Le miroir du vampire -Math en Jeans 2008

David Nowinsky
David NowinskyR&D Web Engineer @ Toucan Toco at Toucan Toco
Maths en JEANS 2007/2008
 Lycée Marcelin Berthelot
Pourquoi on s’intéresse au miroir d’un vampire ?
Que veut-on modéliser mathématiquement ?
Humain   Vampire
 Miroir fictif : une droite
 L’arrière plan : une droite
 Yeux de l’observateur : deux
  points
 Corps de l’observateur : un
  segment
 Miroir : une ou plusieurs
  courbes ou segments ?
Conjectures sur papier
Représentation sur un logiciel de géométrie
Peut-on résoudre graphiquement le problème ?
Le miroir du vampire -Math en Jeans 2008
Le miroir du vampire -Math en Jeans 2008
Le miroir du vampire -Math en Jeans 2008
Point de
 départ J
                  Point
Arrière plan   d’arrivée J4

 Yeux de la
 personne      Miroir fictif
(assimilés à       M
un point O)
   Rayon
 lumineux      Miroir réel
                   C
yp : ordonnée de l’arrière plan
    yo : ordonnée de l’oeil




       On pose ym=0
 a, b et c : paramètres de la
courbe y=ax²+bx+c du miroir
              réel
Modification de a (= 2)   Modification de yo (=5.5)
Peut-on résoudre algébriquement le problème ? Que doit -on
calculer ? Comment le calculer ?
Quels sont les résultats ? Y aurait-il eu d’autres méthodes ?
Le miroir du vampire -Math en Jeans 2008
Le miroir du vampire -Math en Jeans 2008
 A chaque étape, les calculs se complexifient : pour
 pouvoir résoudre le problème, on doit trouver une
 autre méthode de calcul.
 On choisit d’utiliser un logiciel de calcul formel.
 A chaque étape, on vérifie l’expression en effectuant
  l’application numérique avec les valeurs des variables
  choisies pour la construction. On vérifie leur
  cohérence avec les données de la construction.
 Pour trouver la réflexion,
  du rayon (O J1), on doit
  trouver les équations de
  la tangente au miroir et
  de sa normale.
 Pour trouver l’équation
  du rayon réfléchi, on fait
  le symétrique de (O J2)
  d’axe la normale.
 Abscisse de J3 :
 On réitère le processus pour la réflexion en J2.
 Après le calcul de la normale à la tangente au miroir
  réel en J2, on dépasse la capacité de calcul de
  l’ordinateur.
 On poursuit le calcul sans remplacer les inconnues
  trouvées précédemment. On trouve :



 Mais, en remplaçant les variables, on dépasse la
  capacité de calcul de l’ordinateur qui ne peut
  résoudre xj=xj4 en fonction des paramètres.
Où en est le problème aujourd’hui ?
Pourrait-on imaginer d’autres formes de miroir ?
Est-ce possible de le réaliser physiquement ?
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Le miroir du vampire -Math en Jeans 2008

  • 1. Maths en JEANS 2007/2008 Lycée Marcelin Berthelot
  • 2. Pourquoi on s’intéresse au miroir d’un vampire ? Que veut-on modéliser mathématiquement ?
  • 3. Humain Vampire
  • 4.  Miroir fictif : une droite  L’arrière plan : une droite  Yeux de l’observateur : deux points  Corps de l’observateur : un segment  Miroir : une ou plusieurs courbes ou segments ?
  • 5. Conjectures sur papier Représentation sur un logiciel de géométrie Peut-on résoudre graphiquement le problème ?
  • 9. Point de départ J Point Arrière plan d’arrivée J4 Yeux de la personne Miroir fictif (assimilés à M un point O) Rayon lumineux Miroir réel C
  • 10. yp : ordonnée de l’arrière plan yo : ordonnée de l’oeil On pose ym=0 a, b et c : paramètres de la courbe y=ax²+bx+c du miroir réel
  • 11. Modification de a (= 2) Modification de yo (=5.5)
  • 12. Peut-on résoudre algébriquement le problème ? Que doit -on calculer ? Comment le calculer ? Quels sont les résultats ? Y aurait-il eu d’autres méthodes ?
  • 15.  A chaque étape, les calculs se complexifient : pour pouvoir résoudre le problème, on doit trouver une autre méthode de calcul.
  • 16.  On choisit d’utiliser un logiciel de calcul formel.  A chaque étape, on vérifie l’expression en effectuant l’application numérique avec les valeurs des variables choisies pour la construction. On vérifie leur cohérence avec les données de la construction.
  • 17.  Pour trouver la réflexion, du rayon (O J1), on doit trouver les équations de la tangente au miroir et de sa normale.  Pour trouver l’équation du rayon réfléchi, on fait le symétrique de (O J2) d’axe la normale.
  • 19.  On réitère le processus pour la réflexion en J2.  Après le calcul de la normale à la tangente au miroir réel en J2, on dépasse la capacité de calcul de l’ordinateur.  On poursuit le calcul sans remplacer les inconnues trouvées précédemment. On trouve :  Mais, en remplaçant les variables, on dépasse la capacité de calcul de l’ordinateur qui ne peut résoudre xj=xj4 en fonction des paramètres.
  • 20. Où en est le problème aujourd’hui ? Pourrait-on imaginer d’autres formes de miroir ? Est-ce possible de le réaliser physiquement ?