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Apostila geometria analítica plana 2º ed.

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Apostila geometria analítica plana 2º ed.

  1. 1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA PROF. VINICIUS 3. Geometria Analítica Plana 3.1 Vetores no plano Intuitivamente, sabemos que o conjunto dos números reais podem ser distribuídos em uma reta. Deste modo, todo número real corresponde a um ponto da reta e vice-versa. A seguir, tendo em vista a correspondência apresentada acima, serão definidos alguns objetos que constituem a base da Geometria Analítica Plana. Definição (origem): O ponto é chamado de origem. Definição (unidade de medida): Chamamos de unidade de medida a distância entre dois números inteiros consecutivos na reta. A unidade de medida é inteiramente arbitrária, não influenciando no estudo qualitativo dos objetos matemáticos do plano. Definição (sentido positivo e negativo): O sentido positivo na reta corresponde ao sentido de crescimento dos números e o sentido negativo na reta corresponde ao sentido oposto, ou seja, de decrescimento dos números. Definição (números positivos e números negativos): Números negativos são números a esquerda da origem e números positivos são números a direita da origem. Definição (abscissa): O número real associado a cada ponto é denominado abscissa.
  2. 2. Definição (reta orientada): A reta obtida a partir das definições dadas acima é chamada de reta orientada. Definição (distância entre dois pontos na reta orientada): A distância entre dois pontos e , de abscissas e , respectivamente é dada por . Exemplo: A distância entre o ponto na reta de abscissa e o ponto da reta de abscissa é dada por . Definição (sistema cartesiano ortogonal): O sistema cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos, e , perpendiculares entre si, com mesma origem, a qual constitui o ponto de intersecção. Para evitar confusão, os números reais associados a são chamados de abscissa e os números associados a são chamados de ordenadas. Definição (segmento orientado): Um segmento orientado é um subconjunto de uma reta, que possui um ponto como origem (primeiro ponto), e outro ponto como extremidade (último ponto). Adotando o sentido de um ponto para um ponto , podemos definir um segmento orientado . Exemplo: Se e , então . Exercício 3.1: Sejam , e . Calcule , , e . Definição (segmento nulo): Segmento nulo é aquele em que a origem e extremidade coincidem. Definição (segmento oposto): O segmento oposto a um segmento é o segmento , ou seja, inverte-se a origem e a extremidade. Logo, se , então . Exemplo: Se e , então . E o segmento oposto de é o segmento .
  3. 3. Exercício 3.2: Sejam , e . Calcule os vetores opostos dos vetores , e . Definição (direção): Chamamos de direção o ângulo entre um segmento de reta e uma reta paralela ao eixo . Definição (sentido): Chamamos de sentido de um segmento orientado a especificação da extremidade, dada a direção do segmento. Definição (módulo): Dados a origem de um segmento orientado e sua extremidade , o módulo do segmento é o seu comprimento, de acordo com a unidade de medida adota. Na seção 3.4 (relativa a distância) será fornecida a fórmula da distância entre pontos, o que permitirá determinar o módulo de um vetor. Definição (segmentos equipolentes): Dois segmentos chamados equipolentes quando possuem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Definição (vetor): Um vetor é o conjunto de todos os segmentos equipolentes a um segmento orientado . Usualmente, denota-se um vetor por , , et Cetera. Módulo, direção e sentido são características de um vetor, uma vez que todos os seus elementos são segmentos equipolentes. Definição (vetores iguais): Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo, direção e sentido. Definição (vetor nulo): Vetor nulo é aquele que possui módulo igual a zero. Definição (vetor oposto): Dado um vetor , o seu oposto é vetor que contém todos os segmentos orientados opostos dos segmentos do vetor . Definição (vetor unitário): Um vetor é unitário se . Exemplo: O vetor é um vetor unitário, pois .
  4. 4. Exercício 3.3: Dados , e , verifique quais vetores são unitários e quais não são. Cada segmento orientado no plano cartesiano possui um segmento equipolente fixado na origem deste plano, ou seja, um vetor de mesmo módulo, direção e sentido com origem no ponto do plano cartesiano. Assim, todo segmento orientado pode ser representado por este segmento na origem. Deste modo, podemos representar um vetor de acordo com o ponto de extremidade do segmento obtido a partir da origem. Definição (soma de vetores): Dados dois vetores e , a soma de e é o vetor . Exemplo: Se e , então . Exercício 3.4: Dados , e , calcule , e . Definição (diferença de vetores): Dados dois vetores e , a diferença de e é o vetor . Exemplo: Se e , então . Exercício 3.5: Dados , e , calcule , e . Definição (multiplicação por número real): Dado um número real e um vetor , o multiplicação por número real de e é o vetor . Exemplo: Se e , então .
  5. 5. Exercício 3.6: Dados , e , calcule , e . Definição (base): Assumindo e , podemos representar qualquer vetor do plano cartesiano (fazendo uso de soma de vetores e do produto escalar). Por isto, o conjunto é chamado de base do plano cartesiano ou base do . Exemplo: . 3.2 Produto Escalar Definição (produto escalar): Dados dois vetores e , o produto escalar é o número . Exemplo: Se e , então . Exercício 3.7: Dados , e . Calcule , e . Teorema: Dados dois vetores e , sendo o ângulo formado entre eles, então . Exemplo: Se e , então , e portanto, . Exercício 3.8: Sabendo que tem módulo , tem módulo e tem módulo , que o ângulo entre e é , o ângulo entre e é , e que o ângulo entre e é , calcule , e . Definição (vetores ortogonais): Dois vetores e são ortogonais quando .
  6. 6. Exemplo: Se e , então , e portanto, e são ortogonais. Exercício 3.9: Dados , e , verifique se existem vetores ortogonais entre estes três vetores. Observação: o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor, pois o produto escalar dele com qualquer outro vetor sempre resulta em zero. Observação: Um forma alternativa de constatar que a ortogonalidade está ligada ao fato de o produto escalar resultar em zero é observar que na expressão do teorema acima, se , então . 3.3 Projeção Definição (projeção de um vetor): A projeção de um vetor sobre um vetor é dada por . Exemplo: Se e , então . Exercício 3.10: Dados , , e . Calcule e . 3.4 Estudo da Reta Equação Reduzida: . Exemplo:
  7. 7. Equação vetorial: Seja o vetor que determina todos os pontos de uma reta , seja um ponto qualquer de e um vetor que possui mesma direção de . Então . O vetor é chamado de vetor diretor de . Exemplo: Partindo de , vamos considerar o ponto , e o vetor formado por e , no sentido de , ou seja, . Como possui mesma direção de , então podemos tomar . Logo, a equação vetorial de pode ser escrita como . Equações Paramétricas da Reta: . Exemplo: Partindo da equação vetorial , poderíamos escrever as equações paramétricas de como , isto é, . Equação Simétrica: . Exemplo: Partindo da equação paramétrica , poderíamos escrever a equação simétrica . Observação: Da equação simétrica podemos voltar para a equação reduzida. Por exemplo, da equação simétrica , podemos isolar e obter , que é exatamente a equação reduzida de onde partimos. Exercício 3.11: Obtenha os quatro tipos de equação da reta para as retas , , , e . 3.5 Distâncias no Plano
  8. 8. Teorema (distância entre dois pontos no plano cartesiano): Dados dois pontos e , calcula-se a distância entre eles através de . Exemplo: Se e , então . Exercício 3.12: Calcule, em cada caso, a distância entre os pontos: a) e ; b) e ; c) ) e . Teorema (distância de um ponto a uma reta): Seja uma reta. Assim a distância de até o ponto é dada por . Exemplo: A distância entre a reta e o ponto é dada por . Exercício 3.13: Calcule a distância do ponto a reta em cada caso: a) e ; b) e ; c) e . Teorema (distância entre retas): Sejam e duas retas no plano. Se e forem concorrentes, então a distância entre eles é nula, por definição. Se e forem paralelas, então ou . Observação: como se vê, a distância entre retas se reduz a distância entre um ponto e uma reta. Para verificar se as retas são paralelas ou concorrentes, basta igualar as equações das retas e avaliar o resultado. Se o resultado for matematicamente incoerente, isto significa que não há intersecção entre as retas, e portanto, elas são paralelas. Do contrário, elas são concorrentes, e portanto, a distância entre elas será zero. 3.6 Estudo da Circunferência
  9. 9. Equação da Circunferência centrada em com raio : . Exemplo: é a circunferência de centro e raio . Exercício 3.14: Em cada caso, obtenha as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência: a) ; b) ; c) . Posições relativas de um ponto e uma circunferência : é externo a é externo a Exercício 3.15: Determine a posição do ponto em relação a cada uma das circunferências definidas por: a) ; b) ; c) . Definição (distância entre a reta e a circunferência): Seja uma reta e seja uma circunferência de centro e raio . Assim, a distância de a é dada por . Posições relativas de uma reta e uma circunferência : e são secantes e são tangentes e são exteriores.
  10. 10. Exercício 3.16: Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência definidas por: a) e ; b) e ; c) e . Definição (distância entre duas circunferências): Sejam e duas circunferências de centros e , e raios e , respectivamente. Assim, a distância de a é dada por . Posições relativas entre duas circunferências: e são tangentes (externamente) e são tangentes (internamente) e são secantes e não se interceptam (externamente) e não se interceptam (internamente) e não se interceptam (concêntricas) Exercício 3.17: Determine as posições relativas entre as circunferências em cada caso: a) e ; b) e ; c) e . 3.7 Estudo das Cônicas Equação Reduzida da Elipse de centro , e eixos de comprimento e : .
  11. 11. Exemplo: A elipse tem centro , e eixos de comprimento e . Distância Focal na Elipse: , com . Exemplo: A distância focal da elipse é , com , ou seja a distância focal desta elipse é igual a . Focos na Elipse: , se , e , se . Exemplo: Na elipse , como , então . Excentricidade de uma Elipse: , se e , se . Exemplo: A excentricidade da elipse é . Exercício 3.18: Determine o centro, os focos e a excentricidade das elipses dadas: a) ; b) ; c) . Equação Reduzida da Hipérbole de centro e distância entre os vértices : . Exemplo: é a hipérbole de centro e distância entre os vértices . Distância Focal na Hipérbole: , com .
  12. 12. Exemplo: A distância focal na hipérbole é Excentricidade de uma Hipérbole: . Exemplo: A excentricidade da hipérbole é . Exercício 3.19: Determine o centro, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas: a) ; b) ; c) . Equação Reduzida da Parábola de vértice e reta diretriz . . Exemplo: é a equação da parábola de vértice e reta diretriz , pois . Exercício 3.20: Determine o vértice e uma equação para a diretriz nas parábolas dadas: a) ; b) ; c) . 3.8 Respostas dos Exercícios 3.1) ; ; ; . 3.2) ; ; . 3.3) não é unitário; é unitário; é unitário. 3.4) ; ; . 3.5) ; ; . 3.6) ; ; . 3.7) ; ; . 3.8) ; ; . 3.9) e são ortogonais. 3.10) ; . 3.11) Se você conseguir voltar para a equação reduzida original, então está correto.
  13. 13. 3.12) ; ; . 3.13) ; ; . 3.14) e ; e ; e . 3.15) Externo; externo; interno. 3.16) Tangentes; secantes; secantes. 3.17) Secantes; concêntricas; tangentes. 3.18) , , , ; , , , ; , , , . 3.19) , , , ; , , , ; , , , . 3.20) , ; , ; , . Vinicius Carvalho Beck, 2º edição, Setembro de 2011

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