Grafos cap9

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Grafos cap9

  1. 1. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-1 IX. Circuito e Ciclo de Euler Um grafo orientado diz-se “euleriano” se há um circuito que contenha todos os seus arcos uma e só uma vez (circuito “euleriano”).O grafo da figura é “euleriano”porque admite o circuito A, B, C, D. De acordo com o teorema de Euler, “um grafo orientado admite um circuito de Euler se e só se for fortemente conexo e pseudo simétrico1 ” (diz-se que o grafo é “euleriano”). Um grafo não orientado diz-se “euleriano” se há um ciclo que contenha todas as suas arestas uma e só uma vez (ciclo “euleriano”).O grafo da figura é “euleriano”porque admite, por exemplo, o ciclo A, D, C, B. De acordo com o teorema de Euler, “um grafo não orientado admite um ciclo de Euler se e só for conexo e não tiver vértices de grau ímpar ”. 1. Circuito de Euler Considere-se que a figura seguinte representa uma zona da cidade onde uma equipa terá que fazer recolha de lixo em todos os arruamentos existentes (observando o sentido indicado para o trânsito). Em cada um dos arruamentos está indicada a distância (centenas de metros) entre os vértices extremos. Admitindo que se pretende que o percurso de limpeza comece e termine em “A” qual é o circuito óptimo ? O circuito óptimo será um circuito de Euler (em que se percorrerão todos os arruamentos uma única vez). Se existir, a distância total óptima será de 82 centenas de metros (somatório de todas as distâncias associadas a cada um dos arcos do grafo). Este grafo será “euleriano” ?. 1 Um grafo orientado em que qualquer dos vértices tem semigrau interior e exterior iguais, diz-se grafo pseudo simétrico. 4 1 2 D A B C 3 4 1 2 D A B C 3 A E C D B 10 10 15 11 12 8 9 7
  2. 2. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-2 Na matriz do grafo, verifica-se se o grafo é conexo e, em caso afirmativo, determinam-se os semigraus de cada um dos vértices : A B C D E AΓ ^ + iv A 10 0 1 B 10 11 2 2 C 12 3 1 D 15 9 2 2 E 8 7 1 2 1 ^ − ΓA 0 1 3 2 2 − iv 1 2 1 2 2 Porque o grafo é conexo e todos os vértices têm semigraus iguais, de acordo com o teorema de Euler o grafo é “euleriano”. Para estabelecer um circuito de Euler, que sabemos existir, actue-se do seguinte modo: 1. Registar em coluna, para cada vértice, os seus sucessores (1º quadro) A B C D E E A D B B C E D 2. Organizar um 2º quadro para registar, sucessivamente, os arcos do circuito (início em “A” por exemplo) Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A 3. Escolher sucessivamente sucessores do último vértice atingido, impedindo circuitos “parasitas” • Seleccionar o arco AE ; eliminar “E” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “E” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E • Seleccionar o arco EB ; eliminar “B” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “B” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E B
  3. 3. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-3 • Seleccionar o arco BA ; eliminar “A” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “A” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E B A • O vértice “A” não tem sucessores; estabeleceu-se prematuramente o circuito “parasita” A, E, B, A.. O vértice “A” é deslocado para a última casa livre do 2º quadro. O “último” vértice” do circuito é agora “B” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E B A • Seleccionar o arco BC ; eliminar “C” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “C” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E B C A • Seleccionar o arco CD ; eliminar “D” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “D” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E B C D A • Seleccionar o arco DB ; eliminar “B” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “B” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E B C D B A
  4. 4. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-4 • O vértice “B” não tem sucessores; estabeleceu-se o circuito “parasita” B, C, D, B. O vértice “B” é deslocado para a última casa livre do 2º quadro. O “último” vértice” do circuito é agora “D” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E B C D B A • Seleccionar o arco DE ; eliminar “E” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “E” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E B C D E B A • Seleccionar o arco ED ; eliminar “D” no 1º quadro e registar no 2º quadro; último vértice é “D” A B C D E E A D B B C E D Ordem 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Fecho Vértice A E B C D E D B A Todos os arcos foram seleccionados. Neste último quadro tem-se o circuito de Euler com início e fim no vértice “A”. Veja-se agora a situação anterior mas noutra zona da cidade: Este grafo será “euleriano” ? F G I D B A E H 5 4 4 4 4 8 3 3 C 4 6 4 7 7 3 6 6 55
  5. 5. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-5 Comecemos por organizar a matriz booleana do grafo da zona de limpeza, verificar se o grafo é fortemente conexo e registar o semigrau interior e exterior de cada vértice: A B C D E F G H I AΓ ^ + iv A 1 1 0 2 B 1 1 1 2 C 1 1 1 D 1 1 2 2 E 1 1 1 2 3 F 1 1 3 2 G 1 1 4 2 H 1 1 1 3 3 I 1 3 1 1 ^ − ΓA 0 2 3 4 1 1 2 3 4 − iv 2 3 2 2 2 1 2 2 2 A intersecção dos fechos transitivos directo e inverso do vértice “A” é o conjunto {A,B,C,D,E,F,G,H,I }) pelo que o grafo é fortemente conexo. Nos vértices B, C, E, F, H e I os semigraus exterior e interior são diferentes pelo que não há circuito de Euler ou seja para fazer o circuito C, …., C será necessário repetir a passagem em um ou mais dos arruamentos (arcos). O problema é então saber quais os arruamentos a repetir de forma a que o aumento na distância total seja o menor possível. O cálculo da solução óptima deste problema implica a “eulerização” do grafo que consiste em calcular quais os arcos a repetir entre vértices da rede (repetição de arruamentos) por forma a que, em todos eles, haja igualdade de semigraus (grafo “euleriano”). Recorrendo à teoria de fluxos em rede, os vértices com semigraus diferentes serão Origem ou Destino de fluxo consoante o semigrau exterior é, respectivamente, menor ou maior do que o semigrau interior. Assim, por exemplo, o vértice “B” necessita ser considerado como Origem de Fluxo com “oferta” de uma unidade de fluxo. De facto, porque é “origem” de 2 arcos e “fim” de 3 arcos, é necessário repetir a passagem num dos arcos de que “B” é origem para ficar equilibrado o número de “saídas de B” com o número de “entradas em B”. No quadro seguinte, sistematiza-se esta pesquisa prévia: A B C D E F G H I + iv − iv Considerar “Oferta”/”Procura” A 1 1 2 = 2 B 1 1 2 < 3 Origem 132 =− C 1 1 < 2 Origem 121 =− D 1 1 2 = 2 E 1 1 1 3 > 2 Destino 123 =− F 1 1 2 > 1 Destino 112 =− G 1 1 2 = 2 H 1 1 1 3 > 2 Destino 123 =− I 1 1 < 2 Origem 121 =−
  6. 6. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-6 Nota: Veja-se que a “disponibilidade de fluxo” dos vértices classificados como “origem de fluxo ” tal como a “necessidade de fluxo” dos vértices classificados como “destino de fluxo” é igual ao valor absoluto da diferença entre os semigraus do vértice. Para calcular o “fluxo máximo com menor distância total”, define-se a entrada fictícia na rede, “X”, que é ligada com arcos às origens de fluxo (B, C, I) e a saída fictícia da rede, “Y”, que é ligada aos destinos de fluxo (E, F, H). A capacidades destes arcos de ligação é igual à oferta/procura do vértice a que estão associados. Os restantes arcos da rede têm capacidade ilimitada. O fluxo máximo com menor encargo (distância neste caso) pode obter-se recorrendo a um modelo de programação inteira (PLIP) em que as variáveis de decisão, não negativas, indicam o fluxo que percorre cada arco da rede. Atendendo a que, obrigatoriamente, as variáveis XB, XC , XI, EY, FY e HY terão valor de 1 unidade (tanto quanto é o valor absoluto da diferença entre os semigraus), o modelo a utilizar é o seguinte: AB AC BD BE CB DC DI EA EF EH FA FG GE GI HB HD HG IH Min 4 6 5 3 4 7 7 5 4 3 8 5 4 6 4 6 4 3 Obs I -1 -1 1 = 1 Origem B -1 1 1 -1 -1 = 1 Origem C -1 1 -1 = 1 Origem G 1 -1 -1 1 = 0 D 1 -1 -1 1 = 0 A -1 -1 1 1 = 0 H 1 -1 -1 -1 1 = 1 Destino E 1 -1 -1 -1 1 = 1 Destino F 1 -1 -1 = 1 Destino A solução óptima1 BE=2, CB=EF=IH=1 indica para cada um destes arruamentos o número de vezes que devem ser repetidos para obter o circuito desejado com a distância total óptima de 105 centenas de metros (88 dos arruamentos e 17 das repetições de arruamentos). Para calcular o circuito é necessário “aumentar” o grafo com 2 1 Obtida pelo método “out of kilter”. Pode utilizar-se o modelo de Transhipment. G I D B A 5 4 4 4 4 8 3 3 C 4 6 4 7 7 3 6 6 55 F E H X Cap = 1 Y Cap = 1 Cap = 1 Cap = 1 Cap = 1 Cap = 1
  7. 7. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-7 arcos ligando B a E, 1 arco ligando C a B, 1 arco ligando E a F e 1 arco ligando I a H pois deste modo todos os vértices ficam com semigraus iguais (grafo “euleriano”): Este grafo “aumentado” admite o circuito de Euler: “C, B, D, I, H, G, E, H, D, C, B, E, F, G, I, H, B, E, A, B, E, F, A, C” que se representa na figura seguinte (nos arcos está registada a ordem porque são percorridos): Nota: veja-se que, nos vértices B, C, E, F, H e I são iguais os semigraus interior e exterior (pseudo simetria) Se se optasse pelo modelo de Transhipment para calcular os arruamentos a repetir, usava-se a matriz inicial: A B C D E F G H I Oferta Observações A 0 4 6 3 B 0 5 3 3+1 C 4 0 3+1 D 7 0 7 3 E 5 0 4 3 3 F 8 0 5 3 G 4 0 6 3 H 4 6 4 0 3 I 3 0 3+1 Procura 3 3 3 3 3+1 3+1 3 3+1 3 A distância associada às ligações inexistentes é considerada infinita (Big “M”) Nota: Buffer= 3; Origens e Transhipment: B, C, I ; Destinos e Transhipment: E, F, H obtendo-se a solução óptima seguinte (veja-se BE=2, CB=EF=IH=1; Min f(X)=17 ): A 3 0 B 2 0 2 C 1 3 D 3 E 2 1 0 F 3 G 3 H 0 3 I 1 3 A F G E C D H I B 13º 6º 5º 14º 15º 3º 8º 16º 7º 11º 12º 22º 18º 19º 2º 1º 9º 23º 10º 20º 17º 21º 4º
  8. 8. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-8 2. Ciclo de Euler Considere-se agora a mesma zona da cidade mas em que os arruamentos permitem transitar nos dois sentidos (arestas). Admitindo desejar que o percurso de limpeza de todos os arruamentos comece e termine em “C” qual é o ciclo óptimo ? O ciclo óptimo será um ciclo de Euler (em que se percorrerão todos os arruamentos uma única vez). Se existir, a distância total óptima será de 88 centenas de metros (somatório de todas as distâncias associadas a cada um dos arcos do grafo). Este grafo admite ciclo de Euler ? O grau de cada um dos vértices (número de arestas de que o vértice é extremo) é o seguinte: A B C D E F G H I Grau Obs. A 1 1 1 1 4 B 1 1 1 1 1 5 Ímpar C 1 1 1 3 Ímpar D 1 1 1 1 4 E 1 1 1 1 1 5 Ímpar F 1 1 1 3 Ímpar G 1 1 1 1 4 H 1 1 1 1 1 5 Ímpar I 1 1 1 3 Ímpar Nota: atente-se que em qualquer grafo não orientado, é sempre par o número de vértices de grau ímpar, caso existam (teorema de Euler) Porque há pelo menos um vértice de grau ímpar não há ciclo de Euler para a limpeza ou seja para fazer o ciclo C, …., C será necessário repetir a passagem em um ou mais dos arruamentos. O problema é então saber quais os arruamentos a repetir de forma a que o aumento na distância total seja o menor possível. O cálculo da solução óptima deste problema implica a “eulerização” do grafo que consiste em calcular quais as arestas a repetir entre vértices da rede (repetição de arruamentos) por forma a que, todos eles, tenham grau par (admitindo então um ciclo de Euler). A F G E C D H I B 5 4 4 6 3 7 6 4 3 3 4 8 5 4 5 4 7 6
  9. 9. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-9 A técnica a usar, que difere da utilizada para grafos orientados, é a seguinte: 1. calcular a distância mínima entre cada par de vértices da rede 2. organizar pares de vértices, de grau ímpar, de forma a que : • cada um dos vértices não pertença a mais do que um par • seja mínima a soma das distâncias mínimas associadas a cada um dos pares Utilizando um algoritmo de encaminhamento (Floyd por exemplo) obtêm-se as seguintes matrizes de distâncias mínimas e de precedências: A B C D E F G H I A 4 6 5 8 B 4 4 5 3 4 C 6 4 7 (Matriz inicial) D 5 7 6 7 E 5 3 4 4 3 F 8 4 5 G 4 5 4 6 H 4 6 3 4 3 I 7 6 3 A B C D E F G H I A 4 6 9 5 8 9 8 11 B 4 4 5 3 7 7 4 7 C 6 4 7 7 11 11 8 11 (Matriz de distâncias mínimas) D 9 5 7 8 12 10 6 7 E 5 3 7 8 4 4 3 6 F 8 7 11 12 4 5 7 10 G 9 7 11 10 4 5 4 6 H 8 4 8 6 3 7 4 3 I 11 7 11 7 6 10 6 3 A B C D E F G H I A B E B H B E E H C B E E B H (Matriz de precedências) D B B E H E B B H F E E E E H G E E E H H B B E I H H H H H Para organizar os pares de vértices de grau ímpar recorre-se a algoritmia adequada (minimum weighted perfect matching) ou a um modelo de PLIB (programação linear inteira binária). Neste último, consideram-se os pares possíveis (i,j) como sendo as variáveis de decisão (binárias: com valor 1 organiza-se o par (i,j) ; com valor 0 não se organiza o par (i,j) ). O modelo de PLIB a utilizar é o seguinte:
  10. 10. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-10 BC BE BF BH BI CB CE CF CH CI EB EC EF EH EI FB FC FE FH FI HB HC HE HF HI IB IC IE IF IH f= 4 3 7 4 7 4 7 11 8 11 3 7 4 3 6 7 11 4 7 10 4 8 3 7 3 7 11 6 10 3 Vértice B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 F 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 Nota: Para cada vértice de grau ímpar é estabelecida uma restrição com todas as variáveis em que este vértice é o 1º ou o 2º vértice do par. Deste modo só uma dessas variáveis poderá ter valor 1 impedindo que o vértice pertença a mais do que um par. Os coeficientes da função objectivo, a minimizar, são as distâncias mínimas entre cada um dos pares de vértices em estudo (ver matriz de distâncias mínimas). Se, no óptimo, o par (i,j) tiver o valor “1” é necessário recorrer à matriz de precedências para saber o encaminhamento associado à distância mínima (que é coeficiente do par na função objectivo). As arestas deste encaminhamento serão duplicadas alcançando-se a desejada paridade dos vértices para se calcular o ciclo óptimo como se de um ciclo de Euler se tratasse. A solução óptima do modelo de PLIB é BC=1, EF=1; HI=1 com valor mínimo da função igual a 11 centenas de metros. Recorrendo à matriz de precedências, o encaminhamento óptimo entre estes pares de vértices é: • BC : ligação directa com distância óptima de 4 centenas de metros • EF : ligação directa com distância óptima de 4 centenas de metros • HI : ligação directa com distância óptima de 3 centenas de metros A figura seguinte mostra o grafo “aumentado” com a indicação da ordem porque cada arruamento deve ser percorrido pelo pessoal da limpeza (ciclo de Euler). A distância total a percorrer será de 99 centenas de metros (88+11). A F G E C D H I B 5 4 4 6 3 7 6 4 3 3 4 8 5 4 5 4 7 6 3 4 4
  11. 11. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-11 3. Auto Teste a. Qual é o grau do vértice B? b. O grafo seguinte admite um ciclo de Euler? Em caso negativo, quantas arestas são necessárias para “eulerizá- lo” ? c. Qual é o mínimo de repetições de arestas necessárias para “eulerizar” o grafo seguinte? d. Comente a afirmação seguinte: “No grafo não orientado com 10 vértices de grau ímpar é necessário repetir 5 arestas para “eulerizar” o mesmo. e. Comente a afirmação seguinte: “No grafo não orientado com 10 vértices de grau ímpar é necessário, no mínimo, repetir 5 arestas para “eulerizar” o mesmo. f. “Eulerize” o grafo seguinte: CA B D CA B D D A B C F G E G I B A D EC F K LJ H
  12. 12. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-12 g. Calcule um ciclo óptimo de limpeza na região urbana que o grafo seguinte representa (arestas com distâncias em centenas de metros): h. Numa fábrica as ligações exteriores existentes são as indicadas na matriz seguinte (arestas com distâncias em metros). A B C D E F A 500 1000 B 500 300 200 700 C 1000 300 600 D 200 600 300 200 E 700 300 300 F 200 300 As instalações da segurança nocturna estão localizadas em “A”. Calcule o encaminhamento óptimo para a segurança sair e regressar às instalações percorrendo todos os arruamentos exteriores. i. Calcule o circuito óptimo no grafo com a seguinte matriz de custos (u.m.): A B C D E F A 10 4 B 10 11 C 12 D 15 9 E 8 7 F 11 B 5 A D 2 C 5 4 3 E 5 10 6 10 I F 8 6 3 4 G 5 H 7 4 8 5 J 9 7
  13. 13. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-13 j. Calcule o circuito postal óptimo no grafo com a seguinte matriz de tempos (u.t.): A B C D E F G H I J K L A 10 10 B 30 C 10 20 D 20 E 20 10 10 F 40 20 G 20 10 H 10 10 I 10 J 30 10 K 30 L 20
  14. 14. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-14 4. Solução do Auto Teste a. O grau do vértice é o número de arcos/arestas de que o vértice é extremo. O vértice B tem grau 3. b. Os vértices B e D têm grau ímpar, pelo que não há ciclo de Euler. Porque B e D são adjacentes “euleriza-se” o grafo repetindo a aresta BD: c. Os vértices com grau ímpar são C e G. A cadeia de menor comprimento tem duas arestas (CB e BG) pelo que é necessário repetir estas duas arestas: d. Errado (ver a questão anterior). e. Correcto (ver a questão anterior). f. Reutilizar as 5 arestas AB, DE, EG, IL, LK ou AB, DF, FH, HK, GI são soluções óptimas. CA B D D A B C F G E G I B A D EC F K LJ H G I B A D EC F K LJ H
  15. 15. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-15 g. Não há ciclo de Euler (A, B, E e I têm grau ímpar). Para “eulerizar” o grafo é necessário calcular a matriz de encaminhamentos de distância mínima entre cada par de vértices e, de seguida, organizar os 4 vértices de grau ímpar em dois pares complementares. Para tal, a ligação F-G deve desdobrar-se ficando do seguinte modo: A matriz inicial de distâncias para cálculo do “grau de cada vértice e “encaminhamento de distância mínima entre cada par de vértices” é a seguinte: A B C D E F1 F2 G1 G2 H I J Grau A 5 4 2 Ímpar B 5 3 10 Ímpar C 4 3 5 6 8 10 Par D 2 5 4 6 Par E 10 6 5 Ímpar F1 8 4 0 5 5 9 Par F2 0 3 Par G1 6 5 0 7 Par G2 3 0 Par H 5 7 7 8 Par I 10 5 9 7 4 Ímpar J 8 4 Par Os pares óptimos (A,B) e (E,I) são os arruamentos a repetir. A distância total óptima é de 126 centenas de metros (116 dos arruamentos; 10 das repetições). C D 5 F1 8 6 4 G1 5 H 7 5 G2F2 0 3 0
  16. 16. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS)IX-16 O grafo “aumentado” a seguir apresentado (conexo e com todos os vértices de grau par) admite o ciclo de Euler ,definido a partir de “A “ : A B A C B E C D F C I E I F G F H I J H G D A h. Não há ciclo de Euler pois há vértices de grau ímpar (C e E). O grafo e matriz inicial são os seguintes: Para “eulerizar” o grafo é necessário calcular a distância mínima entre os dois únicos vértices de grau ímpar (é de 800 metros por C, B, D, E). O grafo é “aumentado” com as arestas CB, BD e DE que representam os arruamentos a repetir durante a ronda. O ciclo óptimo (ciclo de Euler) é de 4900 metros (4100+800): A, B, C, B, D, B, E, D, E, F, D, C, A B 1º A D 22º C 7º 3º 4º E 11º 10º 6º 5º I F 9º 21º 15º 8º G 14º H 20º 18º 19º 16º J 13º 17º2º 12º A B500 E FD C 300 700 200 3001000 300 200 600 A B500 E FD C 300 700 200 3001000 300 200 600
  17. 17. Grafos – Circuito e Ciclo de Euler INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS) IX-17 i. Há circuito de Euler com valor de 97 u.m. (grafo conexo; todos os vértices com grau par): A E B C D E D B A F A j. Não há circuito de Euler pois há vértices com semigraus interior e exterior diferentes (só A , H e I têm semigraus iguais). O grafo aumentado é o seguinte: A B C D E F G H I J K L Nº de arcos a repetir A 10 10 B 30 2 para F; C 10 20 1 para D; D 20 1 para H; E 20 10 10 1 para A; F 40 20 3 para E; 1 para G; G 20 10 1 para C; H 10 10 I 10 J 30 10 2 para F; K 30 2 para J; L 20 1 para K; Neste grafo, aumentado, o circuito postal óptimo tem 770 unidades de tempo das quais 420 são devidas à repetição de arcos: A B F E A C B F E B F E I J F G C D H G C D H … … G C D H L K J F G K J L K J F E A A B 10 E F D C 8 12 11 4 10 15 7 9 11

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