos de las caras BOC, COA y AOB respectivamente del ´angulo triedro.
  23. 23. 24 CAP´ITULO 2. TRIGONOMETR´IA ESF´ERICA A B a c C O b Figura 2.5: Tri´angulo esf´erico Ahora bien, es f´acil verificar que tres circunferencias m´aximas que se cortan deter- minan 8 tri´angulos esf´ericos. Por convenci´on, consideraremos aqu´ı ´unicamente aquellos tri´angulos esf´ericos en los que cualquier lado y cualquier ´angulo es menor que 180o . Para estos tri´angulos: • La suma de dos lados cualquiera es mayor que el tercer lado. • La suma de los tres lados es menor que 360o . • Si dos lados son iguales, los ´angulos opuestos son iguales. Rec´ıprocamente tambi´en es v´alido. • La suma de los tres ´angulos es mayor que 180o y menor que 540o . 2.1 Relaciones fundamentales Procedemos ahora a derivar las ecuaciones fundamentales de la trigonomer´ıa esf´erica. Con- sid´erese un sistema de coordenadas rectangular (x, y, z) centrado en el origen de una esfera de centro O. Sea el plano xy el que forma un plano de referencia el cual tendr´a por polos a las intersecciones del eje z con la superficie de la esfera.
  24. 24. 2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 25 x y z ξ η K P O Figura 2.6: Suponiendo que la esfera tiene un radio unidad e introduciendo dos ´angulos, ξ, η, de la forma como se muestra en la figura 2.6, un punto K sobre la superficie de la esfera tiene por coordenadas rectangulares: x = cos ξ cos η, y = sen ξ cos η, (2.1) z = sen η. Con el fin de crear un tri´angulo esf´erico en nuestra esfera procedemos a realizar una rotaci´on un ´angulo ζ alrededor del eje x de tal forma que las posiciones de los nuevos ejes y y z son como se ilustran en la figura 2.7. Con la rotaci´on estamos introduciendo un nuevo sistema de coordenadas (x , y , z ). N´otese que ahora existe un nuevo plano de referencia conformado por los ejes x y . Introduciendo ahora los ´angulos ξ , η con respecto al nuevo sistema de coordenadas tenemos, para el mismo punto K: x = cos ξ cos η , y = sen ξ cos η , (2.2) z = sen η .
  25. 25. 26 CAP´ITULO 2. TRIGONOMETR´IA ESF´ERICA z x=x’ y y’ P ζ ζ K z’ P’ ξ η’ ’ Figura 2.7: Vemos que se forma un tri´angulo esf´erico conformado por los v´ertices P, P’, K. Es f´acil darse cuenta de los valores que adquieren los ´angulos internos y los lados de dicho tri´angulo esf´erico en t´erminos de ξ, η, ξ , η y ζ . Al comparar dicho tri´angulo con el tri´angulo esf´erico de la derecha de la figura 2.8 obtenemos: A = 90 + ξ, B = 90 − ξ , a = 90 − η , (2.3) b = 90 − η, c = ζ. Necesitamos encontrar la relaci´on existente entre las coordenadas (x, y, z) y (x , y , z ). Puesto que la rotaci´on se ha hecho con respecto al eje x, obtenemos la relaci´on de equiva- lencia: x = x. (2.4) Para hallar las relaciones entre (y, z) y (y , z ) hacemos uso de la figura 2.9, la cual muestra la orientaci´on de estos ejes con el eje x perpendicular al plano de la hoja. Un punto K cualquiera que dista del origen por un radio igual a la unidad tiene por coordenadas con respecto a y y z : y = cos θ, (2.5)
  26. 26. 2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 27 z = sen θ. (2.6) El mismo punto K tiene por coordenadas con respecto a y y z: y = cos(θ + ζ), z = sen (θ + ζ), (2.7) o, lo que es lo mismo: y = cos θ cos ζ − sen θ sen ζ, z = sen θ cos ζ + cos θ sen ζ. (2.8) Al reemplazar las ecuaciones (2.5) y (2.6) en estas ´ultimas obtenemos: y = y cos ζ − z sen ζ, z = z cos ζ + y sen ζ. (2.9) De la ecuaci´on (2.4) y de las ecuaciones (2.1) y (2.2) podemos escribir: cos ξ cos η = cos ξ cos η , o, en t´erminos de las relaciones (2.3): cos(A − 90) cos(90 − b) = cos(90 − B) cos(90 − a), y puesto que para cualquier ´angulo α se tiene cos(90 − α) = sen α, la ecuaci´on anterior es equivalente a: sen A sen a = sen B sen b . (2.10) De id´entica forma, podemos utilizar la segunda de las ecuaciones (2.9) y reemplazar en ella la ´ultima de las ecuaciones (2.1) y la segunda y tercera de (2.2) para obtener: ’ ’ ζ 90−η 90−η90−ξ 90+ξ c C AB a b Figura 2.8:
  27. 27. 28 CAP´ITULO 2. TRIGONOMETR´IA ESF´ERICA y ζ y’ θ ζ O K z z’ Figura 2.9: sen η = sen η cos ζ + sen ξ cos η sen ζ. Al tener en cuenta las relaciones (2.3) obtenemos: sen (90 − b) = sen (90 − a) cos c + sen (90 − B) cos(90 − a) sen c, y puesto que para cualquier ´angulo α se tiene sen (90 − α) = cos α, la ecuaci´on anterior es igual a: cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B. (2.11) Por ´ultimo, al tomar la primera de las ecuaciones (2.9) y reemplazar en ella las ecuaciones (2.1) y (2.2) obtenemos: sen ξ cos η = sen ξ cos η cos ζ − sen η sen ζ. Al tener en cuenta, como antes, las relaciones (2.3): sen (A − 90) cos(90 − b) = sen (90 − B) cos(90 − a) cos c − sen (90 − a) sen c, equivalente a: cos A sen b = − cos B sen a cos c + cos a sen c. (2.12) Las ecuaciones para los otros lados y ´angulos pueden obtenerse simplemente al hacer permutaciones c´ıclicas de los lados (a, b, c) y los ´angulos (A, B, C), de tal forma que una generalizaci´on de (2.10), llamada teorema del seno de la trigonometr´ıa esf´erica, es: sen A sen a = sen B sen b = sen C sen c . (2.13) De forma an´aloga, podemos encontrar las otras expresiones para (2.11), llamadas en conjunto el teorema del coseno de la trigonometr´ıa esf´erica: cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B, cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C, (2.14) cos a = cos c cos b + sen c sen b cos A.
  28. 28. 2.1. RELACIONES FUNDAMENTALES 29 Por ´ultimo, las otras ecuaciones equivalentes a (2.12) son llamadas en conjunto el teorema del seno por el coseno: cos A sen b = − cos B sen a cos c + cos a sen c, cos A sen c = − cos C sen a cos b + cos a sen b, cos B sen a = − cos A sen b cos c + cos b sen c, cos B sen c = − cos C sen b cos a + cos b sen a, (2.15) cos C sen a = − cos A sen c cos b + cos c sen b, cos C sen b = − cos B sen c cos a + cos c sen a. Las ecuaciones (2.13), (2.14) y (2.15) son las expresiones b´asicas de la trigonometr´ıa esf´erica. Las mismas ser´an utilizadas frecuentemente en el transcurso del libro. LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Ayres, F. (1970) Lecturas y problemas de Trigonometr´ıa plana y esf´erica, McGraw-Hill, M´exico. Como todos los libros de la serie de Schaum, excelente. En los cap´ıtulos 19 a 24 se encuentra una buena descripci´on de conceptos ´utiles en la astronom´ıa esf´erica. • Vives, T. (1971), Astronom´ıa de posici´on, Alhambra, Bilbao. Libro cl´asico de astronom´ıa de posici´on en espa˜nol. El cap´ıtulo 1 contiene una extensa ex- posici´on de las f´ormulas de la trigonometr´ıa esf´erica incluyendo f´ormulas diferenciales. • http://polaris.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter2.htm Conceptos y f´ormulas fundamentales de la trigonometr´ıa esf´erica. • http://home.t-online.de/home/h.umland/chap9.htm Al igual que el anterior, conceptos b´asicos de la trigonometr´ıa esf´erica.
  29. 29. 30 CAP´ITULO 2. TRIGONOMETR´IA ESF´ERICA
  30. 30. Cap´ıtulo 3 EL PLANETA TIERRA La Tierra, el lugar de origen de los seres humanos y, por supuesto, el sitio desde donde contemplamos el universo, es un planeta que dista aproximadamente unos 150 millones de kil´ometros de una estrella de mediano tama˜no que llamamos el Sol. Posee un ´unico sat´elite natural llamado la Luna, el cual est´a a unos 384 400 kil´ometros de distancia. La Tierra es de forma aproximadamente esf´erica, con un radio aproximado de 6378 kil´ometros. En orden de distancia al Sol la Tierra es el tercer planeta de dentro hacia fuera y realiza una revoluci´on en torno del Sol (movimiento de traslaci´on) en un per´ıodo de tiempo que llamamos a˜no. La Tierra gira sobre s´ı misma (movimiento de rotaci´on) en un per´ıodo que llamamos d´ıa. T´ecnicas modernas revelan que nuestro planeta es supremamente antiguo: posee, al igual que el sistema solar, una edad de 4600 millones de a˜nos. La Tierra posee una tenue capa de gases que la rodean por completo denominada atm´osfera. Dicha atm´osfera est´a conformada en su mayor parte de nitr´ogeno (78%) y ox´ıgeno (21%), y cantidades muy peque˜nas (1%) de otros gases tales como agua, bi´oxido de carbono, arg´on, xen´on, etc. El espesor de la atm´osfera es ´ınfimo comparado con el radio del planeta, pues aunque los especialistas tengan algunas diferencias con respecto a la demarcaci´on de sus l´ımites (algunos llegan a extenderla hasta los 2000 kil´ometros), lo cierto es que ya a una altura de los 120 kil´ometros est´a contenido el 99.9% del peso total de la misma. Hasta en el momento en que se escriben estas lineas la Tierra posee a´un el honor de ser el ´unico planeta donde se ha gestado el fen´omeno que llamamos vida. Pero es muy dudoso, a la luz de recientes investigaciones, que siga siendo exclusivamente la poseedora de tan significativo privilegio. Y no s´olo ha generado vida: tambi´en ha dado origen a seres vivos autoconcientes que poseen una curiosidad sorprendente por tratar de entender lo que los rodea. Hasta hace unos cuantos a˜nos las observaciones astron´omicas se hac´ıan exclusivamente sobre la superficie de la Tierra lo que implicaba (y a´un implica) multitud de inconvenientes y desventajas: el movimiento diurno es el m´as obvio: los astros aparentemente se mueven de oriente a occidente por lo que es necesario compensar dicho movimiento para poder rastrear y observar adecuadamente los astros. La atm´osfera absorbe muchas longitudes de onda de 31
  31. 31. 32 CAP´ITULO 3. EL PLANETA TIERRA Masa 5.9736×1024 kg Masa de la atm´osfera 5.1×1018 kg Masa de los oc´eanos 1.4×1021 kg Radio ecuatorial 6 378 140 m Radio polar 6 356 755 m Distancia media al Sol 1.496×1011 m = 1 u.a. Densidad media 5515 kg m−3 Per´ıodo de rotaci´on 1 d´ıa = 23h 56m 4.09s Per´ıodo de traslaci´on 1 a˜no = 365.2421897 d Temperatura superficial −35 a 50 o C Tabla 3.1: Algunos datos del planeta Tierra inter´es tales como los rayos X, los rayos gamma y la radiaci´on ultravioleta; aquella radiaci´on que no es absorbida sufre de extinci´on atmosf´erica, lo que significa que la luz se dispersa y se atenua al pasar por el aire. Adem´as, el fen´omeno de refracci´on atmosf´erica afecta la direcci´on real de la luz que nos env´ıan los astros. Hoy en d´ıa se han colocado sat´elites artificiales y se han mandado sondas a otros planetas, lo que ha incrementado de forma espectacular el conocimiento que se ten´ıa previamente de cuerpos que s´olo se observaban a trav´es de telescopios sobre el terreno. 3.1 Forma de la Tierra Al igual que los otros planetas del sistema solar y la mayor´ıa de sus sat´elites, la Tierra posee simetr´ıa esf´erica, esto es, su forma es casi la de una esfera. La rotaci´on de los planetas es responsable de crear en el proceso de su formaci´on una ligera acumulaci´on de masa sobre el ecuador, por lo que el radio en las vecindades de ese lugar es un poco mayor que en los polos. En la Tierra la diferencia entre el radio en el ecuador y el radio en los polos es apenas de 21 385 metros. Aunque pueda parecernos un valor muy peque˜no (0.3% del radio) el hecho es que esa diferencia ha de ser tenida en cuenta en la conformaci´on de mapas, en el c´alculo de eclipses, estimaci´on de trayectorias de sat´elites, etc. La ciencia que se ocupa de estudiar la figura geom´etrica precisa de la Tierra, los m´etodos que emplea y su significado es llamada geodesia. Antes de 1957, esto es, antes del advenimien- to de los sat´elites artificiales, el trabajo geod´esico se realizaba por m´etodos de triangulaci´on y de gravimetr´ıa hechos sobre el terreno. Con la utilizaci´on de sat´elites artificiales ha sido posible incrementar mucho m´as nuestro conocimiento sobre la forma verdadera de nuestro planeta. Nos consta que nuestro planeta posee una superficie continental de gran diversidad de formas y variaciones. Accidentes geogr´aficos tales como monta˜nas abruptas y escarpadas se ubican en ocasiones al lado de grandes llanos y praderas. Sin embargo, el planeta Tierra est´a cubierto, en m´as de un 70%, por agua, una sustancia fluida que como tal tiende a ajustar
  32. 32. 3.1. FORMA DE LA TIERRA 33 GEOIDE ELIPSOIDE TOPOGRAFIA Figura 3.1: Geoide, elipsoide (esferoide) y forma verdadera de la Tierra f´acilmente su superficie normal a la direcci´on de la gravedad. Ello quiere decir que en buena medida la superficie de nuestro planeta puede describirse en t´erminos del nivel medio de los oc´eanos que la cubren en un buen porcentaje. Se llama geoide a la figura geom´etrica que busca representar la verdadera forma del planeta Tierra haciendo que la figura coincida con el nivel medio de los oc´eanos del mundo y contin´ue sobre las ´areas continentales como una superficie imaginaria (a nivel promedio del mar). El geoide tiene por definici´on la propiedad de que cualquier lugar de su superficie debe ser perpendicular a la direcci´on de la fuerza de la gravedad. Figura 3.2: Una elipse rotando alrededor de su eje mayor da lugar al elipsoide de revoluci´on Rigurosamente hablando, el geoide es una superficie equipotencial dentro del campo gravitacional terrestre. Ahora bien, en la pr´actica el geoide es imposible de identificar con una figura geom´etrica sencilla, pues resulta siendo completamente irregular (ver figura 3.1). Por ello se suele adoptar como figura geom´etrica apropiada —en muy buena aproximaci´on— un elipsoide de revoluci´on, llamado tambi´en esferoide, cuya forma tridimensional resulta de rotar por completo una elipse sobre su eje mayor, ver figura 3.2. El geoide puede estar por encima o por debajo del elipsoide de revoluci´on tanto como unos 100 metros, diferencia llamada “ondulaci´on del geoide”. Las ondulaciones m´as grandes se registran en una depresi´on al sur de la India que alcanza los 105 metros y una elevaci´on al norte de Australia que alcanza los 75 metros. Un elipsoide de revoluci´on o esferoide queda determinado si se fija el radio ecuatorial a que juega el papel del semieje mayor del elipsoide, y una relaci´on llamada achatamiento f. El achatamiento est´a relacionado con el semieje menor de dicho elipsoide que es el radio polar b (ver Tabla 3.1) a trav´es de la relaci´on: b = a(1 − f). (3.1)
  33. 33. 34 CAP´ITULO 3. EL PLANETA TIERRA Con el avance de la t´ecnica y la puesta a punto de m´etodos m´as precisos para medir las dimensiones de la Tierra, se han establecido hist´oricamente valores cada vez m´as refinados de estas cantidades. Actualmente se recomienda la utilizaci´on de los valores fijados por la Uni´on Astron´omica Internacional (UAI) en 19791 : a = 6 378 140 metros, f = (a − b)/a = 1/298.257. Ahora bien, todos los cuerpos celestes giran sobre s´ı mismos, incluyendo por supuesto la Tierra. El movimiento de rotaci´on del planeta define instant´aneamente una l´ınea imaginaria que pasa por el centro del planeta la cual es llamada eje de rotaci´on. Dicho eje de rotaci´on coincide en promedio con el eje del momento principal de inercia, llamado tambi´en eje de figura. El eje de rotaci´on y el eje de figura no coinciden exactamente puesto que el eje de rotaci´on se mueve lentamente alrededor del eje de figura en un movimiento cuasi-peri´odico con una amplitud que oscila entre los 0.05 y 0.25 segundos de arco, lo que equivale a un desplazamiento entre uno y ocho metros sobre la superficie de la Tierra. Dicho movimiento se conoce con el nombre de movimiento polar. El astr´onomo norteamericano Seth Carlo Chandler encontr´o, en 1892, que el movimiento del polo es la resultante de la superposici´on de dos componentes que poseen per´ıodos distintos: una componente, llamada ahora com- ponente de Chandler, tiene una duraci´on de 14 meses, y es una oscilaci´on libre que surge de la forma compleja de la Tierra; la otra componente es de 12 meses y es una oscilaci´on forzada originada por efectos meteorol´ogicos tales como cambios estacionales2 . La posici´on del polo es la suma vectorial de estas dos componentes y describe una especie de espiral irregular alrededor de un polo medio o promedio durante un ciclo de seis a˜nos. Puesto que las magnitudes de las componentes pueden cambiar, el movimiento durante los ciclos no es el mismo. Dado que este movimiento no puede ser predicho con precisi´on, es necesario realizar observaciones regulares para ubicar la posici´on instant´anea del eje de rotaci´on. Definido el eje de rotaci´on de la Tierra podemos definir un plano perpendicular al mismo de tal forma que pase por el centro de masa del planeta. La circunferencia que resulta de la intersecci´on de dicho plano con la superficie del esferoide es llamada ecuador terrestre (ET), ver figura 3.3. Los puntos sobre la superficie del esferoide (i.e., sobre la superficie terrestre) por donde emerge el eje de rotaci´on son llamados polos terrestres. Aquel situado sobre el hemisferio norte es llamado polo norte terrestre (PNT) en tanto que el otro es llamado polo sur terrestre (PST). N´otese que al moverse el eje de rotaci´on, tambi´en se est´an desplazando ligeramente los polos. Obviamente el ET es completamente equidistante de ambos polos. 1Ello no significa que sea de utilizaci´on obligatoria por parte de todos los profesionales. Por ejemplo, en navegaci´on astron´omica satelital las posiciones que da el GPS est´an con referencia al elipsoide WGS84. 2El movimiento polar hab´ıa sido predicho por el matem´atico suizo Leonhard Euler en 1765 utilizando la teor´ıa din´amica y un modelo de la Tierra r´ıgida. Sus c´alculos mostraron que la oscilaci´on deb´ıa tener un per´ıodo de 10 meses. En realidad el per´ıodo es cuatro meses mayor a causa de la elasticidad del manto terrestre y del movimiento de los oc´eanos, efectos que Euler no incluy´o en su modelo.
  34. 34. 3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA35 PST PNT ECUADOR TERRESTRE EJE DE ROTACION Figura 3.3: Polos terrestres y ecuador terrestre 3.2 Coordenadas de un observador en la superficie de la Tierra Para fijar la posici´on de un observador sobre la superficie de la Tierra se utilizan tres tipos de coordenadas: - Coordenadas geoc´entricas, - Coordenadas geod´esicas, - Coordenadas geogr´aficas (astron´omicas). Una descripci´on de cada uno de estos tipos de coordenadas se presenta a continuaci´on. 3.2.1 Coordenadas geoc´entricas Este sistema de coordenadas tiene como origen el centro de masa de la Tierra. El plano fundamental es, para los tres sistemas, el ecuador terrestre (ET). Las coordenadas geoc´entricas son: φ = latitud geoc´entrica, λ = longitud geoc´entrica, ρ = distancia radial. La latitud geoc´entrica φ de un punto sobre la superficie terrestre es el ´angulo existente entre una l´ınea que pasa por el punto y el centro del planeta, y el ecuador terrestre. La latitud geoc´entrica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo:
  35. 35. 36 CAP´ITULO 3. EL PLANETA TIERRA −90o (90o S) ≤ φ ≤ 90o (90o N). N´otese que: φ(P NT ) = 90o , φ(P ST ) = −90o . Para especificar en qu´e hemisferio de la superficie de la Tierra est´a ubicado el punto es necesario adicionar un indicativo. Este consiste en agregar la letra N (norte) en el caso de que el punto considerado est´e en el hemisferio norte, de lo contrario se escribe la letra S (sur). Sin embargo, en los c´alculos trigonom´etricos que involucren la latitud es necesario expresar la latitud expl´ıcitamente con un signo negativo cuando el punto est´a ubicado en el hemisferio sur. ρ φ PST PNT ET CENTRO DE LA TIERA ’ Figura 3.4: Latitud geoc´entrica φ La longitud geoc´entrica λ de un punto sobre la superficie terrestre es el ´angulo medido sobre el ecuador terrestre, desde el meridiano cero (o de referencia) hasta el meridiano del punto correspondiente. La longitud puede medirse hacia ambos lados del meridiano cero, haci´endose necesario en este caso especificar si el ´angulo es al oeste (occidente) o si es al este (oriente). Para tal fin utilizamos la notaci´on siguiente: λE si el ´angulo de longitud se mide hacia el este del meridiano de referencia; λW si el ´angulo de longitud se mide hacia el oeste del meridiano de referencia. Se acostumbra a especificar la longitud geogr´afica de tal forma que nunca exceda los 180. Esto significa que si un punto posee una longitud λE = 200o , aunque enteramente v´alida, es conveniente escribir λW = 160o . Tambi´en se suele utilizar un signo (+ o −) en frente de la longitud para especificar si un punto est´a hacia el este o al oeste del meridiano de referencia. Se ha escogido el signo positivo (+) cuando la longitud se toma hacia el este del meridiano de referencia; el signo negativo (−) se usa en caso contrario.
  36. 36. 3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA37 λE ECUADOR TERRESTRE MERIDIANODEREFERENCIA PST PNT φ ρ * ’ Figura 3.5: Latitud geoc´entrica, longitud geoc´entrica y la distancia radial El meridiano cero o meridiano de referencia puede definirse de tal forma que atraviese en principio cualquier lugar sobre la superficie de la Tierra. Sin embargo, desde el punto de vista hist´orico, los meridianos de referencia definidos han pasado por los observatorios astron´omicos m´as notables de cada imperio o pa´ıs. Fue as´ı como el imperio brit´anico defini´o el meridiano de referencia como aquel que atraviesa el Observatorio Real de Greenwich, sien- do Greenwich un municipio de Londres, Inglaterra. De la misma forma, Francia estableci´o como meridiano de referencia aquel que atraviesa el Observatorio de Par´ıs y Espa˜na hizo lo propio con el Observatorio Real de San Fernando. Actualmente, el meridiano cero o de referencia de uso general es, por acuerdo en una reuni´on internacional realizada en 1884, el meridiano de Greenwich. La distancia radial ρ de un punto sobre la superficie terrestre es la distancia en l´ınea recta existente entre dicho punto y el centro de masa de la Tierra. 3.2.2 Coordenadas geod´esicas Este sistema de coordenadas descansa enteramente en un esferoide (elipsoide de revoluci´on) de referencia que hay que especificar de entrada. Un esferoide queda determinado, como ya se dijo antes, cuando se adoptan valores espec´ıficos del radio ecuatorial terrestre a y del achatamiento f (o un par´ametro equivalente). La importancia de este sistema de co- ordenadas radica en que la latitud geod´esica es la que se encuentra en los mapas, atlas y diccionarios geogr´aficos.
  37. 37. 38 CAP´ITULO 3. EL PLANETA TIERRA Las coordenadas geod´esicas son: φ = latitud geod´esica, λ = longitud geod´esica, h = altura sobre el esferoide. La latitud geod´esica φ de un punto sobre la superficie terrestre es el ´angulo existente entre la normal al esferoide en dicho punto y el ecuador terrestre, ver figura 3.6. La latitud geod´esica tiene valores comprendidos entre el siguiente intervalo: −90o (90o S) ≤ φ ≤ 90o (90o N), con: φ(P NT ) = 90o , φ(P ST ) = −90o . La latitud geod´esica φ puede llegar a diferir de la latitud geoc´entrica hasta unos 11.5 minutos de arco a una latitud de 45o . La longitud geod´esica λ est´a definida de la misma forma que la longitud geoc´entrica λ , de tal forma que λ = λ . NORMAL AL ESFEROIDE TANGENTE AL ESFEROIDE a φ ET PST PNT h CT Figura 3.6: Latitud geod´esica φ La altura h de un observador sobre el elipsoide es la distancia sobre el esferoide medida a lo largo de la normal a dicho esferoide. En primera aproximaci´on se puede tomar h de un determinado sitio como su altura sobre el nivel de mar. En la tabla 3.2 se especifican varios esferoides de referencia de uso actual.
  38. 38. 3.2. COORDENADAS DE UN OBSERVADOR EN LA SUPERFICIE DE LA TIERRA39 Nombre y fecha Radio ecuatorial a (metros) Achatamiento WGS 84, 1984 6378137 1/298.257223563 MERIT, 1983 6378137 1/298.257 GRS 80, 1980 6378137 1/298.257222 UAI, 1979 6378140 1/298.257 Tabla 3.2: Algunos esferoides de referencia actuales 3.2.3 Coordenadas geogr´aficas (astron´omicas) Cuando se determinan la latitud y la longitud mediante observaciones astron´omicas, esto es, con respecto al polo celeste y al meridiano local a trav´es de la vertical local, a los valores obtenidos de estos ´angulos se les adiciona el adjetivo de geogr´aficos (o tambi´en astron´omicos). La latitud geogr´afica (φ ) de un punto sobre la superficie terrestre es el ´angulo exis- tente entre la direcci´on de la plomada (la vertical local) y el ecuador terrestre, ver figura 3.7. Puesto que la vertical local de un punto es afectada por las anomal´ıas gravitacionales locales (monta˜nas prominentes, dep´ositos subterr´aneos muy densos, etc.) y los campos gravitacionales cambiantes de la Luna, el Sol y los oc´eanos —lo que implica que la vertical extendida hasta el centro de la Tierra no pasa por el centro del esferoide— existir´a una peque˜na diferencia en direcci´on entre la vertical de dicho punto y la normal al esferoide (la que define φ). La inclinaci´on de la vertical local a la normal al esferoide de referencia se conoce con el nombre de desviaci´on de la vertical. Por lo tanto, lo que diferencia la latitud geogr´afica de la latitud geod´esica es la desviaci´on de la vertical. a φ ET TANGENTE AL ESFEROIDE NORMAL AL ESFEROIDE DIRECCION DE LA PLOMADA CT φ´´ PST PNT Figura 3.7: Latitud geogr´afica o astron´omica
  39. 39. 40 CAP´ITULO 3. EL PLANETA TIERRA La longitud geogr´afica (λ ) de un punto sobre la superficie terrestre es el ´angulo entre el plano del meridiano astron´omico de dicho punto y el plano del primer meridiano que pasa por Greenwich. El meridiano astron´omico es el plano que pasa por el observador y contiene la vertical y una paralela a la direcci´on del eje de rotaci´on. Como ya se dijo, la vertical de un punto no necesariamente pasa por el centro del esferoide, por lo que el meridiano astron´omico no coincide por lo general con el meridiano geod´esico (que s´ı pasa por el centro del esferoide). De ah´ı que las longitudes geogr´afica y geod´esica difieran entre s´ı por una peque˜na diferen- cia. En este libro supondremos que las tres definiciones de longitud son iguales: λ = λ = λ . NOTA: La desviaci´on de la vertical es por lo general un valor muy peque˜no, de unos cuantos segundos de arco, pero hay algunos lugares en los que se registra hasta un minuto de arco. En este libro, como en la mayor´ıa de los libros de astronom´ıa, no haremos diferencia entre las coordenadas geod´esicas y geogr´aficas. 3.3 Unidades de longitud y su relaci´on con las dimen- siones terrestres La unidad fundamental de longitud en el sitema m´etrico se llama metro (m). En 1795 el gobierno franc´es decret´o el uso de esta unidad para hacerlo lo m´as popular que se pudiera pues entre las diferentes provincias se utilizaban distintas medidas. Para tal fin se nombr´o una comisi´on cient´ıfica que al cabo de un tiempo fij´o el uso del sistema decimal y defini´o el metro como 1/10 000 de una cuarta parte del meridiano terrestre. Como quien dice, con base en esta unidad de medida la circunferencia de la Tierra se estimaba en aquella ´epoca en 40 000 metros exactamente. S´olo en 1837 el sistema m´etrico decimal fue declarado obligatorio en Francia y paulati- namente fue adoptado por casi todos los paises salvo los anglosagones quienes s´olo recien- temente lo han estado introduciendo progresivamente. Despu´es, en 1875, la Convenci´on del Metro instituy´o una Oficina Internacional de Pesos y Medidas cuya sede se fij´o en Par´ıs donde, en el pabell´on de Breteuil se guardan el metro internacional (de platino e iridio), como tambi´en el kilogramo internacional. Sin embargo, los avances incesantes de la t´ecnica obligaron a una redefinici´on del metro ya para comienzos de los a˜nos sesenta. Desde el primero de enero de 1961 se define el metro como “la longitud igual a 1 650 763.73 veces la longitud de onda en el vac´ıo de la radiaci´on correspondiente a la transici´on entre los niveles 2p10 y 5d5 del ´atomo de cript´on 86”. Otra unidad de longitud, muy popular en los paises anglosajones, es la milla n´autica. ´Esta se define como la distancia sobre un c´ırculo m´aximo que subtiende un ´angulo de un minuto de arco en el centro de la Tierra. Por lo tanto, y de forma aproximada, podemos encontrar f´acilmente a qu´e equivale una milla n´autica. Puesto que una circunferencia comprende 360 grados, esto es, 360×60 = 21 600 minutos de arco, y estos deben dar alrededor de 40 000 000 m se desprende que una milla n´autica debe equivaler a 1851 m. Ahora bien, como la Tierra no es completamente esf´erica resulta que la milla n´autica es distinta si se mide en el ecuador
  40. 40. 3.4. TRANSFORMACI ´ON ENTRE LATITUDES 41 que si se mide en los polos. Se ha tomado un valor promedio equivalente a 1852 metros. Ha de tenerse cuidado con la posible confusi´on que pueda surgir entre la milla n´autica y la milla, donde ´esta es una unidad de longitud utilizada en caminos y rutas, que equivale a 1609 metros. 3.4 Transformaci´on entre latitudes Aqu´ı supondremos que la latitud geogr´afica (o astron´omica) (φ ) se puede aproximar a la latitud geod´esica (φ) por lo que s´olo nos ocuparemos de la relaci´on entre ´esta y la latitud geoc´entrica (φ ). y φ φ x ’ a x b y Figura 3.8: Relaci´on entre latitud geoc´entrica y geod´esica Observemos la figura 3.8 donde est´an relacionadas las latitudes en cuesti´on. Es evidente que: tan φ = y x . (3.2) Por otro lado, la ecuaci´on de una elipse con centro en el origen y cuyo eje mayor a est´a ubicado sobre el eje x y el eje menor sobre el eje y es: x2 a2 + y2 b2 = 1. (3.3) De ´esta se deduce que la tangente a cualquier punto de la elipse, denotada por dy dx , es: dy dx = − x y b2 a2 .
  41. 41. 42 CAP´ITULO 3. EL PLANETA TIERRA Ahora bien, aquella recta normal a la tangente del elipsoide tiene como pendiente −dx dy , pero a su vez dicha pendiente viene dada por tan φ. De ello resulta que tan φ = y x a2 b2 , (3.4) que al comparar con (3.2) da: tan φ = a2 b2 tan φ , o, teniendo en cuenta la relaci´on entre a y b (ver ecuaci´on 3.1, p´ag. 33) se obtiene: tan φ = 1 (1 − f)2 tan φ . (3.5) Procedamos ahora a encontrar una relaci´on entre la distancia radial ρ y la latitud geod´esica φ. La excentricidad e de un elipsoide est´a definida por la siguiente relaci´on entre el semieje mayor y menor (ver secci´on 11.2.1, p´ag. 212): e2 = 1 − b a 2 . (3.6) Puesto que el achatamiento f puede escribirse de la forma f = 1 − b/a, entonces al comparar con (3.6) se deduce: e = f(2 − f). (3.7) De la ecuaci´on (3.3) obtenemos: x2 = a2 − a2 b2 y2 , y de (3.4): y2 = x2 b4 tan2 φ a4 , entonces: x2 = a2 − x2 b2 tan2 φ a2 . Al despejar x2 obtenemos: x2 = a2 1 + b2 a2 tan2 φ , o, teniendo en cuenta la ecuaci´on (3.6): x2 = a2 cos2 φ 1 − e2 sen2 φ . (3.8)
  42. 42. 3.4. TRANSFORMACI ´ON ENTRE LATITUDES 43 Un procedimiento similar permite encontrar: y2 = a2 (1 − e2 )2 sen2 φ 1 − e2 sen2 φ . (3.9) La distancia radial ρ est´a relacionada con x y y mediante: ρ2 = x2 + y2 , que al tener en cuenta (3.8) y (3.9) nos da la relaci´on buscada: ρ = a 1 − e2(2 − e2) sen2 φ 1 − e2 sen2 φ , (3.10) la cual representa la distancia desde el centro del planeta hasta la superficie del elipsoide. La distancia geoc´entrica para un observador ubicado a una altura h con respecto al nivel del mar se halla, en muy buena aproximaci´on, sumando h al valor de ρ con las unidades pertinentes. Ejemplo 1 Calcular la latitud geoc´entrica φ y la distancia geoc´entrica de un punto cerca de la poblaci´on de Ci´enaga (Magdalena) con las siguientes coordenadas geod´esicas: φ = 11o 1 34 , λ = 74o 15 35 y h =122 metros sobre el nivel medio del mar. Soluci´on Tomaremos como elipsoide de referencia el recomendado por la UAI en 1979: a = 6 378 140 m y f = 1/298.257 = 0.0033528. De la ecuaci´on (3.5) obtenemos: tan φ = (1 − f)2 tan φ = (1 − 0.0033528)2 tan(11o 1 34 ) = 0.1935489. Entonces: φ = tan−1 (0.1935489) = 10o 57 15 . Procedemos ahora a calcular la excentricidad e del elipsoide. Utilizando la f´ormula (3.7) tenemos: e = 0.0033528 × (2 − 0.0033528) = 0.0818191. Encontramos para ρ de acuerdo con (3.10): ρ = a × 1 − (0.0818191)2 × (2 − 0.08181912) × sen2 (11o1 34 ) 1 − 0.08181912 × sen2 (11o1 34 ) , ρ = 0.9998783 × a = 6 377 364 m. Sumando el valor de la altura h obtenemos por fin: ρ = 6377364 + 122 = 6 377 486 m.
  43. 43. 44 CAP´ITULO 3. EL PLANETA TIERRA Ejemplo 2 Calcular la latitud geod´esica φ y la altura h a la que se encuentra un determinado observador con los siguientes valores: φ = 6o 54 43 , ρ = 0.9999765. Soluci´on Como en el ejemplo anterior, tomaremos como elipsoide de referencia el recomendado por la UAI en 1979: a = 6 378 140 m y f = 1/298.257 = 0.0033528, e = 0.0818191. De la ecuaci´on (3.5): tan φ = tan φ (1 − f)2 = tan(6o 54 43 ) (1 − 0.0033528)2 = 0.1220418. Entonces: φ = tan−1 (0.1220418) = 6o 57 29 . Encontramos para ρ (la distancia a la superficie del elipsoide) de acuerdo con (3.10): ρ = a × 1 − (0.0818191)2 × (2 − 0.08181912) × sen2 (6o57 29 ) 1 − 0.08181912 × sen2 (6o57 29 ) , ρ = 0.9999512 × a. Por lo tanto, la altura h sobre la superficie del mar, en unidades del radio terrestre a, es: h = 0.9999765 − 0.9999512 = 0.0000253, lo que en unidades de metros es h = 0.0000741 × 6 378 140 = 161 m. NOTA: En la gran mayor´ıa de los libros de astronom´ıa se acostumbra a presentar la relaci´on entre la latitud geoc´entrica φ y la geod´esica φ y la distancia radial ρ en funci´on de φ por medio de una serie trigonom´etrica. La deducci´on de tales f´ormulas no es complicada pero s´ı algo elaborada. Damos las expresiones (a la cent´esima del segundo de arco) s´olo a manera de referencia: φ = φ − 11 32.74 sen 2φ + 1.16 sen 4φ, (3.11) ρ = a(0.99832707 + 0.00167644 cos 2φ − 0.00000352 cos 4φ). (3.12) LECTURAS Y SITIOS EN INTERNET RECOMENDADOS • Seidelmann, P.K. (1992), Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, University Science Books, Mill Valley. La obra indispensable que expone sin entrar en la rigurosidad las modernas teor´ıas y m´etodos de la astronom´ıa de posici´on actual. Aunque se supone que es un suplemento del Astronomical Almanac, es de todas formas un excelente libro para comprender con extensi´on muchos t´opicos de la astronom´ıa moderna. El cap´ıtulo 4 cotiene una completa descripci´on acerca de las coordenadas terrestres.
  44. 44. 3.4. TRANSFORMACI ´ON ENTRE LATITUDES 45 • Long, S. A. (1974) Derivation of Transformation Formulas Between Geocentric and Geodetic Coordinates for Nonzero Altitudes, NASA TN-7522, Washington. Este art´ıculo t´ecnico contiene desarrollos algebr´aicos que permiten encontrar f´ormulas ´utiles entre la latitud geoc´entrica y geod´esica • Smart, W. M. (1965) Text-Book on Spherical Astronomy, Cambridge University Press, Cam- bridge. En su cap´ıtulo IX posee una excelente descripci´on de la relaci´on matem´atica entre φ y φ. • The Astronomical Almanac, U.S. Goverment Printing Office, Washington. En sus reciente versiones describe algunos geoides de referencia as´ı como f´ormulas para el c´alculo de reducciones. • http://164.214.2.59/GandG/geolay/toc.htm En esta hoja electr´onica se encuentran conceptos b´asicos de geodesia. • http://www.globalserve.net/~nac/city.html Aqu´ı se encuentran las latitudes y longitudes de m´as de dos mil ciudades en el mundo. • http://maia.usno.navy.mil/ Informaci´on actualizada con emisi´on de reportes peri´odicos sobre el movimiento del polo as´ı como de la introducci´on de segundos bisiestos.
  45. 45. 46 CAP´ITULO 3. EL PLANETA TIERRA
  46. 46. Cap´ıtulo 4 LA B´OVEDA CELESTE Imaginemos c´omo es la visi´on del cielo para un observador que flota en el espacio sideral ubicado entre las estrellas, lejos de la superficie de un planeta o de cualquier otro cuerpo celeste. Dado que las distancias entre las estrellas, e incluso entre los planetas, son tan extraordinariamente enormes, el observador se enfrenta a algo que con los objetos coti- dianos de nuestra experiencia diaria es muy dif´ıcil de observar: al contemplar los cuerpos celestes el sentido de percepci´on de profundidad y de estimaci´on de distancia desaparece. Y al carecer de sentido de profundidad y de perspectiva, todos los cuerpos celestes dan la ilusi´on ´optica de estar adheridos a una superficie, la cual, al extenderse a todas direcciones, crea el enga˜no de conformar una esfera perfecta que rodea por completo al espectador, es- to es, el observador siente que est´a ubicado en el centro de dicha esfera ilusoria, ver figura 4.1. OBSERVADOR BOVEDA CELESTE Figura 4.1: Observador flotando en el espacio Para este observador, (y para cualquier otro observador en el universo) la visi´on aparente del cielo es la de estar ubicado en el centro de una gran esfera de color negro salpicada con puntos o manchones luminosos distribuidos al azar. Para ´el, todas las estrellas, planetas, 47
  47. 47. 48 CAP´ITULO 4. LA B ´OVEDA CELESTE sat´elites, etc., parecen estar adheridos a la superficie de esa esfera negra. La esfera ilusoria en la que los cuerpos celestes aparecen adheridos como si estuvieran todos a la misma distancia del observador (´este ubicado exactamente en medio de ella) y sobre la cual es posible aplicar las propiedades de los tri´angulos esf´ericos se conoce con el nombre de b´oveda celeste. Pero ahora imaginemos que ese observador est´e situado sobre la superficie de un planeta, digamos la Tierra (ver figura 4.2). Nuestro planeta, comparado con objetos corrientes, o con nosotros mismos, es un objeto de dimensiones colosales. Este simple hecho hace que cualquier persona que observe el cielo contemple (suponiendo que no existen nubes, ni otros objetos naturales o artificiales que estorben su visi´on) el siguiente panorama: ´el, ubicado en el centro de un gran disco rodeado de forma sim´etrica por una enorme c´upula semiesf´erica (media esfera) de color azul (en el d´ıa) o negra con puntos luminosos (en la noche). SECTOR DE LA BOVEDA CELESTE VISIBLE AL OBSERVADOR SECTOR DE LA BOVEDA CELESTE NO VISIBLE AL OBSERVADOR PLANETA Figura 4.2: Observador situado en la superficie de un planeta Lo importante aqu´ı es recalcar el hecho de que es el borde de ese disco aparente (el horizonte) lo que le demarca al observador qu´e es lo que puede observar de la b´oveda celeste y qu´e no (ver figura 4.3). En otras palabras: el estar ubicado en la superficie de un planeta implica que un observador no puede contemplar sino apenas la mitad del cielo para un ins- tante dado: el mismo planeta impide observar la otra mitad. Esto sigue siendo m´as o menos v´alido para observadores que est´an ligeramente alejados de la superficie de la Tierra, como un piloto ubicado en un avi´on de reacci´on o un astronauta situado en una estaci´on espacial a varios centenares de kil´ometros de altura. Al observar la b´oveda celeste de d´ıa, esto es, cuando el Sol es visible para el observador, notamos que el cielo es de un color azul. De d´ıa las estrellas y los planetas son imposibles de
  48. 48. 49 HORIZONTE Figura 4.3: Origen del concepto de horizonte observar en condiciones ordinarias (en ciertas situaciones muy favorables es posible observar el planeta Venus, o pueden observarse las estrellas m´as brillantes en la breve duraci´on de un eclipse total de Sol). En ausencia de la luz solar el cielo adopta una coloraci´on negra y aquellos astros que pasan desapercibidos en el d´ıa comienzan a observarse, como los planetas y las estrellas. Un observador ubicado lejos de la superficie de un planeta no tiene ning´un tipo de in- conveniente en observar el 100% del cielo que lo rodea por completo. Estrellas, planetas, el Sol y la Luna est´an al alcance de su visi´on de manera permanente. S´olo tiene que dirigir la mirada en la direcci´on que le llame la atenci´on. Pero la situaci´on cambia dr´asticamente cuando se est´a en la superficie de un planeta, un sat´elite o un asteroide. Como veremos m´as adelante, no es lo mismo observar el cielo si se est´a ubicado en los polos del planeta o en su ecuador. Existir´an lugares en la superficie de la Tierra en donde para ciertas ´epocas del a˜no no es posible observar el Sol durante el d´ıa, otros en los cuales se ve durante las 24 horas del d´ıa, etc. El precio que se ha de pagar por estar observando la b´oveda celeste desde la superficie de un planeta, sat´elite, asteroide o cometa es que debido a la rotaci´on de ´estos alrededor de un eje, las estrellas y objetos conspicuos como una estrella cercana (por ejemplo el Sol), se mover´an con respecto al horizonte. La magnitud de dicho movimiento y su direcci´on depender´a del tipo de movimiento de rotaci´on que tenga el objeto desde donde se hace la observaci´on. La Tierra posee un movimiento de rotaci´on en el sentido oeste-este de tal forma que describe una revoluci´on completa en 24 horas. Este movimiento del planeta sobre su eje es visualizado por un observador ubicado sobre su superficie como un movimiento de la b´oveda celeste en direcci´on este-oeste (la direccion contraria en la que rota el planeta) la cual describe una vuelta completa alrededor de la Tierra en 24 horas. En la secci´on 6.1 se
  49. 49. 50 CAP´ITULO 4. LA B ´OVEDA CELESTE PNT PST PSC PNC ET M ERIDIANO CELESTE EC TIERRA Figura 4.4: Definiciones sobre la b´oveda celeste ampliar´a este tema con m´as detalle. A menos que estemos en un viaje interplanetario o interestelar —circunstancia que de- safortunadamente no es com´un dado nuestro actual estado tecnol´ogico— en adelante nos concentraremos en la forma como un observador, ubicado sobre la superficie de un planeta, contempla aparentemente el cielo. Para ello necesitamos introducir unos conceptos b´asicos para nuestro estudio. 4.1 Conceptos fundamentales Como ya se dijo atr´as, la b´oveda celeste es aquella esfera ilusoria que resulta del hecho de que, aparentemente, los cuerpos celestes se hallan ubicados sobre un fondo de color negro, (o azul si es de d´ıa) dando la impresi´on de que dicha superficie es de hecho real y que el observador es el centro de la misma. Por mucho tiempo los astr´onomos antiguos creyeron que la b´oveda celeste era real, y que sobre la misma estaban ubicadas las estrellas, de tal forma que todas estas estaban a la misma distancia de la Tierra. Bien puede uno estar tentado a asignar un determinado valor al radio de la b´oveda ce-
  50. 50. 4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 51 MERIDIANO DEL OBSERVADOR HORIZONTE φ W C C’ PSC N E (CENIT) (NADIR) PNC S Figura 4.5: Meridiano del observador leste. De hecho, es claro que si se le ha de asignar un radio ´este debe ser muy grande, incluso infinito. Sin embargo, en astronom´ıa esf´erica dicho radio se adopta igual a la unidad con lo que se obtienen enormes ventajas a la hora de poder describir con detalle la posici´on de los astros sobre ella. A continuaci´on definimos sobre la b´oveda celeste los siguientes conceptos: - El polo norte celeste (PNC) y el polo sur celeste (PSC) son puntos que resultan de la intersecci´on del eje de rotaci´on terrestre con la esfera celeste. N´otese que esto equivale a tomar los polos terrestres, ubicados en el eje de rotaci´on, y proyectarlos sobre la b´oveda celeste (ver figura 4.4). - El ecuador celeste (EC) es aquella circunferencia m´axima que resulta de la intersecci´on del plano que contiene al ecuador terrestre (ET) con la esfera celeste. La introducci´on del ecuador celeste permite dividir la esfera celeste en dos hemisferios: el hemisferio norte celeste (que contiene el polo norte celeste) y el hemisferio sur celeste. - Los meridianos celestes son semicircunferencias m´aximas que pasan por los polos ce- lestes PNC y PSC. Como el lector habr´a notado, el concepto de meridiano celeste resulta de la proyecci´on de los meridianos terrestres en la b´oveda celeste.
  51. 51. 52 CAP´ITULO 4. LA B ´OVEDA CELESTE Los anteriores conceptos son independientes de la posici´on del observador. Definimos ahora los siguientes conceptos: - El cenit (o zenit) (C) de un observador es el punto de la esfera celeste que est´a situado directamente sobre el observador. En un sentido literal, decimos que el cenit es aquel punto imaginario en la b´oveda celeste que est´a ubicado directamente encima de la cabeza del ob- servador. - El nadir (C ) de un observador es el punto de la esfera celeste que es diametralmente opuesto a C. El nadir es entonces aquel punto imaginario en la b´oveda celeste que est´a directamente debajo de los pies del observador. C ECUADOR CELESTE HORIZONTE CIRCULO DE DECLINACION VERTICAL OBSERVADOR MERIDIANO DEL C’ PNC N S W PSC E * Figura 4.6: Definiciones sobre la b´oveda celeste - El horizonte de un observador es el plano perpendicular a la l´ınea que existe entre el observador y su cenit (ver figura 4.7). La circunferencia m´axima en la cual el horizonte del observador encuentra la esfera celeste es llamada horizonte matem´atico. Y decimos que es matem´atico porque con esta definici´on no estamos considerando lo que realmente sucede en la pr´actica: la existencia de obst´aculos naturales (´arboles y monta˜nas) y artificiales (tales como edificios) hacen que la demarcaci´on no sea una “l´ınea perfecta” sino m´as bien tenga un perfil irregular. Sin embargo, los c´alculos astron´omicos usuales que deben tener en cuenta el horizonte, tales como la salida y puesta de los astros, se realizan con el concepto de horizonte matem´atico.
  52. 52. 4.1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 53 PNC CENIT HORIZONTE PLANO DEL φ φ PNC Figura 4.7: Plano del horizonte - El meridiano del observador es aquel meridiano celeste que pasa por el cenit C del observador. El meridiano del observador es entonces aquella semicircunferencia que va de polo a polo y pasa por el cenit del observador. Cuando un astro pasa por el meridiano del observador se dice entonces que dicho astro est´a culminando. - Puntos cardinales. Definimos los puntos cardinales norte (N), sur (S), este (E) y oeste (W) como aquellos puntos ubicados en el horizonte de un observador cualquiera (salvo situa- do en los polos geogr´aficos) con las siguientes caracter´ısticas: Los puntos cardinales norte y sur resultan de la intersecci´on del meridiano del observador con el horizonte matem´atico. La ubicaci´on del punto cardinal norte queda determinada por el grado de separaci´on existente entre el PNC y el horizonte: dicho punto se ubica en aquella intersecci´on para la cual la separaci´on entre el PNC y el horizonte es inferior (tanto arriba como abajo del horizonte ) a 90 grados. Lo mismo es v´alido para el punto cardinal sur: ´este se ubica en aquella intersecci´on entre el horizonte y el meridiano del observador cuando la separaci´on entre el PSC y el horizonte es menor de 90 grados. Los puntos cardinales este (oriente) y oeste (occidente) se originan en la intersecci´on del ecuador celeste con el horizonte. Un observador que mira hacia el punto cardinal norte tendr´a hacia su derecha el punto cardinal este; a su izquierda se ubica el punto cardinal oeste. Ll´amese vertical de un astro a la semicircunferencia que va de cenit a nadir y pasa por el astro correspondiente. Es claro que la vertical de cualquier astro es perpendicular al hori- zonte del observador. Ll´amese c´ırculo de declinaci´on de un astro a la semicircunferencia que va de PNC a PSC y atraviesa el astro correspondiente. Obviamente, el c´ırculo de declinaci´on de un astro cualquiera es perpendicular al ecuador celeste.
  53. 53. 54 CAP´ITULO 4. LA B ´OVEDA CELESTE 4.2 Observaci´on del cielo seg´un la latitud Una de las consecuencias m´as notorias de estar observando el cielo desde un planeta es la dependencia directa de dicha observaci´on con la posici´on geogr´afica del observador; no es lo mismo observar el cielo desde los polos terrestres que desde el ecuador terrestre. PSC PNC EC EC HORIZONTE NADIR PSC PNT PNC CENIT Figura 4.8: Observaci´on del cielo para un observador en el PNT Consideremos el caso de un observador ubicado en el polo norte terrestre (PNT). Como es claro de la figura 4.8, dicho observador contempla siempre en su cenit al polo norte celeste (PNC). El ecuador celeste para dicho observador coincide con su horizonte. En consecuen- cia, este observador podr´a contemplar siempre las estrellas del hemisferio norte celeste pero jam´as podr´a observar las estrellas del hemisferio sur. S´olo podr´a observar la mitad de la b´oveda celeste. N´otese que el ´angulo existente entre el horizonte y el PNC, ´angulo que llamaremos la altura del PNC, para este observador, es de exactamente 90o . La situaci´on es an´aloga para un observador situado en el polo sur terrestre (PST). ´Este tendr´a en su cenit al polo sur celeste (PSC), el ecuador celeste tambi´en coincide con su ho- rizonte y s´olo podr´a observar las estrellas del hemisferio sur celeste. La altura del PNC para este observador es de −90o donde el signo negativo indica que est´a por debajo del horizonte. En cambio, consideremos a un observador ubicado en el ecuador terrestre (ET). Dicho observador, ver figura 4.9, tendr´a a los polos ubicados exactamente en el horizonte. En su cenit siempre tendr´a un punto que hace parte del ecuador celeste (EC). Para un instante cualquiera podr´a observar la mitad de cada hemisferio norte y sur, lo que significa que puede observar (anque no simult´aneamente) toda la b´oveda celeste. La altura del PNC es, en este caso, de 0o . Generalicemos. Existe una relaci´on entre la latitud a la cual est´a situado un observador
  54. 54. 4.2. OBSERVACI ´ON DEL CIELO SEG ´UN LA LATITUD 55 PNT PSC PNC CENIT EC HORIZONTE PNC PSC CENIT NADIR EC Figura 4.9: Observaci´on del cielo para un observador en el ET (φ) y la altura del PNC con respecto al horizonte. La regla fundamental es: La altura del polo norte celeste con respecto al horizonte es igual a la latitud del obser- vador. En los casos extremos vistos anteriormente la relaci´on es clara: un observador a latitud φ = +90 el PNC est´a a 90 grados de altura sobre el horizonte; un observador a una latitud de φ = 0 el PNC est´a a 0 grados sobre el horizonte. N´otese que la distancia angular existente entre el cenit del observador y el ecuador celeste equivale a su latitud en valor absoluto (ver figura 4.10). El PNC es un punto imaginario sobre la b´oveda celeste que en la pr´actica es dif´ıcil de ubicar. Por fortuna existe una estrella relativamente brillante a poca distancia de ´el. Dicha estrella se conoce con el nombre de Polaris, o estrella polar. La distancia entre Polaris y el PNC es, para esta ´epoca, cercana a los 45 minutos de arco, con lo que medir la altura de esta estrella con respecto al horizonte constituye una primera aproximaci´on para la de- terminaci´on de la latitud de un observador. En los almanaques n´auticos existen tablas de correcciones que permiten obtener valores m´as precisos para obtener la latitud observando la estrella polar. En las bajas latitudes la determinaci´on de la latitud por la altura de la estrella polar es impracticable. Puesto que Colombia est´a situada entre latitudes que van desde 4◦ S hasta 12◦ N (con San Andr´es y Providencia) es claro que el ecuador celeste desde nuestras ciudades es casi perpendicular al horizonte (ver figura 4.11).
  55. 55. 56 CAP´ITULO 4. LA B ´OVEDA CELESTE HORIZONTE CENIT φ φ EC EJE DE ROTACION PNC PSC Figura 4.10: Latitud y altura del PNC sobre el horizonte 4.3 La ecl´ıptica La Tierra gira alrededor del Sol en una ´orbita casi circular. Describe una revoluci´on comple- ta de 360 grados en unos 365.25 d´ıas. Puesto que nosotros, como observadores del universo, estamos ubicados en la Tierra, el movimiento de traslaci´on se ve reflejado por el movimiento del Sol con respecto a las estrellas “fijas”. Ahora bien, la Tierra se mueve en direcci´on contraria de las agujas del reloj vista desde el PNC; es evidente, de la figura 4.12, que el Sol describe tambi´en un movimiento en la direcci´on contraria de las agujas del reloj visto desde el PNC. Como la ´orbita de la Tierra est´a contenida en un plano (ver secci´on 12.4, p´ag. 233) es evidente que la “trayectoria” que va describiendo el Sol en el cielo estar´a contenida en un plano, el cual, en la intersecci´on de ´este con la esfera celeste resultar´a en una circunferencia m´axima. La circunferencia m´axima que resulta de la intersecci´on del plano de la ´orbita de la Tierra en torno al Sol con la esfera celeste se llama ecl´ıptica. Otra forma de decirlo es: la ecl´ıptica es la trayectoria aparente que describe el Sol en la b´oveda celeste. Por otro lado, y por razones que no se conocen bien, y que que se supone ocurrieron en las primeras fases de formaci´on del sistema solar, nuestro planeta tiene su eje de rotaci´on inclinado con respecto a la normal al plano orbital. En otros t´erminos: existe un ´angulo diferente de cero entre el eje de rotaci´on terrestre y la normal al plano de la ´orbita de la Tierra en torno del Sol (ver figura 4.13). Este ´angulo se conoce con el nombre de oblicuidad de la ecl´ıptica y se denota con la letra griega ´epsilon ( ). Tiene un valor de unos 23.5 grados, pero a causa de las perturbaciones gravitacionales de la Luna, el Sol y los planetas, va cambiando ligeramente con el tiempo. Expresiones matem´aticas para hallar el valor de al segundo de arco est´an dadas en la secci´on 10.2, p´ag. 184.
  56. 56. 4.3. LA ECL´IPTICA 57 HORIZONTE MATEMATICOE 12.5N 4.5N 4.3S Figura 4.11: Posici´on del ecuador celeste con respecto a la normal al horizonte para Bogot´a (4.5 N), San Andr´es (12.5 N) y Leticia (4.3 S) Si el valor de fuera cero, esto es, si el eje de rotaci´on terrestre coincidiera con la normal al plano de la ´orbita terrestre, entonces ecuador celeste y ecl´ıptica ser´ıan una misma cosa. Pero como la realidad es distinta, resulta que el ecuador celeste y la ecl´ıptica forman un ´angulo que resulta siendo la oblicuidad de la ecl´ıptica, , ver figura 4.14. Los polos de la ecl´ıptica est´an ubicados a 23.5o grados de los polos celestes. El polo norte ecl´ıptico y el polo sur ecl´ıptico se representan por los s´ımbolos Π y Π respectivamente. El hecho de que la Tierra est´e inclinada con respecto a la normal al plano de su ´orbita quiere decir que entre la ecl´ıptica y el ecuador celeste existe un ´angulo igual a la oblicuidad de la ecl´ıptica, . Como ecuador celeste y ecl´ıptica son circunferencias m´aximas y ´estas est´an mutuamente inclinadas un determinado ´angulo, es evidente que existir´an dos puntos de corte entre ellas. Dichos puntos de corte entre la ecl´ıptica y el ecuador celeste son de una importancia capital en astronom´ıa. Se llama punto vernal o primer punto de Aries o tambi´en equinoccio vernal a uno de los dos puntos de corte entre el ecuador celeste y la ecl´ıptica, especificamente aquel que surge del paso del Sol cuando atraviesa el ecuador celeste desde el hemisferio sur hacia el hemisferio norte. El otro punto, situado a 180 grados, se llama punto antivernal. El punto vernal, representado por el s´ımbolo , es un punto imaginario sobre la b´oveda celeste que se comporta como una estrella situada exactamente en el ecuador celeste (ver figura 4.15). Su importancia radica en que es el origen de varios sistemas de coordenadas celestes (ver secci´on 5.3 y 5.4) como tambi´en el punto de referencia para la determinaci´on del tiempo sideral (ver secci´on 7.1.1).
  57. 57. 58 CAP´ITULO 4. LA B ´OVEDA CELESTE ORBITA DE LA TIERRA BOVEDA CELESTE SOL Figura 4.12: El plano de la Tierra en torno al Sol da origen al concepto de ecl´ıptica 4.4 Estaciones Muchas personas creen que la explicaci´on de las estaciones descansa en el hecho de que la ´orbita que describe la Tierra en torno del Sol es ovalada, pues piensan que en perihelio (la menor distancia entre ambos astros) ocurre el verano y en afelio (la mayor distancia) ocurre el invierno. Un r´apido vistazo a la tabla 4.1 permite cotejar que el perihelio de la Tierra ocurre en los primeros d´ıas del a˜no (cuando en el hemisferio norte ocurre el invierno, y en el hemisferio sur el verano). De igual forma, el afelio sucede en los primeros d´ıas de julio (cuando en el hemisferio norte ocurre el verano, y en el hemisferio sur el invierno). La raz´on verdadera de la ocurrencia de las estaciones en la Tierra es la existencia de un ´angulo de inclinaci´on diferente de cero. El Sol, en el transcurso del a˜no, corta al ecuador celeste en dos puntos, que se llaman equinoccios. Esto ocurre dos d´ıas en el a˜no: el 20 (o 21) de marzo y el 21 (o 22) de septiem- bre. En estos d´ıas la duraci´on del n´umero de horas de luz es igual al n´umero de horas de Perihelio Afelio 5 horas de enero 3 de 2000 23 horas de julio 3 de 2000 9 horas de enero 4 de 2001 14 horas de julio 4 de 2001 14 horas de enero 2 de 2002 4 horas de julio 6 de 2002 5 horas de enero 4 de 2003 6 horas de julio 4 de 2003 18 horas de enero 4 de 2004 11 horas de julio 5 de 2004 1 hora de enero 2 de 2005 5 horas de julio 5 de 2005 Tabla 4.1: Perihelio y afelios de la Tierra entre 2000 y 2005. Horas en TU
  58. 58. 4.4. ESTACIONES 59 PSC PNC EJE DE ROTACION ET ε Π PLANO DE TRASLACION TERRESTRE Figura 4.13: La oblicuidad de la ecl´ıptica oscuridad. Una vez que el Sol pasa por el equinoccio se va alejando lentamente del ecuador celeste hasta alcanzar la mayor separaci´on con ´este: la separaci´on m´axima entre el Sol y el ecuador celeste es un ´angulo , esto es, de 23.5 grados. Estos puntos que est´an ubicados en la ecl´ıptica se llaman solsticios y ocuren el 21 (o 22) de junio y el 21 (o 22) de diciembre. Es en los solsticios cuando ocurre la mayor diferencia de duraci´on entre los d´ıas y las noches. El verano se presenta en aquel hemisferio que est´a recibiendo mayor cantidad de radiaci´on solar en t´erminos de mayor duraci´on del d´ıa, esto es, los observadores en este hemisferio ob- servar´an el Sol sobre su horizonte un tiempo que es mayor de 12 horas (ver figura 4.16). Para observadores situados en o cerca del ecuador terrestre (como es el caso de observadores situados en el territorio nacional) el efecto de las estaciones es muy poco perceptible. La duraci´on del d´ıa y de la noche var´ıan s´olo unos pocos minutos en el transcurso del a˜no. En Bogot´a, por ejemplo, a finales del mes de mayo el Sol sale m´as temprano (5h 42m ) pero ε ε εECLIPTICAECLIPTICA=ECUADOR CELESTE PNC PNS Π’ EC Π PNC Π Figura 4.14: Ecuador celeste y ecl´ıptica. A la izquierda el caso hipot´etico = 0. A la derecha el caso real
  59. 59. 60 CAP´ITULO 4. LA B ´OVEDA CELESTE Π ECUADOR CELESTE ECLIPTICA ε ε PUNTO VERNAL PUNTO ANTIVERNAL PNC PSC Π’ Figura 4.15: Punto vernal y punto antivernal se oculta a eso de las 18h 3m ; otro m´aximo lo vuelve a tener a finales de octubre (5h 41m ) ocult´andose a eso de las (17h 39m ). El Sol sale m´as tarde a finales de enero y comienzos de febrero (6h 12m ) ocult´andose para esos d´ıas cerca de las (18h 8m ). HS HS PNCPNC SOL HN HN Figura 4.16: Posici´on del hemisferio norte (HN) y el hemisferio sur (HS) en los dos solsticios Los solsticios y los equinoccios eran eventos que para los pueblos antiguos cobraban especial importancia. Muchos monumentos de la antig¨uedad, as´ı como numerosos emplaza- mientos de car´acter religioso estaban debidamente orientados en la direcci´on de la salida y puesta del Sol en los solsticios y los equinoccios1 . 1La Navidad y el San Juan (celebrada principalmente en Espa˜na) son dos fiestas religiosas cuyo origen
  60. 60. 4.4. ESTACIONES 61 EN FE MAR AB MA JUN AG NOJUL SE OC DI 6 6 6 12 6 18 6 0 5 54 5 48 5 42 5 36 h m EN FE ABMAR MA JUN JUL AG SE OC NO DI h m 17 36 17 42 17 48 17 54 18 0 18 6 18 12 18 18 Figura 4.17: Tiempos de salida (izquierda) y puesta (derecha) del Sol para Bogot´a en el transcurso del a˜no A medida que la latitud del observador tienda hacia los polos, el efecto de la diferencia entre el d´ıa y la noche es m´as notorio: por ejemplo, cerca del solsticio de verano (para un observador en el PNT) el Sol no se pondr´a sobre el horizonte: permanecer´a las 24 horas del d´ıa sobre el horizonte; es el llamado sol de media noche. El invierno es justamente lo opuesto: el otro hemisferio recibe menor cantidad de radiaci´on solar en t´erminos de mayor duraci´on de la noche que del d´ıa. Cerca del solsticio de invierno (para un observador en el PST) el Sol no saldr´a; existir´an 24 horas de noche continua. La tabla 4.2 contiene los tiempos (en tiempo universal) de la ocurrencia de los solsticios y equinoccios de la Tierra para los a˜nos 2000 a 2005. A˜no Equinoccio Solsticio Equinoccio Solsticio de marzo de junio de septiembre de diciembre 2000 d´ıa 20, 7h 36m d´ıa 21, 1h 48m d´ıa 22, 17h 28m d´ıa 21, 13h 38m 2001 d´ıa 20, 13h 31m d´ıa 21, 7h 38m d´ıa 22, 23h 5m d´ıa 21, 19h 22m 2002 d´ıa 20, 19h 17m d´ıa 21, 13h 25m d´ıa 23, 4h 56m d´ıa 22, 1h 15m 2003 d´ıa 21, 1h 0m d´ıa 21, 19h 11m d´ıa 23, 10h 47m d´ıa 22, 7h 4m 2004 d´ıa 20, 6h 49m d´ıa 21, 0h 57m d´ıa 22, 16h 30m d´ıa 21, 12h 42m 2005 d´ıa 20, 12h 34m d´ıa 21, 6h 47m d´ıa 22, 22h 24m d´ıa 21, 18h 36m Tabla 4.2: Equinoccios y solsticios de la Tierra entre el 2000 y 2005 real fue la celebraci´on de los solsticios (de invierno y verano respectivamente) por parte de muchos pueblos paganos: la primera celebraba el fin de las noches largas y el inicio de los d´ıas de mayor duraci´on, interpretada por los romanos como el renacimiento del dios solar Mitra y adoptada por la iglesia cat´olica como fecha de nacimiento de Jesucristo tan s´olo hasta el a˜no 360 A.D.

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