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Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais
de Concreto Armado

Esta publicação apresenta um texto didático destinado a
al...
@este eoo_eeooo o, o oeaeeeemraeaaaata_
s.  l _ . _ , - .  _ .  .. .Juma . e . im.  L».  .t.  

. an.  l  ,  .km5.

  
  
...
Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado
@CDPYFNGHT EDITORA FINl LTDA. 

Todos os direitos de reprod...
íNcucE

 

  

CAPÍTULO 1 - PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS coivi LAJES NERVUHADAS
1.1 INTRODUÇÃO. ... ... ..

1.2 DEFINIÇÃO . ......
2.7. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA. .."

  
 

2.8. PUNÇÃO NAS LAJES SEM VlGAS. ... 
2.8.i.  Princi...
CAPÍTULO 5 - PILARES

5.1. INTRODUÇÃO. ..
5.1.1. Considerações gerais . ... ... ... .. . .
5.1.2. Conceitos básicos . ... ...
1D

6.3.5. Sapata com carga excêntrica em duas direções. .
6.3.6. Sapata com vigas de equilibrio ou vigas-alavanca

BIBLIO...
12

  cAPíTuLo 1

Pavimentos de edifícios
com lajes nervuradas

1.1 INTRODUÇÃO

O pavimento de uma edificação,  devido a s...
14

- têm grande versatilidade de aplicações,  podendo ser utilizadas em pavimen-
tos de edificações comerciais,  residenc...
16

 

he intefeboaú)

“Em (VP) capa de concreto (c) element) de ermhimerllo (E)
_ h
h m3_ às:  ~Í~SI~
@E lí¡ l-íl
JT? 
v
...
18

As lajes nervuradas consideradas normais são aquelas em que as nervuras são
interiores,  possuindo uma mesa superior d...
Existem outros tipos de la'e . 
l s nervuradas ou diferentes possibilidades de execução: 

a Laje nervurada meio tubo no q...
L

Í  u f;  É"
wàScm a 25m

542301¡ : › quandonãohouvermbxxl ' ^
2 m 5 Mães horizontais embutidas

 

“If 24 em =  quandoe...
a distância entre a face de uma abertura e uma bo
ou maior que 1/4 do vão.  na direção considerada (

a distância entre fa...
tradas em CARV
ALHO e FIGUEIREDO (2007),  obtém

fletor maximo (m por metro) e a flech ( j
x a a, 
expressões 1.1 e 12¡

-...
. - - ~ ' 'da) resulta: 
_ .  j' j. , neutra (distancia a borda comprimi
Exatamente pela vantagem de a laje maciça apresen...
Pode-se assim por exemplo adotar
' › a seção indicada na Figura 1 13
.  (usando-se

neste caso fôrmas para diminuir . 
a q...
32

 

Conclui-se que a laje nervurada é um sistema estrutural onde se procura afastar o
concreto da seção transversal da ...
Para efeito de cálculo,  considera-se que cada laje nervurada seja simplesmente
apoiada em seu contorno,  e no caso de laj...
36

 

1.7. ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO:  DEFORMAÇÃO E FISSURAÇÃO

A verificação do estado limite de deformação (item 193.1...
3B

O efeito da fissuração no cálculo da flecha imediata e' dado no item 17.3.21 .1,
e o cálculo da flecha adicional difer...
°°m 'wa 5 TM,  dados por: 

V

M : ñ (1,7)
V

TRdl : b 6:¡ (L3)

A resistência de projeto ao cisalhamento ' d d
e a a por:...
42

1.9. LAJES NERVURÀDAS EM UMA DIREÇÃO

Quanto a disposição em planta das nervuras,  as lajes nervuradas moldadas no
loc...
P5

V5

 

ñyura 1. 15. Laje nervurada em duas direções (nervuras adaga/ vais). 

Um modelo de cálculo mais apropriado que...
4G

veis verticalmente,  sendo ainda possível incluir na análise a nãdlinearidade fisica do
concreto armado. 

Chama-se a ...
4B

0,101 =  0,10 - 500 =  50cm (rio caso,  a =  l =  500 cm - viga simplesmente apoiada)

bl Sã Ojo-bz = O,50«35 =18cm (b...
50

 

d) Verificação do estado de deformação excessiva (ELS«DEF)
di) Características da seção

Para a verificação do esta...
"z =  “e ' A* =  9›85« 1.75 =17,2375 em: 

"z = ' d' a.  ' A:  =22,4-9,s5.1,75 =  336,12 m¡

- 
x, ,- V' az) 4ara; =~17,2+...
A;  = Área da armadura
de °°mPressão no trec '
ho considerado

ê =  coeficiente função do tem
Po,  sendo Ai;  = gm _ 500)
...
. 5,,  = 660 / cN/ mzé maior que 1M, 

: S87 kN/ mz e ha' necessidade
de armadura transversal;  neste ca

so,  para evita-...
5B

 

CORTEAA com¡ BB
ÉJS! ,  ,  _m , V1

a.  i ' L¡ Í¡

N l Í 'l “i
i2 12x

 

a9 : v

19 w 19 i9

X1

y

 

Hgura 1.23....
e) Largura colahorante,  considerando as nervuras em cada direção com seção T
Direção x: 
b,  :bw +2-b,  :(0,12 + 20,33) =...
Todos os valores de x são menores que a espessura da mesa (h,  = 5 0m),  indi-
cando que a linha neutra passa na mesa e em...
64

Cálculo do momento de ñssuiação e comparação com o devido à carga pennanerite: 
A carga permanente é p =  6,10 kN/ m?,...
SE

6,52_

a: 

Os valores das flechas (sem considerar a fissuração do concreto) obtidos para

_ p~7,20'°
100 214030293

o...
68

 

h) Veriticação do cisalhamento

De acordo com o ítem 13.2.4.2b da NBR 61182003, permite-se a verificação
das nervur...
EXEMPLO 1.3. ~ › .  .
de grelha Exemplo comparativo de calculo como laje maciça e com modelo

Calcular e com a ' -
a ríech...
No emprego das tabelas serão utilizados os valores correspondentes ao caso de
laje simplesmente apoiada no contorno,  e o ...
Tl-¡J-Tz-: z-Tíss-TÍEM-Tã-Es-T-Es-T-
Hill-Hà] m" : :Éh nus : na uz¡ az:  o: :
a ii-l-: u -l-
vii : sz E59 : ea n22 oaii : ...
76

Para o cálculo do momento de inércia à torção da nervura (Im L é utilizada a ex-

pressão da resistência dos materiais...
73

 

Observações: 

Fica evidente que o momento fletor e a flecha obtidos pelo cálculo como grelha
são bem maiores que o...
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  1. 1. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado Esta publicação apresenta um texto didático destinado a alunos de Engenharia Civil e a protissionais que queiram aprofundar seus conhecimentos em Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Concreto Armado. Os capítulos 1 e 2 consideram as lajes nervuradas e as lajes sem vigas - lisas e cogumelo -, complementando o cálculo de pavimentos de edifícios. Da maneira como o assunto é apresentado na NBR 61182003, o capítulo 3 é inédito. Trata da ação do vento em edificações e da análise de estabilidade global em estruturas reticuladas. No capítulo 4, os autores abordam a flexão composta normal e oblíqua, de forma bem prática, para aplicar esses conceitos no capítulo 5, no qual estudam o dimensionamento e o detalhamento de pilares, assuntos que deixam muitas dúvidas entre os iniciantes em engenharia estrutural. Finalmente, para complementar os conhecimentos básicos que todo engenheiro civil precisa ter, apresentam-se nos capítulos G e 7 o calculo e o detalhamento de elementos de fundação. mais especificamente das sapatas e dos blocos sobre estacas. Todos os capítulos contêm exemplos didáticos, que mostram a aplicação prática dos conceitos teóricos contidos no texto básico. No final de cada capítulo, encontra-se bibliograña indicada para que os interessados possam se aprofundar nos respectivos assuntos. 05.1517 r CDECZ ISSN. (i76-8Sv72664E5-1 l” ; l il 'r 1 2:7: Abllll 0.5.0erALi-¡Anenfownewesrn M . ngm . wascALcuL USUAISWJÊCONCRETOWR Mx (KNZm) 7 ROBERTO CHUST CARVAEHO LlBÂNlO MIRANDA PINHEIRO - Lajes ¡iervuratlas - Lajes lisas - Venta e estabilidade gluhal - Flexão composta (normal e ohliqua) - Pilares Nm) - Sapalas - Blocos de fundação
  2. 2. @este eoo_eeooo o, o oeaeeeemraeaaaata_ s. l _ . _ , - . _ . .. .Juma . e . im. L». .t. . an. l , .km5. . espera fa_
  3. 3. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado @CDPYFNGHT EDITORA FINl LTDA. Todos os direitos de reprodução ou traduçao reservados neta Editora Fin¡ Ltda. Dadas Internacionais de catalogação na Publicação (en) (Câmara Brasileira do Livro, se, Brasil) Carvalho, Roberto cx-rus: Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado : volume 2 / Roberto chusc Carvalho, Libânio Miranda pinheiro, ›- são Paulo : Pini, 2009. : seu 97s-a5-72s5-1aa4 1. Elementos estruturais 2. Estruturas de cdificios a. Estruturas de concreto armado I. Pinheiro, Libanio Miranda. xr. Título. os-ousa CDD~S2L1S34 Índices para catálogo sistemático: 1. Estruturas de concreto armado : Engenharia estrutural $24.1B34 Coordenação de Manuais Técnico . osieni Souza Projeto Grálicc e capa: Mauricio Luiz Aires Diagramação: Mauricio Luiz Aires Revisão: Monica Elaine c. s. da Costa Editora Pini Ltda. Rua Anhaia, 964 - CEP 01130-900 - São Paulo - SF' - Brasil Fone: (011) 2173-2300 - Fax: (011) 2173-2427 wwwoiriiweooom - manuais@pinl. com. br 'll edição 1' tiragem. abr/ ZOOQ Agradecemos aos colegas da Universidade Federal de São Carlos e da Escola de Engenharia de São Carlos da USP, que ajudaram direta ou indiretamente na elaboração deste livro, e aos alunos dos cursos de graduação e de pósgraduação dessas duas instituições, que constituíram a maior fonte de inspiração para este trabalho. Fazemos um agradecimento especial pela colaboração ao prof. Dr. Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho, co›autor dc volume 1, que, é claro, poderia figurar como : :o-autor deste segundo volume, E, por último, agradecemos também a compreensão e o apoio de familiares e amigos, que se privaram de nossa companhia para que esta obra pudesse ser realizada.
  4. 4. íNcucE CAPÍTULO 1 - PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS coivi LAJES NERVUHADAS 1.1 INTRODUÇÃO. ... ... .. 1.2 DEFINIÇÃO . ... .. L4. ASPECTOS GEOMETRICOS E CONSTRUTIVOS SEGUNDO A NBR 61183003 . ..20 1.4.1. Dimensões limites (item 13.2.4.2). ... . 1.4.2. Vãos efetivos. ... ... . 1.4.3. Aberturas. .. 1.4.4. Armadura de distribuição e estribosm. 1.5. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL E MODELO DE CALCULO"" 1.5.1. Comportamento estrutural . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 1.5.2. Modelo de cálculo. 1.6. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXAO. ... ... 1.7. ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO: DEFORMACÃO E FISSURAÇAO . 1.7.1. Verificação do estado limite de deformação . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 1.7.2. Verificação do estado limite de fissuração . ... ... ... ... ... ... ... .. . . 1.8. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE CISALHAMENTO 1.8.1. Lajes sem armadura para força cortante . 1.8.2. Lajes com armadura para força cortante. 1.9. mes NERVURADAS em uma DlREçà 1.10. mes NERVURADAS em nuns nineçõesu". .. BIBLIOGRAFIA . 4~.4_. ... ... ... .._. ... ... ..»_-. ... -.+. :v. a.. ..¡. ... ... _._ CAPÍTULO 2 - PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS COM LAJES LISAS E COGUMELD 2.i. INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . .eo 2.2. VANTAGENS DAS LAJES SEM VIGA$. ... .. ... B2 2.2.1. Adaptabilidade a diversas formas ambientais . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. _.82 2.2.2. Simplificação das formas e do cimbramento. ... ,.. ... ... ... ... ... ... ... .,. ... ... ... .., ... ... ... .52 2.2.3. Simplificação das armaduras. ... ... .,. ... ... ... ... ... ... ... 2.2.4. Simplificação da concretagem. 2.2.5. Melhoria da qualidade final e di 'nu ao de revestimentos 2.2.6. Redução da altura total do edificio . ... ... . . . 2.2.7. Simpliticação das instalações prediais 2.2.8. Redução do tempo de execução e de custos. .. 2.3. DESVANTAGENS 2.4. TIPOS DE LAJES SEM VIOAS 2.4.1. Lajes aliviadas ou nervuradas. . 2.4.2. Lajes planas (sem vigas) pruterididas . ... ... ... ... .. . . 2.4.3. Sistemas com vigas apenas nas bordas do pavimento. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .95 2.4.4. Sistemas pré-moldados de lajes sem vigas . ... ,. 2.4.5. Lajes içadas-"Iift 2.5. PEQUENO HISTÓRICO 2.a. CÁLCULO À FLEXAO nas LAJES sem VIGAS. -. 2.6.1. Método direto . ... . . . 2.6.2. Método dos pórticos equivalentes ou múltiplos 2.6.3. Analogia de grelha (grelha equivalente). ... . 2.6.4. Comparação dos resultados entre os diversos métodos 2.6.5. Detalhamento da armadura de flexão
  5. 5. 2.7. VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA. .." 2.8. PUNÇÃO NAS LAJES SEM VlGAS. ... 2.8.i. Principais métodos de verificação da resistência à punção 2.8.2. Método de verificação a punção de acordo com NBR 61 1 82003 2.8.3 Tipos de armaduras transversais. .. 2.9. ABERTURAS NAS LAJES BIBLIOGRAFIA CAPÍTULO 3 - AÇÃO DE VENTO E ESTABILIDADE GLOBAL DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 3.1. INTRODUÇÃO. .. 3.2. ELEMENTOS ESTRUTURAIS PARA RESISTIR A AÇÃO DO VENTO 3.3. INÉROIA EOUIVALENTE DE UM PILAR. ... 3.4. ASSOCIAÇÃO oe PÓRTICOS. ... .. 3.5. DETERMINAÇÃO DA INTENSIDADE DA AÇÃO DO VENTO 3.5.1. Considerações iniciais 3.5.2. Cálculo dos esforços solicitantes devidos ao vento . ... .. 3.6. ESTABILIDADE ESTRUTURAL 3.7. ESTABILIDADE GLOBAL . 3.7.1. Parâmetro de instab ade o. .. .. . . 6.7.2. Coeficiente yz. .. 3.a. ANÁLISE oe esrnurunns oe nós FIXOS. 3.9. ANALISE oe ESTRUTURAS ne NÓS móveis. . 3.9.1. Análise não-linear com segunda ordem. ... . 3.9.2. Consideração aproximada da não-linearidade fisica 3.10. CONSIDERAÇÃO DE IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS 3.l1 COMENTÁRIOS BIBLIOGRAFIA CAPÍTULO 4 - FLEXÃO COMPOSTA NORMAL e DBL/ QUA 4.1. imrnonuçñmu. 4.2. CONCEITOS BÁSICOS". .. 4.2.1, Definições fundamentais 4.2.2. Hipóteses básicas para o cálculo de peças fietidas . ... ., 4.2 3. Domínios de deformação . ... . . . 4.a. eeexixo COMPOSTA NORMAL (FLEXAO nen) 4.3.1. Seções retangulares com armadura não-simétrica em duas faces . 4.3.2. Seções retangulares com armadura simétrica em duas faces 4.3.3. Flexão composta com o uso de áhacos adimensionais para seções retangulares. .. 4.4. FLEXÃO oaLiouA e GOMPOSTA OBLÍOUA 4.4.1. Hipóteses de cálculo. .. 4,42. Equações de equilibrio 4.4.3. Resolução do sistema e ábacos adimensionais 4.5. PROGRAMAS E OUTROS ABACOS ADIMENSIONAIS 4.a. EXEMPLOS oe cÁLcuLo. ... 4.1. ÁEACOS ADIMENSIONAIS PARA seções RETANGULARES 4.8. BIBLIOGRAFIA
  6. 6. CAPÍTULO 5 - PILARES 5.1. INTRODUÇÃO. .. 5.1.1. Considerações gerais . ... ... ... .. . . 5.1.2. Conceitos básicos . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 5.1 . S. Efeitos de segunda ordem 5.2. oimeiisões MÍNIMAS nos nunes seeumoo A NBR mamona 5.3. ARMADURAS MÍNIMAS e MÁXIMAS em nunes 5.3.1. Valores mínimos. .. 5.3.2. Valores máximos. .. 5.4. ÍNDICE DE ESBELTEZ, RAIO DE GIRAÇAO, COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM 317 5.5. CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES"" 5.5.1. Classificação dos pilares quanto ã posição em planta 5.5.2. Classificação dos pilares, de acordo com a esbeltez. a partir da NBR 611822003 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 324 5.6. TIPOS DE EXCENTRIOIDADES. ... ... 5.6.1. Excentricidade inicial (eí) 5.6.2. Excentricidade de forma . ... .. 5.6.3. Excentricidade acidental (e_) . ... .. . . 5.6.4 Excentricidade de segunda ordem (a1). 5.6.5 Excentricidade suplementar (fluência . ... .gm . ... ,321 5.1. cÁLcuLo nos eeeitos ne seauuu onoem. 5.7.1. Método geral- processo exata 5.7.3. Método aproximado da pilar-padrão 5.7.4 Resumo do cálculo das excentricidades. ... . 5.a. CALCULO oe nunes CENTRAIS 5.8.1. Calculo de pilares centrais curtos . ... . . . 5.8.2. Cálculo de pilares centrais medianamente esbeltos. ... . 5.8.3. Cálculo de pilares centrais esbeltos. ... . . ... G73 5.9. CÁLCULO ne nunes LATERAIS 5.9.1. Determinação aproximada dos momentos na ligação viga-pilar . ... ... ... .. . . 5.9.2. Combinação dos momentos de primeira e segunda ordem (seções de topo e intermediárias) 5.10. CALCULO DE PILARES DE GANTD 5.11. PRE-DIMENSIONAMENTO. .." . ... S74 5.12. DETALIIAMENTO DA ARMADURAm. 5.12.1 Armadura longitudinal, ... 5.12.2. Armadura transversal (estribos) 5.12.3. Canalizações embutidas 5.12.4. Esquema final de apresentaçã BIBLIOGRAFIA . CAPÍTULO 6 - ELEMENTOS DE FUNDAÇÕES: SAPATAS RÍGIDAS 5.1. INTRODUÇAO. ... ... ... . 6.2. TIPOS DE FUNDAÇÕES"" 6.2.1. Fundações profundas . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 6.2.2. Fundações superficiais . ... ... ... ... ... ... ... ... . . . 6.3. SAPATAS DE FUNDAÇÃO 6.3.1. 'ñpos de sapatas . ... ... ... ... ... ... . . . 6.3.2. Classificação das sapatas quanto à rigidez. . 6.3.3. sapatas isoladas rígidas submetidas a cargas axiais. ... 6.3.4. sapatas isoladas rígidas submetidas a carga excêntrica em uma direção . ... ... ...4a8
  7. 7. 1D 6.3.5. Sapata com carga excêntrica em duas direções. . 6.3.6. Sapata com vigas de equilibrio ou vigas-alavanca BIBLIOGRAFIA CAPÍTULO 7 - BLOCOS DE FUNDAÇÃO 1.1. INTRODUÇÃO. .. . .. ..S28 7.3. BLOCO SOBRE tunuuo. ... ... 7.4.1 . Considerações preliminares . ... ... ... ... ... . . . 7.4.2. Dimensões usuais dos blocos sobre estacas 7.4.3. Classificação dos blocos em rígidos e flexíveis . ... .. 543 7.4.4. Bloco sobre uma estaca. . 7.4.5. Blocos rígidos sobre estacas 7.4.6. Bloco sobre duas estacas. 7.4.7. Detalhamento da armadura . ... .. 7.4.8. Blocos rígidos sobre mais de duas estacas. 7.4.9. Blocos rígidos submetidos à força normal e momento fletor. BIBLIOGRAFIA ANEXO 1 A1.1) PILAR INTERNO COM EFEITO DE MOMENTO. ... .. A1.2)PILARES DE BORDA COM EFEITO DE MOMENTO. .. A1.3) PILARES DE CANTO COM EFEITO DE MOMENTO ANEXO 2 eóamuus PARA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL com ARMADURA Assimetiticimnsaa é i i a
  8. 8. 12 cAPíTuLo 1 Pavimentos de edifícios com lajes nervuradas 1.1 INTRODUÇÃO O pavimento de uma edificação, devido a sua grande superficie. e', normalmente, a parte da estrutura que mais consome material. Assim, projetar um pavimento, por exemplo, reduzindo um centímetro na altura da laje pode conduzir a uma economia considerável. Por outro lado, a busca por menores dimensões das estruturas do pavimento tem levado ao uso de concretos cada vez mais resistentes e também à melhoria dos processos de cálculo. Entre essas melhorias pode-se afirmar que o cálculo de pavimentos de edificações, considerando a interação de todos os seus elementos, já está consagrado, obtendo-se, em principio, resultados mais próximos da realidade, principalmente no que concerne ao estado de deformação. Isto decor- re do grande avanço que os programas de computadores tem apresentado, além do maior conhecimento na modelagem e no comportamento de estruturas. Apesar de todo avanço no desenvolvimento de programas, cabe sempre ao pro- jetista conceber e definir a melhor estrutura para cada situação e, para tanto, preci- sa conhecer com profundidade seu comportamento estrutural e fazer previsões de dimensões para que o desenvolvimento do projeto auxiliado por um programa de computador resulte em uma estrutura segura, racional, funcional e económica. Assim, além das condições no estado limite último (ELU), pode ser preponde- rante a verificação do estado limite de serviço (ELS), principalmente o estado de deformação excessiva, sendo necessário, neste caso, considerar os efeitos da fis- suração e da fluência do concreto. ' t ma estrutural mais adequam Para Um delerminadc” pavimento' A eScolha do sI-S -e - construtivo a ser utilizado, deve ser feita consi- assim como a definição do Processo_ fmalidade da edificação; projeto arquiteiônico; derando ? HQLÂLIS pÊFE-LIÂÍÍÊhÉaÊLCSOÍaos a vencer: ÓÍSDOVÚblIÍÚaÚQ de equipamemos” de umlãífââjobra; custos e interação com os demais subsistemas constru- cargas materiais e m tivos da edificação. Para pavimentos em que o menor vão a ser vencido Pelas '3195 é Pequem °“ médio (lajes com o menor vão inferior 5 m) e as cargas a Serem Süpcmadas “ã” são muito elevadas, normalmente se tem emPYSQaÓO 35 ¡5195 mad? ” apüadas 'gas (sistema tradicional) uma vez que a esflêssufã Úemandada PEIES 'alesw em VI ' - - ' ' 'dez quanto ' r ” . Para este tipo de sistema, e grande a rigi nesta situaçao. e Pequeña 4 _ deslocamentos verticais Por outro lado. Para grandes Vã°5v a5 'alas maaças aos - - - - essária da Ia'e, para atender ao podem ser antieconômicas, pois a esPeswra “ec J _ Certa estado limite último e ao criterio de 13951119105 d95'°°am°m°5 transversais' mente sera' elevada. Dessa maneira, é interessante utilizar um sistema estrutural que tenha comporta- mento semelhante ao das placas (lajes macíças), porém com a eficiência das vigas na flexão, ou seja, grande inércia e peso próprio relativamente pequeno. . AS 13195 de concreto armado com nervuras quase sempre atendem a esses rBQU| S|ÍOS~ E5535 lajes representam um avanço em relação às maciÇaS P0' neceSsltflrem, em geral, de menor quantidade de material, principalmente quando os vão sao grandes. - tam, al umas merecem Dentre as vantagem que 35 13195 “ewuradas aprese" 9 ser destacadas: . . ' locais . permitem vencer grandes vaos, liberando espaços. 0 que é Vãlltalom em' l ' Iem de dificultarem as manobras dos veicu os. como garagens. Onde 05 Fibras» a ocupam regiões que serviriam Para Vagas? « ' e ada nas la'es maci- - podem ser construidas com a mesma tecnologia empr _ SJ ecmcas . ~ ' ' ecnicas e ças, diferentemente das lajes protendldas. que exigem p de execução; 13
  9. 9. 14 - têm grande versatilidade de aplicações, podendo ser utilizadas em pavimen- tos de edificações comerciais, residenciais, educacionais, hospitalares, gara- gens etc. ; o são também adequadas aos sistemas de lajes sem vigas, em que podem ser necessárias regiões maciças apenas nas regiões dos pilares, onde há grande concentração de tensões; - consomem menos concreto e aço que outros sistemas similares, diminuindo o peso próprio e aliviando as fundações; - pelas suas caracteristicas (grande altura e pequeno peso próprio), podem supor- tar cargas mais elevadas que as demais. As lajes nervuradas apresentam tambem algumas pequenas desvantagens, podendo-se citar como principais a dificuldade na passagem de tubulações e a demanda por alturas maiores do edificio e de cada andar. Aqui será dada ênfase nas lajes nervuradas moldadas no local, em uma ou duas direções. Sera mostrado o comportamento desses pisos e apresentados os prin- cipais tipos, as prescrições normativas, os modelos de cálculo. as indicações de projeto e, finalmente, alguns exemplos. 1.2 DEFINIÇÃO Segundo o item 147.7 da NBFl 61 18 (2003), as “lajes nervuradas são as lajes mol- dadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos está localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte". A ideia que levou ao surgimento dessas lajes é relativamente simples: para vãos de grandes dimensões, as lajes maciças geralmente apresentam. pelo menos no ELU, uma pequena região de concreto comprimido (será mostrado no item 1.4) e, portanto, ha muito concreto abaixo da linha neutra que está tracionado. o que, i b a resistência à flexão' assim nada mais racional do ' ' não co a ora n i ' . nesta sduaçao, d e concreto por material inerte (quase sempre mals - - ma parte ess __ que subsmu" u ~ ld om fôrmas uma regiao . gncreto) ou simplesmente m0 ar c leve e mais barato que 0 C tracioriada composta apenas de nervuras. . . . . dois tipos de lajes nervu- . f da Norma podem se estabelecer A par” da dzwçzo as moldadas no local As lajes pre-fabricadas dividem-se . ata rica ase 4 A , fadas' as pr: com vigotas lajes alveolares e duplo 'T' (OU "WW N35 'mas pre' em nervura as › t ta; podem se, do [jpg trilho (têm a forma de um trilho de fabricadas com V190 “r 95 _ . 1 1 ' . Essas lajes podem ser vistas na Figura . . estrada de ferro) °U com trem? : É: a _A “andei” ^ LI. Dln-/ 1mm: . . . . . - ' › ' liça; . - ¡ é-mo/ dadas. a) tipo n, b) alveolar, c) ima tri/ ha, d) ! um tre Figura 7' 1' seções "MSVEÍSHSÃÍÊÍÊÊÍ/ Íía da nervura da 13/5 ! iHU ? FB/ i'm _ 4 , v - t bém pretendidas As lajes pre-fabricadas com vlgotas “po mlho podetm Iàerd: : podem ser vistas ' ' l' l a (Figura 1.2). As de concreto armado do tipo trilho e as e Ç H _ l n_ E HGUEmEgo (2007) e devem seguir as espeoiticaçoes aqui co em CARVALHO . . _ .2 sideradas, além das relativas às normas especificas NBFl 14859 1, NBR 14359 v NBFl 14860-1, NBR 14860-2 e NBR 14861 15
  10. 10. 16 he intefeboaú) “Em (VP) capa de concreto (c) element) de ermhimerllo (E) _ h h m3_ às: ~Í~SI~ @E lí¡ l-íl JT? v mu, »by n= he . nc VIGOTANPhV) Figura 1.2. Laje pre-/ ab/ ¡cada com Vigo/ as protendldas (Figura 3. 7. lb, NBR 14359-1: 2002). 1.3 DESCRIÇÃO DAS LAJES NERVURADAS MOLDADAS NO LOCAL Já se viu que a solução com laje nervurada reduz o consumo de concreto. Po- rém, para ser mais económica que a laje maciça, o consumo de fôrmas não deve ser alto. Isso pode ser conseguido, por exemplo, com a utilização de moldes de plástico reforçado, reaproveitáveis, para a confecção das nervuras, como mostra- do na Figura 1.3. Esses moldes são encontrados com variadas dimensões em planta e na altura, atendendo desde aos projetos mais simples até aos mais sofisticados; existem também “meias fôrmas”, adequando-se a várias dimensões da edificação. Elas são reforçadas internamente e proporcionam uma ótima precisão nas dimensões e no acabamento. Os moldes suportam o peso do concreto fresco, das armaduras, dos equipamen- tos e das pessoas andando sobre sua superficie. Assim, servem de fôrma e, para montar o escoramento, basta o uso de barretes, travessas e pontaletes, o que é bastante econômico. As arestas do molde. que ficam em contato com o concreto, têm o formato arredondado, e suas faces laterais são inclinadas, permitindo uma fácil destorma. Este equipamento pode ser alugado e permite muitos reaproveítamentos. O único inconveniente é o aspecto resultante para o teto, com as nervuras aparentes. Entretanto, se conveniente, podem ser usadas placas de gesso para tomar a superfí- cie inferior totalmente plana. Atualmente existem empresas que alugam essas formas e que fornecem escoramento próprio para elas. z. : -s. s-. m.. .e›v»e. »iw. mm«ç. .>. _,; .. . .~ pontalctc Figum 1 3 Moldes plásticos para execução de lajes nervuradas e esquema de escura/ mento. Outras soluções podem ser obtidas com o uso de um tablado de madeira, como nas lajes maciças, substituindo-se apenas parte do concreto tracionado por mate- riais mais baratos e leves. Na Figura 1.4 são mostrados desenhos de seções trans- versais esquemáticas dessas soluções. Nelas os materiais de enchimento ficam incorporados à laje. como os blocos de EPS (isopor), concreto comum, concreto celular e os blocos cerâmicos (Figura 1.4 a, h, c e d). Em todos esses casos e', em princípio, executado o tablado para depois serem colocados sobre ele os materiais de enchimento, armadura e instalações; em seguida é executada a concretagem das nervuras e da capa. Além de se evitarem as fôrmas nas faces laterais das nervuras e na face inferior da mesa, obtêm-se superfícies inferiores planas, melho- rando c aspecto final de acabamento. Deve-se apenas tomar cuidado para que os blocos não se desloquem durante a ccncretagem. . ig Figura 1.4. Seções transversais de lajes namoradas com materials lnertes: a) isopor; b) blocos de concreto comum; c) blocos de concreto celular; d) tijolos cerâmicos filiadas.
  11. 11. 18 As lajes nervuradas consideradas normais são aquelas em que as nervuras são interiores, possuindo uma mesa superior de concreto (Figura 1.5). Nestas, os espa- ços entre as nervuras ficam vazios ou são ocupados pelos blocos, sem função es- trutural. Estas são as de uso mais frequente, em que as nervuras, juntamente com as mesas, têm, na seção transversal, a forma de um T, sendo, portanto, bastante eficientes para resistir aos momentos fletores positivos (que tracíonam a região inferior, que tem área pequena - nervura - e comprimem a superior, que tem área maior - mesa), o que já não ocorre para os momentos fletores negativos, pois a situação é exatamente inversa (compressão da nervura e tração da mesa). Dessa forma, como diretriz inicial de projeto, deve-se admitir que as lajes nervuradas fun- cionem sem engastes totais em seu contorno, reduzindo os momentos negativos aos valores limitados pela capacidade resistente da nervura à compressão. j mesa , l (o no» ao / "/ armadura longitudinal 116m1!? Hgura 1.5, Seção tmnsversa/ de laje rrervurada normal (direta). Nas lajes nervuradas invertidas, as nervuras são superiores, existindo uma mesa inieriorde concreto (Figura 1.5). Nestas, os espaços entre as nervuras normalmente permanecem vazios, com as nervuras aparentes, exigindo, portanto, a necessidade de tórmas para moldar tanto a mesa como as nervuras. A utilização deste tipo de laje é restrita, sendo recomendada apenas para casos de lajes em balanço. Por ser de difícil execução, este tipo de laje está praticamente em desuso. l #W013 - n / 'Í armadura longlmdu-lal , esa V, Figura 1.6. Seção transversal de laje nervurada invertida. N lajes nervuradas duplas as nervuras ñcam situadas entre duas mesas de as v concreto uma inferior e outra superior. °°"f°"“e "MSM a FÍHUY! 1-7~ N05 eSPa' ços entre as nervuras, podem ser colocados materiais de enchimento, servindo de fôrma simultaneamente para as nervuras e para a mesa superior, ou entao esses os podem permanecer vazios sendo necessária neste caso a utlllzaçao de espaç v t; mas as quais serão perdidas Sua execução e difícil e muito trabalhosa, De mes- or . - . - › - ' ' t' raticamente ma maneira que as lajes nervuradas lnvertldas, este tlpo de laje es a p em desuso_ seção do apoio seção do meio do vão › - de compressão Í nervura armadura longitudinal › l nervura mesa / r / x_- k r/ / X j, . . _ . o - - / / r t Í l l L ' l › &- 7 o c j, /l / r _V r” : mes: de compressão , r , armadura longitudinal Figura 1.7. Laje nervurada dupla. 19
  12. 12. Existem outros tipos de la'e . l s nervuradas ou diferentes possibilidades de execução: a Laje nervurada meio tubo no qual o espa . . o t meia circunferência (figura Lga) 9 en re as nervuras tem o formato de ° Laje nervurada estrutubo d ' l o tipo de la'e l vuras forma uma circunferência (FíQuraJ 1 . aBlI/ je-oíary no qua¡ o espaço entre as neh Laje nervurada mod mada» "a qual as nerv ^ facilitar a destorma e o reaprov mas tem uma pequena Inclinação para _ eita t _ de “bra (Figura th). men o da fôrma. (lua Podem ser metálicas ou inclinação (para retirada da tem) Figura 7.8. Lajes nervuradas-a) melo til/ mb) esrrulubü. D) ma¡ ¡ Ú ' r ll a â. 1.4. ASPECTOS GEOMÉTRIGOS E c NBR memos onsrnu-rivos szcunno A Sei* 'epfoduzídas a seguir as recem _ E d . o mansões limites vãos efetivos e abertu 'i açoe| s da NBR 6118.2003 quanto as di- ' 'as Pa” tales nervuradas sem distin ' › çao se armadas em uma ou em duas direções (algumas recomendações são as mesmas que para as lajes maciças). 1.41 Dimensões limites (item 13.2.42) a) Espessura da mesa (n): - quando não houver tubulações horizontais embutidas. h, deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3 om; - quando existirem tubulações embutidas de diâmetro maximo 12,5 mm, o valor minimo absoluto de h, deve ser de 4 cm. b) Espessura das nervuras (bw): - a espessura bw das nervuras não deve ser interior a 5 cm; - não e' permitido o uso de armadura de compressão em nervuras de espessura inferior a 8 cm. c) Espaçamentn entre nervuras: o para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 crn, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nen/ uras, permite-se utilizar os critérios de laje; - para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite›se essa verificação como lajes se o espaça- mento entre eixos de nervuras for até 9D cm e a largura media das nervuras for maior que 12 cm; - para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça. apoiada na grelha de vi- gas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura.
  13. 13. L Í u f; É" wàScm a 25m 542301¡ : › quandonãohouvermbxxl ' ^ 2 m 5 Mães horizontais embutidas “If 24 em = quandoexisum tubulações embutidas de diâmetro IZSmm Hoi/ ra 7,9. Dimensões a observar na seção transversal de lajes nervuradas (NB/ i 67 7 8 2003) Destacam-se também as recomend ' ' - açoes da versão antiga NBR 61181930 de que nas lajes nervuradas armadas em uma direção mold d , . a as no local eram necessárias nervuras transvers ' ' a5 Sempre que houvesse car gas concentradas a à NBR 61182003. 14.2. vãos efetivos 13110 nela seguinte expressão; A, = ! a + a, + a¡ 00m a¡ igual ao menor valor entre (t, /2e0,3h) e a2 i ual a Ú: /2e0›3h), conforme indicado na Figura 1 1a g O menor vaio' entre 72 o) Apoio de vão intermediário a) Apoio de vão extremo Figura 1. ill. vãos efelivos de lajes (Figura 14.5 da NBR 67 78.2003). 1.4.3. Aberturas Os furos ou aberturas executados em qualquer elemento estrutural dão origem ã concentração de tensões que podem ser prejudiciais. Considera-se que furos tem dimensões pequenas em relação ao elemento estrutural, enquanto aberturas não. No item 132.5, a NBR 61182003 estabelece que um conjunto de furos próximos deve ser tratado como abertura. Entretanto, as aberturas em lajes normalmente são necessárias, principalmente para dar passagem às instalações prediais (água, esgoto, etc. ). De acordo com o ítem 13.2.52, quando forem previstas aberturas em lajes lisas ou lajes-cogumelo, seu efeito na resistência e na deformação deve ser sempre verificado e não devem ser ultrapassados os limites previstos nesta norma. Ainda segundo este item, ou~ tros tipos de lajes podem ser dispensadas dessa verificação, devendo ser armadas em duas direções e verificadas, simultaneamente, as seguintes condições: ' as dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 1/10 do vão menor (ZX) (Figura 1.11);
  14. 14. a distância entre a face de uma abertura e uma bo ou maior que 1/4 do vão. na direção considerada ( a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menor vão. rda livre da laje deve ser igual Figura 1.11); Figura 1. 71. Dimensões lim/ les para aberturas de lajes com dispensa do VE/ ÍÍÍMÇÊÚ. O item 21.34 da NBR 61182003 estabelece, ainda, que no caso de aberturas em lajes, as condições seguintes devem ser respeitadas em qualquer situação: - a seção do concreto remanescente da deve ser capaz de equilibrar os esforç tes a essa seção sem aberturas; parte central ou sobre o apoio da laje os no estado limite último, corresponden- as seções das armaduras interrompidas devem ser substituídas por seções equi- valentes de reforço, devidamente ancoradas; no caso de aberturas em regiões proximas a o modelo de cálculo deve prever o equilibrio sas regiões. pilares, nas lajes lisas ou cogumelo, das forças cortantes atuantes nes- Deve-se ressaltar que em lajes lisas e lajes-cogumelo, as aberturas, se necessá- rias, devem ser, enfaticamente, evitadas próximas aos pilares. 24 4 Armadura de distribuição a estrlbos 1.4. . - 'tem 20.1. 951a' . . - iadas, a NBR 6118.2003, no! Além das Drescriçoes lá apjiesende “exão em lajes deve ser igual ou Superior a dura secun arla belece que a arma ' d m espaçamento entre bar- - ' do-se manter aIn a u 20% da armadura Principal, devêízzmenda dessas barras deve respenar os mesmos › - 33 cm. e que ras de no maximo - ' i- item 19 3.3.2 labela19.1, d armadura principa . "O - ' critérios de emenda das barrlí ; les armadas em uma direçã°x que es” armadura' i orma estabelece. Para a es a n t deve ser ainda SUPSVW 3 org °mz' pOl' me TO: , do ne~ . ' lajes nervuradas, quan , tem 20.1, os estribos em Ainda de acordo com o l rior a 20 cm. - ' devem ter espaÇament° su” cessános, n30 1.5. COMPORTAMENTO ESTRUTURAL E MODELO DE CALCUÍ-o ' lajes nervuradas, princi- _ « mento estrutural das E interessante analisar o comportaf l mas consweraçags sobre o modelo - * ' as, e azer a9” palmeme em relaçao as maclç á ' ra o cálculo - › - ' ss rias pa - empregado e as simplificaçoes nece 1.5.1. Comportamento estrutural - das pode-se com- . tural das Iaies “em” v Para llustrar o comportamento es? ” apresenta um comportamento estrutural « - - ' A laje maciça para-las as lajes maciças. t ular em plan_ . . - ~ vimentos com forma re ang , bastante efluente] pnnclpalmente para pa dem de grandeza Considerando, Por - ~ a or ' ta e com as duas dimensoes da mesm _ _ “b” ' . - de dimensoes . mac¡ a com os lados exemplo' um pavlmento quadrado em laje ç' ta livre) em Paredes (des. . - " rdas e su os ~ e simplesmente apoiada (a rotação nas bo n. Z carga atuante p (unnormty . . › . , a ir a locamentos lmpedldos na venlcab' pode se a p fI h m a teoria das placas de . . . a ec a co meme dlstrlbulda) calcular O momento “ator e h 'da Com as tabelas encon. ~ - ' nte con ec¡ . pequena espessura, cuja soluçao e amplame 25
  15. 15. tradas em CARV ALHO e FIGUEIREDO (2007), obtém fletor maximo (m por metro) e a flech ( j x a a, expressões 1.1 e 12¡ -se os valores do momemg que sao dados respectivamente pelas Com: m, - momento fletor na viga; p - carga uniformemente distribuída por metro na viga; : O . _ 2 mx , D441 p b (1-1) b - vão da viga; a, -flecha da viga; a = 0,0457 . É h - altura da viga. Eh, (1.2) com_ Observa-se que a laje, por ter o comportamento de placa (apresenta tensões significativas em duas direções), está submetida a esforços solicitantes de menor intensidade que o elemento com comportamento de viga, embora necessite de armadura que seja disposta em duas direções. Também o estado de deformação e' menor que o da viga, sendo que a flecha da laje é cerca de 30% daquela da viga (considerando apenas o cálculo linear, sem fissuração e fluência). mx - momento fletor na direção x por faixa de um metr d | 0 a a'e; P ~ carga uniformemente dístribuida na suped' ' J icie; b -lado da laje em planta; a -flecha da placa' Essas vantagens diminuem bastante quando um dos lados do pavimento é cerca de duas vezes o outro. Nesta situação, os valores do momento e da flecha (consi- derando “b" o valor do menor lado) são apresentados na Tahela1.1. E _ t . . modulo de elasticidade do concreto; h - espessura da pjaca_ Considera-se, inclusive, que no limite, quando um lado da placa é muito maior que o outro (acima do dobro), o comportamento é essencialmente o de uma viga, ou seja, os esforços na menor direção passam a ser praticamente iguais aos obtidos com os da teoria de viga, resultando no que se chama de laje armada em uma direção. VÍQa, Assim, cada elemento com largura de um metro es . pessura “h" e vão "b" terá os v aIore s de momento e de flecha dados pejas expressões 1 a e 1 A: Tabela 1.1. Momento fletor e flecha em uma placa de lados b e 2h e uma viga de largura II. Placa (laje) Viga m, =o, i2s. p.bI (m) Momento mx=0,10«p-b2 m, =0,125›p-b1 a, =0,1sc2s. Lb' j, 4 4 . 15th: ') Flecha a=0,l168-PAb3 a, =o, i5s25-“'b, E-h E-h 26
  16. 16. . - - ~ ' 'da) resulta: _ . j' j. , neutra (distancia a borda comprimi Exatamente pela vantagem de a laje maciça apresentar menor deformação e Paraa profundidade da m a esforços relativamente pequenos é que durante muito tempo optou-se por projetar pisos com este sistema estrutural. Sua execução também e bastante simples e rápida, depois de montado o tabuleiro de fôrmas. Em função do custo elevado das formas, procura-se fazer projetos, sempre que possivel, de edificações compostas de pavimentos-tipo, ou seja, pavimentos com a mesma geometria, para usar a mes- ma fôrma várias vezes, diminuindo o custo final. x= KX_d=0,12.4,7 =0,564cm " ' Osecmeadecon- ura de concreto comprimido e de . Observa-se que a esPess d 4 14 Cm até a armadura) Verifica-Se, também' - 44 OU e 1 ' creto tracionado, de 6. 0:1 ( ' uena porém é preciso destacar que na outra - de arma ura e perl v que a quanndade - d a resultando 3 B0 cmi/ m, _ . r ' ' sma quantidade de arma ur , r dneçao sera necessaria a me Entretanto, para pequenos vãos, pelo menos no estado limite último, boa parte . . m apenas 5 6 mm de concreto comprimido- mas CO 1 do concreto da laje maciça pouco contribui na resistência à flexão, pois geralmente a linha neutra tem pequena profundidade, resultando em uma grande quantidade de concreto tracionado, Para esclarecer, considere-se que a laje maciça quadrada, descrita anteriormente, tenha lado de 4 m, espessura de 7 om, esteja apoiada em vigas (Figura 1.12) e submetida a uma carga acidental de 2 kN/ mê Com esses valo- res obtém-se um momento máximo igual a: mx = o,o44i -p›bz = o,o441›(0,o7«25+2)›42 =2,646/:1V. m/m Para um concreto com ta_ = 30 MPa, aço CA-50, altura útil de 4,7 cm (cobrimento de 2,0 cm e barra de 0,63 mm) e uma faixa (largura) unitária (1,0 m), com as equa- ções do capitulo 3 de CARVALHO e FIGUEIREDO (2007), obtem-se: M, = 1,4~2,64 ; pdf/ M IÀ0,O473_30000 1,4 KMD: = o, 07s Figura 1 12 Pavimento com forma em planta quadrada: solução em / ã/B "VHC/ Ei que conduz aos valores de c¡ =1%, KZ = 0,952 e KX = 0,12, Itados como os anteriores surgiu a ideia de considerar a laje Com base em resu i _ . . ' do na re- - ' bstituir parte do concreto posiciona com nervuras, ou seja, retirar 0” S” - - to. ._ . . - rri material mais leve que O 000079 giao abaixo da linha neutra (tracionado) por u A quantidade de armadura por metro de laje e dada por: A: . r M” - I”4'2'64 50 =1,90cm2/m X2475 _o,952-o, o47«› 1,15 29
  17. 17. Pode-se assim por exemplo adotar ' › a seção indicada na Figura 1 13 . (usando-se neste caso fôrmas para diminuir . a quantidade de concreto na nervuras em uma só direção pane ínferíw) e °°m Para essa situa ' 93°. 0 momento fletor Pode ser calculado considera cada - mm ° m°dei° UE "ervwa "idelüendentemente q VALHO e FIGUEIREDO (2007)) ou como um °5 seQuíntes resultados: IV” expiilcação no capitulo 2 de CAR. a viga com largura de um metro, com ° área de concreto' O 0364 m: ' - (0,07 m? na laje mac¡ . 9a), ° momento: mX=0,125-p›b2 = 0,125- 0 . (2.54 kNm/ m na maciça). ( ,0364 25 + 2) '41 = 5,82 kNm Admitindo inicialmente ' que a linha neutra este' como [algum omabomnte) verifica sese isto i ia na mesa (toda a mesa trabalha i ' e correto e então se calcula a arm ” adura. KMD= %= 1,4-s, s2 4 'fm 1,070472 _ 30000 1,4 que conduz a e_ = 9,57%_ K2 = O 885 e Kx _ o 286 =0,l72 Para a profundidade da linha neutra resulta. x= KX-d=0,235. = 4'7 134a" < hi = 3 c"? (linha neutra passa na mesa). A quantidade de armadura por metro de laje é dada por: A = = 1,4-5,s2 V 1524.): 0385.0 047.2 =4,50 ema/ m 1,15 (Ou 2,25 cm* por nervura, ja' que existem duas a cada me" d ¡ ) O e aje . 30 V 203' 15/10 detalhel detalhe 1 Figura 1.73. Pavimento com planta quadrada: solução com laje nervurada em uma direção. Verifica-se que, com a solução em laje nervurada unidirecional, há uma econo- mia de concreto, mas com um ligeiro aumento do consumo da armadura. À medida que o vão vai aumentando, ou se o pavimento a ser projetado tiver uma relação entre os lados maior que dois. o uso de um sistema nervurado irá se tornar mais interessante sob o ponto de vista econômico, e também por conduzir a um sistema com menor peso próprio, o que favorece inclusive pilares e fundações. Nas Figuras 1.12 e 1.13 foram apresentadas as plantas do piso de 4,0 m x 4,0 m com as soluções em laje maciça e em nervurada em uma direção. Para melhorar o comportamento da laje nervurada. pode-se optar por nervuras nas duas direções, como mostrado na Figura 1.14; essa laje tem como inconvenientes apenas a maior dificuldade na execução das nervuras e um consumo maior de concreto.
  18. 18. 32 Conclui-se que a laje nervurada é um sistema estrutural onde se procura afastar o concreto da seção transversal da linha neutra, aumentado a altura da laje, o que pro- porciona um maior braço de alavanca, iormando um conjunto de nervuras, em uma ou em duas direções, com espaçamentos uniformes entre si. Para fins de análise, o sistema pode ser comparado a uma grelha de barras uniformemente espaçadas, Na discussão anterior, em que se mostrou a vantagem de uma laje nervurada em relação à maciça, todo o raciocinio foi desenvolvido em torno do estado limite último. Na questão da deformação, a laje nervurada apresenta, se for considerado que a peça trabalha no estádio l (sem iissuração), uma flecha maior em relação a uma maciça de mesma altura. Assim, de maneira geral, quando se projeta uma laje nervurada, adota-se sempre uma altura maior que a correspondente maciça, para que a inércia final da seção transversal confira uma flecha adequada. ? sem V-BOI: 15/30 (Is/ au) l lrrlllll' F _, ' ¡Lll«lh V-302: 15/30 ? de ta lhe 1 Hgura 7. 74. Pavimento cum planta quadrada: solução cam laje nervurada am duas direções. Essa análise permite concluir que, em um pavimento quadrado de lado 4,0 m, no caso de se projetar uma laje maciça, deve-se usar pelo menos uma espessum final de 7,0 em (mesmo porque a NBR 61182003 não permite éSPSSSUTQS menf-? TBS que Ior). Para a solução de laje nervurada unidirecional, podem-se usar nervu- essesvaa adas de por exemplo, 50 cm, com largura de 8 cm e altura tinal de 13 crn, :smeartufa de capa de 3 cm, como indica a Figura 1.15. Laje maciça Laje nervurada alí-í? ? - As longitudinal SO A: transversal A: longitudinal › Figura 1. 75. Seções transversais para um pa vimento_ quadrado cam solução 9/77 lã! ? mac/ Fã 9 el" nervurada em uma direçao (colas em em). 1.5.2. Modelo de cálculo Segundo o item 14 7 7 da NBR 61182003, lajes nervuradas são as lajes molda- , › ~ j das no local ou com nervuras pre-moldadas, cuja zona de traça0 Para "wma" . . , . ' t positivos esta localizada nas nervuras entre as quais P059 59" °°'°°ad° ma em inerte As lajes com nervuras pré-moldadas devem atender adicionalmente a nor- mas especificas. . - › ' ci- Todas as prescnçoes relativas às estruturas de elementos de placa (lajes ma . . . ~ - ^ ' 'men- ças) sao validas desde que sejam obedecidas as condiçoes referentes às di _ sões limites estabelecidas no item 13.2.42 da norma. Quando essas hipoteses nado forem verificadas deve-se analisar a laje nervurada considerando a capa como 'ale maciça apoiada em grelha de vigas.
  19. 19. Para efeito de cálculo, considera-se que cada laje nervurada seja simplesmente apoiada em seu contorno, e no caso de lajes vizinhas, na região da face comum, deve ser colocada apenas uma armadura construtiva, negativa, para evitar fissura- ção exagerada da mesa de concreto. Na Figura 1.16 indica-se um trecho de piso composto de duas lajes nervuradas (L1 e L2) e como elas são consideradas estruturalmente (isoladas), quando discre- tizades para serem calculadas. Figura i. 76'. Piso com lajes nervuradas e : fiscal/ tação adotada. Como ja' foi dito, as nervuras, juntamente com as mesas, têm, na seção trans- versal, a forma de T, sendo, portanto, eficientes para resistir aos momentos fletores positivos, o que ja' não ocorre para os momentos fletores negativos. Dessa forma, como diretriz cie projeto, deve-se admitir que as lajes nervuradas funcionem sem engastes totais em seu contorno, reduzindo os momentos negativos. Para que uma laje nervurada possa ser admitida engastada no contorno (ou continua). é necessário criar uma mesa de compressão inferior. Porém, neste caso, será necessário efetuar a concretagem em pelo menos duas etapas. Outra solução e', simplesmente, nas regiões engastadas do contorno, eliminar o mate- h' ento criando uma região maciça. Na Figura 1.17 indicam-se essas rial de enc im . duas situações* CORTE M CORTE AA material de enchimento L/ Figura 7.17. Seções transversais do caneA-A da Flalllã 7¡ 75 ÍU/ W 3” HDÚÍ” de /3/'95 "HW/ fadas engasladas (cant/ nuas) com mesa interior e trecho mac/ ça. Em relação “as condições de apoio, as lajes nervuradas moldadas no local po- dem estar apoiadas em paredes de concreto ou de alvenaria estrutural, em vigas ou diretamente em pilares (lajes nervuradas sem vigas). Como todos os elementos de concreto armado, as lajes nervuradas devem aten- der às condições previstas na norma para os estados limites últimos (ELU) de fle- xão, para o cálculo da armadura longitudinal e de cisalhamento, e para os estados limites de serviço (ELS) de deformação excessiva e de abertura de fissuras. 1.6. ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FLEXÃO O cálculo à flexão deve ser feito como os demais elementos fletidos, como se encontra no capitulo 3 de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2007), respeitando as recomendações quanto as dimensões limites, vãos, etc. Deve-se iniciar comno cálculo da armadura longitudinal de flexão. POÍS 55 “mas Vermcações depender” da taxa desta armadura. 35
  20. 20. 36 1.7. ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO: DEFORMAÇÃO E FISSURAÇÃO A verificação do estado limite de deformação (item 193.1) deve ser efetuada se- gundo os critérios do ifem 17.32 da NBR 61182003, considerando a possibilidade de fissuração (estádio II) e os efeitos da fluência do concreto, e a verificação do es- tado limite de fissuração (item 193.2). de acordo com os critérios dos itens 17.3.15 e 17.3.11. 1.7.1. Verificação do estado limite de deformação É aconselhável efetuar a verificação do estado de deformação excessiva em seguida às verificações de flexão e de cisalhamento. para avaliar se a altura utili- zada não Ievara' a laje a apresentar deformação excessiva; caso contrário, deve-se aumentar essa altura e refazer os calculos. Conforme o item 17,32. a verificação deve ser realizada por modelos que con- siderem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural, o que significa consi- derar a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas. Na NBR 611822003, o conceito de deslocamento limite para verificação do es- tado limite de deformações excessivas foi ampliado. De acordo com esse novo conceito, os deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas dos elementos estruturais, e são classificados em quatro grupos básicos (item 13.3): - aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações especiais de utilização, deve ser realizada como estabelecido na seção 23 da norma; - efeitos especificos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção; - Iementos não-estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar . Nel: : : :cígnamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da estrutu- o m ra, estão a ela ligados; ' lementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comporta- efeitos em e r t I rovocando afastamento em relação 'as hipóteses men? do element? e: : : sadãslocamentos forem relevantes para o elemento de cãlcul: adsoeñsaesfeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura zziãlrflesrãlrêonsiderados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado. Os valores encontrados devem ser limitados aos Valores de de5l°°amellt°s dos na tabela 13.2 do item 13.3 da norma. Não existindo paredes sobre apreãemat f -se rimeiro a verificação para aceitabilidade sensorial, para a qual : :jí/ :gfzsfadaaza coínbinação da carga quase permanente para a condição visual [ver Carvalho e Figueiredo Filho (2007]], e em seguida calcula-se a diferença entre a flecha da combinação rara com a permanente devido à carga acidental. As ex- pressões para as combinações e os limites estão na Tabela 1.2. Tabela 1.2. verificações da estado limite de deformação excessiva Accltabllidadc ilsua Ação #Etnia-q q r L Flecha limite E 350 Ainda segundo 17.32, a deformação real da estrutura depende também do proces- so construtivo e das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasti- cidade e da resistência à tração) no momento de sua efetiva solicitação, Em face da grande variabilidade desses parâmetros, existe uma grande variabilidade das-defor- mações reais, não se podendo, portanto, esperar grande precisão nas Pl9Vl5°9S de deslocamentos por processos analíticos. 37
  21. 21. 3B O efeito da fissuração no cálculo da flecha imediata e' dado no item 17.3.21 .1, e o cálculo da flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, é dado no item 17.32.12. Estes temas podem ser vistos em CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2007) e também nos exemplos numéricos deste capitulo. Todas as fórmulas necessárias para o cálculo das flechas encon- tram-se no livro de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2007). 1.7.2. Verificação do estado limite de fissuração O estado de fissuração depende, entre outros, das bitolas e das posições adotadas para a armadura longitudinal. A fissuração em elementos estruturais de concreto arma- do e inevitável, devido principalmente ã baixa resistência do concreto à tração, e mesmo sob ações de serviço, valores críticos de tensões de tração são atingidos. O controle da abertura de fissuras visa principalmente proteger as armaduras quanto à corrosão, de modo a não comprometer o bom desempenho e durabilidade da estrutura. A fissuração deve ser verificada de acordo com os critérios dados no item 17.3.15, com os limites estabelecidos em 13.42. De maneira geral, lissuração que respeite esses limites (da ordem de 0,3 mm a 0,4 mm) não acarreta perda de durabilidade ou de segurança quanto aos estados limites últimos e depende da agressividade do meio ambiente. Por outro lado, conforme o item 17,332, o valor da abertura de fissuras pode sofrer influência de restrições "as variações volumetricas da estrutura dificeis de serem avaliadas de forma suficientemente precisa. Além disso, essa abertura sofre também a influência das condições de execução da estrutura. Por essas razões, os critérios para estimar a abertura de fissuras devem ser encarados como avaliações aceitáveis do comportamento geral do elemento; mas não garantem avaliação pre- cisa da abertura de uma fissura específica. Todo este assunto pode ser visto em CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2007). IERIFIGACÃO DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE CISALHAMENTO 1.8. a . . de não haver paredes sobre . . ~ Ihamento procura se, no caso a Verificaçao do 015a - ' dura transversal. Assim, a - - de estribos ou de outro tipo de arma a laie, evitar o uso - ' lemento como laje e verifi- . . ~ deve ser feita considerando o e Verificaçao neste caso ~ - ' 'tem evitar o uso de da nervura e a distancia entre elas permi cando se a espessura armadura transversal. . , _ - ' 't 19.4 da NBR 811812003 e A verificaçao do efeito da força cortante eskta nosi : m serão aqui apresentadas - ~ r lineares com w 2 - , e se aplica as lajes e elementos . - * ' ' ' flexão simples. ferentes as laies submetidas a as presonçoes re 1 81 Lajes sem armadura para força cortante uradas (conforme 17.4.1.1.2-b) ir aos esforços de tração oriun- 'I I atuante na nervura (V )lor dos da farça Conama QUaHdO a Iowa certame de ca cu o fo cortante úslitimo . . ~ ~ - ' i t ou es r o menor ou igual a resistencia de projeto ao cisalhamen o Ç Segundo o item 194.1, 35 Iaies ITIECÍÇÊS 0” “e” . . ' t podem prescindir de armadura transversal, para resis resistido pelo concreto (Vw) OU 59133 Vsa 5 VRdl (L5) ou colocando sob forma de tensões: 'Em STRdl (1-6) 39
  22. 22. °°m 'wa 5 TM, dados por: V M : ñ (1,7) V TRdl : b 6:¡ (L3) A resistência de projeto ao cisalhamento ' d d e a a por: V = . _ . Rm [um k (l,2'l'40'pl›]›bW_d (ma) (M) que também “de 59' eXPressa em termos det ã ens o: 1m = fm 'k'(¡›z+40'P1)](¡WPa) (1.10) onde: t. .., =o,25›rmj f = czkjnf faz/ gm, - : QT/ CIM = 0,7 . 0›3_f2«3 5 “l _fm do concreto na flexão definida em 8 2 5 da ' « . norma; k e um coelicie t - V' 9 que tem os seguintes valores; P: : A - . nao maior que 0,02; 40 é a resistência de cal ~ . v: culo do concreto a traçao decorrente do cisalhamento; , k e' a resistência característica à tração A e' a área da armadura de tração que se estende até não menos que dal-g, m . além l . da seção considerada; onde g _t é o comprimento de ancoragem necessário, definido em 9.4.25 e na figura 19,1 da noma; b é a largura minima da seção ao longo da altura útil d. Atendida a condição rw SIM, não será necessário o uso de armadura transversal (estribos). Caso contrário, e' preciso verificar o esmagamento da bie- Ia de concreto e calcular a armadura transversal necessária, como indicado no próximo ítem. 1.8.2, Lajes com armadura para força cortante Neste caso, segundo o prescrito no item 19.42, aplicam-se os critérios estabe- lecidos em 17.42, que trata da verificação do estado limite último de cisalhamento em elementos lineares, com as seguintes determinações complementares: - para lajes com espessura superior a 35 cm. a resistência dos estribos pode ser considerada com o valor máximo de 435 MPa (fywd ); - para lajes com espessura até 15 cm, a resistência dos estribos pode ser consi- derada com o valor máximo de 250 MPa; - para lajes com espessuras entre 15 cm e 35 cm. permite-se que a resistência dos estribos seja obtida interpolando~se Iínearmente entre os valores apresenta- dos acima, O processo de cálculo da quantidade necessária de estrlbos, as demais verifica- ções para elementos lineares e as fórmulas correspondentes podem ser encontra- dos em CARV_AL_HO e FIGUEIREDO FILHO (2007).
  23. 23. 42 1.9. LAJES NERVURÀDAS EM UMA DIREÇÃO Quanto a disposição em planta das nervuras, as lajes nervuradas moldadas no local são divididas em dois tipos: as nervuradas armadas em uma direção e as ar- madas em duas direções. As armadas em uma direção apresentam normalmente nervuras na direção do menor vão, e nas armadas em duas direções as nervuras formam uma malha, quase sempre retangular. Nas armadas em uma direção, as nervuras tem comportamento estrutural de vigas simplesmente apoiadas e inde- pendentes, como indica a NBR 61182003, no seu item 14,7,7, quando prescreve que as lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas segundo a direção das nervuras e desprezadas a rigidez transversal e a rigidez a torção. Maiores de~ talhes encontram-se em CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2007). No cálculo 'a flexão e na verificação de flechas admite-se, para as lajes ner- vuradas em uma direção, seção transversal em forma de T, e para o cálculo ao cisalhamento elas podem ser consideradas como vigas ou como lajes, conforme o espaçamento entre as nervuras, como já visto. As lajes com nervuras em uma direção são usadas quando se deseja executar um pavimento de concreto em que um dos vãos é bem maior que o outro, mas o menor vão também e' de valor elevado, ou mesmo se o vão é pequeno, mas a carga e' de grande intensidade. Um exemplo tipico pode ser observado na Figura 1.18, em que as nervuras foram dispostas na direção dos 5 m. É interessante destacar as recomendações da NBR 61181980 (versão substituída), de que nas lajes nervuradas em uma direção, moldadas no local, eiam necessárias ner- vuras transversais sempre que houvesse cargas concentradas a distribuir ou quando o vão teórico fosse superior a 4 m, e exigiam-se duas nervuras no mínimo se esse vão ul- trapassasse 6 m. Essas recomendações não são mais oonsideradas na NBR 61182003. Assim, a nervura transversal mostrada na Figura 1.18 não e mais obrigatória. _ v direção. , - ¡ado- b) soluçao em 13/9 “Wi/ Wa” Em “ma Figura 1.13. a) pavimento a ser execu , 1.10. LAJES NERVURÀDAS EM DUAS DIREÇÕES ' tre os . _ adas quando a relaÇ3° 9'* . duas direçoes devem ser us lajes nervuradas em ç _ das defor. . I v ' dos esforços e _ _ ~ ~ _ m isso ha uma diminuiçao _ dois vaos nao for superior a 2 (E0 d eações em todo o contorno. Costuma-se dispor - distribuiçao as¡ maçoes e uma melhor . . ! mente ortO9°“3¡5 . * re oes das bordas, e gera rvuras (Iongarinas) paralelas as dI Ç a5 "e esta regra são encontrados t e si (Figura 1 19) Alguns CBS” 9"' “e "ã° se Segue EH l' ' ^ b'bl' rafla mais antiga embora certamente as vantag “a ' '°9 ' ~ a trutura. . . ecu ao deste “P0 de 95 compensem as dificuldades encontradas na ex ç . ' NBR 14859222002), permite que as A NBR 61182003, item 14.7,7 (e tambelr: a para efeno de esforços solicitantes) . . . « - as, lajes nervuradas bidirecionais sejam calcu a - r - ' to a daçoes ja citadas qua" , . rvadas as recomen como lajes maciças. desde que “se r mento entre as newuras_ uras e tambem de espaça ens estruturais obtidas nao dimensões da mesa e das nerv - - mplo, ele' d I de Iaca (laje maciçal P0' e” Entretanto, quando se emprega o mo Í o iãplicnãmente que as vigas do Contar. . 5'5S tuando o Calculo usando-Se tabelas' adm' d sas vigas não é considerada. . . . ' ' c'a es no sejam indeslocaveis, e. Pmammi a m” ' 43
  24. 24. P5 V5 ñyura 1. 15. Laje nervurada em duas direções (nervuras adaga/ vais). Um modelo de cálculo mais apropriado que pode ser empregado é o de grelha equivalente. Neste caso as nervuras fazem o papel das barras, e é possivel conside- rar as vigas de contorno como parte intrínseca da estrutura e, assim, levar em conta a sua rigidez, ou seja, considera-las defcrmáveis verticalmente. Observa-se que os resultados obtidos são bem diferentes, como pode ser visto em MAZlLLl (1998) e em CARVALHO (1994). De qualquer maneira, para o cálculo de esforços e deslocamentos como grelha, devido ao grande número de nervuras, é necessário o emprego de um programa de computador. Nesse caso é preciso fornecer as caracteristicas geométricas dos_ elementos e conhecer também as cargas atuantes. Em resumo, deve-se ter uma estimativa dos esforços para pré-dimensionar a estrutura antes do cálculo computacional. ROCHA (1979) também indica que os esforços das lajes nervuradas podem ser calculados admitindo a laje como maciça, desde que o espaçamento entre as nervu- ' Iifí- _ , . autor apresenta alguns outros P'°°955°5 smp [as Sela mfenor a 5o em_ O mesmo foram muito usados inclusive por outros autores r cessos r cados de calculo. EsÉÊSNPÊOURBON [Apm, San Manin (1981) HAHN (1972) etc. -. _ LEONHARDT. GU › ' ^ lculo dos esforços. - ' ha de recursos computacionais para cá quando nao se dISPU" l' 'tantes obtidos como em lala maqçã 55°› em geral' memres que ici Os esforços so cesso de grelha Para Comgh_ gsm “precisão, HAHN (1972) - o ro - os Obidos cam p esforços encontrados admitindo a ! ale °°m° maciça (placa recomenda que °5 ' _ _ . . 4' ç 5,: : donaequaçao1.11. devem ser multiplicados pelo coeficien e a (1.11) sendo 5”í_x§l› 00m lx ° mem' Vêm da laje e [Y o mam v Este valor, como será visto no exemplo, está muito a favor da seguranãa. Dreés: : forma, recomenda-se que a 'alle nervurada seja calculada, para efelmlh e p smo mensionamento, como maciça e, Para em” de déãalhaPenjo' fome gr: a' : i: em porque diversos estudos apontam que 955a simpmmaçat) "ao e adequa a' p ; nos ¡unção de sua gegmema, a laje nervurada não consegue desenvolver os mes “tar momentos de torção de uma laje maciça e. consequentemente, tende a aprese momentos fletores e deslocamentos transversais maiores- Assim, recomenda~se que BS 13195 "ewufadas Sejam analisadas empreganfar: : outros processos de cálculo, como, por exempbi ° mét°d° d°s Êlemenws [tm do (MEF) ou o processo de analogia de grelha? há de 'asma' qge' dnerememende_ que 090m; no cálculo por meio de tabelas de lajes, nesses dois processos po e se considerar as vigas de contorno das lajes nervuradas, caso existam, como deforma- 45
  25. 25. 4G veis verticalmente, sendo ainda possível incluir na análise a nãdlinearidade fisica do concreto armado. Chama-se a atenção de que tijolos furados podem ser usados para executar as lajes nervuradas em duas direções, mas devido aos seus furos, haverá um consu› mo maior de concreto ou mão-de-obra adicional, para tapa-los com jornal ou com outro material. EXEMPLO 1.1 Calcular e detalhar uma laje nervurada unídirecíonal usando blocos cerâmicos com dimensões em centímetros 9 x 19 x 19 (no caso 4 blocos), para o trecho de pa- vimento dado na Figura 1.20. Considerar ambiente com agressividade fraca, carga de revestimento, contrapiso e piso igual a 1 , O kN/ m* e carga acidental de 3 kN/ m2. Utilizar aço CA›50, concreto com fa( = 20 MPa e cobrimento das armaduras igual a 2,0 cm. Adotar para peso específico do tijolo 13 kN/ m”. P1 vi P3 _P4 i ' * - ~ * * '~~ - - ~ - - - - ~ - - - - - - - «- l l: o m'. i. «r al > ; > l l i . l, . ... _______ . ... P5 v2 P6 p7 , Ps 200o Figura 7.20. hecho de pavimento a ser pra/ atado (com colas em cent/ metros). 5 ma estrutural e dimensões da seção transversal a) sque . ' lores da resistência caracte- e ambiente pouco agressivo. 05 V3 c°m° se "am d lveis. - duras estão oompat , . to e do cobrimento das arma ristica do concre d d'mensões e maior que o dobro da outra, e os vãos e as cargas l como uma as ~ ' opta se pela solução de laje nervurada armada em _ veis, - sao de valores 39199” __ - m as . 4 - ficar a mesa à flexao. ne . - nao haja necessidade de ven uma direçao. Para que . 4- ' laje é possivel evitar . to como vjgas (na Verificaçao como vuras ao cisalhamen ner , . _ m funçao das dimensoes dos blocos. a armadura transversal) e, Prlncll-'ldmernei e d _ . . ' ' nsoes: - I sera arbitrada com as segulmes 'me seçao transversa b : g cm (largura das nervuras); h = 5 cm (maior que 4 cm e 45/15 = 3 cm): l - - ' lhamento sela « ~ ' ' tre nervuras, permitindo que o cisa a = 3a cm (distancia livre en analisado como em lalesl . ~ ' . O . v ~ ' lecidas pela norma estao atendidas Assmi, as prescriçoes rnlnimas estabe . . v ' R 611822003 não há indica- da altura loi simplesmente arbitrado. pois na NB valor so) que permita dispensar a _ r - r - ' "o de 19 çao de altura util minima (como havia na versa _ ~ - - ' va. Verificaçao do estado limite de deformação @(09551 Figura1.21. em que a altura total da A se 'o transversal adotada está mostrada na A ça ). Com o cobrimento de 2 cm me é 25 em (h. = 6 cm mais a em"? déuoc: di: : será considerada altura útil e admitindo diâmetro da barra longlmdma¡ e ' ' de 22,4 cm (25 - 2 - 0.6 = 22,4 Cmt 47
  26. 26. 4B 0,101 = 0,10 - 500 = 50cm (rio caso, a = l = 500 cm - viga simplesmente apoiada) bl Sã Ojo-bz = O,50«35 =18cm (b: = 36cm e' a distância livre entre nervuras) Cálculo do máximo momento lletnr atuando em uma nervura: 0, con- / / _ug_ / 45 Film/ ã 7-27- Seção transversal adotada para a laje riervuada Momento máximo, considerando as nervuras como vigas com 5 m de vã forme a Figura 1.20: M: (p-É2)/8=3,80'52 /8=11,875kN. m/nervura h) Cargas atuantes( por nervura) madura em elementos tletidos, encontra- Usando as fórmulas para cálculo de ar ' 9, - Peso próprio das em Carvalho e Figueiredo Filho (2007), resulta: concreto = o tijolo ( 'O9 X m9 + OAS X 0-06) X 25 = 1,11 kN/ m/nervura = 0,36 >< 0,19 13 _ ' ' 92 -Wbrecaroa = 1 o x o 45 X _ É: : : :m/ nervura E KMD : ak f = el** ' 1 13730000 = 0,05 ' ' = y / m/new b ~d › c 2 permanente “ra / 4 0,450,224 -; r - total carga permanente = as kN/ m/"°”“'° Com KMD = 0,050 _› KX = 0,0758 e K2 = 0,9697 Resultando x = KX-d=0,0758-0,224=0,0169m < h, = 6,0 cm -› LN ' q - carga acidental = 3 o x o 45 ' ' = 1,35 kN/ m/nervura passa na mesa. = 3,80 kN/ m/nervura ' carregamento total t” = 50 kN/ izmz): Quantidade da armadura longitudinal A¡ (CA-EU, A M 4 _ 1, 4 - 1 1,975 J Kzdh 0,9697~0,224~121-5 = 1,76 cmz/ nervura c) Cálculo da armadura longitudinal (ELU) Lalnura culabnrante s i1 N . . 9mm o a BR 6118.2003 (considerando a nervura com seção T): Com uma barra de qi = 12,5 mm e outra de t) = 8,0 mm em cada nervura, resulta: AS=1,25+0,5=1,75cm1 b¡= bw+2-bi=9+2-1s=45cm onde: bw = 9 cm é a largura da alma da seção 49
  27. 27. 50 d) Verificação do estado de deformação excessiva (ELS«DEF) di) Características da seção Para a verificação do estado de deformação excessiva, considerando os efeitos da fissuração e da fluência, é preciso inicialmente calcular algumas caracteristicas dos materiais e da seção. Módulo de elasticidade: EC = 0,85›56o0-J2_0= 21.287 MPa =21.287.000kN/ m* coeficiente de homogeneízação da seção (relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto): a =5=21000o ° E: 21.237 =9,86 Momento de inércia da nervura (considerada com viga T) em relação a um eixo horizon- tal no centro de gravidade da seção (Estádio l, seção bruta ou geométrica): _ 0,45 ~ 0,06›0,03 + 0,09-0,I9 - 0,155 ' 0,45-0,06+o, o9-0,19 yes = 0,0785m (medido a partir da borda superior) _ 0,450,063 1,, +o,45-0,06-(0,07s5-0,o3)* »ÂÊÀLÊ 12 12 = z,23-10*m” + 0,09 - 0,19 « (0,155 - 0, 0735)¡ 1 . . - le devido ao peso próprio: , lissuraçau e cnmllalaêã" Wm ° ma" Calculo do momento de o momento de iissuração é dado 90"? Dpj-; Ml-I 1,2-221o›2,23«10”° M, = y, 0,1715 :3,45kN/ m/nerw4ra com: o 25 0 0785: 0 1715m (tração na borda inlerior) . V1 = › ” ' ' f : O 3.z/ E=2 21MPa=2210kN/ m2 um 7 ' a=1,2 (seção em T) _ '- ', araép=2,00kN/ meom0- considerando apenas o peso proprio da laje a c 9 mento atuante M9, vale: M _(17_¡2)¡8:2 00.57/g=6,25kN. m/nervura xl' 5 . . ão cen- -. a os a retirada do escoramento. a seç Como Mg_ › M_ conclui se Q1127 'TI sendo predso calcular a inércia no estádio tral lá estará trabalhando no esta | ° v _ . _ _ _ d NBR 61182003 para cálculo da ll puro e usar a express” d° 'tem 17321 1 a inércia equivalente. Cálculo da inércia no estádio ll puro'. _ . « - ' t o estádio II puro [Carvalhoe F¡- Iniclalmente se determina a posiçao da linha neu rain na mesa da Seção tem-se' . ' a r ' gueiredo Filho (20070 311110000 que a "ma “w” es e' a¡ : bíuzzs cm
  28. 28. "z = “e ' A* = 9›85« 1.75 =17,2375 em: "z = ' d' a. ' A: =22,4-9,s5.1,75 = 336,12 m¡ - x, ,- V' az) 4ara; =~17,2+/22,51+4-22,5.3g5,12 Z-a¡ 45 x = 3,78 < = . U Em h¡ 6 Cm' e a “nha “euira Passa na mesa. = 0,03 78m A inércia no estádio II puro vale* 1 - b¡ '(103 IIO ' 3 +ae. Af. (d_x”)2= 45 ^ 673)? 3 +9>85'1:75'(22›4-3,78)z =5792cm4 11m =0,6792.1o* m' U2) Cálculo das flechas imediatas A expressa ' Sob ca _O Para oícalculo da flecha para uma nervu rga uniforme p e dada por; . A ° a = 5 p Z 384 « EC Jr_ "a “mplesmente apoiada e A inércia média o - ¡ . _ u equwa eme '. .. 9 dada Pela expressão de BR prescrita na NBR 611822003: 'çlvíiilnvlsieifl ANSON, que e a 52 Para cada momento (considerado o do meio do vão) obtido de uma combinação de ações resulta em um valor de inércia Im e a expressão da flecha pode ser escrita da seguinte maneira: _ 5+? ” . a ”P"3s4-E, Im Na sequência estão os valores das flechas obtidos para os diversos carregamentos. combinação DMI/ m) 111mm) "UM (Iv/ Mr wo nn. atum) permanenm g , g2 2,15 l 7,66 0,450 1011x104 0432x104 29876 1.14 quasapemanenm g¡+g2+0_3q 2,55 l 3.94 0,355 1575x102 U.77›<10" 37143 1,42 M” 7 A condição para evitar vibração, devida à carga acidental, é dada pela diferença entre as flechas obtidas para a combinação quase permanente e a permanente: a, = ammg, - um, = 1,42 - 1,14 = 0, 28cm < um = 2 / 35o = 1,43 cm da) Efeito da fluência O efeito da fluência é obtido multiplicando as flechas imediatas pelo coeficiente a¡ , e as flechas finais (tempo infinito) ficam: _r_ -a _, ,.(I+a¡) ime ata devida a cargas permanentes ot no tempo infinito 53
  29. 29. A; = Área da armadura de °°mPressão no trec ' ho considerado ê = coeficiente função do tem Po, sendo Ai; = gm _ 500) i0) % [O, 68 l 0,996' "m2 Para t 5 70 meses 2 para I 2 70 meses uma sem” (035 meses), chega-se a: ^ê= ê<0-ê(t. ¡)=2-0,ss«o,99e°-2.o 25o. :: :1 56 a¡ = ^§/ (1+50'p')= l,56/1=1,55 m, :ano-a+oc, )=1,42.(1+1,56)=3,53Cm > um = _é__500 20 250'H= = c” Entretanto, existe ' . amda ° re°ms° de aplicar uma contraflecha a limitação visual após a entrada da carga g2, (ad); considerando deve-se obedecer: _ Z ai' +a8hgZ4l7Ãq Sã chegando a uma contraflecha a < 2 _ 0 +1 42 = 3 42 c/ › › _ , :: m Para o tempo infinito: -a + 5 _ _ d a” ÃO › ”</ +3=5352,O, resullando @E153 cm Dessa forma, uma comraflecha de 2.0 cm resolve o problema, como verificado a seguir: Logo após a entrada da sobrecarga permanente: a = 1,14 - 2,0 = -o, a4 cm, que em módulo é menor que o limite de 2,0 cm. No tempo "infinito", depois de transcorrida toda a fluência e atuando a flecha da ação quase permanente. a = 3,63 - 2.0 = 1,63 cm, que é inferior ao limite de 2,0 cm. e) cálculo da armadura de cisalhamento conforme a NBR 5118220113 Como já foi dito, o ideal é que a laje nervurada não necessite de armadura de cisalhamento (desde que não haja cargas concentradas ou lineares); isso é obtido se 1:5, S rm, ou seja, se a tensão de cisalhamento devida a Vsd for menor que aquela resistida apenas pelo concreto. Vsd e' igual à reação de cada nervura nas vigas de apoio; para o carregamento total de 3.80 kN/ m em uma nervura e vão de 5,0 m, resulta: 32-50 1495 V = a=9§w : A S** 2 e t” 0,090,224 A resistência de projeto ao cisalhamento e dada por: =660kN/ mZ m¡ 4m -k-(1›2+40-p¡)] (MPa) Admitindo que toda a armadura inferior chegue ao apoio, resulta: rm = [276 « 1,376 › (1,2 + 40 « 0,00868)]= 587 kN/ m? onde: 2/3 0,21 - ck f in rm =0,25«rud =0,25- ' :0,25-iA- = 0,0375 v 20m = 0,276 0,276 MPa = 276 kN/ m¡ k=1,6-d=1,6-0,224=1,376 21 55
  30. 30. . 5,, = 660 / cN/ mzé maior que 1M, : S87 kN/ mz e ha' necessidade de armadura transversal; neste ca so, para evita-la, o melhor é aumentar a largura da nervura 1,4~9 5 1 : í: bw 0,234 S587Ic1V/ m2, chegando a bw 2 0,101 m. A espessura média de concreto neste exemplo é de 10,5 cm; no caso de se usar uma laje maciça com a mesma espessura (10,5 cm), o consumo de armadura para atender ao ELU seria de 9,03 cmi por faixa de um metro ou então 4,24 cm? para = 11 cm, Notar que, e o dobro da outra, não ha' vantagem em se usar lajes vizinhas), o valor da flecha cairia significativamente. da realidade. 55 EXEMPLO 1.2 . . . de pavimento , , - da bldlfeClOnal para 0 "WW Pré-dimensionar uma laje nelrvsulaerâmicos madas de 19 cm X 24 cm X39 em, dado na Figura 1.22, hsândo ÍIJOCOA 5o e cobñmento de 2 cmd consmerar carga ad. = 0 M a, 3Ç° ' . 2 concreto com f* 2 _ _ _S conmpiso lgua¡ a 1 kwm _ de revestimento e piso ma¡ _ dental de 3 kN/ m? e 03793 rconsmeradas não_des¡ocáve. s . - ^ largura de 20 cm e podem Se As vigas de apoio tem na direção vertical. v1 P2 l l l ' 'Ps É P4: XÍ W ° l s. l q h m l y > > l l rx Pát v2 P7 _ É, , v _ _ e « - - - - “ ' “ ' 7 ' , ' 860cm Hgura 7 22 liecha de pavimento a ser projetada. a) Determinação da seção transversal _ . . r 1.23 na qual se . - « ' ces indicadas na FIEW” - Serão adotadas Inicialmente as dimens, s transversais indicadas nos Cartas AA _ e oe tem uma altura total de h - 29 cm e as S Ç . - ' te. e BB, nas direçoes x e Y respe°nvamen 57
  31. 31. 5B CORTEAA com¡ BB ÉJS! , , _m , V1 a. i ' L¡ Í¡ N l Í 'l “i i2 12x a9 : v 19 w 19 i9 X1 y Hgura 1.23. P/ arita de um [rec/ w da laje nervurada e suas seções transversais. h) Carregamento como se trata de pré-dimensionamento e o modelo de cálculo é o de placa, inte- ressa calcular a carga atuante por m2 de laje. A g, - peso próprio mesa = 0,05 ›< 25 = 1,25 kN/ m? nervuras _ 0,24 x 0,12 x 25 / 0,88 = 0,82 kN/ m* : (0,24 X 0,12 X 25 X 0,76 / 0,88) / 0,90' = 0,69 kN/ mz tijolos : (0,76 x 0,73 x 0,24) x 13/ (0,90 x 0,88) = 2,34 kN/ mz g2 - sobrecarga = 1,00 kN/ m* permanente total carga = 6,111 kN/ m? permanente q - carga acidental = 3,00 kN/ m? = 9,11] kN/ m¡ carregamento total 'Na nervura nana/ iai, a carga / oi muiIip/ icada por 1176/0, B! par¡ que a região de lHIBISEÇÉü fosse considerada uma LÍIJIBJ vez c) Cálculo dos máximos momentos atuantes na laje O calculo dos momentos máximos (carregamento total) nas direções x (mx) e y (my). por largura unitária de laje, é feito também como para as maciças, a partir de tabelas Cájouw de jajes' aqui foram utilizadas as de Bares encontradas em CARVALHO Para O ' i ' oiada no contorno (caso 1)f HO (2007) para o caso de aje ap e FIGUEIREDO F| L 2 pf_ = V174; meia-MT mi “r 100 com à z 2% z team =1_194 51,2 encontra-se p, - 5.90 ê ll, 443v resum” ° _ = l d i Z p-ZÍ _ . íamos kNm/ m m, =Hx'm'5›9° 100 p'57y›443.9,1«7õ2°z=21,131<N. xn/ m v Jo , d) Momentos máximos por nervura em cada direção M =27_g3.0_33 = 24,50 kNJn/ nervura. My = 21,13 - 0,90 = 19, 02 kNJri/ nervura. _ = o=0,837 , encontra- Com o critério de Hahn, onde e : ZX/ Zy _l/ À 7,20/8,6 se õ: 5___IZ= A,= L64 “ s e* 1_ɧ. _&_] 1' ; Hai 51+0,s37* Resulta finalmente, Para 35 "ewums em cada direção: Mx = 24, 5o . 1 ,64 = 40,16 kNm/ nervura My =19_02›1,64 =31,19 kNm/ nervura 59
  32. 32. e) Largura colahorante, considerando as nervuras em cada direção com seção T Direção x: b, :bw +2-b, :(0,12 + 20,33) = 0,33 m onde: bw = 0,12 m é a largura da alma da seção; b, ?0,10- a = 0,10 › 7,20 = 0,72m (no caso, a = Z = 7,20 m - viga simplesmente apoiada) 0,50-b¡ = 0,50«0,76 =0,32m (b¡ = 0,76 m é a distância livre entre nervuras) Direção y: b¡ = bw+2›b¡ =0,12+2«0,39=0,90m onde: bw = 0,12 m e' a largura da alma da seção; b, S (0,1 0 - a = 0,10 - 8,60 = 0,86m (nocasa, a = Z = 8, 60 m - viga simplesmente apoiadd 0,5017¡ =0,50 - 0,78 = 0,39m (bz =0,78m é a distância livre entre nervuras) l) Cálculo da armadura longitudinal Como as armaduras se cruzam no encontro das nervuras, a altura útil em cada direção será diferente. Recomenda-se que seja tomada como altura útil da laje a distância entre a borda comprimida superior e o centro das barras da camada su- perior da armadura positiva das nervuras, pois isto acarreta um valor menor para a altura útil e maior para a área de aço; dessa maneira fica garantido o posicionamen- to correto das barras na laje, pois na obra não e possivel garantir se a armadura de cada direção será colocada na camada correta, respeitando o cálculo se feito com alturas úteis diferentes. 6D brimento (2 cm) e . ' 'I será a altura total (29 Cm), 019003 ° 5° Awm, a altura utI ~ ' doc$1,25 cmecon- 'âmetro da armadura longitudinal (adotan menos 1,5 vezes o di . . ' demente d = 25,0 cm. ' . ' tência de estribos), FBSUÍÍaHÓO aPmXma giderando a nao exis conforme indicado na Figura 1.24. l . . 1: 25.375 m 29443542512 :211275 em 292, 135/51 c Figura 1.24. Altura útil 11a laje nervurada em cada iii/ EW¡- , - - * ^. 'ficar se a seção . . - * necessario determina la para ven Posiçao da linha neutra (x). e - - - ' . ' ' 'almente que Sela 'e' , da uma das direçoes, admite se inici e retangular ou T. em C3 tangular: D-, reção x (bw = 13,: 0,88 m, d = 0.25 mlí M. , iL4'Mx4=1,7s1›10*›M, “M” = 111-0021 z 0820025120000 Direção y (bw = b, = 0,90 m, d = 0.25 m): Md 1,4-1,4«M, _ =1,74-10'3-M í 17.0021 " 09041251 -20000 y KMD _ d (es ao primeiro KMD aci- Sem interpolar, tomando Para KX “Wes “mesm” e" ma do calculado. 0 com x = KX-d. resulta¡ . KX x im) direçãü “a mumenm (KN-m) KMD o 0603 o 0150 x Normal 24,50 0,044 1 i H hn 4o 15 o 072 0,1076 0.0269 x a I ' y Normal 19,02 0,033 Q0449 Q0112 H hn 31 19 0,054 0,0758 0,0189 y a '
  33. 33. Todos os valores de x são menores que a espessura da mesa (h, = 5 0m), indi- cando que a linha neutra passa na mesa e em todas as situações a seção se com- porta como retangular. Determinação da área de aço necessária: › yd = -%=0,128-%(cmz/ nervura) Da mesma maneira, sem interpolar, tomando para KZ valores correspondentes ao primeiro KMD acima do calculado, resulta para as armaduras: momento (lrtLm) Normal 24,82 0,044 0,9759 25,43 3,25 cmi/ nervura Hahn 40,70 0,072 0,9570 42,53 5,44 cmz/ nervura Normal 19,24 0,033 0,9820 19,59 2,51 cmi/ nervura Hahn 31,55 0,055 0,9665 32,64 4,18 cmg/ nervura direção situação KMD A, =0_l28-(1lIi”KZ) ~<~<›<>< Armadura linal por nervura em cada direção Com o critério de Hahn e barras de si) 16,0 mm (AS = 2,0 cmi): direção x: 5,44 Cmt/ nervura -› 3 o 16,0 (A, = 6 em? ) direção y: 4,18 cmQ/ nervura -› 2 016,0 (A, = 4 cm? ) Com o critério da NBR 61182003 (cálculo como laje maciça): direção x: 3,25 CmY/ nervura -› 2 012,5 +1 (1 10 (A, = 3,35 cm? ) direção y: 2,51 cmz/ nervura -› 2 d: 12,5 (A, = 2,5 cm2) V 'reação do estado de detormaljã” enesswa (ELSJJEF) g) e" I g1) Caracteristicas da seçã0 . - ' da tis- - va considerando os efeitos ^ ' ' do estado de deformação excess¡ , _ Para a Venhcaçao 'sticas da seção , . - › « - te calcular algumas caracter¡ ~ fiuéncia, e preciso inicialmen suraçao e da Módulo de elasticidade: E : osssóoo-M :21287 Wa=21.287.000k1V/ mZ ~ - ' tre os módulos de elasticidade do alí” 5 Coeliciente de homogeneizaçao (relaçao en do concreto): E _ 210.000 _S_É-=9, "E, 21.287 - ' ' o horizon- . . . ' ada com viga T) em relaüaüum 9'* Momento de mercia da nervura icnnslllã' l _ h m ou geamémca, - (1a seção (Estadio , seção r - tal no centro de gravidade . - ~~ ' das ou não. , sabe¡ se ha regioes fissura Embora se trate de uma Dlaca, e preciso d l Vermcar o que ocorre Segundo . - ' rox'ma a. e Uma maneira de faze-Io, de maneira ap I d, ação x . . - caso a ir ~ a menor direçao (maiores momentos). no 0,823005-0,025+0,i2-0,24-0,17 : Q0323 m ye z 0,ss-o,05+0,12.o,24 (a partir da borda superior) 0,12-0,24“ . _ 3 2: :9›%(›53+0,88_0›05'(0,0823_0|025)2+T+0,12-0.24 (0,17 0,082 ) 63
  34. 34. 64 Cálculo do momento de ñssuiação e comparação com o devido à carga pennanerite: A carga permanente é p = 6,10 kN/ m?, e o momento vale: m : u _p›é: =5 9053-1202 * '* 10o ' 10o =18,651cN. m/m e por nervura: Mx = I8,65~0,88=16,41 . kNm/ nervura 0 momento de lissuração resulta: M = a~ , m-I_1,2-221o«s,13-1o*" ' y, 0,2077 = 6,55kN. m / nervura com: y¡ = 0,29 - 0,0823 = 0,2077m (tração na borda interior) f” = o,3-ê/2o* =2,2iMPa=221o1av/ m* a = 1,2 (seção em T) Como MM# > M', conclui-se que, mesmo sem considerar a presença de carga acidental, a seção central (e todas as seções em que o momento for maior que o de fissuração) estará trabalhando no estádio lI. Para placa não é possível calcular diretamente a inércia equivalente, mas é possivel fazê-lo de maneira simplificada, Inicialmente é necessário calcular a inércia no estadio ll puro. Cálculo da inércia rio estádio ll puro: A posição da linha neutra no estadio Il puro é determinada com as equações tiradas de CARVALHO e FIGUElREDO FlLHO (2007), supondo ela esteja na mesa da seção: b alzíf=44cm aZ= aKAS =9,S5›3,35=33cm1 d a «A = -25›985-3,35=-325”"3 a¡= - ' e x ' , a,+ = -33+ 332+4'44'825 =3,97cm x” = 21| 88 to de inércia no es- . 3 97 cm < 5 cm)› 9 ° "wma" A linha neutra P55” “a mesa ( ' tádio Il tica: 3 z, ,i= Êf'-(”'i+a, «a, -<d-xi›i= 88% (397): +9,86«3,35'(25-3,97)2 =16443 en” 3 1,, ,=1,64›1o** m' g2) Cálculo das flechas imediatas , . - ' r meio de tabelas: "O 0 cálculo das flechas e feito como Para a5 bles mx: : pLGUHREDO FlLHO RV E caso foram empregadas as encontradas em CA . - ' torno: (2007), para o caso de late simplesmente apoiada no con 4 , FLJLÃÉ 100 EE-h N . = 2, Itando: e com À: 1% : sauna =1,194=1,2 encontra se a 6,5 resu 65
  35. 35. SE 6,52_ a: Os valores das flechas (sem considerar a fissuração do concreto) obtidos para _ p~7,20'° 100 214030293 os diversos carregamentos são: =3,421›10* -p Combinação Ações |1 a (mm) permanente g, + g2 6,10 2,09 quase permanente g, + 92+ 0,3 q 7,00 2,39 Para levar em conta, de maneira aproximada, a fissuração do concreto, multi- plicam-se as flechas elásticas obtidas para as três situações de combinações de cargas pela relação entre as inércias da seção bruta (l calculada de acordo com a NBR 61182003 a partir das inércías Ia e l_ (ver expres- são dada a seguir); Combinação ações ivuivi considerando apenas a direção x, os resultados são: b) e equivalente ou média (Im), permanente g_+g2 6,1 16,71 0,40 1,8640* 2,75 2,12 5,85 : :Íris 9,+92+0,3q 7,0 21,74 0,35 1,7940* 2,87 2.43 6,97 Com a inércia média obtida por Im : í M ” M j) . INÍI-(M A condição para evitar vibração, devida a carga acidental, e' a seguinte: aq = aghgzmçgq ~agwz = 6,97 ~5,85 = 1,12m": < aumm = Ã/350 220,6 mm g3) Efeito da fluência - - - onsiderado o efeito da fluência, que é °büd° Para a condiçao visual, deVe 39" ° , . - - flechas finais (tempo _ . has imediatas pelo coeficiente aq. e as multiplicando as flec infinito) ficam: q. , : a/. o-(Hai) com: M) : flecha imediata devido a cargaS Pelmanemes ah_ : flecha total no tempo infinííc _ , AL “f” 1+50›p' A' Área da armadura de compressão no trecho considerado Í _ g: coeficiente função do tempo. sem” Aê = EX? ) * ÊÚQ m) _ [0,68~0,996' »W para z s 70 meses 2 para t2 70 M8525 t Í mp0 em meses onde se deseja o valor da flecha diferídõ = e , . . . - 'o) e a retirada do escoramento com Com p : o (nao ha armadura de comPre5sa uma semana (0,25 meses). 0h99?” a5 AÊ = :(2) - : (0) = 2 a 0,6s-o,99e°-1-o,25°°”=1.56 d¡ = AÊ/ (1+50'P')=1›56“=1›56 É _ 7200 =28 80 mm am = a, _,. (i+a, )=e,97›0+1,s6) : n84 mm < um, -ñ- 250 › 67
  36. 36. 68 h) Veriticação do cisalhamento De acordo com o ítem 13.2.4.2b da NBR 61182003, permite-se a verificação das nervuras ao cisalhamento como lajes se o espaçamento entre seus eixos for até 90 cm e a largura média das nervuras maior que 12 cm (como a nervura tem 12 cm, pode-se considerar válida a hipótese). Como no caso isso ocorre, a verificação será feita como laje. Força cortante por nervura em carla direção: A força cortante em cada nervura pode ser calculada também admitindo a laje como maciça, com o uso de tabelas; aqui foram empregadas as de CARVALHO e FIGUEIREDO FlLHO (2007), para cálculo das reações da laje nas vigas de apoio do contorno do pavimento. As reações em cada direção para laje simplesmente apoiada no contorno são dadas por: 1 Z l = ];. ._ = ]ç. ._><_ q¡ : P10 q, ,P10 e com ? t = = “Mun = 1,194 51,2 encontra-se lg = 2,92 e lg¡ = 2,50, resultando: q, =k, «p-$=2,92-9,1-Í@=19,13 kN/ m 1o 1o . e 7,20 qy= ky›p--Ê=2,50-9,1-T(T=16,38 kN/ m A força cortante máxima em cada nervura é obtida multiplicando as reações pela distância entre as nervuras em cada direção. V, :gx-0,88=l9,13-0,88=16,83 kN Vy = 50,90 =16,34.0,90 =14,74kN Tensão solicitante de cisalhamento (Tsa) V. , = =785,4kN/ m1”= '0,79 MP0 Tsd= bw. d 0,12 A resistência de nrniatn ao üsalhimmm' é “a” F"" ¡Rd¡= [1:Rd~k-(1,2+40'P¡)] d 'i' d que toda a armadura inferior chegue ao aPUÍO, Fest-ma: A mim o = [276-1,35-(1,2+40~0,011)]=5“ kN/ m* onde: 2/3 '* = 9,0375 . 2o” = 0,276 MPa= 275 kN/ m* m. . f f . 1¡a=0›25'fcxa50'25. c: :“=0,25' 1,4 k=1,e_d=1,6-o,25=1,3521 p = An = L3=o, o11 l b-d 12-25 w - = Hdv/ ml, e há necessi- Pünamü Ts. : = 7s5'40kN/ mz é mam que TM¡ 611 lh r é aumentar a 'tá-a o me o dade de armadura transversal. Neste caso, para 6V¡ - largura da nervura: 1¡ _ <61j kN/ mz, chegando a bw 20,154"? - 5” bw-0,25 ' _ " ' ' usar armadura transversal e a Dessa forma, com bw e 15,5 cm nao sera preciso tensão nas bielas de comPFe55ã° está Vemwada* 69
  37. 37. EXEMPLO 1.3. ~ › . . de grelha Exemplo comparativo de calculo como laje maciça e com modelo Calcular e com a ' - a ríecha d I - P ral' Os esforços solicitantes (momento fletor e força cortante) e a a e nerv d ' ' ' v J_ “ra a 'ndmada “a Figura 1.25, considerando modelo de placa e de grelha equivalente. Admitir que para executar as nervuras serão usadas fôrma S reaproveitáveis e ue l ' ' ' › q a aje esteja apoiada em todo o seu contorno em paredes de alvenaria estrutural (não-deslocáveis na vertical) Dados' sobrecarga permanente (revestimento, piso, etc): g2 = 1,0 kN/ m2; - carga acidental: q = 5 kN/ mz; - resistência do concreto' f = 2o Mp¡ ' d( y - açoCA~50. j *rj 90cm = i [Ei ui l l l r l MA A* : - ' ã: ,l _ , j j u¡ j N; l s, l l l l l »sl l i l m r “ j l 7 J l , g l , 15cm j_ 720cm Hüura 7 25. Laje nervurada quadrada apoiada em parede estrutural. Comojá comentado ooál I ' - - _ r cu o de lajes nervuradas em duas direçoes deve ser feito preferencialmente com o modelo de grelha com as nervuras em cada direção ad 't' ' ml l- das como elementos de vi a P - _ 9 « ara que se possa melhor avaliar o comportamento da late, Os esforços serão calculados com o modelo de grelha e o de placa isolada 7D a) cargas atuantes por metro quadrado Para considerar o peso próprio do concreto, é mais fácil calcular o volume de concreto considerando inicialmente a laje como maciça e descontando o espaço deixado pelas formas. Assim, pode-se escrever (verificar que, pelo desenho, foram usados 64 moldes de fôrma): Vc = 7,20 x 7,20 x 0,37 - 64 X 0,75 x 0,75 X 0,30 = 8,38 m3 g, - peso próprio laje superior e nervuras = 3,38 x 25/(7,2ll x 7,20) = 4,04 kN/ m* g2 - sobrecarga permanente = 1,00 kN/ m? total carga permanente [g, + 9,) e 5,04 kit/ m* = 5,00 kN/ m? q - carga acidental Carregamento total (g + q) =1ILD4 kN/ m? Pode-se considerar p = 10 kN/ mz_ t1) Cálculo dos esturços e lia tlecha com a teoria de placa (laje maciça) O pavimento da Figura 1.25 sera' calculado inicialmente como uma laje maciça, de acordo com as recomendações da NBR 61182003. pois a distância entre ner- vuras não é superior a 90 cm e a nervura tem espessura maior que 12 cm. Sera' ne- cessário posteriormente verificar a flexão das mesas, em virtude do espaçamento entre as nervuras ser maior que 65 cm. Para o cálculo dos esforços solicitantes e das flechas, serão usadas tabelas para lajes maciças, lembrando que, neste caso, de fato, os pontos do contorno da laje estão impedidos de se deslocar verticalmente (apoio sobre parede), porém não é possivel dizer o mesmo da rotação; entretanto, será admitido que a placa esta' sim- plesmente apoiada em todo o contorno. 71
  38. 38. No emprego das tabelas serão utilizados os valores correspondentes ao caso de laje simplesmente apoiada no contorno, e o parâmetro de entrada é a relação (A) entre os lados das lajes, que neste caso é igual a 1 por ser ela quadrada. Cálculo das momentos em uma nervura: Com os coeficientes u¡ = py = 4,41 (tabelas de CARVALHO e FIGUEIREDO Fl- LHO (2007)], para laje maciça quadrada apoiada em todo o contorno em parede, os momentos máximos no meio do vão, por metro de laje, são iguais a: _ 2 _ 2 m= m, : my : p-_ÍOÊX =4,41.1°I07ó2 =22,86 kNm/ m Como o espaçamento entre nervuras é 90 cm, o momento máximo atuando em uma nen/ ura é: M=22,86 (kN. m/m) - 0,9(m) = 20,57 kNJrt/ nervura cálculo da força cortante em cada nervura: A máxima força cortante atuante em uma nervura pode ser encontrada ca| culan~ do a reação da laje nas paredes de contorno (item 14.7.6,1 da NBR 611812003), com as tabelas de CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2007) para laje quadrada simplesmente apoiada no contorno. A reação, sendo k_ = lg = 2,50, e' dada pela expressão: Z 720 = = = k› «-*-=2,5-]0-': =18MV/ q 9x q, P10 10 m Como o espaçamento entre as nervuras é de 0,9 m, a força cortante máxima em uma nervura é: V=18 (kN/ m)›0,9(m)=16,2 kN cálculo da tlecha: P ra o cálculo da tlecha, como Se "Em 399m5 de uma comparação' ela seja' a ar a total (P ' 9 + Q + Cl» Wmbma9ã° rara) e : mnsiderando seçao calculada para a cr: l O eficienteza - 4 67 foi encontrado em CARVALHO e Fl- trabalhando no es a IO . co - - « ' torno. |aje quadrada simplesmente apoiada no con GUEIREDO FlLHO (2007) para a p'íí_4›ó7_a= o,oo11sm ”= W'Ê7“ 10o 23-10741373 HESUMGI - - ' ' do o mo- locamento maximo na laje, consideran Os esforços por nervura e o des dela de placa linear (sem fissuraçã°)x Sã” Momento fletor máximo PDT “all/ Um M: zaymm ' , . - = kN Força cortante maxima por nervura. V 18,60 Flecha para combinação rara: a = 0.00113 V" Ih c) Cálculo dos esforços e da lleoha com o modelo de ! T9 a . Ih , fo' em regada uma malha Para "gsm/ er o pawmento com o modelo de gret a' l trepas nervuras) result - - 4 ^ ^ ca en a mm espaçamento de 9° em (Colncldlndo com a ms t? " I (E1 E2 E3 etc) confor. ¡ando em 31 nós (1, 2, 3, etc) e 144 elementos de arra . , - v me mostrado na FÍGHT¡ 1-25- 73
  39. 39. Tl-¡J-Tz-: z-Tíss-TÍEM-Tã-Es-T-Es-T- Hill-Hà] m" : :Éh nus : na uz¡ az: o: : a ii-l-: u -l- vii : sz E59 : ea n22 oaii : :as #sai-Ftia-Fba-FÊzu-Fazzn-fíêzz-fãzz-lgow-P¡ 57s E! ! Ei] E! ! E115 E123 E131 E13! FSEIS-FIEZE-Fh? -FJEZE-nfuâüi-F-SEH-FÉI-FEZZ-FE E75 F59 E52 ! IDE _ : :na : us : :zu n32 : :eu +17aa-FFzat-Fhs-#Ézs-|5a7-|17aa+3z2s-f5au-+“ 1 n7easzsaunniism7nzsoaaoo Fssit-liênz-f-"Éo-Fht-l-“Hi-Fjsw-Fwm-fns" m: "É ma: u? me" ma" má má ll-; siis-f-Ftsii-l-Esn-l-“zsz-l-gzsa-f-"zsi-f-zss-f-: ss-íi m : a7 ses : iu: m: :na E127 : us m¡ F4E57-FFÊ5E+FEE! -F7EEH+¡En-F5E 7DEE3-PEEt-Fz EEll Eli E5¡ Ellill E111 Em : :za as¡ : viu llazss-L"ssa-ll'ssr-lãaa-l7-7ms-l7-'z7n-l7-szn-moz4” Ryu/ a 7.26. Mal/ ia da gre/ lia usada na resolução da estrutura. Para resolver a grelha e' necessário introduzir as características geométricas dos elementos. e portanto é preciso determinar o valor da largura colaborante da seção em forma deT das nervuras. Na Figura 1.27 estão indicadas as dimensões da seção transversal das nervuras usadas para a determinação do trecho da laje, sendo b, a largura da mesa que pode ser considerada trabalhando, na flexão, junto com a alma. O valor de b_ é dado por: b¡ bw +2-b, =0,15+2~0,375 :0,9 m=90 cm onde: bw = 0,15 m é a largura da alma da seção ¡ _ 0,50 - b¡ = 0,50 ~ O, 75 = 0,376m (b: = 0,75 m é a dÍSÍÊPICÍH livre entre nervuras) 74 < (0,10 - a - 0,10 - 7,20 = 0,72m (no caso, a = l = 7,20 m ~ viga simplesmente apoiada seção TRANSVERSAL F- , a 7 27 mmensges (cm) da seção transversal das nervuras (elementos da ; Ile/ TW igu . , ' ' ométricas da seção (área inércia à flexão e inércia à torÇÊO) As caracteristicas ge ' _ _ d . . - - nsideraçao da arma ura. _ (adlO I (sem fissuraçao) e sem ñ C0 sao calculadas no es que não é ainda conhecida. A área da seção é: A=0,07.o,9o+o,15›0,30=0,108 m¡ . - - ~ ' ' do centro . v r › ~ ~ a-se inicialmente a posiçao Para o calculo da mercia a flexao, detêm"" de gravmade da seção bruta (referida à borda inferior): = =o,25sm ye o,9o-o, o7+o,15~0,30 a OAS-OJO” 015.o3o. (o25s-0,i5)“ 1,', $215,o,9-o, o7-(o,33s-0.258)Z+T*› I =1,26~I0'3m° 75
  40. 40. 76 Para o cálculo do momento de inércia à torção da nervura (Im L é utilizada a ex- pressão da resistência dos materiais, em que o elemento e' dividido em retângulos, sendo b sempre a menor dimensão (espessura) e h a maior medida ao longo de todo o retângulo, ou segundo a sua linha média (esqueleto). "rg-bi 0,9-0,o73 0,300,153 I = -- -í-+ , ._, 3 3 3 =4,so-1o* m** A estrutura será resolvida para a combinação rara de ações, ou seja, com p = g + q (atuação de todas as cargas), e o carregamento, em virtude da malha ter muitos elementos. sera' feito aplicando cargas concentradas aos nos. O valor da carga, para um nó central, é (a é o espaçamento entre nerv uras em uma direção e b na outra): P: p-a~b= l0,0›0,90-0,90=8,1kN O cálculo dos esforços e dos deslocamentos foi feito com o programa GPLAN [CORRÊA & RAMALHO (1987)], resultando nos seguintes valores, colocados jun- tamente com os obtidos com a teoria de placa, para comparação: Momento fletor máximo por nervura: M = 3 1,7]¡1v_m M = 20,57 kN_]n Força cortante máxima por nervura: V = 18,8 kN V = 18, 60 / cN Flecha para combinação rara: u = .0,00638 m a = 0,001123 m ' ' btidos com os mode- ~ 't' s dos resultados maximos o _ Na Figura 1.28 estao os gr? 'ísauenjado os valores calculados com a teoria de o 1 los de praca e de grelha! conrtfiijmando a recomendaÇÉO de que a tema de placa' - bem maiores, 0° _ grelha 53° @dimensionamento . penas para D tipo de estrutura, SeWe a para este Momento fletor máximo na nervura grelha Valores da tlecha - combinação rafa grama placa a (mm) oanoammu _ - ha momento tletor e lorça cortante nas nervuras- Figura 7.28. Valores máX/ HWS d? 7'” r
  41. 41. 73 Observações: Fica evidente que o momento fletor e a flecha obtidos pelo cálculo como grelha são bem maiores que os correspondentes aos obtidos pela teoria de placa. Para que a grelha apresentasse valores de momento fletor e de flecha similares ao da placa, seria preciso que a inércia à torção da seção transversal fosse da ordem do dobro da inércia à flexão, o que só ocorre em seções maciças ou celulares. O cálculo leito no exemplo foi sempre linear. Para o valor da flecha é possivel me- lhorar a aproximação usando a expressão de BRANSON. Melhor ainda seria usar um cálculo não-linear, como pode ser visto em CARVALHO (1994). O contorno da laje foi considerado nãodeslocável na vertical para que os valores obtidos pela teoria de placa e de grelha pudessem ser comparados. No caso de haver vigas na lateral, que se deformam, apenas a grelha pode levar isto em conta, o que alteraria os resultados, principalmente da flecha, que seria bem maior. BIBLIOGRAFIA ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. NBR 6118 (NB/ l). Projeto e execução de estruturas de concreto armado. Rio de Janeiro, 1980. (substituída pela NBR 61182003), ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118. Projeto de estru- turas Ife concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, março, 2003. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14859 - Laje pré-fabri- cada - Requisitos - Parte 1: Lajes unidirecionais. Rio de Janeiro, maio, 2002. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14859-2 - Laje-pré- fahrioada - Requisitos - Parte 2: Lajes bidirecíonaís. Rio de Janeiro, maio, 2002. AssocIAçÃo BRASILEIRA DE NoRMAs TÉCNICAS. NBR 14860-1 - Laje pré-fabricada - Pré-laje - Requisitos - Parte 1: Lajes unidirecionais. Rio de Janeiro, maio, 2002. - EIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14860-2 - Lale pré- ASSOCÊÇAOP ? TÂÍIL Requisitos Parte 2' Lajes bidirecíonaís. Rio de Janeiro, fabrica a - re- - ' ' maio. 2002. l L _ p “a ' A DE NORMAS TECNICAS. NBR 14861 - ale r - - AssocmçppoFiFIAlslle-: IÊ de concreto PVÚINmÚD - REQUÍSIWS- RI° de 'Janeiro' liricaiia - ame 3V maio, 2002. o R O Análise não linear Ile pavimentos Ite edificios Ile concreto através da cARvALH , . . ' _ . ' ' I , USP. Sao Carlos, 1994. pnalugia Ile Grelha. Escola de Engenharia de Sao Caros Li-Io R C FIGUEIREDO FILHO J R Cálculo e detalhamento de estruturas VA i ~ ~§ l ' ' cAuRsuais de concreto armado. São Carlos, Editora Edufscar, 2007. CORRÊA M Fl S: RAMALHO. M. A. Sistema / aserde análise estiuturalv Simprês-IO ' ^ ' ' . ~ . ' to de edificios. ao Nacional de Tecnologla de construçaa “Mare para o proje Paulo, EPUSP, 1987- HAHN, J. Vigas continuas, panico: v placas Barcewnan G“¡v 1972' MAZILLI A. R. M. Influência da flexibilidade das vigas de apoio nn cálculo IL; estrujiggaã de ' . . ' ' ' USR S' au o, - edifícios. Dissertação de mestrado. Escola Politecnica da a0 - - ' de Janeiro, Editora Cientifica, ROCHA, A. M. Curso pratico de concreto armario. Rio 1979. v. 1. SAN MARTIN, F. J, Cálculo de tabuleiros de pontes. São Paulo, Livraria Ciência e Tec- nologia Editora, 1981. 79

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