Universidad de los Andes           Facultad de Humanidades y Educación         Escuela de Educación Mención Matemática    ...
Introducción       Proyecto didáctico dirigido a estudiantes de 9no grado de educaciónbásica, cuya finalidad es afianzar e...
OBJETIVO GENERAL     Estudiar sistema de ecuacionesOBJETIVOS ESPECÍFICOS: Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones co...
Mapa Conceptual                        SISTEMA DE                       ECUACIONES    SISTEMA DE   ECUACIONESLINEALES CON ...
Desarrollo de los contenidos:Ecuaciones lineales con dos incognitas: Una ecuación que pueda escribirse enla forma Ax +By =...
Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: un sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitas es un conjunto fini...
Solución:La solución de la primera es (3, y), la de la segunda es (x, 4); o sea si serepresenta ambas rectas en un plano c...
Sistema de ecuaciones Incompatibles: si no tiene soluciones.Ecuación Lineal Homogénea: si su término independiente es cero...
Solución1) Se hallan los puntos de corte de la primera recta con los ejes x e y   Para y = 0, se tiene que: 2x + 0 = 4 ent...
X + 2Y = 9 a)            3X – y = 6  Solución:1. Se transformara el sistema en otro equivalente de manera que los coeficie...
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obtener una ecuación con una sola incógnita, hallar su valor y luego el de la otraincógnita.            X +3Y = 7a)       ...
x + y = a+b     entonces (a2 b2) .x + (a2 b2). Y = (a2 b2) (a+b)b2 a2                             b2         a2a2 x + b2 y...
 Lluvia de ideas, donde se trataran los conceptos de: Sistema de ecuaciones,    ecuaciones lineales, sistema de ecuacione...
B) Formativa    Participación en juego didáctico “UBICAR”, donde los estudiantes deben    resolver un sistema de ecuacione...
Anexos
Anexo N° 2:                                     Prueba Escrita     Grado: __________ Sección: __________     Instrucciones...
X +1 = 0                               2x + 2y = 0  c)        x +y = 0           x–y =04. Resuelve cada sistema de ecuacio...
Juego Didáctico UBICARInstrucciones: En el siguiente recuadro, usted deberá ubicar los puntos deintersección de los     si...
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Algebra propuesta

  1. 1. Universidad de los Andes Facultad de Humanidades y Educación Escuela de Educación Mención Matemática Departamento de Medición y Evaluación Cátedra: Algebra IPROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA SISTEMA DE ECUACIONES Autores: Peña Carrero Militza Elisabeht C.I.: 14771047 Mérida, Marzo 2011.
  2. 2. Introducción Proyecto didáctico dirigido a estudiantes de 9no grado de educaciónbásica, cuya finalidad es afianzar el proceso de enseñanza-aprendizaje deAlgebra en los estudiantes. Cabe resaltar que esta herramienta es uncomplemento al trabajo adicional que realizan los docentes en las aulas de clase. En esta unidad didáctica se estudiará el sistema de ecuaciones lineales yla representación gráfica de sistema de ecuaciones con dos incógnitas,utilizando como sistema de referencia los ejes cartesianos. Conoceremos lasdistintas formas de expresar algebraicamente un sistema de ecuaciones, elconcepto de ecuaciones lineales con dos incógnitas, así como, la solución delsistema conocidos dos ecuaciones. Dadas dos ecuaciones lineales, conoceremossus posiciones relativas, es decir, si son paralelas, coincidan si se cortan. Esta propuesta didáctica, nace con la finalidad de desarrollar habilidadesen los estudiantes, tales como: pensamiento abstracto y lógico, y estrategiaspara la resolución de ejercicios. Además, como herramienta que oportuna uncambio a la metodología cotidiana de memorización forzada; de esta manera, seda un paso a la estimulación de los sentidos y la imaginación.
  3. 3. OBJETIVO GENERAL Estudiar sistema de ecuacionesOBJETIVOS ESPECÍFICOS: Resolver gráficamente sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Resolver analíticamente sistemas de ecuaciones CONTENIDOS CONTENIDOS CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES1.-Sistema de ecuaciones:- Ecuaciones lineales condos incógnitas- Solución de unaecuación lineal-Sistema de ecuaciones Identificación de loslineales con dos métodos de resoluciónincógnitas Valoración del sistema2.- Sistema compatible Determinación de de ecuaciones comoincompatible e sistemas de ecuaciones noción de sistema deindeterminados de dos incógnitas referencia, que pueda ser-Clasificación de utilizado en sussistemas de ecuaciones Representación gráfica actividades diarias, en lalineales de un sistema de localización de sistemas3.-Método grafico de ecuaciones con dos de ecuaciones de dosresolución incógnitas incognitas lineales4.-Método analítico dereducción Aplicación de los5.-Método analítico de contenidos en lasustitución resolución de6.-Método analítico de problemas.igualación7.-Sistemas de ecuacionesliterales
  4. 4. Mapa Conceptual SISTEMA DE ECUACIONES SISTEMA DE ECUACIONESLINEALES CON DOS MÉTODO GRAFICO INCÓGNITAS DE RESOLUCIÓN SISTEMA REDUCCÍON COMPATIBLES, MÉTODOINCOMPATIBLES E ANALÍTICO SUSTITUCIÓNINDETERMINADOS IGUALACIÓN SISTEMA DE ECUACIONES LITERALES
  5. 5. Desarrollo de los contenidos:Ecuaciones lineales con dos incognitas: Una ecuación que pueda escribirse enla forma Ax +By = C, donde los coeficientes A, B y C son números reales, sedenomina ecuación lineal con dos incógnitas o variables.Ejemplo: a) 2x – 3 = y es una ecuación lineal, ya que se puede escribir 2x –y = 3 También A = 1 , B = 0 , C = 5 será una ecuación lineal pues como es de la forma Ax +By = C entonces 1. X + 0.y = 5 entonces X = 5Será x + 1 = 2 una ecuación lineal Y–2 3Entonces 3. (x + 1) = 2. (y – 2) 3x + 3 = 2y - 4 3x – 2y = -4 -3 3x – 2y = -7 es una ecuación lineal de la forma Ax +By = C donde A = 3 B = -2 , C = -7Solución de una ecuación lineal: un par ordenado (a, b) es solución de laecuación lineal Ax +By = C si al cambiar x e y por a y b resulta una identidad,es decir, si se cumple la igualdad Aa + Bb = C.Ejemplo: 2x –y = 12 es una ecuación lineal;El par ordenado (6, 0) es una solución de la ecuación 2. 6 – 0 = 12 Cada ecuación lineal con dos incógnitas posee infinitas soluciones, pues unaecuación lineal Ax +By - C = 0 por lo tanto su representación gráfica es unarecta.Ejemplo:2x – 3y = 6 se puede escribir2x – 3y – 6 = 0 hallamos los puntos de cortes hacemos a y = 0 entonces 2x = 6X = 3 hacemos x = 0 entonces - 3y = 6 Y = -2 los puntos de cortes (3, -2)
  6. 6. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas: un sistema de ecuacioneslineales con dos incógnitas es un conjunto finito de ecuaciones lineales. Lasolución del sistema es la solución que es común a cada ecuación del sistema. Elsistema se dice Homogéneo si cada ecuación lineal es homogénea.Considera los siguientes sistemas de ecuaciones linealesa) 2x – 3y = 6 4x + 2y = 12Solución:De cada ecuación hallamos los puntos de intersección 2x – 3y = 6 hacemosY = 0 entonces 2x = 6 entonces X = 3 hacemos X = 0 entonces – 3y = 6obtenemos Y= - 2 los puntos ( 3, -2) 4x + 2y = 12 de la segunda ecuación obtenemos los puntos de intersecciónhacemos Y= 0 entonces 4x = 12 obtenemos X = 3 hacemos X= 0 entonces2y = 12 obtenemos Y = 6 los puntos (3, 6) por esta razón los de intersección decada ecuación no es la solución es el punto de intersección de las dosecuaciones como se ve en la gráfica la solución es (3, 0)Sistema de ecuaciones Compatibles: si tiene soluciones; si un sistemacompatible tiene una solución se denomina compatible determinado si tieneinfinitas soluciones compatible indeterminado.Ejemplo: a) X=3 Y=4
  7. 7. Solución:La solución de la primera es (3, y), la de la segunda es (x, 4); o sea si serepresenta ambas rectas en un plano cartesiano se obtienen la recta vertical x =3 y la recta horizontal y = 4, que se cortan en el punto (3, 4), por lo tanto es laúnica solución y el sistema dado es compatible porque tiene solución ydeterminado porque tiene una sola solución.b) x+y=3 3x + 3y = 9Las dos rectas que representan el sistema de ecuaciones lineales dado coinciden,ya que la segunda es tres veces la primeraSolución:Las soluciones de una son infinitas, son las soluciones de la otra. Por lo tanto, elsistema dado es compatible indeterminado. Entonces tomamos la primeraecuación y hacemos y = 3 – X le damos valores arbitrarios a X = 1 entoncesy = 3 – 1 entonces Y = 2 el punto de intersección es (1, 2)
  8. 8. Sistema de ecuaciones Incompatibles: si no tiene soluciones.Ecuación Lineal Homogénea: si su término independiente es cero.Equivalente: dos ecuaciones lineales o dos sistemas de ecuaciones lineales sonequivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.a) X–Y=2 - 2X + 2Y = 5Las rectas dadas en el sistema son paralelas porque tienen la misma pendiente1. Por ende el sistema de ecuaciones lineales dado tiene solución y esincompatible. Si dos rectas son paralelas y distintas entonces no tienen puntosen común. Si un sistema de ecuaciones lineales esta formado por dos rectasparalelas es incompatible, ya que no tiene soluciones.Método Gráfico de Resolución: consiste en representar gráficamente las rectasde cada una de las ecuaciones lineales del sistema y determinar así la solucióndel sistema. Si las rectas son secantes el sistema tiene una solución, la cual es elpunto de intersección; si las rectas coinciden la solución es cualquiera de lasrectas por lo cual se tiene infinitas soluciones; si las rectas son paralelas elsistema no tiene solución.Ejemplo: a) 2x + y = 4 3x + y = 5
  9. 9. Solución1) Se hallan los puntos de corte de la primera recta con los ejes x e y Para y = 0, se tiene que: 2x + 0 = 4 entonces x = 2 un punto de corte (2, 0) Para x = 0, se tiene que 2.0 + y = 4 entonces y = 4 un punto de corte (0, 4)2) Se hallan los puntos de corte de la segunda recta con los ejes x e y Para y = 0 se tiene que: 3x + 0 = 5 entonces 3x = 5 entonces x = 5/3 un punto de corte (5/3, 0). Para x = 0, se tiene que: 3.0 + y = 5 entonces 0 + y = 5 entonces y = 5 el otro punto de cortes es (0,5)3) Luego, se trazan ambas rectas y se observa que la intersección es el punto (1,2)4) Se comprueba el resultado obtenido. Al sustituir las coordenadas del punto (1, 2) en la primera ecuación, resulta: 2x + y = 4 3x + y = 5 2.1+2 = 4 3.1 + 2 = 5 2+2=4 3+2=5 4 = 4 5=5 Por lo tanto, la solución de este sistema es el punto (1, 2) Método analítico de reducción: consiste en multiplicar cada ecuación del sistema por un número no nulo, de modo que los coeficientes de una de las incognitas sean opuestos; luego se suman las ecuaciones obtenidas para eliminar esa incógnita y hallar el valor de la otra Ejemplo:
  10. 10. X + 2Y = 9 a) 3X – y = 6 Solución:1. Se transformara el sistema en otro equivalente de manera que los coeficientes de una de las dos incógnitas sean números opuestos. Si se multiplica la segunda ecuación por 2 los coeficientes de y serán números opuestos X + 2Y = 9 x + 2y = 9 Entonces 2. 3X – y = 6 6x – 2y = 12 2. Se suman miembro a miembro las dos ecuaciones para que se elimine una incógnita, en este caso y. x + 2y = 9 6x – 2y = 12 7x = 21 3. Se resuelve la ecuación que queda con una sola incógnita; se halla el valor de x 7x = 21 X = 21/7 X=3 4. Se sustituye el valor de la incógnita de X en una de las ecuaciones dadas para hallar el valor de la otra incógnita Y y resolver el sistema. 3 + 2y = 9 2y = 9 – 3 2y = 6 Y = 6/2 Y=3 La solución del sistema es X = 3 e y = 3 Queda completamente comprobado
  11. 11. X + 2Y = 9 3 + 2 .3 = 9 9=9a) entonces entonces 3X – y = 6 3.3 – 3 = 6 6=6Método analítico de sustitución: consiste en despejar en una de las ecuacionesuna de las incógnitas y sustituirla en la otra ecuación, para que así quede unaecuación con una sola incógnita y pueda hallarse su valor; luego se halla elvalor de la otra incógnita. 2X - Y = 3a) 3X +5y = -2Solución:a) Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. En este ejemplo sedespeja Y en la primera ecuación Y = 2X - 3 (xx)b) Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema 3X +5(2x – 3 ) = -2 3x + 10x -15 = -2 13x = -2 +15 13x = 13 X = 13/13 X =1c) El valor de X se sustituye en (xx) Y = 2.1 - 3 Y=2–3 Y=-1La solución es x =1 e y = -1, es decir, el par (1, -1), se comprueba igual que elanteriorMétodo analítico de igualación: consiste en despejar en cada una de lasecuaciones una de las incognitas e igualar los segundos miembros de ellas para
  12. 12. obtener una ecuación con una sola incógnita, hallar su valor y luego el de la otraincógnita. X +3Y = 7a) X - 2y = -3Solución:a) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones lineales. X = 7 - 3Y X = -3 + 2yb) Se igualan los segundos miembros de las ecuaciones despejadas 7 - 3Y = -3 + 2y 7 + 3 = 3y + 2y 10 = 5y Y = 10/5 Y=2c) se despeja la incógnita resultante que en este caso es yd) Se sustituye este valor de la incognita y = 2 en una de las ecuaciones yadespejadas X = 7 - 3Y entonces X = 7 – 3.2 se obtiene X = 7 – 6 entonces X = 1Luego la solución del sistema es el par (1,2) se comprueba igual que el anteriorSistema de ecuaciones literales: contiene al menos una letra como coeficiente,la cual denota una constante. Ejemplo: ax -2y = 5 Un sistema de ecuacioneslineales con coeficientes literales es aquel sistema compuesto por ecuacioneslineales con coeficientes literales. Ejemplo: x + y = a+b b2 a2 X – Y= ab(b-a )El sistema de ecuaciones lineales dado se resuelve por uno de los métodos yaexplicados como el de reducción.En este caso, primero se eliminan los denominadores y para ellos se multiplicala primera ecuación que los tiene a2 b2
  13. 13. x + y = a+b entonces (a2 b2) .x + (a2 b2). Y = (a2 b2) (a+b)b2 a2 b2 a2a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b)Se obtiene el sistema de ecuaciones a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b) X – Y= ab(b-a )La incógnita y tiene signos y coeficientes distintos. Por eso se multiplica lasegunda ecuación por b2 ,para que los coeficientes sean opuestos a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b) b2 X – Y= ab(b-a )Entonces a2 x + b2 y = a2 b2 (a+b) b2 x - b2 y = ab3 (b – a) a2 x + b2 x = a2 b2 (a+b) + ab3 (b – a)Al tomar factores comunes: x en el primer miembro y ab2 en el segundomiembro se obtiene: (a2 + b2)x = ab2 a ( a + b) + b ( b – a ) (a2 + b2)x = ab2 ( a2 +ab +b2 - ab) (a2 + b2)x = ab2 (a2 + b2 ) entonces X = ab2Por otro lado, se despeja y en la segunda de las ecuaciones dadas:X –y = ab(b – a) entonces x – ab(b - a) = y entonces y = x –ab (b - a)Luego, en esta ecuación despejada se sustituye x por el valor halladoY = ab2 - ab( b - a) = ab2 - ab2 + ab2 = a2 b entonces y = a2 bPor lo tanto la solución del sistema es x = ab2 e y = a2 b o sea (ab2, a2 b) Actividades
  14. 14.  Lluvia de ideas, donde se trataran los conceptos de: Sistema de ecuaciones, ecuaciones lineales, sistema de ecuaciones con dos incognitas, método analíticos, método grafico, ecuaciones literales. Se explicará a los alumnos los conceptos básicos de: ecuaciones suma de números enteros, así como también cómo localizar y/o ubicar puntos en él plano cartesiano para graficar las ecuaciones por medio de este blogs. Juego didáctico, donde se evidenciará si el alumno ha entendido la explicación de sistema de ecuaciones. El estudiante deberá, ubicar en el plano cartesiano los sistemas de ecuaciones de dos incógnitas donde el aprecie la recta del sistema de ecuaciones de dos incógnitas. Se continuará con el tema, tratando los puntos: método de reducción, sustitución, igualación, sistema de ecuaciones literales Resolución de guía de ejercicios Evaluación: El estudiante mediante un sondeo de entrada a través de la formulación de preguntas abiertas (lluvia de ideas), en la que se espera de los estudiantes nos den respuestas que nos permitan identificar el grado de conocimiento que tienen. Formulación de preguntas abiertas que se hará a los estudiantes: A.- ¿Qué es sistema de ecuaciones? B.- ¿Qué es Ecuaciones lineales con dos incognitas? C.- ¿ Qué es Equivalente? D.- ¿Cuál es la diferencia entre ecuación y sistema de ecuaciones? E.- ¿Qué quiere decir Compatibles, incompatibles e indeterminados? F.- ¿Qué quiere decir que dos ecuaciones sean perpendiculares?
  15. 15. B) Formativa Participación en juego didáctico “UBICAR”, donde los estudiantes deben resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas correspondientes a ubicar en el plano cartesiano. Aplicación de una prueba corta, con la resolución de una guía de ejercicios. De esta manera, podemos verificar si se han logrado los objetivos propuestos (ver anexo 2) Materiales a utilizar: Lápiz. Borrador. Sacapuntas. Juego Geométrico. Hojas tamaño carta. Juego Didáctico “UBICAR” plastilina
  16. 16. Anexos
  17. 17. Anexo N° 2: Prueba Escrita Grado: __________ Sección: __________ Instrucciones: A continuación se presenta una serie de actividades o ejercicios, usted deberá resolverlas. Al finalizar deberá ser publicada con sus resultados, los cuales serán publicados en este blogs.1. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones e indica la clasificación de cada uno.a) Y + 2 = 5 c) 2x –y = 2 3y =9 x=1b) 2x + 5y = 7 d) x + y/2 = 1 3x – y = 2 2x + y = 62. Identifica los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas cuales son Homogéneosa) X–5=0 b) x3 – 2x =0 Y–7=0 y–x=2 c) x = - 5y 2x = y3. Clasifica cada sistema de ecuaciones lineales si es compatible o no, y si es determinado o no. Resuelve en cada caso el sistema de ecuaciones lineales dado a) X =-3 b) x + y =0
  18. 18. X +1 = 0 2x + 2y = 0 c) x +y = 0 x–y =04. Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales mediante el método de reducción, sustitución, igualación a) X -y =-5 b) 3 x - 2 y = 10 2 X +y = 10 2x + 5y = 5 c) x - 5y = 8 7x – 8y = - 25 a) 11X - 13y = -16 3 b) 3x + 2y /5=2 7y - 8x = 94 2x + y /3 =2 c) 100 x +33y = 21 70 x – 9y = 4 5. Identifica si cada sistema de ecuaciones dado es lineal. a) 3X - y = - √3 b) 2√x - 3= 0 2 X +7y = 5 x + 5y = 0 c) x + y -7 = 0 5 a2 x – 2by = 1
  19. 19. Juego Didáctico UBICARInstrucciones: En el siguiente recuadro, usted deberá ubicar los puntos deintersección de los sistemas de ecuaciones lineal e indicar con tiras deplastilina sus pares ordenados para apreciar la recta al finalizar el recuadro,como se muestra en el ejemplo.Ejemplo:2x – 3y = 6 se puede escribir2x – 3y – 6 = 0 hallamos los puntos de cortes hacemos a y = 0 entonces 2x = 6X = 3 hacemos x = 0 entonces - 3y = 6 Y = -2 los puntos de cortes (3, -2)

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