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1 ano função afim

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função afim teoria

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1 ano função afim

  1. 1. FUNÇÃO AFIM
  2. 2. A temperatura de uma substância é 30 ºC. Vamos analisar duas situações distintas.
  3. 3. ① Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, aumentando 10 ºC por minuto. Observe as temperatura, medidas minuto a minuto. A taxa de variação da temperatura é positiva (10 o C/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em o C é, T = 30 + 10.t 80 70 60 50 40 30 T( o C) 5 4 3 2 1 0 t(min)
  4. 4. ② Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto. Observe as temperaturas, medidas minuto a minuto. A taxa de variação da temperatura é negativa (10 o C/min). Após t minutos, a temperatura T da substância em o C é, T = 30 – 10.t – 20 – 10 0 10 20 30 T( o C) 5 4 3 2 1 0 t(min)
  5. 5. Veja os gráficos cartesianos das duas funções t(min) T( o C) 0 1 2 3 4 20 40 60 80 5 T = 30 + 10.t 80 5 70 4 60 3 50 2 40 1 30 0 T( o C) t(min)
  6. 6. Veja os gráficos cartesianos das duas funções t(min) T( o C) 0 1 2 3 4 – 20 – 40 20 40 5 T = 30 – 10.t 60 – 20 5 – 10 4 0 3 10 2 20 1 30 0 T( o C) t(min)
  7. 7. Função afim ou de 1º grau é toda função do tipo <ul><li>y = f(x) = ax + b </li></ul><ul><li>Em que a e b são números reais, com a ≠ 0 . </li></ul>Se b = 0 , temos a função y = f(x) = ax , chamada, também , função linear .
  8. 8. Exemplos: <ul><li>y = f(x) = 5x – 3 </li></ul><ul><li>é uma função afim com a = 5 e b = –3. </li></ul><ul><li>y = f(x) = x/5 + √3 </li></ul><ul><li>é uma função afim, com a = 1/5 e b = √3 </li></ul><ul><li>y = f(x) = - x + ½ </li></ul><ul><li>é uma função afim, com a = –1 e b = 1/2 </li></ul>
  9. 9. Características da função afim y = f(x) = ax + b. <ul><li>A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau ; seu termo independente pode ser nulo ou não. </li></ul><ul><li>Se b = 0 , temos a função f(x) = ax , chamada de função linear . </li></ul><ul><li>A constante real a , não-nula, é o coeficiente angular . Ela é a mesma, qualquer que seja o intervalo considerado. </li></ul>
  10. 10. Características da função afim y = f(x) = ax + b. <ul><li>A constante real b é o coeficiente linear . </li></ul><ul><li>Seu gráfico cartesiano é uma linha reta , não paralela aos eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0 ) ou não conter origem (caso b ≠ 0 ). </li></ul><ul><li>O crescimento ou o decrescimento da função estão relacionados com o sinal de a . </li></ul><ul><li>A reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0 . </li></ul>
  11. 11. Casos Especiais <ul><li>Função linear b = 0 , f(x) = 3x </li></ul><ul><li>Função Identidade b = 0 e a = 1 , ou seja, f(x) = x </li></ul><ul><li>Função constante a = 0 , f(x) = 3 </li></ul>
  12. 12. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO. <ul><li>a > 0 função crescente </li></ul><ul><li> reta ascendente ( sobe da esquerda p/ direita ) </li></ul><ul><li>a < 0 função decrescente </li></ul><ul><li> reta descendente ( desce da esquerda p/ direita ) </li></ul>
  13. 13. Exemplos <ul><li>Observe o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x / 2 . </li></ul>x y 0 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 4 5 – 4 – 5 – 5 – 4 4 5 y = x y = x / 2 y = 2x a > 0
  14. 14. Exemplos <ul><li>Observe o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x / 2 em que </li></ul>x y 0 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 4 5 – 4 – 5 – 5 – 4 4 5 y = –x y = –x / 2 y = –2x a < 0
  15. 15. A partir do gráfico da função linear y = ax , podemos obter os gráficos de todas as funções afins y = ax + b . Deslocamos o gráfico da função y = ax para cima ou para baixo , de acordo com o valor da constante b .
  16. 16. Exemplos: <ul><li>Observe o gráficos das funções y = x; y = x + 2 e y = x – 3. </li></ul>x y 0 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 4 5 – 4 – 5 – 5 – 4 4 5 y = x a > 0 y = x – 3 y = x + 2
  17. 17. Exemplos: <ul><li>Observe o gráficos das funções y = –2x; y = –2x – 3 e y = –2x + 4. </li></ul>x y 0 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 4 5 – 4 – 5 – 5 – 4 4 5 y = –2x + 4 y = –2x a < 0 y = –2x – 3
  18. 18. A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral em relação a todas as funções afins do tipo y = f(x) = ax + b . <ul><li>Que relação existe entre o coeficiente b e o ponto onde cada reta corta o eixo y? </li></ul><ul><li>b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y . Ou seja, a reta intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b) . </li></ul>
  19. 19. Construir o gráfico da função y = 2x + 3. x y 0 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 4 5 – 4 – 5 – 5 – 4 4 5 y = 2x + 3 y = 2. 1 + 3 = 5 1 y = 2. 0 + 3 = 3 0 y = 2x + 3 x
  20. 20. Construir o gráfico da função y = –2x – 2. x y 0 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 4 5 – 4 – 5 – 5 – 4 4 5 y = –2x – 2 y = –2. 1 – 2 = –4 1 y = –2. 0 – 2 = –2 0 y = –2x – 2 x
  21. 21. Dois pontos determinam uma reta. Por isso, se conhecermos dois de seus pontos, podemos obter a função afim que ela representa. Ou seja, podemos obter os coeficientes a e b da função.
  22. 22. Exemplos <ul><li>A semi-reta da figura mostra a despesa mensal y (em milhares de reais) de uma empresa, para produzir x toneladas no mês. </li></ul><ul><li>Escrever y em função de x. </li></ul><ul><li>Obter a despesa na produção de 76 t. </li></ul><ul><li>Obter o número de toneladas produzidas, para uma despesa de 93 mil reais. </li></ul>x y 0 20 30 10 20 40 40 60 Despesa (milhares de reais) Produção (t)
  23. 23. Exemplos: <ul><li>Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função. </li></ul>A função é do tipo y = ax + b , com a e b reais (a ≠ 0). Para x = 0, y = 4 Para x = 2, y = 0, substituindo em y = ax + b , temos 0 = a.2 + 4 – 2a = 4 a = –2 y = –2x + 4 ⇒ b = 4 . x y 0 2 4
  24. 24. Exemplos: <ul><li>Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função. </li></ul>A função é do tipo y = ax + b , com a e b reais (a ≠ 0). Para x = 0 , y = 1 Para x = –2 , y = –1, substituindo em y = ax + b , temos – 1 = a.(–2) + 1 , 2a = 2 a = 1 y = x + 1 , b = 1 . x y 0 – 2 1 – 1
  25. 25. Raízes e sinal da função afim
  26. 26. Nos gráficos das funções de 1º grau, a reta sempre corta o eixo x. A abscissa do ponto por onde o gráfico da função intercepta esse eixo é chamada de zero ou raiz da função. Raiz da função é o valor de x tais que f(x) = 0.
  27. 27. Exemplos: <ul><li>Encontrar as raízes das funções de IR em IR definidas por f(x) = 3x – 6 e g(x) = –2x – 2. </li></ul>Queremos obter os valores de x que anulam as duas funções. f(x) = 0 , 3x – 6 = 0 , 3x = 6 , x = 2 g(x) = 0 , –2x – 2 = 0 , –2x = 2 , x = –1
  28. 28. Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico abaixo. x y 0 – 2 Raiz: y = 0 para x = –2 Sinais: y < 0 para x < –2 y > 0 para x < –2 + + + + + – – –
  29. 29. Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico abaixo. x y 0 Raiz: y = 0 para x = 1 Sinais: y < 0 para x > 1 y > 0 para x < 1 1 – – – + + + + +
  30. 30. Estudar o sinal de uma função é determinar para que valores do domínio (valores de x) a função é positiva, negativa ou nula.
  31. 31. Exemplos: <ul><li>Estudar o sinal da função definida por f(x) = 3x – 6. </li></ul>Queremos saber para que valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. f(x) = 0 , 3x – 6 = 0 , 3x = 6 , x = 2 Primeiro vamos achar sua raiz. x 2 Portanto, y = 0 para x = 2 y > 0 para x > 2 y < 0 para x < 2 – +
  32. 32. Exemplos: <ul><li>Estudar o sinal da função definida por g(x) = –2x + 2. </li></ul>g(x) = 0 , –2x + 2 = 0 , –2x = –2 , x = 1 Primeiro vamos achar sua raiz. x 1 Portanto, y = 0 para x = 1 y > 0 para x < 1 y < 0 para x > 1 – +
  33. 33. Inequações de 1º grau
  34. 34. Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas funções reais. Chamamos Inequação de incógnita x toda desigualdade condicional que apresenta uma das formas seguintes: f(x) > g(x) f(x) < g(x) f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x)
  35. 35. Solução e Conjunto-solução <ul><li>Solução de uma inequação é cada valor real de x que a satisfaz. Conjunto-solução de uma inequação é o conjunto de todas as soluções. </li></ul><ul><li>Resolver uma inequação é encontrar o seu conjunto solução. </li></ul>
  36. 36. Equivalência de inequações Princípios de equivalência
  37. 37. Princípios de equivalência <ul><li>Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois membros de uma inequação. Isso equivale a transpor um termo de um membro para outro, invertendo o seu sinal. </li></ul><ul><li>3x + 5 > 2 </li></ul>⇒ 3x > 2 – 5 ⇒ 3x > –3 ⇒ x > –1 Troca de sinal <ul><li>– 3x ≤ 6 – 4x </li></ul>⇒ – 3x + 4x ≤ 6 ⇒ x ≤ 6 Troca de sinal
  38. 38. Princípios de equivalência <ul><li>Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade </li></ul><ul><li>se mantém , se k for positivo . </li></ul><ul><li>se inverte , se k for negativo . </li></ul><ul><li>3x > –12 </li></ul>x > –12/3 x > – 4 Manteve o sentido
  39. 39. Princípios de equivalência <ul><li>Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade </li></ul><ul><li>se mantém , se k for positivo . </li></ul><ul><li>se inverte , se k for negativo . </li></ul><ul><li>– 5x ≤ – 15, </li></ul>x ≥ –15/–5 , x ≥ 3 Inverteu o sentido
  40. 40. Princípios de equivalência <ul><li>Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No caso, o sentido da desigualdade </li></ul><ul><li>se mantém , se k for positivo . </li></ul><ul><li>se inverte , se k for negativo . </li></ul><ul><li>< 3 </li></ul>, x + 1 > 3.(–2) , x + 1 > –6 Inverteu o sentido , x > –7
  41. 41. Analisando inequações graficamente <ul><li>A linha vermelha da figura é o gráfico da função y = f(x). Ele é formado por duas semi-retas. A partir dele, resolver as inequações f(x) > 0 e f(x) ≤ 0. </li></ul>Raízes: – 4 e 2. f(x) = 0 para x = – 4 ou x = 2 f(x) ≤ 0 para – 4 ≤ x ≤ 2 f(x) > 0 para x < – 4 ou x > 2 x y 0 2 – 4

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