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Exercícios de trigonometria

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Exercícios de trigonometria para fixação

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Exercícios de trigonometria

  1. 1. Exercícios de Trigonometria 1. A semi-circunferência de centro O tem raio 2 cm e AÔF = 40º Determine a área do triângulo [ABC] arredondado B ao cm2 (em cálculos intermédios usa 2 c.d.) F A D O E C 2. Prove que: 1 a) 1 + tg2x = cos 2 x cos 2  b) 1 –  sen 1  sen cos  1  sen 2 c)   1  sen cos  cos  d) 1  cos x 1  cos x   tg 2 x cos 2 x 3. Sem recorrer à calculadora, indique o valor de: 3     3   a) sen π + sen b) sen + cos    c) tg + tg d) sen . cos 2 4  4 4 4 3 6  3  1 4. Sabendo-se que sen   x   e x   , 2  , calcule o valor exato de  2  3   cos   x   2 cos   x  2  5. Resolva em |R, as equações:   x a) sen (2x) = 1 b) cos  t= 0 c) 4 + 8sen   =0  3  2 cos a 1 1 1 1 3 d)  =0 e) tg x  f)  2 2 3 3 1  tg x 4 2 1 g) sen  x  - 1 = 0 h) sen =0 i) cos x + cos2 x = 0 x  t   3  j) 5 – 10 cos  =0 k) sen x + cos x = 0 l) cos (2x) = sen x   3  4  m) 3 cos  = 2 sen2  n) cos 2   2 sen  2 6. Resolva a condição 2 sen x + 1 > 0 no intervalo: a)  0, 2  b)   ,  PROF.: LIMA
  2. 2. Exercícios de Trigonometria 1 7. Resolva a condição | sen x | < no intervalo: 2 a)  0, 2  b)   ,   8. Em um intervalo, sabe-se que a tangente é negativa e o co-seno é crescente. Nesse intervalo: (A) O seno e o co-seno são negativos (B) O co-seno é negativo e o seno é crescente (C) O seno é negativo e crescente (D) O seno é positivo e o co-seno é negativo 1 9. Sabendo-se que sen α = - , qual das afirmações é necessariamente verdadeira? 3 8 a) cos α = - 3 1 b) sen     = - 3 1 c) sen     = - 3   1 d) cos    = - 2  3 10. Prove que a equação x = sen x tem, pelo menos, uma solução em [-1, 1] 11. Prove que existe pelo menos um número real x tal que sen x = x – 2 12. Relativamente à função f(x) = cos2x, prove que: f(x + π) = f(x), x  13. A partir do gráfico da função f(x) = sen x, determine o gráfico da função g(x) = -3 + f(x – )PROF.: LIMA
  3. 3. Exercícios de TrigonometriaSoluções:1. 8 cm2 33. a) -1; b) 2; c) 0; d) 4 1 2 84. 3    55. a) x =  k , k  ; b) t = -  k , k  ; c) x = -  4k  x  4k , k  ; 4 6 3 3 3 5 d) a =  2 k  a  2 k , k  ; e) x =  k , k  ; 4 4 3  5 1 5f) x =  k  x  k , k  ; g)  2k  x  2k , k  ; 6 6 6 6 1 h) x = , k  0 i) x =  k  x    2k , k  ; k 2 3j) t = 1 + 6k  t  1  6k , k  ; k) x =  k , k  ; 4  2 k   l) x =    x  2 k , k  ; m)     2k , k  ; n)    2k , k  12 3 4 3 2  7   11   5    6. a) x  0,  , 2  ; b) x    ,    ,  6   6     6   6         5 7   11   5       5 7. a) x  0,    ,  6  6 6     6 , 2  ;  b) x    ,      ,    ,    6   6 6  6 8. C9. C10.Sen x – x = 0Sen (-1) 0Sen (1) 0Como a função é continua e o produto das imagens de -1 e 1 é inferior a zero; podemos aplicar ocorolário do Teorema de Bolzano e provar que existe pelo menos uma solução no intervalo pretendido.PROF.: LIMA
  4. 4. Exercícios de Trigonometria11. Como se vê na imagem é possível que sen x seja igual a x – 2. 4 Mas se fizermos sen x – x + 2 = 0 e provarmos que existe uma imagem negativa e outra positiva; 2 podemos aplicar o corolário do Teorema de h x = x-2 Bolzano e sabendo que se trata de uma função -5 5 gx = sin x contínua por se tratar de operações entre funções contínuas (trigonométrica e polinomial); -2 Assim: lim sen x  x  2    -4 x   lim sen x  x  2    x   Como o produto das imagens é negativo, prova- se que é verdadeiro.12.F(x + Π) = cos2 (x + Π) = cos2 x, porque como x + Π é um ângulo do 3º quadrante e nesse quadrante ocosseno é negativo, mas como a função está ao quadrado fica positiva.13. 4 2 q x = s inx -5 5 rx = s in x- -2 s x = -3+sin x- -4 -6PROF.: LIMA

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